Une construction de <span class="mathjax-formula">$\mathbf {B}_{\rm dR}^+$</span>

Une construction de B

PIERRECOLMEZ(*)

REÂSUMEÂ- NousdeÂmontronsque lesnombresalgeÂbriques sont denses dansB^‡_dRet deÂcrivonsla topologie induite par celle de B^‡_dR en termesde diffeÂrentielles successives.

ABSTRACT- We prove that algebraic numbersare dense inB^‡_dRand describe the topology induced by that ofB^‡_dRin termsof higher differentials.

Soit K un corpslocal de caracteÂristique 0 et caracteÂristique reÂ- siduellep. Fontaine a construit [4, 5] un anneau B^‡_dR qui contient les peÂriodesp-adiquesdesvarieÂteÂsalgeÂbriquesdeÂfiniessurK. Nous mon- tronsqueB^‡_dRest le compleÂte deKpour une topologie que nousdeÂcrivons de manieÁre intrinseÁque (th. 3.1). Cette topologie fait intervenir des normessous-multiplicativesmaispasmultiplicativessur K ; peut-eÃtre serait-il possible d'eÂtendre la theÂorie de Berkovich pour inclure de telles normes.

NouscommencËonspar donner une formule permettant d'eÂcrire ex- plicitement un eÂleÂment deK comme eÂleÂment deB^‡_dR. Cette formule n'est passtrictement neÂcessaire pour deÂmontrer la densite deKdansB^‡_dRmais est assez utile pour visualiser la topologie induite surK par celle deB^‡_dR. Le § 1, qui ne preÂtend aÁ aucune originaliteÂ, renferme quelqueslemmessur lesalgeÁbreslocalescompleÁtes. Le § 2 est consacre aÁ la formule permettant de visualiser K comme un sous-anneau de B^‡_dR. Le § 3 contient la deÂ- monstration de la densite deKdansB^‡_dRet de ses conseÂquences. Enfin, le

§ 4 eÂtend lesreÂsultats au cas relatif ouÁ l'on part d'une algeÁbre de Banach (par exemple l'algeÁbre de TateQ_pfT₁;. . .;T_dg) au lieu d'un corpslocal.

(*) Indirizzo dell'A.: CNRS, Institut de matheÂmatiques de Jussieu, Universite Pierre et Marie Curie, 4 place Jussieu, 75005 Paris, France

E-mail: [email protected]

Lestroispremiers§ correspondent, aÁ desmodificationsmineurespreÁs, aÁ l'article qui aurait duùparaõÃtre en appendice aÁ [5], si des fichiers n'avaient paseÂte intervertis. La publication de la preÂsente version correspond aÁ un regain d'inteÂreÃt [1, 3, 7] pour le sujet ; c'est avec grand plaisir que je la deÂdie aÁ Francesco Baldassarri.

1. PreÂliminaires

Ce paragraphe contient quelques lemmes probablement standard sur lesalgeÁbreslocaleset compleÁtesen caracteÂristique 0.

1.1 ±Extensions de corps locaux

SoitF un corpscommutatif de caracteÂristique 0. SoientP2F[X] un polynoÃme irreÂductible, F[X]P le compleÂte du localise de F[X] en l'ideÂal engendre parPetLˆF[X]=Ple corpsreÂsiduel de cet anneau de valua- tion discreÁte complet ; on note u:F[X]_P!L la reÂduction moduloP.

CommePest une uniformisante deF[X]_P, il existe une unique deÂrivation continueDdeF[X]_P,F-lineÂaire et veÂrifiantD(P)ˆ1, aÁ savoir la deÂriva- tionDˆ 1

P⁰(X) d dX.

LEMME1.1. KerD est un corps etuinduit un isomorphisme deKerD sur L.

DEÂMONSTRATION. Lesformules

D(Q‡R)ˆD(Q)‡D(R) et D(QR)ˆQD(R)‡RD(Q)

montrent que KerDest un anneau. Montrons que tout eÂleÂment non-nul de KerDa un invers e dans KerD; pour cela commencËonspar montrer que siH6ˆ0 n'est pas inversible dansF[X]_P, alorsD(H)6ˆ0. EÂcrivonsH sous la forme PⁿH1, ouÁ n1 et H1 est inversible dans F[X]_P (ce qui eÂquivaut aÁ u(H1)6ˆ0). Alors D(H)ˆP^{n 1}(nH1‡PD(H1)) et donc D(H)6ˆ0 puisque u(nH₁‡PD(H₁))ˆnu(H₁)6ˆ0. Enfin, si H est un

(¹) La version publieÂe contient un trou dont j'ai prisconscience en preÂparant un expose aÁ Harvard en 1993 : la deÂmonstration du cor. 6 laisse aÁ deÂsirer...

eÂleÂment non-nul de KerD et Gest son inverse dans F[X]P, la formule 0ˆD(HG)ˆHD(G)‡GD(H)ˆHD(G) montre queG2KerD.

Il nousreste aÁ veÂrifier que u:KerD!L est surjectif (car, eÂtant un morphisme de corps, il est automatiquement injectif). Soit doncy2LetQ n'importe quel eÂleÂment deF[X]_Ptel queu(Q)ˆy; la s eÂrie^‡1P

kˆ0

( P)^k k! D^k(Q) converge dansF[X]_Pversun eÂleÂmentSveÂrifiantu(S)ˆu(D⁰(Q))ˆyet

D(S)ˆX^‡1

kˆ0

( P)^k

k! D^k‡1(Q) X^‡1

kˆ1

( P)^{k 1}

(k 1)! D^k(Q)ˆ0;

ce qui permet de conclure.

1.2 ±ReleÁvement d'eÂleÂments algeÂbriques

On notes_L:L!KerDF[X]_Pl'isomorphisme inverse deu.

Tout eÂleÂment deF[X]_Ppeut s'eÂcrire de manieÁre unique^‡1P

kˆ0QkP^k avec Q_k2F[X] et deg(Q_k)5deg(P). Une telle eÂcriture est dite minimale. Si y2L, on note^‡1P

kˆ0d^k_P(y)P^kl'eÂcriture minimale desL(y).

REMARQUE 1.2. On peut calculer d^k_P(y) en utilisant l'algorithme sui- vant: il existe une unique suite de couples de polynoÃmes(Q_k;R_k) veÂrifiant

(i) deg(R_k)5deg(P⁰) et deg(Q_k)5deg(P), (ii) Q₀ y2P F[X]_P etR₀ˆ0,

(iii) Q⁰_k‡R_k‡(k‡1)P⁰Q_k‡1ˆPR_k‡1. On a alors

P⁰D X^‡1

kˆ0

QkP^k

ˆX^‡1

kˆ0

(Q⁰_kP^k‡kQkP⁰P^{k 1})ˆX^‡1

kˆ0

P^kQ⁰_k‡X^‡1

kˆ0

(k‡1)Qk‡1P⁰P^k

ˆX^‡1

kˆ0

P^k(PRk‡1 Rk)ˆ0

et doncd^k_P(y)ˆQkpour toutk2N.

LEMME 1.3. Soient F un corps de caracteÂristique0, B une F-algeÁbre locale d'ideÂal maximal I de corps reÂsiduel C etu_Ble morphisme naturel de

Une construction deB_dR 111

B sur C. On suppose B seÂpareÂe et compleÁte pour la topologie I-adique (i.e.

Bˆlim_nB=Iⁿ). Soient F la cloÃture inteÂgrale de F dans C et Fsepla cloÃture seÂparable de F dans B ; alorsu_Binduit un isomorphisme de Fsepsur F.

DEÂMONSTRATION. CommencËonspar prouver queu_Best surjectif. Soi- entLFune extension finie deFetp2Ltel queLˆF[p]. SoitP2F[X]

le polynoÃme minimal dep. Si~pest n'importe quel eÂleÂment deBveÂrifiant uB(~p)ˆp, on aP(~p)2Iet l'applicationf~p :F[X]!BdeÂfinie parf~p(X)ˆ~p se prolonge donc par continuite en un morphisme que nous noterons encore f_~pdeF[X]_PdansB. De plus,u_Bf_~p ˆu; on en deÂduit ques_~pˆf_~ps_Lest un isomorphisme deLsur une sous-algeÁbre deF_sepqui est tel queu_Bs_~pest l'identite deL. Il s'ensuit queuB(Fsep) contient toute extension finie deF contenue dansF, et donc contientF; d'ouÁ la surjectiviteÂ.

Passons maintenant aÁ l'injectiviteÂ. Soity2B, s eÂparable surFet veÂri- fiantu(y)ˆ0. SoitP2F[X] un polynoÃme seÂparable admettantycomme racine. AlorsPadmet 0 comme racine simple dansCet peut donc s'eÂcrire sous la forme XQ ouÁ Q(0)6ˆ0. MaisalorsuB(Q(y))6ˆ0 et donc Q(y) es t inversible dans B; comme 0ˆP(y)ˆyQ(y), on en deÂduit yˆ0, ce qui permet de conclure.

COROLLAIRE 1.4. Soient B₁ et B₂ deux F-algeÁbres locales ayant meÃme corps reÂsiduels C. On note ui le morphisme canonique de Bi sur CetIile noyau deui. On suppose que sii2 f1;2g, alorsBiest seÂpareÂe et compleÁte pour une topologie moins fine que la topologieIi-adique et que la cloÃture inteÂgraleF deF dansCqui peut eÃtre vue comme une sous-algeÁbre deB_ipar le lemme preÂceÂdent, est dense dansB_i. On suppose de plus que si (i; j)2 f(1;2);(2;1)g, il existe un morphismefi;j:Bi!Bjqui estF-lineÂ- aire, continu et tel queujfi;jˆui. Alors les morphismesf1;2etf2;1sont des isomorphismes inverses l'un de l'autre.

DEÂMONSTRATION. Le lemme preÂceÂdent implique que f_i;jf_j;i est l'identite surFdonc surBitout entier par continuiteÂ.

2. Kcomme sous-anneau deB^‡_dR 2.1 ±L'anneauB^‡_dR

Soientkun corpsparfait de caracteÂristiquep,FˆW(k)1 p

le corps local absolument non ramifie de corpsreÂsiduelk,Kune extension finie de

Ftotalement ramifieÂe,Kune cloÃture algeÂbrique deKetCle compleÂte deK pour la valuationp-adique. Soient$une uniformisante deKetv(resp.vp) la valuation deCnormaliseÂe parv($)ˆ1 (resp.vp(p)ˆ1). Six2C, on a v(x)ˆev_p(x) ouÁeˆ[K:F] est l'indice de ramification absolu deK. SiLest un sous-corps deC, on noteO_L l'anneau de ses entiers.

SoitEe^‡l'ensemble²dessuitesxˆ(x⁽⁰⁾;. . .;x⁽ⁿ⁾;. . .) d'eÂleÂmentsdeO_C veÂrifiant (x^(n‡1))^pˆx⁽ⁿ⁾ muni deslois‡ et deÂfiniespar x‡yˆs et xyˆt, ouÁ

s⁽ⁿ⁾ˆ lim

m!‡1(x^(n‡m)‡y^(n‡m))^pm et t⁽ⁿ⁾ˆx⁽ⁿ⁾y⁽ⁿ⁾:

AlorsEe^‡est un anneau de caracteÂristiquep, complet pour la valuationv_E deÂfinie parv_E(x)ˆv(x⁽⁰⁾), et qui contient une cloÃture algeÂbriquekdek.

SoitW(Ee^‡) l'anneau desvecteursde Witt aÁ coefficientsdansEe^‡ et, si x2Ee^‡, s oit [x] son repreÂsentant de TeichmuÈller dans W(Ee^‡). Soit A_infˆOKOFW(Ee^‡) le OK-eÂpaississement infiniteÂsimal p-adique uni- versel deO_C. Soitule morphisme deA_infdansO_Cqui aÁ^‡1P

nˆ0$ⁿ[x_n] associe P

‡1

nˆ0$ⁿx⁽⁰⁾_n . Alors u est surjectif et son noyau I‡ est un ideÂal principal.

Remarquonsque siK^nr deÂsigne l'extension maximale non-ramifieÂe deK contenue dans K, alors K_OF W(k)A_inf[$ ¹] est le compleÂte de K^nr pour la topologiep-adique ; en particulier,A_inf[$ ¹] contientK^nr.

Notonsencore u le morphisme de Ainf[$ ¹] dans C et soit B^‡_dR le compleÂte deA_inf[$ ¹] pour la topologie Keru-adique. On peut prolongeru par continuite aÁB^‡_dR et on noteIson noyau. AlorsB^‡_dR est un anneau de valuation discreÁte, complet, d'ideÂal maximalIet de corpsreÂsiduelC. No- tonsqueA_infs'identifie canoniquement aÁ un sous-anneau deB^‡_dRet que l'on a I\Ainf ˆI‡. De plus, si pour k;n2N, on pose Un;kˆ$ⁿAinf‡I^k‡1, alorslesUn;k forment une base de voisinages de 0 dansB^‡_dR.

2.2 ±EÂcriture minimale d'un eÂleÂment deB^‡_dR

D'apreÁsle lemme 1.3,K s'identifie aÁ la cloÃture seÂparable (ou inteÂgrale ce qui est ici la meÃme chose carB^‡_dRest inteÁgre) deK ouK^nr dansB^‡_dR; nousallonsutiliser lesreÂsultats du në 1.2, appliqueÂs aÁBˆB^‡_dRet aÁK^nrau lieu deF, pour rendre cette identification plusconcreÁte.

(²) NousrenvoyonsaÁ [5] pour les constructions qui suivent et les deÂmonstra- tionsdesreÂsultats.

Une construction deB_dR 113

Siuest un geÂneÂrateur deI‡, tout eÂleÂment deB^‡_dRpeut s'eÂcrire sous la forme ^‡1P

kˆ0a_ku^k, avec a_k 2A_inf[$ ¹]. Une telle eÂcriture est loin d'eÃtre unique, mais certaines sont meilleures que d'autres. Si x2B^‡_dR, s oit wk(x)ˆsupfm2Zjx2Um;kg; en particulier,w0(x) est la partie entieÁre dev(u(x)) etwk‡1(x)wk(x) pour toutk2N.

On appelleeÂcriture minimaledextoute seÂrie^‡1P

kˆ0a_ku^k dont la somme estxet telle quea_k2$^wk(x)A_inf.

REMARQUE2.1. Si^‡1P

kˆ0aku^kest une eÂcriture minimale dex, alorsl'image deu(a_k) dansC=$^wk1(x)O_C ne deÂpend que dexet de u et peut eÃtre vue comme lak-ieÁme deÂriveÂe dexpar rapport aÁu. En effet, si^‡1P

kˆ0b_ku^kest une autre eÂcriture minimale de x, alors P

ik 1(a_i b_i)uⁱ2$^{wk 1(x)}A_inf\I^kˆ u^k$^{wk 1(x)}Ainf ; on a donc (ak bk)u^k2u^k$^{wk 1(x)}Ainf‡I^k‡1 etu(ak bk)2

$^wk1(x)O_C.

On dit qu'un eÂleÂmenta de B^‡_dR est plat siw_k(a) ne deÂpend pasde k (i.e. si toutes ses « deÂriveÂes » sont nulles) ; on note alors w(a) la valeur commune deswk(a).

LEMME2.2. (i) a2B^‡_dRest plat si et seulement si aˆ0ou bienu(a)est non-nul et a2$^w(a)A_inf ouÁ w(a)est la partie entieÁre de v(u(a)).

(ii) Tout eÂleÂment x de C a un releÁvement plat dans B^‡_dR ; c'est-aÁ-dire qu'il existe~x2B^‡_dRplat et veÂrifiant u(~x)ˆx.

(iii) Si u est un geÂneÂrateur de I‡ et (a_k)_k2N est une suite d'eÂleÂments plats deB^‡_dR, alors^‡1P

kˆ0a_ku^k est une eÂcriture minimale de sa somme x et wk(x)ˆ inf

0ikw(ai).

(iv) Tout eÂleÂment deB^‡_dRa une eÂcriture minimale.

DEÂMONSTRATION. (i) Siaest plat etu(a)ˆ0, alorsw(a)ˆw₀(a)ˆ ‡1 etaest nul. Siaest plat etu(a)6ˆ0, alorsw(a)ˆw₀(a) es t eÂgal aÁ la partie entieÁre de v(u(a)) et donc a2 \^‡1_kˆ1U_w(a);kˆ$^w(a)A_inf ; la reÂciproque est immeÂdiate.

(ii) Soitx2C. Sixˆ0, on peut prendre~xˆ0. Six6ˆ0, soitnla partie entieÁre dev(x) eta2A_inf tel queu(a)ˆ$ ⁿx. Alors~xˆ$ⁿaest un re- leÁvement plat dex.

(iii) Soitwkˆ inf

0ikw(ai) etxˆ^‡1P

kˆ0aku^k. Il suffit de prouver que l'on a w_k(x)ˆw_k pour toutkcara_k2$^wkA_inf. Touslestermesde la seÂrie sont eÂleÂmentsde Uwk;k car aiuⁱ2$^wkAinf si ik, par deÂfinition de wk, et a_iuⁱ2I^k‡1siik‡1. On en tirex2U_wk;k etw_k(x)w_k. Pour montrer l'autre ineÂgaliteÂ, il nousfaut veÂrifier quexn'est pas eÂleÂment deU_wk‡1;k. Soit k₀le pluspetit entieritel quew(a_i)ˆw_k. Alorsa_iuⁱ2$^wk‡1A_inf U_wk‡1;k0 sii5k₀ eta_iuⁱ2I^k0‡1U_wk‡1;k0 sii>k₀, et commea_k0u^k02=U_wk‡1;k0 car ak02=Uwk‡1;0puisquew(ak0)ˆw0(ak0)ˆwk, on voit que touslestermesde la seÂrie sauf un sont dansU_wk‡1;k0, ce qui implique que la somme de la seÂrie n'est pasdansU_wk‡1;k0et comme cet ouvert contientU_wk‡1;k, cela termine la deÂ- monstration.

(iv) Soit x2B^‡_dR. DeÂfinissons par reÂcurrence deux suites (a_k) et (x_k) d'eÂleÂmentsde B^‡_dR en posant x0ˆx et xk‡1ˆu ¹(xk ak) ouÁ ak est n'importe quel releÁvement plat de u(xk). Un petit calcul montre que x u^k‡1x_k‡1ˆP^k

iˆ0a_iuⁱet donc que^‡1P

kˆ0a_ku^kest une eÂcriture minimale dex d'apreÁsle (iii).

2.3 ±EÂcriture minimale d'un eÂleÂment de K

Soient y2K; L6ˆK^nr une extension finie de K^nr contenant y,pune uniformisante de L,P le polynoÃme minimal dep sur K^nr et ^‡1P

kˆ0d^k_P(y)P^k l'eÂcriture minimale des(y) dansK^nr[X]_P.

LEMME2.3. Si~p2A_infest tel queu(~p)ˆp, alors P(~p)est un geÂneÂrateur de I‡.

DEÂMONSTRATION. Soitu2Ee^‡ tel queu⁽⁰⁾ˆp. On a~pˆ[u]‡a avec a2I‡et sieˆ[L:K^nr], alorsP([u])[u^e] mod$Ainf. CommevE(u^e)ˆ1 et P([u])2I‡, ceci implique [4, Prop. 2.4] que P([u]) est un geÂneÂrateur deI‡. On peut donc eÂcrire aˆbP([u]) avec b2A_inf et on a P(~p)ˆ P([u]) 1‡P⁰([u])b

modI_‡². Pour conclure, il suffit de remarquer que u 1‡P⁰([u])b

ˆ1‡P⁰(p)u(b) est une unite deO_C(carv(P⁰(p))>0 puisque Lest non triviale et totalement ramifieÂe), et donc 1‡P⁰([u])b2A_inf.

SiQ2K^nr[X], notonsv(Q) le minimum de la valuation descoefficients deQ. Sii2Neta_i2K^nr, alorsv(a_ipⁱ)ˆv(a_i)‡ i

deg(P). On en deÂduit que siQˆP

i a_iXⁱ est un polynoÃme aÁ coefficientsdansK^nr de degre stricte-

Une construction deB_dR 115

ment infeÂrieur aÁ celui deP, alorsv(Q) est aussi eÂgal aÁ la partie entieÁre de v(Q(p)).

PROPOSITION2.4. (i)^‡1P

kˆ0d^k_P(y)(~p)P(~p)^k est une eÂcriture minimale dey dansB^‡_dR.

(ii) w_k(y)ˆ inf

0ikv(dⁱ_P(y)) DEÂMONSTRATION. On a^‡1P

kˆ0d^k_P(y)(~p)P(~p)^kˆs_~p(y) danslesnotationsde la deÂmonstration du lemme 1.3 ; c'est donc une eÂcriture dey. Pour montrer qu'elle est minimale, il suffit de veÂrifier que si Q2K^nr[X] est tel que deg(Q)5deg(P), alors Q(~p) es t un eÂleÂment plat de B^‡_dR. On a Q(~p)2

$^v(Q)A_infet d'autre part, la condition deg(Q)5deg(P) fait quev(Q) est aussi la partie entieÁre dev(Q(p)). Il n'y a plusqu'aÁ utiliser le (i) du lemme 2.2 pour conclure. Le (ii) est une conseÂquence immeÂdiate de la minimalite de l'eÂcriture, de l'eÂgalite w(Q(~p))ˆv(Q) si deg(Q)5deg(P), et du (iii) du lemme 2.2.

3. Calcul diffeÂrentiel sur les nombres algeÂbriques

3.1 ±Densite de K dansB^‡_dR

DeÂfinissons par reÂcurrence une suite deÂcroissante de sous-anneaux O^(k)_K deO_Ket une suite deO_K-modulesde torsionV^(k)en posant :

O⁽⁰⁾_K ˆO_K, V^(k)ˆO_KV¹_O(k1)

K =OK, s ik1, (le produit tensoriel est au-dessus de O^(k_K ¹⁾) ;

O^(k)_K ˆKer d^(k):O^(k_K ¹⁾ !V^(k)

, ouÁd^(k)est la deÂrivation canonique³. Nousnousproposonsde deÂcrire cesobjetsen utilisant l'anneauB^‡_dR. Pour cela, posonsA^k_infˆA_inf=I^k‡1_‡ , s ik2N.

THEÂOREÁME3.1. (i)O^(k)_K ˆK\(A_inf‡I^k‡1)ˆ fx2K jw_k(x)0g:

(ii) L'inclusion deO^(k)_K dansA_inf‡I^k‡1 induit, par passage aux quo-

(³) Le moduleV^(k) est de torsion card^(k)(x) est tue parp^r, s irvp(P⁰(x)) ouÁ P2OK[X] admetxcomme racine simple.

tients, un isomorphisme O^(k)_K=pⁿO^(k)_K A^k_inf=pⁿA^k_inf, pour tout couple d'entiers(k;n).

(iii) K est dense dansB^‡_dRet B^‡_dRest le seÂpare compleÂte de K pour la topologie deÂfinie en prenant les pⁿO^(k)_K, avec n;k2N, pour base de voi- sinages de0.

(iv) S i k1, d^(k)est surjective etV^(k) s'identifie⁴aÁ I^k=(I^k_‡‡I^k‡1).

(v) De plus, si y2O^(k_K ¹⁾ est eÂcrit sous la forme minimale P

k d^k_P(y)(~p)P(~p)^k, alors d^(k)(y) est l'image dans I^k=(I^k_‡‡I^k‡1) de d^k_P(y)(~p)P(~p)^k.

REMARQUE3.2. (i) Une autre deÂmonstration des points (i), (ii) et (iv) pourkˆ1 peut se trouver dans [5, § 1.4].

(ii) Il est relativement facile, aÁ partir de la deÂfinition deO⁽¹⁾_K, de deÂcider s i un eÂleÂmentxdeO_Klui appartient ou non carO_Kest une limite inductive d'anneaux monogeÁnes. DeÂcider si x appartient aÁ O^(k)_K est beaucoup plus ardu si k2 carO^(k_K ¹⁾ n'est plus une limite inductive d'anneaux mono- geÁnes, mais le (i) du th. 3.1 fournit un criteÁre assez raisonnable permettant de le faire carw_k(x) est une quantite tout-aÁ-fait calculable en pratique.

(iii) En tant que module galoisien, on aI^k=(I^k_‡‡I^k‡1)'K=a^k(k) ouÁ le (k) deÂsigne la torsion par la puissancek-ieÁme du caracteÁre cyclotomique, et aest l'inverse de l'ideÂal (e1 1)d_K=F, ouÁe1 est une racine primitivep-ieÁme de l'unite etd_K=F est la diffeÂrente absolue deK. Cette identification s'ob- tient en prenantt^kcomme geÂneÂrateur deI^k(ouÁtˆlog[e] es t le 2ipp-adique de Fontaine, cf. l'identification entreV⁽¹⁾etK=a(1) de [5, § 1.4]).

3.2 ±Construction d'eÂleÂments deO^(k)_K

Soientx2O_K,P2O_K[X] admettantxcomme racine simple etr2N veÂrifiantrvp(P⁰(x)). Soitrkˆ(3^k 1)r

2 2N (et doncrk‡1ˆ3rk‡r). Si a2Netk2N, posonsrk(a)ˆinf (rk;vp(a)) etzk;aˆp^{rk rk(a)}x^a.

LEMME3.3. Pour tout k2Net tout a2N, on a z_k;a2O^(k)_K.

(⁴) Voir la deÂmonstration du lemme 3.4 pour cette identification.

Une construction deB_dR 117

DEÂMONSTRATION. Le reÂsultat est trivial pourkˆ0 ; supposons le vrai pourk. Utilisant la relation

p^rk‡rk(a)zk;aˆzk;1(p^{rk(a 1)}zk;a 1);

on deÂmontre, par reÂcurrence sura, la relation

p^rk‡rk(a)d^(k‡1)(z_k;a)ˆp^rkax^{a 1}d^(k‡1)(z_k;1); (1)

En effet,

p^rk‡rk(a)d^(k‡1)(z_k;a)ˆd^(k‡1)(p^{rk(a 1)}z_{k;a 1}z_k;1)

ˆp^{rk(a 1)}z_{k;a 1}d^(k‡1)(z_k;1)‡p^{rk(a 1)}z_k;1d^(k‡1)(z_{k;a 1})

ˆp^rkx^{a 1}d^(k‡1)(z_k;1)‡p^{rk‡rk(a 1)}xd^(k‡1)(z_{k;a 1})

ˆp^rkax^{a 1}d^(k‡1)(z_k;1) D'ouÁ, pour toutA2O_K[X] :

p^rkd^(k‡1)(p^rkA(x))ˆp^rkA⁰(x)d^(k‡1)(z_k;1):

En particulier, on obtient pourAˆP:

p^rkP⁰(x)d^(k‡1)(z_k;1)ˆ0ˆ)p^rk‡rd^(k‡1)(z_k;1)ˆ0;

et utilisant le fait querk(a)rk, on obtient, en multipliant (1) parp^r: 8a2N; p^2rk‡rd^(k‡1)(zk;a)ˆ0:

(2)

Il y a deux cas:

Si v_p(a)r_k, on az_k‡1;aˆp^2rk‡rz_k;a et donc z_k‡1;a2O^(k‡1)_K car (2) impliqued^(k‡1)(z_k‡1;a)ˆ0.

Sivp(a)>rk, eÂcrivonsaˆp^rkbet posonsykˆzk;p^rkˆx^prk. On obtient : d^(k‡1)(z_k‡1;a)ˆp^{rk‡1 rk‡1(a)}d^(k‡1)(y^b_k)ˆbp^{rk‡1 rk‡1(a)}y^b_k ¹d^(k‡1)(y_k)ˆ0;

car v_p(b)‡r_k‡1 r_k‡1(a)ˆv_p(a) r_k‡3r_k‡r inf (r_k‡1;v_p(a))2r_k‡r etp^2rk‡rd^(k‡1)(yk)ˆd^(k‡1)(zk‡1;p^rk)ˆ0.

Ceci permet de conclure.

3.3 ±Densite deO^(k)_K dansA_inf=I^k‡1_‡

Le lemme suivant permet de consideÂrerO^(k)_K comme un sous-anneau deA^k_inf.

LEMME3.4. On aO^(k)_K Ainf‡I^k‡1.

DEÂMONSTRATION. La deÂmonstration se fait par reÂcurrence sur k, le reÂsultat eÂtant eÂvident sikˆ0. Supposons donck1 etO^(k_K ¹⁾ A_inf‡I^k. Six2O^(k_K ¹⁾ soit~x2A_inf tel quex ~x2I^k. Notons@^(k)(x) l'image de x x~ dansle O_K-module I^k=(I^k_‡‡I^k‡1). Alors @^(k)(x) ne deÂpend pasdu choix de~xet@^(k)est une deÂrivation deO^(k_K ¹⁾aÁ valeursdansunO_K-module.

La proprieÂte universelle satisfaite par V^(k) implique qu'il existe un mor- phismei^(k) :V^(k)!I^k=(I_‡^k ‡I^k‡1), deO_K-modules, tel que@^(k)ˆi^(k)d^(k). On a doncO^(k)_K ˆKerd^(k)Ker@^(k)ˆK\(Ainf‡I^k‡1), ce qui permet de conclure.

REMARQUE 3.5. Si yˆ^‡1P

iˆ0dⁱ_P(y)(~p)P(~p)ⁱ2O^(k_K ¹⁾, alors @^(k)(y) es t l'image dans I^k=(I^k_‡‡I^k‡1) de d^k_P(y)(~p)P(~p)^k car on peut prendre x~ˆ^kP¹

iˆ0dⁱ_P(y)(~p)P(~p)ⁱ.

PROPOSITION3.6. Sik2N, alorsO^(k)_K est dense dansA^k_inf.

DEÂMONSTRATION. Si a2O_K, s oit Ee^‡_a ˆ fx2Ee^‡ jx⁽⁰⁾ˆag. Soient a2O_K,xˆ(x⁽ⁿ⁾)2Ee^‡_a etPle polynoÃme minimal deasurK^nr. Soientm un entier 1 et Sm(X)ˆX^pm‡$X. Soit xn;m2O_K veÂrifiant (xn;m)^pm‡

$xn;mˆx⁽ⁿ⁾. Le polynoÃmePn;m ˆP Sm(X)^pn

admetxn;m comme racine simple. On aP⁰_n;mˆpⁿS⁰_mS^pm^{n 1}P⁰ (Sm)^pn

et

vp(P⁰_n;m(xn;m))ˆn‡1=e‡(1 p ⁿ)vp(a)‡vp(P⁰(a))

est indeÂpendant dem; nousle noteronsun. Utilisant le lemme 3.3, on voit que si m(3^k 1)(un‡1)=2, alors yn;mˆ(xn;m)^pm 2O^(k)_K. On a de plus u(yn;m [x^pn])ˆ$xn;m et on peut donc eÂcrire yn;m sous la forme y_n;mˆa‡b$‡cumoduloI^k‡1, ouÁaˆ[x^{p n}],betcsont des eÂleÂmentsde A_infetuest un geÂneÂrateur deI_‡. EÂlevonscette eÂgalite aÁ la puissancepⁿ; utilisant l'ineÂgaliteÂ

v_p pⁿ! i₁!i₂!i₃!

n inf (v_p(i₁);v_p(i₂);v_p(i₃));

valable si i1;i2;i3 sont des eÂleÂmentsde N veÂrifiant i1‡i2‡i3 ˆpⁿ, on obtient que (yn;m)^pn [x] es t eÂleÂment de$<sup>en `(k)</sup>A<sub>inf</sub>‡I<sup>k‡1</sup>;ouÁ, s i`(K)ˆ sup_i1(v(i) i) et`<sup>0</sup>(k) est le plus grand entier`tel quep^`k, on a poseÂ

Une construction deB_dR 119

`(k)ˆsup (`(K);e`⁰(k)). Ceci implique que sif(n) est une suite d'entiers veÂrifiant lim

n!‡1f(n)=nˆ ‡ 1, alorsy_n;f(n) 2O^(k)_K pournassez grand et la suite (yn;f(n))^pntend vers[x] dansA^k_inf. On en deÂduit que l'adheÂrence deO^(k)_K dans A^k_inf contient la sous-O_K-algeÁbre deA^k_inf engendreÂe par les[x] pour x2Ee^‡_a et a2O_K, et comme celle-ci est dense dans A^k_inf (l'application x7![x] est continue et la reÂunion desEe^‡_a est dense dansEe^‡puisqueO_Kest dense dansO_C; cette adheÂrence contient donc tousles[x], pourx2Ee^‡, et donc touteslessommesdu typeP

i2N$ⁱ[x_i], et donc toutA^k_inf), cela deÂmontre le lemme.

3.4 ±DeÂmonstration du th.3.1

PosonsO^kˆK\(A_inf‡I^k‡1) ; on cherche aÁ prouver queO^k ˆO^(k)_K, et il reÂsulte du lemme 3.4 queO^(k)_K O_ket de la prop. 3.6 queO_kest dense dansA^k_inf. La preuve de l'eÂgaliteÂO^kˆO^(k)_K se fait par reÂcurrence surk; il n'y a rien aÁ deÂmontrer si kˆ0. Supposons donc que k1, que O^(k_K ¹⁾ ˆO^{k 1}ˆK\(A_inf‡I^k), et queA^k_inf¹=pⁿA^k_inf¹'O^(k_K ¹⁾=pⁿO^(k_K ¹⁾.

LEMME 3.7. Pour tout n2N, les anneaux O^(k)_K=pⁿO^(k)_K et O^k=pⁿO^k sont des O_K=pⁿO_K eÂpaississements infiniteÂsimaux d'ordre k de O_C=pⁿO_CˆO_K=pⁿO_K.

DEÂMONSTRATION. La deÂmonstration eÂtant la meÃme danslesdeux cas (remplacerd^(k) par@^(k) dansla deÂmonstration suivante), nous ne la ferons que pour O^(k)_K. La densite de O^(k)_K dans A^k_inf implique que l'application naturelle deO^(k)_K=pⁿO^(k)_K dansA^k_inf=pⁿA^k_infest surjective. Composant avec la surjection deA^k_inf=pⁿA^k_inf surOC=pⁿOC, on en deÂduit une surjectionude O^(k)_K=pⁿO^(k)_K surO_C=pⁿO_C.

Il reste aÁ veÂrifier que Keru est de puissance (k‡1)-ieÁme nulle. On peut eÂcrire u comme le compose de u₁:O^(k)_K=pⁿO^(k)_K !A^k_inf¹=pⁿA^k_inf¹' O^(k_K ¹⁾=pⁿO^(k_K ¹⁾ et deu2:O^(k_K ¹⁾=pⁿO^(k_K ¹⁾!O_C=pⁿO_C. On s ait deÂjaÁ que Keru₂ est de puissancek-ieÁme nulle [ et donc que (Keru)^k Keru₁ ], il suffit donc de montrer que si x2Keru et y2Keru₁, alors xyˆ0.

Choisissons des releÁvements~xet~ydexetydansO^(k)_K. Alors~x2O^(k)_K \pⁿO_K et~y2O^(k)_K \pⁿO^(k_K ¹⁾. Doncp ⁿ~y2O^(k_K ¹⁾ etd^(k)(~xp ⁿy)~ ˆ~xd^(k)(p ⁿ~y)ˆ0 car pⁿd^(k)(p ⁿy)~ ˆ0 et x~2pⁿO_K, ce qui implique p ⁿx~~y2O^(k)_K et donc xyˆ0.

LEMME3.8. A^k_inf=pⁿA^k_inf; O^(k)_K=pⁿO^(k)_K etO^k=pⁿO^ksont canoniquement isomorphes.

DEÂMONSTRATION. L'application naturelle de O^k=pⁿO^k dans A^k_inf=pⁿA^k_inf est injective par deÂfinition deO^k. La densite deO^k dansA^k_inf montre qu'elle est surjective ; c'est donc un isomorphisme.

Soit A^(k)ˆlim_nO^(k)_K=pⁿO^(k)_K. D'apreÁsle lemme 3.7, A^(k) est un OK- eÂpaississement d'ordrekdeO_Cet nousnoteronsu^(k)le morphisme cano- nique deA^(k) dansO_C. Il existe donc un unique morphisme continuf de A^k_inf dansA^(k) tel que l'on aitu^(k)f ˆu.

Notonsg l'application naturelle deA^(k) dans A^k_inf provenant de l'inclu- sion deO^(k)_K dansA^k_inf; on deÂduit de la densite deO^(k)_K dansA^k_infle fait queg est une surjection. Par ailleurs, commeO^(k)_K est sansp-torsion, il en est de meÃme deA^(k) qui s'identifie donc aÁ un sous-anneau deB^(k)ˆA^(k)[p ¹].

On peut prolonger par lineÂariteÂg(resp.u^(k), resp.f) en une application que nousnoteronsencoreg(resp.u^(k), resp.f) deB^(k)dansB^‡_dR=I^k‡1(resp.

deB^(k)dansC, resp. deB^‡_dR=I^k‡1dansB^(k)) et l'on a encoreu^(k)f ˆuet ugˆu^(k). De plusB^(k) (resp.B^‡_dR=I^k‡1) est uneK-algeÁbre locale d'ideÂal maximal Keru^(k) (resp.I) qui est nilpotent ; la cloÃture algeÂbriqueK deK dansCs'identifie donc canoniquement aÁ une sous-algeÁbre de cesdeux al- geÁbresen vertu du lemme 1.3. Maintenant, la densite deO^(k)_K dansA^(k)et A^k_inf implique celle deK dansB^‡_dR=I^k‡1 etB^(k). On est donc dans les con- ditionsd'application du corollaire 1.4, ce qui implique en particulier que g:B^(k) !B^‡_dR=I^k‡1 est injective, et donc que g:A^(k)!A^k_inf est un iso- morphisme puisqu'on a deÂjaÁ prouve sa surjectivite ; il en est donc de meÃme de l'application naturelle deO^(k)_K=pⁿO^(k)_K ˆA^(k)=pⁿA^(k) surA^k_inf=pⁿA^k_inf.

LEMME3.9. O^(k)_K ˆO^k

DEÂMONSTRATION. On a O^(k)_K O^k et O^(k)_K=pO^(k)_K 'O^k=pO^k. On en deÂduit, via le lemme du serpent, que la multiplication parpdansO^k=O^(k)_K est un isomorphisme, et comme ce module est dep¹-torsion, il est nul ; d'ouÁ le reÂsultat.

REMARQUE 3.10. Leslemmes3.8 et 3.9 permettent de terminer la deÂmonstration des points (i) et (ii) du th. 3.1. Le (iii) reÂsulte de la densite de KdansB^‡_dR=I^k‡1pour toutk(densite qui reÂsulte de celle deO^kdansA^k_inf), et du fait geÂneÂral que siBest un anneau topologique seÂpare et complet etA est un sous-anneau dense de B, alorsBest le compleÂte deApour la to-

Une construction deB_dR 121

pologie induite surApar celle deB. Il ne nousreste donc plusque les(iv) et (v) aÁ deÂmontrer.

LEMME3.11. @^(k)et d^(k)sont surjectives.

DEÂMONSTRATION. Soit v2I^k=(I^k_‡‡I^k‡1) et s oit ~x2I^k relevant v.

CommeKest dense dansB^‡_dR, il existex2K tel quex ~x2Ainf‡I^k‡1. Maisalorsx2O^(k_K ¹⁾ et on a@^(k)(x)ˆvpar deÂfinition; ce qui reÁgle le cas de@^(k).

Tout eÂleÂment de V^(k) peut s'eÂcrire comme une somme de termes de la forme ad^(k)x avec x2O^(k_K ¹⁾ et a2O_K. Comme V^(k) est de p¹-tor- sion, il existen2N tel que pⁿd^(k)xˆ0 et comme l'application naturelle de O^(k)_K=pⁿO^(k)_K dans O_K=pⁿO_K est surjective, on peut trouver b2O^(k)_K tel que a b2pⁿO_K. On a alors ad^(k)xˆbd^(k)xˆd^(k)(bx) ; d'ouÁ le reÂ- sultat.

On peut maintenant terminer la preuve du th. 3.1 (il ne reste que les (iv) et (v) aÁ prouver). Soit i^(k):V^(k)!I^k=(I^k_‡‡I^k‡1) le morphisme de O_K- modulesdeÂfini pari^(k)d^(k)ˆ@^(k). Alorsi^(k)est surjectif car@^(k)l'est eti^(k) est injectif card^(k)est surjectif et Ker@^(k)ˆO^kˆO^(k)_K ˆKerd^(k). On peut donc identifierV^(k) etI^k=(I_‡^k ‡I^k‡1) ainsi qued^(k)et@^(k) et on tire la for- mule pourd^(k)(y) donneÂe dansle (v) du th. 3.1 de la formule pour@^(k)de la rem. 3.5.

4. Le cas relatif

4.1 ±Extensions eÂtales d'algeÁbres de Banach

SoitFcomme au në 2.1. UneF-algeÁbre de BanachKest ditespectrale si la valuation deÂfinissant sa topologie (et pour laquelle elle est compleÁte) est lavaluation spectrale vspdonneÂe par la formulevsp(x)ˆ inf

s2SpmKvp(s(x)), ouÁ SpmKest l'ensemble des morphismes continus deK dansle compleÂte de la cloÃture algeÂbrique deF.

Dansce §, on se donne une F-algeÁbre K, que l'on suppose inteÁgre, inteÂgralement close, spectrale et noetheÂrienne : par exemple, l'algeÁbre de Tate KˆFfX1;. . .;X_dg. On note K la cloÃture inteÂgrale deK dansl'ex- tension maximale deK, contenue dansune cloÃture algeÂbrique de Fr(K), non ramifieÂe au-dessus de SpmK; alorsKest une limite inductive d'ex- tensions finies eÂtalesdeK. On munitKde la valuation spectrale et on note

Cle compleÂte deK. SiLest une sous-F-algeÁbre deC, on noteOLl'anneau de sesentierspour vsp (i.e. l'ensemble des x2L veÂrifiant vsp(x)0) ; alorsO_Lest inteÂgralement closdansLetO_Kest la cloÃture inteÂgrale de O_KdansK.

LEMME4.1. Soit L une extension finie eÂtale de K.

(i) L est un K-module de type fini.

(ii) L est compleÁte.

DEÂMONSTRATION. Il exis te f 2K tel que L[f ¹] soit libre de rang fini sur K[f ¹] et la forme Tr(xy) soit un accouplement parfait sur L[f ¹]. Si e₁;. . .;e_d est une base de L[f ¹] s ur K[f ¹] constitueÂe d'eÂleÂmentsde L, l'application x7!i(x)ˆ(Tr(e1x);. . .;Tr(edx)) est une injectionK-lineÂaire deLdansK^d. CommeKest supposeÂe noetheÂrienne, cela deÂmontre le (i).

SoitM l'adheÂrence dei(L) dans K^d(que l'on muni de la valuation v₁ deÂfinie par v₁(x₁;. . .;x_s)ˆ inf

1isv_sp(x_i)). Soit a₁;. . .;a_r une famille geÂneÂ- ratrice de L sur K, posons b_iˆi(a_i) et soient b_r‡1;. . .;b_s telsque b₁;. . .;b_s engendrent M surK. Par hypotheÁse, on peut approcher b_s par deseÂleÂments l de i(L). Maintenant, l'application (x₁;. . .;x_s)7!

x₁b₁‡ ‡x_sb_s est surjective et continue de Kⁿ sur M; comme les espaces de deÂpart et d'arriveÂe sont des banach, on peut utiliser le theÂoreÁme de l'image ouverte pour, sib_s lest assez petit, eÂcrireb_s lsous la forme P^s

iˆ1xib_iavecxi2pOK. Maisalors1 xsest inversible dansOK, et doncb_s appartient au K-module engendre par lesb_i, pour is 1. Une reÂcur- rence immeÂdiate permet d'en deÂduire queb₁;. . .;b_rengendrentM, et donc quei(L)ˆM; en particulier,i(L) est un sous-banach deK^d.

Notonsp:K^r!Ll'application (x₁;. . .;x_r)7!P^s

iˆ1x_ia_i. Cette application est continue et il existeC2Rtel que l'on ait vsp(p(x))v1(x)‡C pour tout x2K^r. Par ailleurs, ip:K^r!i(L) est continue, surjective, et comme lesespacesde deÂpart et d'arriveÂe sont des banach, il reÂsulte du theÂoreÁme de l'image ouverte qu'il existeC⁰2Rtel que, pour touty2i(L), il existe x2K^r tel que ip(x)ˆy et v1(x)v1(y)‡C⁰. Maisalors p(x)ˆi ¹(y) et donc vsp(i ¹(y))v1(y)‡C‡C⁰. Il s'ensuit que i:L! i(L) est bicontinue, et donc queLest un banach puisquei(L) en est un. Ceci deÂmontre le (ii) et conclut la preuve du lemme.

REMARQUE4.2. On peut aussi deÂduire le (ii) de [2, 3.8.3 prop. 6].

Une construction deB_dR 123

4.2 ±EÂpaississements infiniteÂsimaux universels

L'application x7!x^p est surjective sur O_C=pO_CˆO_K=pO_K (cf.

lemme 4.7), et donc O_C et C posseÁdent des O_K-eÂpaississements in- finiteÂsimaux universels. On noteA_inf celui deO_CetB^‡_dRcelui de C. Rap- pelonsla construction de cesobjets⁵.

SoitEe^‡ l'ensemble des suitesxˆ(x⁽⁰⁾;. . .;x⁽ⁿ⁾;. . .) d'eÂleÂmentsdeO_C veÂrifiant (x^(n‡1))^pˆx⁽ⁿ⁾ muni deslois‡ et deÂfiniespar x‡yˆs et xyˆt, ouÁ

s⁽ⁿ⁾ˆ lim

m!‡1(x^(n‡m)‡y^(n‡m))^pm et t⁽ⁿ⁾ˆx⁽ⁿ⁾y⁽ⁿ⁾:

AlorsEe^‡est un anneau de caracteÂristiquep, complet pour la valuationv_E deÂfinie parv_E(x)ˆv_sp(x⁽⁰⁾).

SoitAe^‡ˆW(Ee^‡) l'anneau desvecteursde Witt aÁ coefficientsdansEe^‡ et, six2Ee^‡, s oit [x] son repreÂsentant de TeichmuÈller dansAe^‡. Soitule morphisme deAe^‡dansO_Cqui aÁ^‡1P

nˆ0pⁿ[x_n] associe^‡1P

nˆ0pⁿx⁽⁰⁾_n . On eÂtenduun morphisme deOK-algeÁbresdeOKAe^‡ dansO_C, et alorsA_inf est le seÂ- pare compleÂte de O_KAe^‡ pour la topologie (p;Keru)-adique. Le mor- phismeus'eÂtend en un morphisme surjectif deA_inf surO_C, et on noteI_‡ son noyau.

Notonsencore u le morphisme de Ainf[_p¹] dans C. Alors B^‡_dR est le compleÂte deA_inf 1

p pour la topologie Keru-adique. On peut prolongeru par continuite aÁB^‡_dR et on noteI son noyau. Notons queA_inf s'identifie canoniquement aÁ un sous-anneau de B^‡_dR et que l'on a I\AinfˆI‡. De plus, si pourk;n2N, on poseUn;k ˆpⁿAinf‡I^k‡1, alorslesUn;k forment une base de voisinages de 0 dansB^‡_dR.

4.3 ±K comme sous-anneau deB^‡_dR

DeÂfinissons par reÂcurrence une suite deÂcroissante de sous-anneaux O^(k)_K deO_Ket une suite deO_K-modulesV^(k)en posant :

O⁽⁰⁾_K ˆO_K,

(⁵) NousrenvoyonsaÁ [5] pour les constructions qui suivent et les deÂmonstra- tionsdesreÂsultats.

V^(k)ˆO_KV¹_O(k 1)

K =OK, s ik1, (le produit tensoriel est au-dessus de O^(k_K ¹⁾) ;

O^(k)_K ˆKer d^(k):O^(k_K ¹⁾!V^(k)

, ouÁd^(k) est la deÂrivation canonique.

Enfin, soitA^k_infˆAinf=I^k‡1_‡ , s ik2N.

THEÂOREÁME4.3. (i)O^(k)_K ˆK\(A_inf‡I^k‡1)ˆ fx2K jw_k(x)0g:

(ii) L'inclusion deO^(k)_K dansA_inf‡I^k‡1induit, par passage aux quo- tients, un isomorphisme O^(k)_K=pⁿO^(k)_K A^k_inf=pⁿA^k_inf, pour tout couple d'entiers(k;n).

(iii) K est dense dansB^‡_dRet B^‡_dRest le seÂpare compleÂte de K pour la topologie deÂfinie en prenant les pⁿO^(k)_K, avec n;k2N, pour base de voi- sinages de0.

(iv) S i k1, d^(k)est surjective etV^(k) s'identifie aÁ I^k=(I^k_‡‡I^k‡1).

DEÂMONSTRATION. La deÂmonstration est la meÃme que celle du th. 3.1, aÁ ceci preÁsqu'il faut modifier lesargumentsqui utilisaient le fait queKeÂtait un corps, aÁ savoir :

- La preuve du lemme 3.8 utilise le në 1.2 qui est reÂdige dansle casd'un corps.

- Celle du lemme 3.3 utilise l'existence der2Ntel queP⁰(x) divisep^r. - Danscelle de la prop. 3.6, on extrait desracinesp-ieÁmes, ce qui ne produit desextensionseÂtalesque si leseÂleÂmentsdont on extrait lesracines p-ieÁmessont desuniteÂs.

Il s'agit donc d'eÂtendre le në 1.2 au casd'extensionseÂtalesd'algeÁbres, ce qui est un cas particulier du «theÂoreÁme de prolongement desreleÁvements»

(cf. [6, cor. 5.6] ; la deÂmonstration consiste aÁ localiser pour se ramener aÁ un casouÁ on peut utiliser le preuve du lemme 1.3 et aÁ utiliser l'unicite du prolongement pour recoller), et d'adapter lesdeÂmonstrations du lemme 3.3 (cf. lemme 4.6) et de la prop. 3.6 (cf. prop. 4.9).

4.4 ±Construction d'eÂleÂments deO^(k)_K

Siy2O_Ket sir2N, on dit queyestde profondeurr, s'il existe : x₁ˆy;x₂;. . .;x_d2O_K,

P1;. . .;Pe2OK[X1;. . .;Xd], R1;. . .;Rd2OK[X1;. . .;Xd]

Q_i;j 2O_K[X1;. . .;X_d] pour 1idet 1je,

Une construction deB_dR 125