Méthode des coupes de Gomory

Méthode des coupes de Gomory

• Principe des méthodes de coupes

Introduire de nouvelles contraintes linéaires au problème pour réduire le domaine réalisable du problème relaxé sans pour autant éliminer de points du domaine réalisable du problème avec les contraintes de nombre entier sur les variables.

• La procédure consiste à résoudre une suite de problèmes

relaxés jusqu’à ce qu’une solution optimale en nombres entiers soit obtenue.

• Un problème de la suite est obtenu du précédent en lui ajoutant une contrainte linéaire (coupe) supplémentaire.

n , 1,

j entier, ,

0

, ,

1

à Sujet

Min )

(

: suivant entiers

nombres en

linéaire ion

programmat de

problème le

s Considéron

1 n 1 j











 







j

i n

j

j ij

j j

x

m i

b x

a x c P

entière.

pas est

n' qui

valeur une

prenant optimal

du tableau ligne

ième la

dans

base de

variable la

et ), (

de optimale base

une Soit

Gomory.

de coupe une

contruire comment

Voyons i

x P

B

n , 1,

j entier, ,

0

, ,

1

à Sujet

Min )

(

: suivant entiers

nombres en

linéaire ion

programmat de

problème le

s Considéron

1 n

1 j



















j

i n

j

j ij

j j

x

m i

b x

a x c P

 

 

entier.

pas est

n' b

et base hors

variable une

d' indice l'

est :

où

1

: forme la

de est du tableau

ante correspond

ligne La

i

i J

j

j ij k

j j J

b x

t x





 



 

 

entier.

pas est

n' b

et base hors

variable une

d' indice l'

est :

où

1

: forme la

de est du tableau

ante correspond

ligne La

i

i J

j

j ij k

j j J

b x

t x





 



 

 

  ^{. ( 2 )}

conséquent par

et

alors ,

0 Puisque

. (plancher)

entier grand

plus le

s Définisson

j i J

j

ij k

J j

j ij j

J j

ij j

b x

t x

x t x

t j

x

d d



























 

 

entier.

pas est n' b

et base hors variable une

d' indice l'

est : où

1

: forme la

de est du tableau ante

correspond ligne

La

i

i J

j ij j

k

j j J

b x t x







    

(3).

satisfait )

( de solution toute

Ainsi

) 3 ( .

que (2) de découle il

, variables des

é intégralit d'

contrainte la

s considéron nous

Si

P

b x t x

x

j i J

j ij k

j







 

 

  ^{. (2)}

conséquent par

et

alors , 0 Puisque

. (plancher) entier

grand plus

le s

Définisson

j i J

j ij k

J j

j ij j

J j

ij j

b x t x

x t x

t j x

d d



























  





 ^que  ^{0 et}





Notons

4 :

(1) et (3) entre différence le

faisant

en obtenue relation

la maintenant s

Considéron













 



ij i ij

j i J

j

ij ij

b b t

t

b b x

t t

i i

).

( de solution aucune

élimine n'

) ( dans on introducti son

et

(4), satisfait elle

alors (3),

et (1) satisfait )

( de solution toute

Puisque

P P

P

        ^{ }

   ^que  ^{0 et}     ⁰

Notons

4 :

(1) et (3) entre

différence le

faisant

en obtenue

relation la

maintenant s

Considéron

















ij i ij

j i J

j

ij ij

b b

t t

b b

x t

t

i i

).

( de solution aucune

élimine n'

) ( dans on

introducti son

et

(4), satisfait

elle alors

(3), et (1) satisfait )

( de solution toute

Puisque

P P

P

).

( relaxé problème

du réalisable domaine

le réduit on

introducti son

et (4) pas satisfait ne

0

où ) ( relaxé problème

du actuelle solution

la contre, Par

P J

j x

P

j   

       

   

simplexe.

du dual algorithme

l' avec résolution

la poursuivre de

suffit Il

. 0 puisque

réalisable pas

est n' base de

solution Cette

. du tableau ligne

nouvelle la

dans base

de variable la

comme t

considéran

en problème nouveau

au base de

solution une

générer pour

simplexe

du bleau dernier ta

au nul, coût avec

écart d'

variable une

est où

contrainte la

introduire d'

suffit il

, résolution la

poursuivre Pour

















i j i

J j

ij ij

b b

x x

x

b b

x x

t t

i i









 

 

. itérations les

toutes à

applique s'

similaire dérivation

Une 2)

entier.

pas est n' droite

de terme le

que alors

) ( de réalisable solution

pour toute entière

valeur

une prend

gauche de

terme le

puisque réalisable

pas est n' ) ( que indique

1

alors ,

entier) est

(i.e., Si

1)

: Notes

P P

b x

t x

J j t

t t

i J

j

j ij k

ij ij

ij













entiers

, 0 ,

,

13 4

7 à Sujet

11 21

Min

suivant problème

le s Considéron

3 2 1

3 2

1

2 1













x x x

x x

x

x x

7 13 7

13 7

1 7

1 7

4 7

4

: contrainte Nouvelle

-39 opt.

valeur

7 13 7

1 7

4

base de

) ( de optimal Solution

: 1 Itération

4 3 2

3 2

1



 

 

 



 



 





 



 



 













x x x

x x

x

P

1 6

4 7

13 4

Ainsi

. 4 7

13 Or

. 6 7 4

6 7

1 7

4

: e géométriqu tion

Interpréta

1 2

1 2

2 1

3

3 2

3 2









































x x

x x

x x

x

x x

x x

entiers

, 0 ,

, ,

7 6 7

1 7

4

13 4

7 à Sujet

11 21

Min

de relaxé problème

le Résoudre

: 2 Itération

4 3 2 1

4 3

2

3 2

1

2 1























x x x x

x x

x

x x

x

x x

2 37 1 opt.

valeur

2 3 4

7 4

1

1 obtenons

Nous

4 3

2

4 1















x x

x

x x

2 37 1 opt.

valeur

2 3 4

7 4

1

1 obtenons

Nous

4 3

2

4 1















x x

x

x x

2 1 4

1 4

1

: contrainte 2ième

la de

partir à

contrainte Nouvelle

5 4

3    

 x x x

2 1 4

1 4

1

: contrainte 2ième

la de

partir à

contrainte Nouvelle

5 4

3    

 x x x

7 2 6 7

4 7

8 32 713

8

obtenir pour

4 7

13

de valeur la

maintenant s

Substituon

. 7 2

6 7

1 7

4

obtenir pour

7 13 7

13 7

1 7

1 7

4 7

4

de tirée x

de valeur la

s Substituon

2

e géométriqu tion

Interpréta

2 2

1

2 1

3

3 3

2 3

4 3

2

4 4

3

































 

 

 



 



 





 



 



 













x x

x

x x

x

x x

x x

x x

x x x

33 optimale

Valeur

1 ,

3 ,

0

: entière optimale

solution Donc

1 3 2

1 obtenons

Nous

3 2

1

4 1

5 2

1

5 3

1





























x x

x

x x

x x

x

x x

x

entiers

, 0 ,

, , ,

2 1 4

1 4

1

2 3 4

7 4

1

1 à

Sujet

11 21

Min

problème le

Résoudre : 3 Itération

5 4 3 2 1

5 4

3

4 3

2

4 1

2 1



























x x x x x

x x

x

x x

x

x x

x x