AIV1 Analyse d Images et Vision 1 Semaine 5: attributs de forme

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AIV1 – Analyse d’Images et Vision 1 Semaine 5: attributs de forme

François Cabestaing

Unité AIV1:https://huit.re/ueaiv1

Supports:https://www.fil.univ- lille1.fr/~cabestaing/aiv1/

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Indices de forme Moments d’une forme Attributs déduits du contour Bibliographie

Exemple de reconnaissance de formes

image initiale contenu

image segmentée composantes connexes

1 grand disque 1 carré 1 petit disque reconnaissance de formes

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plan du cours

1 Indices de forme

2 Moments d’une forme

moments cartésiens d’une forme

moments centrés : invariance en translation

moments normalisés : invariance au changement d’échelle moments invariants en rotation

moments invariants de Hu

3 Attributs déduits du contour

signature d’une forme à partir de son contour signature en fonction de l’abscisse curviligne descripteurs de Fourier

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Indices de formes (1/2)

Définition

Un indice de forme est une fonctionI(F)àvaleur réelle(sans dimension) définie sur l’espace desformes connexes(homéomorphes à un disque) etinvariantepar translation,

changement d’échelle et rotation^a

a. L. Santalo, « Integral Geometry and Geometric Probability », Addison Wesley, 1976.

Propriétés

Deux formesF₁etF₂peuvent avoir plusieurs indices de forme égauxsans pour autant être identiques.

S’il existe un indice de formeI(·)tel queI(F₁)6=I(F₂), alorsF₁etF₂sontdifférentes.

Origine et calcul

Les indices de forme sont souvent déterminés à partir d’inégalitésreliant plusieurs paramètresgéométriquespouvant être calculés sur la forme.

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Indices de formes (2/2)

Exemple

On part de l’inégalitéP²−4πS≥π²(ρe−ρi)²vérifiée par n’importe quelle forme connexe pour construire l’indice appelédéficit isopérimétriquecalculé par

I(F) = 4πS

P² ∈ ]0,1]

F

P S

ρ_e ρ_i

Autres exemples

écart disque inscrit déficit allongement des rayons

π^ρ

2 i

s ∈]0,1] 1−π^(ρ^e^−ρ_P2ⁱ⁾² ∈ [1−π²/16,1] _ρ^ρ_eⁱ ∈ [0,1]

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moments cartésiens d’une forme

Moments cartésiens d’une forme

Moment cartésien d’ordre 0

M₀₀=X

x

X

y

I(x,y),

dans laquelleI(x,y)désigne leniveau de grisd’un pixel de l’image.

Si l’image estbinaire, le moment d’ordre 0 d’une forme est sasurface.

Moments cartésiens d’ordre supérieur Mpq=X

x

X

y

x^py^qI(x,y),

dans laquellepetqsont desentiers positifs.

Certainescombinaisonsparticulières de moments cartésiens constituent de bons attributs pour la reconnaissance de formes. Par exemple, lebarycentreest donné par

(x,y) = (M₁₀/M₀₀,M₀₁/M₀₀).

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moments normalisés : invariance au changement d’échelle

Moments centrés et normalisés

Moments centrés

objectif : rendre les moments indépendants de lapositionde la forme dans l’image. Les moments centrés sont des attributsinvariantsentranslation.

µpq=X

x

X

y

(x−x)^p(y−y)^qI(x,y).

Les moments centrés d’ordre supérieur à 0 portent uneunitéet dépendent donc des dimensionsde l’image.

Moment centrés normalisés

Pour rendre les moments centrés indépendants de l’échelle de l’image, on définit les momentsnormalisés

ηpq= µpq

µ^1+(p+q)/2₀₀

Les moments normalisés sont des attributs de forme invariants à unchangement d’échelle(homothétie).

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moments invariants en rotation

Invariance à une rotation (1/2)

Moments d’ordre 2, inertie

Analogie avec laphysique: un objet est caractérisé par sontenseur d’inertie(ici en 2 dimensions au lieu de 3)

I=

µ₂₀ µ₁₁ µ11 µ02

défini par rapport à son barycentre, oucentre d’inertie pour un objet physique.

Le tenseur d’inertie indique comment la masse de l’objet estrépartie dans l’espacepar rapport aux différentsaxes de rotation.

Axes principaux d’inertie

?

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Invariance à une rotation (2/2)

Changement de repère

Le tenseur d’inertie est unematrice symétrique, donc on peut déterminer un repère dans lequel elle devientdiagonale.

I⁰= Ix 0

0 Iy

=P⁻¹·I·P oùPest la matrice dechangement de repère.

IxetIysont lesmoments principaux d’inertie, qui sont des attributs de formeinvariants en rotation.

Diagonalisation deI

On calcule lesvaleurs propreset lesvecteurs propresde la matrice d’inertieI.

les valeurs propres sont le moments principaux d’inertie ; les vecteurs propres définissent les axes principaux d’inertie.

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Exemple de diagonalisation

matrice d’inertie : I=

77 70 70 77

, valeurs propres : Ix =7, Iy=147,

vecteurs propres : −→ ux =

−√

√2/2 2/2

, −→

uy= √

√2/2 2/2

.

La matrice de changement de repère est donnée enconcaténantles vecteurs propres

P= −√

2/2 √

√ 2/2

2/2 √

2/2

,

et la nouvelle matrice d’inertie dans cenouveau repèreest

I⁰=

7 0 0 147

=P⁻¹·

77 70 70 77

·P.

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Moments invariants

Ce sont des attributs d’une forme qui sontinvariantsaux translations, aux changements d’échelle et aux rotations.

Dans un article publié en 1962,Hua proposé toute une série de moments invariants^a

Φ₁ = η₂₀+η₀₂

Φ2 = (η20−η02)²+ (2η11)² Φ₃ = (η₃₀−3η12)²+ (η₀₃−3η21)² Φ4 = (η30+η12)²+ (η03+η21)²

Φ₅ = (η₃₀−3η12)(η₃₀+η₁₂)[(η₃₀+η₁₂)²−3(η03+η₂₁)²] + (η03−3η21)(η03+η21)[(η03+η31)²−3(η30+η12)²] Il existe également des moments de Hu qui sont invariants à uneinclinaison.

a. M. K. Hu, « Visual Pattern Recognition by Moment Invariants », IRE Trans. Info. Theory, vol. IT-8, pp.179–187, 1962

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Moments non cartésiens

Moments cartésiens

Les moments sont unedécompositionde l’imageI(x,y)sur labase des polynômes

bp(x) =x^p, bq(y) =y^q.

Ces polynômes ne sont pasorthogonaux, donc la décomposition obtenue n’est pas une représentation compacte de l’image.

Moments orthogonaux

Ils sont définis par une expression similaire, mais oùbp(x)etbq(y)sont unebase orthogonale

Mpq=X

x

X

y

bp(x)bq(y)I(x,y),

Les moments les plus utilisés sont ceux deLegendre(polynômes de Legendre) et de Zernicke(polynômes d’une variable complexe).

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signature d’une forme à partir de son contour

Signature d’un contour (1/2)

Principe

Oncodele contour (courbe délimitant la forme) en utilisant les localisations de ses points repérées par leurs coordonnées polaires.

L’origine du repère des coordonnées polaires est le barycentrede la forme.

La signature est ladistanceρentre le point du contour et le barycentre en fonction de l’angleθ.

ρ(θ) θ

Propriétés

La signature est une fonctionpériodique, invariante entranslation.

Unerotationde la forme entraîne undéphasagede sa signature.

Unchangement d’échellede la forme entraîne lemême changement d’échellede sa signature.

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signature en fonction de l’abscisse curviligne

Signature d’un contour (2/2)

Signature en fonction de l’abscisse curviligne

Pour une formenon convexe, il peut y avoirplusieurs distances pour un même angle.

On utilise alors l’abscisse curvilignesplutôt que l’angleθ pour repérer un point sur le contour.

On peut utiliser une abscisse curvilignenormaliséepar le périmètreP:θ⁰= ^2πs_P qui varie également entre 0 et 2π.

ρ(θ) ? θ ρ(s)

Signature angulaire

Plutôt que de considérer ladistanceρ(θ⁰)entre le barycentre et le point du contour, on peut également considérer l’angleφ(θ⁰)de latangenteen ce point, auquel on soustrait l’angle de la tangente aupoint d’origineφ(0)et l’abscisse curviligne normaliséeθ⁰

On obtient lasignature angulaire Φ(θ⁰) =φ(θ⁰)−φ(0)−θ⁰.

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descripteurs de Fourier

Descripteurs de Fourier (1/3)

Objectif

La signature angulaireΦ(θ⁰)est une fonctionpériodique, on peut donc calculer sa décomposition ensérie de Fourier

Φ(θ⁰) =

∞

X

k=0

ak·e^−ikθ⁰.

Les modules|ak|des coefficients de cette série sont appelésdescripteurs de Fourierde la forme.

Propriétés

Les descripteurs de Fourier sont invariants partranslationetrotation.

Ils permettent uncodage compactde la signature angulaire.

Pourcomparerdeux formes, on peut comparer leurs descripteurs de Fourier en choisissant leniveau de détail(valeur maximale dek).

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Descripteurs de Fourier (2/3)

Version avec des nombres complexes

Un point de l’image est codé par unnombre complexez=x+i·yet le contour de la forme est défini par unesérie finiede points

zn=xn+i·yn, n∈0. . .N−1.

Les descripteurs de Fourier complexes de la forme sont lesNcoefficients de la transformée de Fourierdiscrètede cette série de points

Z_k= 1 N

N−1

X

n=0

z_k·e^−2πi^nk^N .

Propriétés

Z₀est lebarycentrede la forme (en coordonnées complexes).

Si tous les autres descripteurs sont nuls saufZ₁, la forme est uncercle.

Les descripteurs d’ordre élevé définissent lesdétailsde la forme.

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Descripteurs de Fourier (3/3)

Reconstruction avec des nombres variables de descripteurs

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Pour approfondir

1 Duda, Hart, Stork, « Pattern Classification », 2^eédition, Wiley-Interscience, 2001, isbn : 978-0471056690.

2 Statistical moments, Jamie Shutler (CVonline : Robert B. Fisher), disponible en ligne http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/SHUTLER3/

CVonline_moments.html

3 Cours de Florence Tupin, DEA IARFA - Techniques du traitement d’images : Description de contours et de formes, disponible en ligne

https://perso.telecom-paristech.fr/bloch/P6Image/FT_Formes.pdf