Table des suﬃxes

(1)

Table des suffixes

Thierry Lecroq

Laboratoire d’Informatique, de Traitement de l’Information et des Syst`emes (LITIS EA4108) Universit´e de Rouen Normandie, France

(2)

Plan

1 Introduction

2 Alphabet de taille born´ee

3 Table des LCP

4 Recherche d’un mot

5 Bibliographie

Thierry Lecroq (Rouen, France) Table des suffixes 2 / 36

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Table des suffixes

Texte y∈A^∗ de longueurn Permutation des suffixes

SA:{0,1, . . . n−1} 7−→ {0,1, . . . n−1}telle que

y[SA[0]. . n−1]< y[SA[1]. . n−1]<· · ·< y[SA[n−1]. . n−1]

LCP (Longest Common Prefixes)

LCP[i] =|lcp(y[SA[i−1]. . n−1], y[SA[i]. . n−1])|

(4)

Table des suffixes

Exemple pour y=aataataata$

i SA[i] LCP[i]

0 11 0 $

1 10 0 a $

2 0 1 a a t a a t a a t t a $

3 3 6 a a t a a t t a $

4 6 3 a a t t a $

5 1 1 a t a a t a a t t a $

6 4 5 a t a a t t a $

7 7 2 a t t a $

8 9 0 t a $

9 2 2 t a a t a a t t a $

10 5 4 t a a t t a $

11 8 1 t t a $

(5)

Plan

1 Introduction

3 Table des LCP

5 Bibliographie

(6)

Algorithme

1 Deux tiers des positions idey sont tri´ees selon prem₃(y[i . . n−1]): les positions de la forme i= 3koui= 3k+ 1avec kentier. Soit t[i]

le rang dei dans la liste tri´ee.

2 Les suffixes du motz=t[0]t[3]· · ·t[3k]· · ·t[1]t[4]· · ·t[3k+ 1]· · · sont triés récursivement. Soit s[i]le rang du suffixe à la position isur y dans la liste triée (i= 3k ori= 3k+ 1) dérivée de la liste des suffixes triés dez.

3 Les suffixes y[j . . n−1], pour j de la forme3k+ 2, sont tri´es en utilisant la tables.

4 L’étape finale consiste à fusionner les listes obtenues aux étapes 2 et 3.

(7)

D´ etails des ´ etapes

Etape 1´

Peut être exécutée en temps linéaire en utilisant un radix sort

Etape 3´

Puisque l’ordre des suffixes y[j+ 1. . n−1]est connue pars, l’étape 3 peut être réalisée en temps linéaire en utilisant un radix sort sur les couples (y[j], s[j+ 1]).

(8)

D´ etails des ´ etapes

Etape 4´

Comparer les suffixes aux positions i(i= 3k oui= 3k+ 1pour la premi`ere liste) etj (j= 3k+ 2pour la seconde liste) revient `a comparer des couples de la forme (y[i], s[i+ 1]) et (y[j], s[j+ 1]) si i= 3k ou de la forme(y[i]y[i+ 1], s[i+ 2]) et (y[j]y[j+ 1], s[j+ 2]) si i= 3k+ 1.

La fusion peut donc être réalisée en temps linéaire.

(9)

Exemple

Le mot

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y[i] a a t a a t a a t t a $

Les 2 ensembles de positions

P₀₁={0,1,3,4,6,7,9,10} P₂ ={2,5,8,11}

Etape 1´

imod3 = 0 imod 3 = 1

i 0 3 6 9 1 4 7 10

prem₃(y[i . . n−1]) aat aat aat ta$ ata ata att a$

t[i] 1 1 1 4 2 2 3 0

(10)

Exemple

Etape 2´

z= 1 1 1 4 2 2 3 0 L₀₁= (10,0,3,6,1,4,7,9)

i 0 3 6 9 1 4 7 10

s[i] 1 2 3 7 4 5 6 0

(11)

Exemple

Etape 3´

imod 3 = 2

i 2 5 8 11

(y[i], s[i+ 1]) (t,2) (t,3) (t,7) ($,−1) L2 = (11,2,5,8)

(12)

Exemple

Etape 4´

imod3 = 0or 1 imod3 = 2

i 10 0 3 6 1 4 7 9 11 2 5 8

(y[i]y[i+ 1], s[i+ 2])(a,−1) (at,2)(at,3)(at,7) ($,−1)(ta,5)(ta,6)(tt,0) (y[i], s[i+ 1]) (a,4)(a,5)(a,6) (t,0)($,−1)(t,2) (t,3) (t,7)

La table des suffixes

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

SA[i] 11 10 0 3 6 1 4 7 9 2 5 8

(13)

Pseudo-code

Tri-des-suffixes(y, n)

1 sin≤3alors

2 retournerpermutation des suffixes tri´es dey

3 sinonP01← {i: 0≤i < net(imod3 = 0ouimod3 = 1)}

4 sinmod3 = 0alors

5 P01←P01∪ {n}

6 t←table des rangs des positionsideP01selonprem₃(y[i . . n−1])

7 z←t[0]t[3]· · ·t[3k]· · ·t[1]t[4]· · ·t[3k+ 1]· · ·

8 q←Tri-des-suffixes(z,b2n/3c+ 1)

9 L01←(3q[j]si0≤q[j]≤ bn/3c+ 1,3q[j] + 1sinon avecj= 0,1, . . . ,|z| −1)

10 s←table des rangs des positions deL01

11 (s[n], s[n+ 1])←(−1,−1)

12 L2←liste des positionsj= 3k+ 2,3k+ 2< n tri´ees selon(y[j], s[j+ 1])

13 L←fusion deL01etL2 en utilisantComp

14 SA←permutation des positions surycorrespondant `aL

(14)

Pseudo-code

Comp(i, j)

1 si imod3 = 0 alors

2 si(y[i], s[i+ 1])<(y[j], s[j+ 1]) alors 3 retourner −1

4 sinon retourner1

5 sinon si (y[i . . i+ 1], s[i+ 2])<(y[j . . j+ 1], s[j+ 2]) alors 6 retourner −1

7 sinon retourner1

(15)

Complexit´ e

Proposition 1

Le temps d’exécution de l’algorithme Tri-des-suffixesappliqué à un mot de longueur nest O(n).

D´emonstration.

La récursivité de l’algorithme (ligne 9) donne la relation de récurrence T(n) =T(2n/3) +O(n)avec T(n) =O(1)pour n≤3puisque les autres lignes s’exécutent en temps constant ou en tempsO(n).

Cette r´ecurrence a pour solution T(n) =O(n).

(16)

Plan

1 Introduction

3 Table des LCP

5 Bibliographie

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Lemma 2

Soienti,j,i⁰ des positions sury pour lesquelsj=SA[i]etj−1 =SA[i⁰].

Alors LCP[i⁰]−1≤LCP[i].

(18)

Exemple

(19)

D´emonstration.

Soit ule plus long préfixe commun ày[j−1. . n−1]et à son prédécesseur dans l’ordre lexicographique y[k−1. . n−1]. Par définition :LCP[i⁰] =|u|.

Si u est le mot vide le r´esultat est vrai carLCP[i]≥0.

Sinon,u peut s’´ecrirecv avecc=y[j−1]etv ∈A^∗.

Le moty[j−1. . n−1] admet alors le préfixecvbpour une lettre b, et son prédécesseur admet pour préfixecva pour une lettre atelle quea < b sauf s’il est égal àcv.

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D´emonstration.

Donc, v est un pr´efixe commun `ay[j . . n−1]et y[k . . n−1].

De plus, y[k . . n−1], qui commence parva ou est égal à v, est inférieur à y[j . . n−1]qui commence par vb.

Donc LCP[i]qui est la longueur maximale des pr´efixes communs `a

y[j . . n−1]et à son prédécesseur dans l’ordre lexicographique ne peut pas ˆ

etre plus petit que|u|.

Nous avons donc LCP[i]≥ |u|=LCP[i⁰]−1.

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Algorithm

Def-LCP(y, n,SA)

1 pouri←0`an−1faire 2 ISA[SA[i]]←i 3 `←0

4 pourj←0`an−1faire 5 `←max{0, `−1}

6 i←ISA[j]

7 sii6= 0alors 8 j⁰←SA[i−1]

9 tantquej+` < netj⁰+` < net y[j+`] =y[j⁰+`]faire 10 `←`+ 1

11 sinon`←0 12 LCP[i]←` 13 LCP[n]←0 14 retournerLCP

(22)

Exemple

(23)

Plan

1 Introduction

3 Table des LCP

5 Bibliographie

(24)

Recherche dichotomique

La recherche d’un motx de longueurm dans y en utilisant le tableau des suffixes de y peut être réalisée par une simple recherche dichotomique.

L’algorithme Binary-Search(y, n,SA, x, m) suivant retourne : (−1,0)six < y[SA[0]. . n−1];

(n−1, n)si x > y[SA[n−1]. . n−1]; isi x est un pr´efixe de x[SA[i]. . n−1];

(i, i+ 1)si y[SA[i]. . n−1]< x < y[SA[i+ 1]. . n−1].

(25)

D´ etails des ´ etapes

Binary-Search(y, n,SA, x, m) 1 `← −1

2 r ←n

3 tantque`+ 1< r faire 4 i← b(`+r)/2c

5 k← |lcp(x, y[SA[i]. . n−1])|

6 sik=m alors 7 retourner i

8 sinon six≤y[SA[i]. . n−1]alors

9 r ←i

10 sinon `←i 11 retourner (`, r)

(26)

Complexit´ e de la recherche dichotomique

La complexit´e temporelle de l’algorithme Binary-Search(y, n,SA, x, m) est O(m×logn).

(27)

Analyse de la recherche dichotomique

Le nombre de couples(`, r)consid´er´es par l’algorithme

Binary-Search(y, n,SA, x, m) est born´e par2n+ 1: il y a n+ 1 couples de la forme (i, i+ 1)qui constituent les feuilles d’un arbre binaire donc il y au plus nnœuds internes.

(28)

Arbre de la recherche dichotomique

(29)

Extension du tableau LCP

Il est donc possible d’´etendre le tableauLCP comme suit :

LCP[n+ 1 +i] = lcp(SA[`]. . n−1], y[SA[r]. . n−1]) o`u i=b(`+r)/2c.

La longueur du plus long préfixe commun entrey[SA[`]. . n−1]et y[SA[r]. . n−1]quand` < r−1est égale à la valeur minimum parmi les LCP[i]où ` < i≤r.

Alors ces valeurs peuvent être calculées par un appel à l’algorithme Def-LCP(y,0, n−1,LCP).

(30)

Extension du tableau LCP

Def-LCP(y, `, r,LCP) . ` < r

1 si`+ 1 =r alors 2 retourner LCP[r]

3 sinon i← b(`+r)/2c

4 LCP[n+ 1 +i]←min{Def-LCP(y, `, i,LCP) Def-LCP(y, i, r,LCP)}

5 retourner LCP[n+ 1 +i]

(31)

Recherche

Soient 3 entiers`, r, i tels que0≤` < i < r < n.

Si y[SA[`]. . n−1]< x < y[SA[r]. . n−1]soient

ld=|lcp(x, y[SA[`]. . n−1])|etlf=|lcp(x, y[SA[r]. . n−1])|satisfaisant ld≤lf.

Alors on a :

|lcp(y[SA[i]. . n−1], y[SA[r]. . n−1])|<lf

implique

y[SA[i]. . n−1]< x < y[SA[r]. . n−1]

et

|lcp(y[SA[i]. . n−1], y[SA[r]. . n−1])|>lf implique

y[SA[`]. . n−1]< x < y[SA[i]. . n−1].

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Algorithme

Search(y, n,SA,LCP, x, m)

1 (`,ld)←(−1,0)

2 (r,lf)←(n,0)

3 tantque`+ 1< rfaire

4 i← b(`+r)/2c

5 g←Lcp(`, i)

6 h←Lcp(i, r)

7 sild≤handh <lfalors

8 (`,ld)←(i, h)

9 sinon sild≤lfandlf< halors

10 r←i

11 sinon silf≤gandg <ldalors

12 (r,lf)←(i, g)

13 sinon silf≤ldandld< galors

14 `←i

15 sinonk←max{ld,lf}

16 k←k+|lcp(x[k . . m−1], y[SA[i] + [k . . n−1])|

17 sik=malors

18 retourneri

19 sinon six < y[SA[i]. . n−1]alors

20 (r,lf)←(i, k)

21 sinon(`,ld)←(i, k)

22 retourner(`, r)

(33)

Lcp

Lcp(i, j) =

(LCP[j] si j=i+ 1 LCP[n+ 1 +b(i+j)/2c] sinon.

(34)

Complexit´ e

La recherche peut ˆetre faite en temps O(m+ logn) avec l’algorithme Search(y, n,SA,LCP, x, m)

(35)

Plan

1 Introduction

3 Table des LCP

5 Bibliographie

(36)

Bibliographie

J. K¨arkk¨ainen and P. Sanders.

Simple linear work suffix array construction.

InProceedings of the 30th International Colloquium on Automata, Languages and Programming, number 2719 in Lecture Notes in Computer Science, pages 943–955, Eindhoven, The Netherlands, 2003. Springer-Verlag, Berlin.

T. Kasai, G. Lee, H. Arimura, S. Arikawa, and K. Park.

Linear-time longest-common-prefix computation in suffix arrays ans its application.

In A. Amir and G. M. Landau, editors,Proceedings of the 12th Annual Symposium on Combinatorial Pattern Matching, number 2089 in Lecture Notes in Computer Science, pages 169–180, Jerusalem, Israel, 2001. Springer-Verlag, Berlin.

D. K. Kim, J. S. Sim, H. Park, and K. Park.

Linear-time construction of suffix arrays.

In Ricardo A. Baeza-Yates, Edgar Ch´avez, and Maxime Crochemore, editors,Proceedings of the 14th Annual Symposium on Combinatorial Pattern Matching, volume 2676 ofLecture Notes in Computer Science, pages 186–199, Morelia, Michoc´an, Mexico, 2003. Springer-Verlag, Berlin.

P. Ko and S. Aluru.

Space efficient linear time construction of suffix arrays.

In Ricardo A. Baeza-Yates, Edgar Ch´avez, and Maxime Crochemore, editors,Proceedings of the 14th Annual Symposium on Combinatorial Pattern Matching, volume 2676 ofLecture Notes in Computer Science, pages 200–210, Morelia, Michoc´an, Mexico, 2003. Springer-Verlag, Berlin.

U. Manber and G. Myers.

Suffix arrays : a new method for on-line string searches.

SIAM J. Comput., 22(5) :935–948, 1993.