Functional tolerancing optimised by dispersions method

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Submitted on 17 Jan 2017

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Functional tolerancing optimised by dispersions method

Nassima Medjadi - Cheikh, Saıd Hamou, Djezouli Moulai-Khatir, Abdelmadjid Cheikh, Jean-Marc Linares

To cite this version:

Nassima Medjadi - Cheikh, Saıd Hamou, Djezouli Moulai-Khatir, Abdelmadjid Cheikh, Jean-Marc

Linares. Functional tolerancing optimised by dispersions method. Mechanics & Industry, EDP Sci-

ences, 2011, 2 (12), pp.139-146. �10.1051/meca/2011010�. �hal-01437098�

Tolérance Fonctionnel optimisé par la méthode des dispersions

¨

Nassima Medjadi-Cheikh ^1,a , Saıd Hamou ¹ , Djezouli Moulai-Khatir ¹ , Abdelmadjid Cheikh ¹ et Jean-Marc Linares ²

1

LAT, D´ epartement de M´ ecanique, Facult´ e de Technologie, Universit´ e Abou Bekr Belkaid, BP 230, Tlemcen 13000, Alg´ erie

2

Institut des Sciences du Mouvement/GIBO CNRS UMR 6233, D´ epartement de G´ enie m´ ecanique et Productique, IUT d’Aix-en-Provence, Avenue Gaston Berger, 13625 Aix-en-Provence Cedex 1, France

R´ esum´ e – Cet article pr´ esente l’optimisation du tol´ erancement fonctionnel par la m´ ethode des disper- sions, celle-ci a fait ces preuves dans l’optimisation des cotes de fabrication. Dans ce travail la m´ ethode des dispersions inconnues est combin´ ee avec la m´ ethode du transfert minimum pour la mod´ elisation de l’automatisation de la simulation des exigences fonctionnelles d’un assemblage m´ ecanique. La simulation consiste en l’extraction automatique des chaˆınes fonctionnelles d’une part, et en l’optimisation des disper- sions d’autre part. Enfin, les cotes fonctionnelles sont synth´ etis´ ees ` a partir des dispersions optimis´ ees en terme de cotes moyennes et intervalles de tol´ erances centr´ es. Elles sont en ad´ equation avec l’´ ecriture au sens de la norme ISO des cotes fonctionnelles.

Mots cl´ es : M´ ethode des dispersions, optimisation, chaˆıne de cotes, tol´ erances fonctionnelles, synth` ese, ISO

Abstract – Functional tolerancing optimised by dispersions method. This paper presents the op- timization of functional tolerancing by dispersions method, this later has made this evidence in manufac- turing dimensions optimization. In this work the dispersions method on the basis of unknown variables is combined with the minimal transfer method for automatically the modelling of the functional requirements of a mechanical assembly. The simulation is constructed around two procedures. The first procedure exe- cutes the extraction of the functional requirements, the second procedure results in the optimization of the dispersions. The functional dimensions are synthesized by uses of the optimised values of the dispersions to compute the mean values and tolerances of the functional dimensions in the chains. They are in adequacy with the writing within the meaning of the ISO standard of the functional dimensions.

Key words: Dispersions method, optimization, dimension chains, functional tolerances, synthesis, ISO

1 Introduction

L’exp´ erience a montr´ e que la d´ etermination des tol´ erances des pi` eces en conception m´ ecanique n´ ecessite des choix importants qui influent sur le mode de fabrica- tion et le prix de revient des pi` eces. Si l’on ne d´ efinit pas un tol´ erancement optimal, on risque soit d’augmenter les cou ˆts de fabrication par des tol´erances trop s´ev`eres ou mal plac´ ees, soit de produire des pi` eces qui ne conviendront pas dans l’assemblage ou encore des assemblages peu fiables en fonctionnement. En eff et, les d´ ecisions prises

a

Auteur pour correspondance :

nm [email protected], [email protected]

durant la phase de conception induisent pr` es de 70 % du cou ˆt total de r´ealisation du produit [1]. Pour cela il faut optimiser les moyens de fabrication pour produire des pi` eces de bonne qualit´ e et ` a moindre cou ˆt. L’objectif de l’optimisation des tol´ erances de conception est de mi- nimiser le cou ˆt total de fabrication de toutes les tol´erances tout en respectant les exigences fonctionnelles. Actuelle- ment les outils, les m´ ethodes et les th´ eories associ´ ees au tol´ erancement restent encore tr` es pauvres [2]. Le concep- teur trouve quelques syst` emes d´ edi´ es [3] mais peu de solutions int´ egr´ ees. Dans cette off re, les outils propos´ es traitent essentiellement de l’analyse des tol´ erances [4].

L’optimisation des tol´ erances fonctionnelles a longuement

Nomenclature

Symbole Δl Cf CC l

m IT CS

D´ esignation Dispersion totale Cote fonctionnelle

Cote condition Surface de d´ epart

Surface d’arriv´ ee Intervalle de tol´ erance

Cote standard

j

´ et´ e trait´ ee par la m´ ethode vectorielle non rationnelle [5], qui a pour inconv´ enient de donner des tol´ erances serr´ ees, donc un cou ˆt de fabrication ´elev´e. La m´ethode des dis- persions appel´ ee m´ ethode Δl introduite par Bourdet [6]

repr´ esente une m´ ethode effi cace pour la simulation d’usi- nage [7, 8]. Dans le cas de chaˆınes de cotes unidirection- nelles, les jeux sont tous mod´ elis´ es par une seule compo- sante de translation dont les intervalles de variation sont not´ ees Δl

ⁱ

dans la m´ ethode Δl [9]. Dans ce contexte, ce travail pr´ esente une mod´elisation de la simulation des tol´ erances de conception d’un assemblage m´ ecanique par la m´ ethode des dispersions qui est bas´ ee sur le principe du pire des cas. La m´ ethode Δl est combin´ ee avec la m´ ethode du transfert minimum introduite par Duret [10] pour au- tomatiser la proc´ edure d’extraction des chaˆınes de cotes fonctionnelles par un calcul matriciel. L’optimisation des dispersions est eff ectu´ ee ` a l’aide de la m´ ethode des dis- persions inconnues [1, 11]. Les dispersions optimis´ ees sont utilis´ ees pour calculer les intervalles de tol´ erances et les longueurs de simulation sont utilis´ ees pour synth´ etiser les valeurs moyennes pour les cotes fonctionnelles.

2 Mod´ elisation de la simulation des conditions fonctionnelles

2.1 Principe de la m´ ethode des dispersions

Lors de l’usinage en s´ erie de la longueur L d’une pi` ece, dans les mˆ emes conditions, on remarque pour un r´ eglage donn´ e, une variation dimensionnelle des pi` eces successive- ment usin´ ees. On appelle donc dispersion globale ou dis- persion totale, la diff ´ erence entre la plus grande et la plus petite dimension relev´ ee sur une s´ erie de pi` eces r´ ealis´ ees

`

a partir d’un mˆ eme r´ eglage d’outil.

Δl = L

_maxi

− L

_mini

(1) Le mod` ele des Δl introduit la notion de cotes de simu- lation Li qui permet de situer dans chaque rep` ere de la production, la surface d’appui et les diff ´ erentes surfaces fabriqu´ ees. Δl

i

est la dispersion permise d’une cote de simulation Li repr´ esentant la variation de position de la surface i dans le rep` ere fixe li´e ` a la machine de production.

(Cf

_i,j

)

_moy

= L

_j

− L

_i

(2)

Fig. 1. Exemple d’assemblage.

2.2 Matrice des dispersions

L’exemple simplifi´ e de la figure 1 [8], repr´ esente la mod´ elisation de la simulation unidirectionnelle d’un as- semblage de pi` eces. Toutes les surfaces sont mod´ elis´ ees par des points de substitutions [12] (situ´ es ` a l’ext´ erieur de la mati` ere, ces derniers sont suppos´ es repr´ esenter la g´ eom´ etrie r´ eelle des pi` eces). Ils sont num´ erot´ es par ordre croissant de gauche a ` droite. Les pi` eces sont rep´ er´ ees par des lettres alphab´ etiques. L’assemblage est ensuite repr´ esent´ e sous forme d’une matrice de dispersions af- fect´ ees aux surfaces des pi` eces [ 13]. Enfin, un calcul ma- triciel est eff ectu´ e pour chaque condition fonctionnelle de l’assemblage par la m´ ethode du transfert minimum.

(B) (A)

e

1,2

= Cf

_1,8

− Cf

_2,8

f

2,3

= Cf

_2,^(A) ₈

− Cf

_6,^(B) ₈

− Cf

_4,^(C) ₆

− Cf

^(D)_3,4

(C) (B) (A)

(B) (A)

(A) (E)

(F) (A)

(A) (F) (G)

g

_4,5

= Cf

_4,6

+ Cf

_6,8

− Cf

_5,8

h

_6,7

= Cf

_6,8

− Cf

_7,8

q

9,10

= Cf

_9,11

− Cf

_10,11

k

12,13

= Cf

_11,13

− Cf

_11,12

j

14,15

= Cf

_11,15

− Cf

_11,13

− Cf

_13,14

Les conditions fonctionnelles sont les suivantes :

e = 2 ± 0, 25 : Retrait de la tˆ ete de l’arbre A par rapport a ` la pi` ece B ;

f = 4 ± 0, 75 : D´ epassement de la tˆ ete ext´ erieure de filetage de l’arbre A par rapport a` l’´ecrou D ;

g = k = 2 ± 0, 5 : D´ epassements int´ erieurs suffi sants

des filetages pour la prise des ´ ecrous D et G ;

Fig. 2. Organigramme de la m´ ethode du transfert mini- mum [14].

h = 2 ± 0, 5 : Serrage entre les pi` eces A et B ;

j = 4±1 : D´ epassement de la tˆ ete ext´ erieure de filetage de l’arbre A par rapport a ` l’´ ecrou G ;

q = 3 ± 0, 1 : Jeux existants entre le galet E et ses pi` eces voisines A et F.

L’assemblage est repr´ esent´ e sous forme d’une matrice de Is colonnes et de Ip lignes. Is repr´ esente l’indice de sur- face et Ip repr´ esente l’indice de pi` eces. Comme le montre le tableau 1, l’´ el´ ement A

_Is,Ip

de la matrice contient une valeur de dispersion uniquement lorsque la surface Is fait partie de la pi` ece Ip comme surface de contact ou surface terminale. Dans le cas contraire il est nul.

3 Extraction des cha ˆınes de cotes

fonctionnelles par la m´ ethode du transfert minimum

Le principe de la m´ ethode comme l’illustre la figure 2 est de reconnaˆıtre tout d’abord les surfaces qui d´ elimitent une cote condition. Nous les notons l et m. Nous proc´ edons ` a l’annulation des dispersions uniques qui sont

pr´ esentes dans toutes les colonnes, except´ e celles qui se trouvent sur les colonnes l et m. Nous proc´ edons de la mˆeme mani` ere pour les lignes, mais cette fois-ci sans ex- ception bien su ˆr.

Nous r´ ep´ etons ces op´ erations jusqu’a ` l’aboutissement a

` un transfert minimum donn´ e par 0 ou 2 Δl par colonne.

Une fois qu’on est en transfert minimum, les cotes fonc- tionnelles qui participent a ` la r´ ealisation des cotes condi- tions sont les cotes d´ elimit´ ees par les surfaces qui abritent les deux dispersions pr´ esentes sur la pi` ece (mˆ eme ligne de la matrice).

4 Optimisation par la m´ ethode des dispersions inconnues

L’application de la proc´ edure d’extraction des chaˆınes de cotes fonctionnelles appliqu´ ee ` a l’assemblage a permis d’avoir les chaˆınes de tol´ erances associ´ ees suivantes :

X

2 8 1 8

X

2 8 6 8

4 6 3 4

X

5 8 6 8

4 6

X

7 8 6 8

X

9 11 10 11

X

11 12 11 13

X

11 15 11

13 13 14

Δe

1,2

= Δl

i

= (Δl

^(A)

+ Δl

^(A)

) + (Δl

^(B)

+ Δl

^(B)

) Δf

_2,3

= Δl

_i

= (Δl

^(A)

+ Δl

^(A)

) + (Δl

^(B)

+ Δl

^(B)

)

+ (Δl

^(C)

+ Δl

^(C)

) + (Δl

^(D)

+ Δl

^(D)

)

Δg

4,5

= Δl

i

= (Δl

^(A)

+ Δl

^(A)

) + (Δl

^(B)

+ Δl

^(B)

) + (Δl

^(C)

+ Δl

^(C)

)

Δh

6,7

= Δl

i

= (Δl

^(A)

+ Δl

^(A)

) + (Δl

^(B)

+ Δl

^(B)

) Δq

9,10

= Δl

i

= (Δl

^(A)

+ Δl

^(A)

) + (Δl

^(E)

+ Δl

^(E)

) Δk

_12,13

= Δl

_i

= (Δl

^(A)

+ Δl

^(A)

) + (Δl

^(F)

+ Δl

^(F)

) Δj

_14,15

= Δl

_i

= (Δl

^(A)

+ Δl

^(A)

) + (Δl

^(F)

+ Δl

^(F)

) + (Δl

^(G)

+ Δl

^(g)

)

A partir des chaˆınes de tol´ ` erances exprim´ ees en fonction des dispersions, on forme une matrice globale d’optimi- sation de nc lignes et nd colonnes. Dans cette matrice, chaque ligne Ic repr´ esente une cote condition et chaque colonne Id repr´ esente une dispersion comme le montre le tableau 2 [15]. On remarque que chaque ligne correspond a

` une chaˆıne de tol´ erances associ´ ee ` a une chaˆıne de cotes fonctionnelles. On remplit dans chaque colonne la valeur de la dispersion rep´ er´ ee par la variable x si celle-ci fait partie de la chaˆıne de tol´ erance. Dans le cas contraire on remplit la valeur 0.

4.1 Organigramme d’optimisation

Comme le montre l’organigramme de la figure 3, en premier lieu, on calcule le coeffi cient de r´ epartition k

⁰

j pour toutes les cotes condition CC par la relation (3) ou ` w repr´ esente le nombre des dispersions connues, p le nombre des dispersions inconnues et j le num´ ero d’it´ eration.

0

P p IT cc−

w

Δli

k

_j

=

ⁱ⁼¹

(3)

Tableau 1. Repr´ esentation matricielle de l’assemblage.

Surfaces

Pi` eces

2 5 7 8 9

Δl Δl Δl

1 6 8

4 6

8 9 10

Δl

^(A)

Δl

(A)

0

Δl

^(B)

0 0

0 0 0 1 2 3 A 0 Δl

^(A)

0 B Δl

^(B)

0 0 C 0 0 0 D 0 0 Δl

^(D)_{3 4}

0 0 0 0 0 Δl

^(E)_{10 11}

0 0 0 Δl 11

(A) 11

0 0 0 Δl

^(E) (F) 11 13

E 0 0 0

F 0 0 0

G 0 0 0 4 5 6 7 0 Δl

^(A)

0 Δl

^(A)

0 0 Δl

(B)

0 Δl

(C)

0 Δl

(C)

0 Δl

(D)

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 12

(A) 12

0 0 0 0 0 0 Δl Δl 13 14

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 Δl

(F)

0

(G) (G)

13 14

15

(A) 15

0 0 0 0 0 0

Fig. 3. Organigramme de l’optimisation des dispersions par la m´ ethode des dispersions inconnues [14].

On commence par la ligne dont le coeffi cient k

⁰

j est le plus petit. Une fois que les valeurs des dispersions de la ligne sont calcul´ ees par la relation (3), nous les affi chons sur toute la colonne ou ` elles sont pr´ esentes. On recommence a ` calculer les nouveaux coeffi cients k

⁰

j avec les nouvelles Δli jusqu’a ` l’´ epuisement des lignes des cotes condition CC.

4.2 Proc´ edure d’optimisation

D´ etermination de la ligne de traitement pour le rang 1 (Tab. 3).

D’apr` es le tableau 3 on remarque que la ligne 5 a le plus petit coeffi cient (k

⁰

j = 0,05), donc on va commencer par traiter cette ligne.

En traitant ligne par ligne, on va retrouver le tableau des dispersions optimis´ ees (Tab. 4).

5 Synth` ese des cotes fonctionnelles

´

La m´ ethode des dispersions peut ˆ etre utilis´ ee pour si- muler et d´ eterminer les valeurs des cotes fonctionnelles qui r´ epondent aux exigences fonctionnelles. Etant donn´ e que les cotes fonctionnelles doivent ˆ etre a ` la fin fabriqu´ ees, le mod` ele fondamental des cotes moyennes permet d’´ etablir des relations entre les cotes fonctionnelles et les cotes de simulation Li comme le montre la relation (4)

Cf i, j = Lj − Li avec j > i (4) Pour positionner n surfaces il faut d´ eterminer (n − 1) lon- gueurs moyennes de base [6]. Nous aurons besoin donc de (n − 1) ´ equations a ` r´ esoudre pour d´ eterminer les (n − 1) longueurs sachant que L

₁

= 0 (en prenant l’ori- gine sur la premi` ere surface). Un syst` eme d’´ equations est ainsi construit en utilisant les valeurs moyennes des cotes condition CC et cotes standard CS par les rela- tions (5) et (6). Les cotes CS sont choisies pour compl´ eter le syst` eme parmi les cotes fonctionnelles de pi` eces stan- dard, par exemple de sous-traitance.

(CCi

,j

)

_moy

= Lj − Li (5)

(CSi

_,j

)

_moy

= Lj − LI (6)

T a bl e a u 2 . M a tr ice d ’o p ti m is a ti o n g lo b a le d e l’ a ss e m b la ge . N

◦

C C Δ l

(B) 1

Δ l

(A) 2

Δ l

(D) 3

Δ l

(C) 4

Δ l

(D) 4

Δ l

(A) 5

Δ l

(B) 6

Δ l

(C) 6

Δ l

(A) 7

Δ l

(A) 8

Δ l

(B) 8

Δ l

(A) 9

Δ l

(E) 10

Δ l

(A) 11

Δ l

(E) 11

Δ l

(F) 11

Δ l

(A) 12

Δ l

(F) 13

Δ l

(G) 13

Δ l

(G) 14

Δ l

(A) 15

I T 1 e

1,2

x x 0 0 0 0 0 0 0 x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .5 2 f

2,3

0 x x x x 0 x x 0 x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ,5 3 g

4,5

0 0 0 x 0 x x x 0 x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 h

6,7

0 0 0 0 0 0 x 0 x x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 q

9,10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x 0 0 0 0 0 0 0 ,2 6 k

12,13

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 0 x x x 0 0 0 1 7 j

14,15

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 0 x 0 x x x x 2 T a bl e a u 3 . D ´e te rm in a ti o n d e l a li g n e d e tr a it e m e n t p o u r le r a n g 1 . N

◦

C C

123445667889101111111213131415

Δ l

(B)

Δ l

(A)

Δ l

(D)

Δ l

(C)

Δ l

(D)

Δ l

(A)

Δ l

(B)

Δ l

(C)

Δ l

(A)

Δ l

(A)

Δ l

(B)

Δ l

(A)

Δ l

(E)

Δ l

(A)

Δ l

(E)

Δ l

(F)

Δ l

(A)

Δ l

(F)

Δ l

(G)

Δ l

(G)

Δ l

(A)

I T k

0 1

1 e

1,2

x x 0 0 0 0 0 0 0 x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,5 0 ,12 5 2 f

2,3

0 x x x x 0 x x 0 x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ,5 0 ,187 5 3 g

4,5

0 0 0 x 0 x x x 0 x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ,16 6 4 h

6,7

0 0 0 0 0 0 x 0 x x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ,2 5 5 q

9,10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x 0 0 0 0 0 0 0 ,2 0 ,0 5 6 k

12,13

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 0 x x x 0 0 0 1 0 ,2 5 7 j

14,15

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 0 x 0 x x x x 2 0 ,33 3 T a bl e a u 4 . T a b le a u d e s d is p er si o n s o p ti m is ´e e s. N

◦

C C Δ l

(B) 1

Δ l

(A) 2

Δ l

(D) 3

Δ l

(C) 4

Δ l

(D) 4

Δ l

(A) 5

Δ l

(B) 6

Δ l

(C) 6

Δ l

(A) 7

Δ l

(A) 8

Δ l

(B) 8

Δ l

(A) 9

Δ l

(E) 10

Δ l

(A) 11

Δ l

(E) 11

Δ l

(F) 11

Δ l

(A) 12

Δ l

(F) 13

Δ l

(G) 13

Δ l

(G) 14

Δ l

(A) 15

I T 1 e

1,2

0 ,12 5 0 ,12 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ,12 5 0 ,12 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,5 2 f

2,3

0 0 ,12 5 0 ,28 1 0 ,18 7 0 ,28 1 0 0 ,18 7 0 ,18 7 0 0 ,12 5 0 ,12 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ,5 3 g

4,5

0 0 0 0 ,18 7 0 0 ,18 7 0 ,18 7 0 .18 7 0 0 ,12 5 0 ,12 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 h

6,7

0 0 0 0 0 0 0 ,18 7 0 0 ,56 2 0 ,12 5 0 ,12 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 q

9,10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,0 5 0 ,0 5 0 ,0 5 0 ,0 5 0 0 0 0 0 0 0 ,2 6 k

12,13

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,0 5 0 0 ,31 6 0 ,31 6 0 ,31 6 0 0 0 1 7 j

14,15

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,0 5 0 0 ,31 6 0 0 ,31 6 0 ,43 9 0 ,43 9 0 ,43 9 2

ou ` i et j sont les surfaces qui d´ elimitent les cotes condition CC ou CS.

Dans le cas de cotes unilimites, CC

moy

et CS

moy

sont calcul´ ees en utilisant l’intervalle de tol´ erance optimis´ e par les relations suivantes :

CC

moy

= CC

min

+ CC

max

2 (7)

CS = CS

_min

+ CS

_max

moy

2 (8)

Les ´ equations (5) a ` (8) donnent un syst` eme de n ´ equations a

` n inconnues Li. Une fois que les longueurs de simula- tion Li sont trouv´ ees, on calcule les cotes fonctionnelles moyennes par la relation (4).

– La matrice ´ elargie apr` es optimisation des dispersions

`

a l’aide des IT des cotes conditions bilat´ erales pour cet exemple est donn´ ee comme suit (Tab. 5).

– Calcul des longueurs moyennes de base Li.

Pour cet exemple nous avons 15 surfaces alors nous au- rons besoin de 14 cotes conditions. On compl` ete donc les 7 exigences fonctionnelles e, f, g, h, q, k et j par 7 autres cotes conditions comme cotes mini. Celles-ci sont donn´ ees par les pi` eces standards ou de sous-traitance.

Pour notre cas, on prend :

3,4 4,6

l’´ ecrou D (CS

^(D)

= 10 mini) ; la rondelle C (CS

^(C)

= 4 mini) ;

(B)

(A) (E)

(F) (G)

la pi` ece B (CS

_1,8

= 40 mini) ;

le cˆ ot´ e gauche de l’arbre A (CS

_8,9

= 5 mini) ; la pi` ece E (CS

_10,11

= 16 mini) ;

la rondelle C (CS

_11,13

= 4 mini) et l’´ ecrou D (CS

_13,14

= 10 mini).

Pour les 15 surfaces, il y aura 15 longueurs moyennes de base inconnues a ` d´ eterminer (donc 15 ´ equations a ` r´ esoudre, avec L

1

= 0).

Les ´ equations des conditions bilimites sont donn´ ees par :

´

´

´

´

´

´

´

Equation 1 : e

1,2

= L

2

− L

1

= 2 Equation 2 : f

_2,3

= L

₃

− L

2

= 4 Equation 3 : g

_4,5

= L

₅

− L

₄

= 2 Equation 4 : h

_6,7

= L

₇

− L

₆

= 2 Equation 7 : q

_9,10

= L

₁₀

− L

₉

= 3 Equation 5 : k

12,13

= L

13

− L

12

= 2 Equation 6 : j

14,15

= L

15

− L

14

= 4.

Les ´ equations des conditions unilimites sont donn´ ees par :

´

´

´

´

´

´

Equation 8 : CS

_3,4

= L

₄

− L

3

= 10,281 Equation 9 : CS

_4,6

= L

₆

− L

₄

= 4,187 Equation 10 : CS

_1,8

= L

₈

− L

₁

= 40,125 Equation 11 : CS

8,9

= L

9

− L

8

= 5,088 Equation 12 : CS

10,11

= L

11

− L

10

= 16,05 Equation 13 : CS

11,13

= L

13

− L

11

= 4,317

T a bl e a u 5 . M a tr ic e ´e la rgi e a p r`e s o p ti m is a ti o n. N

◦

C C

123445667889101111111213131415

Δ l

(B)

Δ l

(A)

Δ l

(D)

Δ l

(C)

Δ l

(D)

Δ l

(A)

Δ l

(B)

Δ l

(C)

Δ l

(A)

Δ l

(A)

Δ l

(B)

Δ l

(A)

Δ l

(E)

Δ l

(A)

Δ l

(E)

Δ l

(F)

Δ l

(A)

Δ l

(F)

Δ l

(G)

Δ l

(G)

Δ l

(A)

I T P Δ li 1 e

1,2

0 ,12 5 0 ,12 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ,12 5 0 ,12 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,5 0 ,5 2 f

2,3

0 0 ,12 5 0 ,28 1 0 ,1 8 7 0 ,28 1 0 0 ,18 7 0 ,18 7 0 0 ,12 5 0 ,12 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ,5 1 ,5 3 g

4,5

0 0 0 0 ,18 7 0 0 ,18 7 0 ,18 7 0 ,18 7 0 0 ,12 5 0 ,12 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 4 h

6,7

0 0 0 0 0 0 0 ,18 7 0 0 ,56 2 0 ,12 5 0 ,12 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 5 q

9,10

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,0 5 0 ,0 5 0 ,0 5 0 ,0 5 0 0 0 0 0 0 0 ,2 0 ,2 6 k

12,13

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,0 5 0 0 ,31 6 0 ,31 6 0 ,31 6 0 0 0 1 1 7 j

14,15

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,0 5 0 0 ,31 6 0 0 ,31 6 0 ,43 9 0 .43 9 0 .43 9 2 2 8 C S

(D) 3,4

0 0 0 ,28 1 0 0 ,28 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 – 0 ,5 6 2 4 9 C S

(C) 4,6

0 0 0 0 ,18 7 0 0 0 0 ,18 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 – 0 ,37 5 10 C S

(B) 1,8

0 ,12 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,12 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 – 0 ,2 5 11 C S

(A) 8,9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,12 5 0 0 ,0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 – 0 ,17 5

(E)

12 C S

10,11

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,0 5 0 0 ,0 5 0 0 0 0 0 0 – 0 ,1

(F)

13 C S

11,13

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,31 6 0 0 ,31 6 0 0 0 – 0 ,63 2

(G)

14 C S

13,14

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,43 9 0 ,43 9 0 – 0 ,87 8

Tableau 6. Syst` eme d’´ equations lin´ eaires.

⎢

⎢

⎢

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢ ⎢

⎢

⎢ ⎢

⎢

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥ ⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥ ⎥

⎥

⎥ ⎥

⎥

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢ ⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢ ⎢

⎢

⎢

⎢ ⎢

⎢

1

4

9

⎥ ⎥

⎥

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥ ⎥

⎥

⎥ ⎥

⎥

⎢

⎢

⎢

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢ ⎢

⎢

⎢ ⎢

⎢

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥ ⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥ ⎥

⎥

⎡ −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎡

L ⎤ ⎡ 2 ⎤

⎢ 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L

2

⎥

⎢ 4 ⎥

⎢ 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L

3

⎥ ⎢ 2 ⎥

⎢ 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L ⎥ ⎢ 2 ⎥

⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L

5

⎥ ⎢ 3 ⎥

⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 ⎥ ⎢ L

6

⎥ ⎢ 2 ⎥

⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 ⎥ ⎢ L

7

⎥ ⎢ 4 ⎥

⎢ 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L

8

⎥ = ⎢ 10, 281 ⎥

⎢ 0 0 0 −1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L ⎥ ⎢ 4, 187 ⎥

⎢ −1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L

10

⎥ ⎢ 40, 125 ⎥

⎢ 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L

11

⎥ ⎢ 5, 088 ⎥

⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L

12

⎥ ⎢ 16, 05 ⎥

⎥ ⎥

⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 1 0 0 ⎥ ⎢ L

13

⎥ ⎢ 4, 317 ⎥ ⎥

⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 1 0 ⎦ ⎣ L

14

⎦ ⎣ 10, 439 ⎦ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L

15

0

Equation 14 : ´ CS

_13,14

= L

₁₄

− L

13

= 10,439 Et comme ´ equation 15 : L

₁₅

= 0.

A partir de ces ´ ` equations, on forme le syst` eme d’´ equations lin´ eaires (Tab. 6).

Apr` es r´ esolution du syst` eme nous obtenons les valeurs suivantes pour les longueurs moyennes :

L

₁

= 0 L

₂

= 2 L

₃

= 6 L

4

= 16,281 L

5

= 18,281 L

6

= 20,468 L

7

= 22,468 L

8

= 40,125 L

9

= 45,213 L

10

= 48,213 L

11

= 64,263 L

12

= 66,535 L

₁₃

= 68,535 L

₁₄

= 78,974 L

₁₅

= 82,974

Ceci nous permet par la suite de calculer les cotes fonctionnelles moyennes

Cf

1,8 moy

= L

8

− L

1

= 40,125 Cf

_{2,8 moy}

= L

₈

− L

2

= 38,125 Cf

_{6,8 moy}

= L

₈

− L

6

= 19,657 Cf

_{3,4 moy}

= L

₄

− L

₃

= 10,281 Cf

_{4,6 moy}

= L

₆

− L

₄

= 4,187 Cf

5,8 moy

= L

8

− L

5

= 21,844 Cf

7,8 moy

= L

8

− L

7

= 17,657 Cf

_{8,9 moy}

= L

₉

− L

8

= 5,088 Cf

_{9,11 moy}

= L

₁₁

− L

₉

= 19,05 Cf

_{10,11 moy}

= L

₁₀

− L

₁₁

= 16,05 Cf

11,15 moy

= L

15

− L

11

= 18,761 Cf

11,12 moy

= L

12

− L

11

= 2,317 Cf

_{11,13 moy}

= L

₁₃

− L

11

= 4,317 Cf

_{13,14 moy}

= L

₁₄

− L

13

= 10,439

Calcul des cotes fonctionnelles avec leurs intervalles de tol´ erances

Cf

1,8

= 40,125 ± 0,125 Cf

2,8

= 38,125 ± 0,125 Cf

6,8

= 19,657 ± 0,156 Cf

3,4

= 10,281 ± 0,281 Cf

4,6

= 4,187 ± 0,187 Cf

5,8

= 21,844 ± 0,156

Cf

_7,8

= 17,657 ± 0,343 Cf

_8,9

= 5,088 ± 0,088 Cf

_9,11

= 19,05 ± 0,050 Cf

10,11

= 16,05 ± 0,050 Cf

11,15

= 18,761 ± 0,244 Cf

11,12

= 2,317 ± 0,183 Cf

_11,13

= 4,317 ± 0,317 Cf

_13,14

= 10,439 ± 0,439

6 Programmation et tests de validation

Un module a ´ et´ e programm´ e sur la base des or- ganigrammes pr´ ec´ edemment donn´ es. Ce programme est nomm´e OTF (outil de tol´ erancement fonctionnel). Il a

´

et´ e programm´e sous langage Visual Basic. Le programme a ´ et´ e test´ e et valid´ e sur plusieurs exemples donnant des r´ esultats concordant avec la simulation manuelle. Nous al- lons appliquer le programme OTF a ` l’assemblage (Fig. 1).

L’´ ecran de la figure 4, repr´ esente le fichier de donn´ ees de l’assemblage, et l’´ ecran de la figure 5, illustre le fichier des r´ esultats.

7 Conclusion et perspectives

L’objectif de ce travail est de contribuer au

d´ eveloppement d’un outil CFAO de synth` ese des cotes

fonctionnelles exprim´ ees par les cotes moyennes et les

intervalles de tol´ erance centr´ es, en utilisant la m´ ethode

des dispersions. Cette derni` ere a fait ses preuves dans

la simulation des avant-projets de fabrication en opti-

misant les tol´ erances et en v´ erifiant la faisabilit´ e des

gammes d’usinage [13]. Un module nomm´e OTF (outil de

tol´ erancement fonctionnel) a ´ et´ e r´ ealis´ e. L’automatisation

consiste premi` erement en l’extraction automatique des

chaˆınes (cotes et tol´ erances) fonctionnelles. Ensuite une

proc´ edure d’optimisation des dispersions est eff ectu´ ee.

Fig. 4. Fichier de donné es de l’assemblage.

Fig. 5. Fichier des ré sultats de l’assemblage.

Enfin les cotes fonctionnelles sont synth´ etis´ ees ` a partir des dispersions optimis´ ees en terme de cotes moyennes et intervalles de tol´ erance centr´ es, pour ˆ etre en ad´ equation avec l’´ ecriture au sens de la norme ISO des cotes fonction- nelles. En perspectives, l’int´ egration du module OTF dans un syst` eme CFAO permettra d’avoir automatiquement les cotes fonctionnelles exprim´ees par les cotes moyennes et les intervalles de tol´ erance centr´ es comme r´ esultat final.

R´ ef´ erences

[1] C. Marty, J.M. Linares, Industrialisation des produits m´ ecaniques, conception et industrialisation, Publication Hermes, Tome 1, 1999

[2] L. Mathieu, A. Clement, P. Bourdet, Modelling, Representation and Processing of Tolerances, Tolerance Inspection: a survey of current hypothesis, Geometric Design Tolerancing: Theories, standards and Applica- tions, H.A. Elmaraghy (ed.), ISBN 0412 83000 0, 1998, Chapman & Hall, London, pp. 1–33

[3] J. Shah, J. Davidson, A comparative study of to- lerance analysis methods, ASME Design Engineering Technical Conference and Computers and informa-

´

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tion in Engineering Conference, Salt Lake City, Utah, September 28 to October 2, 2004

[4] L. Mathieu, O. Belingard, Mod´ elisation par les surfaces fonctionnelles en CAO : une solution pour l’int´ egration du tol´ erancement dans la maquette num´ erique des produits, CPI Casablanca Maroc, 2005

[5] D. Gaunet, Mod` ele formel de tol´ erancement de position.

Contributions ` a l’aide au tol´ erancement des m´ ecanismes en CFAO, Th` ese de Doctorat de M´ ecanique, Ecole Normale Sup´ erieure de Cachan, 1994

[6] P. Bourdet, Chaˆınes de cotes de fabrication, Revue l’Ing´ enieur et le Technicien de l’Enseignement Technique 191 (1973) 15–23

[7] B. Anselmetti, Tol´ erancement : Langage des normes ISO de cotation, Edition Lavoisier, Tome 2003, 3

[8] P. Bourdet, Chaˆınes de cotes unidirectionnelles, ENS Cachan, 2003

[9] L. Mathieu, F. Villeneuve, Tol´ erancement g´ eom´ etrique des produits, Trait´ e IC2, s´ erie productique, Lavoisier li- brairie, Hermes – Science, mai 2007

[10] D. Duret, Simulation de gamme d’usinage, Revue l’Ing´ enieur et le Technicien de l’Enseignement Technique 229 (1981) 34–37

[11] S. Hamou, A. Cheikh, J.M. Linares, A. Benamar, Machining dispersions based procedures for computer aided process plan simulation, Int. J. Comp. Integr.

Manufact. London 17 (2004) 141–150

[12] S. Hamou, D. Moulai-Khatir, F. Hadjoui, J.M. Linares, Interfacing of unidirectional manufacturing dimensions in standardized specifications, Second International Congress Design and Modelling of Mechanical Systems (CMSM’07), 19–21 Marsh 2007, Hammamet, Tunisia [13] S. Hamou, A. Cheikh, J.M. Linares, A. Chikh Daho, A

stochastic concept for the optimization of manufacturing tolerances in computer aided process plan simulation, Int.

J. Comp. Integr. Manufact. London 19 (2006) 663–675 [14] N. Medjadi-Cheikh, A. Cheikh, E. Mami, S. Hamou,

Simulation des tol´ erances fonctionnelles : Mod´ elisation par la m´ ethode des dispersions, CPI Casablanca Maroc, 2005

[15] S. Hamou, Contribution ` a l’optimisation de la

sp´ ecification des ´ etats interm´ ediaires dans le pro-

cessus de fabrication, Th` ese de Doctorat, Universit´ e de

Tlemcen, Alg´ erie, juin 2004