D30037. Dièdres réguliers
On sait que les faces adjacentes d’un cube sont orthogonales. Que sauriez- vous dire de l’angle dièdre entre faces adjacentes, pour les autres polyèdres réguliers (tétraèdre, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre) ?
Solution
Le polyèdre a s arêtes par sommet et f arêtes par face. Par un sommet A passent s arêtes dont les autres extrémités forment un polygone régulier convexe à scôtés ; soitB et C deux sommets adjacents de ce polygone. La sphère de centreA et de rayon AB coupe en O l’axe du polygone et en M la bissectrice de l’angle BAC =π−2π/f, car B, A, C sont trois sommets consécutifs d’une face du polyèdre.
Dans le triangle sphérique BM O, l’arc BM = π/2−π/f; l’angle M est droit, le plan AM O étant le plan médiateur du segment BC; AO, axe de symétrie d’ordre s pour le polyèdre, est l’arête du dièdre d’angle O = π/s formé par les plansAOB etAOM;AB, arête du polyèdre, est l’atête d’un dièdre formé par les plansABO etABC, d’angleB = ∆/2 si ∆ est l’angle dièdre de deux faces contiguës.
AvecM droit, la formule classique de trigonométrie sphérique cosO =−cosBcosM+ sinBsinMcosM B
donne sin(∆/2), d’où l’angle dièdre 2 arcsincos(π/s) sin(π/f).
Cela donne pour cosinus de l’angle dièdre : 1/3 (tétraèdre),−1/3 (octaèdre),
−1/√
5 (dodécaèdre),−√
5/3 (icosaèdre).
