Travail et puissance d’une force

Travail et puissance d’une force

Situation déclenchante:

Les gens utilisent dans sa vie quotidienne les notions de la force, du travail, de la puissance et de l’énergie comme des synonymes. Est- ce que ça est vraie ? Si non comment les définissent et les modélisent ? Est-ce qu’elle existe une relation entre eux ?

Bilan

I- Effets de quelques actions mécaniques sur un corps solide soumis à des forces dont les points d’application se déplacent

1- Effet de l’action mécanique

L’effet de l’action mécanique exercé sur un corps solide peut provoquer soit : un mouvement de translation ou de rotation

 un voyageur qui tire sa valise

 un parachutiste est en mouvement grâce à l’effet de son poids

 la force exercée par une personne fait tourner la porte Déformer un corps solide provisoirement ou définitivement

L’effet du doit sur le ballon inverser son mouvement

tennis

billes en acier

2- La classification des actions mécaniques actions par contact

actions à distance

3- Modélisation d’un effet mécanique par une force

On associe tous effet mécanique par une grandeur physique qui est la force (on le symbolise par ^⃗F ).

La force à quatre caractéristiques

 point d’action : où elle s’effectue l’action ;

 la ligne d’action (la direction) : c’est la droite qui passe par le point d’action.

 le sens : c’est le sens du mouvement

 la norme : se mesure par un dynamomètre, son unité est Newton (noté N) II- Travail d’une force ou d’un ensemble de forces

1- Travail d’une force constante exercée sur un corps solide en translation rectiligne

 On dit une force constante, s’elle garde la même norme, direction et sens lors de son mouvement ;

 On dit qu’un corps est en translation rectiligne: si tout segment du solide se déplace en restant parallèle à lui-même et le mouvement de chaque point est rectiligne.

 On dit une force appliqué sur un corps travail, si son point d’action est déplacé et varie se corps ou ces propriétés physiques.

Exemple : Un voyageur qui tire sa valise (figure 1)

Figure 1 Le déplacement de la valise le long de AB dépend :

 de l’intensité de la force

 du déplacement du point d’application de la force

 de l’angle formé entre la direction de la force et la direction du déplacement AB Remarque : Comment peut modéliser le travail ?

 W = F×AB×α impossible car ^{F  AB} ne s’annule pas.

 W = F×AB×sinα impossible car ^{F  AB} ne s’annule pas.

 W =F×AB×cosα possible car ^{F  AB} ne s’annule pas.

1- 1

: Définition : On considère un corps solide en translation rectiligne, on appelle travail de la force ^⃗F dont le point d’application se déplace d’une position initiale A à une position finale B, est le produit scalaire du vecteur force ^⃗F et du vecteur déplacement ^{AB}, ce travail noté

W_AB( ⃗F) _.

AB 

W (F) F AB F AB cos(F, AB)       

W_AB( ⃗F) travail en joules (J) F valeur de la force en N AB déplacement en m

F, AB  

angle entre les vecteurs ^⃗F et ^⃗AB

Pour force ^⃗F non nulle, ^{WAB( ⃗F)} est nul si :

AB=0 (le point d’application de la force ne se déplace pas)

F, AB    90

(la direction de la force est perpendiculaire au déplacement)

Remarques :

 Le travail peut écrire en fonction des coordonnées du vecteur force et vecteur déplacement ^{AB} dans un repère cartésienne (^{( , ,O i  j k, )}, en utilisant l’écriture analytique.

x y z x y z

F  F  F  F  F i F j  F k

      

et ^{AB  (xB  x iA)(yB  y jA)  (zB  z kA)}

donc ^{WA B ( )F  F  AB  F xx( B  xA) F yy( B  yA)  Fz(zB  zA)}

  

A B

F 

A B

F 

A B

F 

A B

F 

A B

F 

 Dans ces conditions (force constante), le travail ne dépend pas du chemin réellement suivi, mais uniquement des positions finale et initiale : le W est une fonction d’état.

1- 2- Propriétés du travail

 Si C est une position du corps (S) pendant leur déplacement de A à B. donc

A B A C C B

W _ (F) W  _ (F) + W _ (F)

 Unité du travail :

donc l’unité du travail est le N.m en SI est le Joule (J) c.-à-d. 1 J = N.m

Le joule c’est le travail d’une force constante d’intensité (1N) lors du déplacement de son point d’actions par un mètre selon sa direction et son sens.

1- 3- Nature du travail : moteur ou résistant

Le travail d’une force est une grandeur algébrique.

On sait que l’intensité de la force F et le déplacement AB sont positifs, donc le signe du travail dépend de l’angle ^{ = (F, AB) } .

Le travail est moteur s’il est positif. Alors un travail est résistant, s’il est négatif.

α=0° α<90° α=90° 90 °<α≤180° α=180°

W_AB( ⃗F)=+F⋅AB W_AB( ⃗F) positif ^{WAB( ⃗F)=0 WAB( ⃗F)} négatif

W_AB( ⃗F)=−F⋅AB

Travail moteur Travail nul Travail résistant

2- Travail d’une force constante exercée sur un corps solide en translation curviligne Le mouvement est en translation curviligne si la trajectoire du point d’application de la force

appliqué est curviligne.

On divise la trajectoire en morceaux infiniment petits tels qu’on peut les assimiler à des segments

















On appelle travail élémentaire δWi ; le travail fourni par la force ^⃗F au cours du petit déplacement élémentaire dont le vecteur est ^{li} : ^{Wi  F li}

Donc le travail global ^{WA B (F)}

WA B_ (F) F AB   

Le travail ne dépend pas du chemin réellement suivi, mais uniquement des positions initiale et finale

3- Travail d’une force constante et déplacement constant 3- 1- Travail du poids et déplacement

Lorsque le centre de gravité d’un objet passe d’un point A à un point B en décrivant une trajectoire courbe, on peut considérer que cette courbe est une succession de petits déplacements

AM1

,…, ^{M Mi i1}, …, ^{M Bn} .

Le travail du poids ^⃗P de l’objet pour un petit déplacement est ^{WM Mi i 1 (P) P M M  i i 1}



 

.

Le travail du poids de l’objet entre A et B est

B B

AB i i 1 i i 1

A A

W (P)^ 





. puisque

B

i i 1 A

M M_ AB



, donc ^{W (P) P ABAB    }. Etude analytique

et

Remarque :

i) Quel que soit le déplacement, le travail du poids s’écrit : ^{W (P)AB    P z.   mg z.} ii) ^{W (P)AB } sur le chemin AB est égal ^{- W (P)AB } sur le chemin BA.

3- 2- Travail du poids et variation d’altitude

Le poids étant une force verticale, le produit scalaire ^{P AB} s’exprime simplement en utilisant les coordonnées des vecteurs poids et déplacements dans un repère orthonormé dont l’axe (Oz) est vertical et orienté vers le haut.

On a ⃗P(0 ; 0 ; −P) et ^{⃗AB(xB−xA ; yB−yA ; zB−zA)} . Donc ^{WAB( ⃗P)=−P (zB−zA)=P (zA−zB)}

3- 3- Représentation graphique du travail du poids

Méthode: On représente graphiquement l’intensité de la force en fonction de l’abscisse repéré sur un axe parallèle à la direction de la force.

Dans le cas du poids, on représente donc P = f(z)!

Comme P est constant, la représentation de P = f(z) est une droite, parallèle à Oz.

Nous constatons que l’aire entre la courbe P = f(z) et l’axe Oz, pris entre le point initial et le point final, représente la valeur absolue du travail du poids!

Cette méthode s’applique aussi dans les cas où la force varie en fonction de l’abscisse.

W (P)AB  mg (z_f z )_i

Si le déplacement est vers le bas : ^{W (P)AB  0}



le travail du poids est moteur.

Si le déplacement est vers le haut : ^{W (P) 0AB }



le travail du poids est résistant.

Si le déplacement est horizontal : ^{W (P)AB 0}



le travail du poids est nul.

3- Travail d’un ensemble de forces constantes

Soit un solide en translation soumis à plusieurs forces. Les points d’applications de chaque force subissent le même déplacement. La somme des travaux de ces forces s’écrit

AB 1 2 1 2

W  F AB F AB ... (F F        ...) AB

soit ^{WAB  F AB } avec ^⃗F la résultante des forces.

A B A B

1 1

W ( F ) W (F )

i n i n

i i

i i

 

 

 





Pour un solide en translation, soumis à un ensemble de forces, la somme des travaux des forces appliquées est égale au travail de leur résultante.

F1



dont le point d’application se déplace du point A1 au point B1

F2



dont le point d’application se déplace du point A2 au point B2

4- Travail d’une force de moment constant exercée sur un solide en rotation autour d’un axe fixe 4- 1- Rappel

a- Force orthogonale à l'axe

On exprime le moment d’une force ^⃗F par rapport à un axe

∆ qui lui est orthogonal par :

M (F) =_   F.d

 ^ dépend du sens arbitraire du mouvement ;

 d la distance entre la droite d’action de la force ^⃗F et l’axe

∆, son unité est le mètre (m) ;

 ^{M (F) } moment d’une force ^⃗F , son unité noté N.m Remarques :

 la valeur du bras de levier d ne change pas si la force ^⃗F glisse le long de sa droite d'action : donc la valeur du moment ^{M (F) } ne dépend pas de la position du point d'application A sur la droite d'action ;

 le moment ^{M (F) } est une grandeur algébrique ;

 en régime statique (vitesse de rotation nulle ou constante), la somme algébrique des moments des actions appliqués à un solide est nulle :



b- Force quelconque

Le vecteur force ^⃗F est la somme de ses composantes suivant la base ^{( ,i  j k, )} :

T N Z

F  F  F  F

   

avec :

 ^FT : tangentielle à la trajectoire ;

 ^FN : normale à l’axe ∆ ;

 ^FZ : parallèle à l’axe ∆ ;

( ) ( )_T ( _N) ( _Z) M F_   M F_   M F_   M F_ 

. Or

 ^{M F(N) 0} car la force est passe par l’axe

 ^{M F(Z) 0} car la force est parallèle à l’axe.

Seule la composante ^FT à une action de rotation autour de l’axe (∆) ( ) ( )_T

M F_   M F_ 

4- 2- Travail d’une force de moment constant a- Travail élementaire

Lors du rotation d’un corps solide par une angle très petite δθ sous l’effet d’une force ^⃗F ., leur point d’action parcourt un petit arc ^{AB} qu’on peut le considérer une droite, et l’exprime par le vecteur ^{AB l}.

La force ^⃗F effectué un travail élémentaire exprimé comme suit : ^{W F( )   F l  F l. .cos }

et on sait que ^{l  R} par conséquent

( ) . . .cos W F F R

     cos d

  R

c.à.d ^{d  R .cos} donc ^{W F( )  F.d. .}

et finalement ^{W F( )  M(F). . }

b- Travail global

Lors du rotation d’un corps solide par une angle ∆θ, le travail effectue par la force ^⃗F .ayant un moment constant par rapport à l’axe ∆ est égale la somme des travaux élémentaires.

( ) ( ) (F).

W F^ 





Puisque le moment est constant ^{W F( ) }





5- Travail d’un couple de forces de moment constant 5- 1- Définition

Deux forces localisées ^{(A , F )1 1} et ^{(A , F )2 2} dont les droites d'action sont parallèles, ayant des sens contraires et des intensités égales forment un couple.

5- 2- Remarques

 ^{F1  F2  0} (F1 = F2 = F Intensité du force commun)

 les forces ^F1 et ^F2 sont coplanaires

 la distance d s'appelle bras de levier du couple : la distance entre les droites d’actions des intensités des forces.

 un couple exerce une action de rotation et non de translation

5- 3- Moment du couple ^{(A , F )1 1} et ^{(A , F )2 2}

1 2 1 1 2 2 1 1 2

M (F , F )_    F d.  F d.  F d(  d )  F d.

Le moment d'un couple de deux forces est égal au produit de la valeur de l'une des forces par le bras de levier.

Remarques :

 le moment d'un couple est indépendant de la position de l'axe de rotation ;

 comme le moment d'une force, le moment d'un couple est défini algébriquement ;

 des actions réparties sur un arbre en rotation peuvent être modélisées par un couple.

On exprime le travail d’une couple ayant un moment constant par :

1 2 1 2

( , ) ( , ) W F F    F F 

III- Puissance d’une force ou d’un ensemble de forces 1- Notion de puissance

Lorsqu’on souhaite monter une valise jusqu’au 4° étage d’un immeuble, il est, en général, plus rapide d’utiliser un ascenseur que la montée des escaliers.

Le travail du poids de la valise est le même dans les deux cas.

Par contre, la durée de l’opération n’est pas la même.

Il nous faut donc introduire une nouvelle grandeur qui lie le travail et sa durée : c’est la puissance.

2- Puissance moyenne d’une force

Si, pendant une durée Δ t , une force ^⃗F effectue un travail W( ⃗F) , la puissance moyenne du travail de cette force est ^P=

W( ⃗F)

Δ t avec P en watts (W), W( ⃗F) en joules (J) et Δ t _en secondes (s). La puissance est la grandeur du travail effectue par unité du temps.

1 watt est la puissance d’une machine qui effectue un travail de 1 joule chaque seconde.

1 w = 1 joule/1sec Remarques :

 Unité de puissance encore utilisée le cheval-vapeur, ^{1 ch=736 W} ;

 Si la puissance est exprimée en watt et la durée en heures, le travail est mesuré en watt- heures.

1wh=3600 Joules & 1kwh=3600kJ

3- Puissance moyenne d’un ensemble de forces

Quand un solide S se déplace sous l’action de plusieurs forces, pendant la durée Δ t _, chacune des forces fournit un travail.

Le travail de l’ensemble des forces est la somme des travaux de chacune d’elles.

La puissance moyenne de l’ensemble de ces forces est donc la somme des puissances du travail de chacune d’elles car ^P=

W

Δ t=

∑

Δ t =

∑

4- Puissance instantanée d’une force (moment) constante appliquée à un corps a- cas de translation

La puissance instantanée d’une force (ou ensemble des forces constantes) est le rapport entre le travail élémentaire effectue sur la durée δt.

donc

P W t



 

.

on sait que ^{WF} et ^{V t}

 

par conséquent

P F V F V. cos

avec ^{( . )F V }

Résume : à partir de de la formule mathématique de la puissance, on conclut que la puissance est une grandeur algébrique, sa signe dépend de cos de α.

 cos α > 0 si ^{0α 90  } ç.à.d P > 0 : la puissance est résistive ;

 cos α < 0 si ^{90°α 180  } ç.à.d P < 0 : la puissance est motrice ;

 cos α = 0 si ^{α  90°} ç.à.d P = 0 : la puissance est nulle ; Remarque : dans le cas d’une ensemble des forces on écrit : ^{P 1}

i n

i i

i

F V









b- cas de rotation

On considère un corps solide en rotation autour d’un axe fixe sous l’effet d’une force ^⃗F , soit un point du corps qui se meuve selon une trajectoire circulaire OM = R.

La puissance instantanée ^{Pi F V i  F V. cosi } à partir de la figure ^cos

d

  R

et on sait que : ^{M F( ) F d.}

donc ^{Pi  M F( ). } avec ω la vitesse angulaire et ^{M F( )} moment de la force ^⃗F .

IV- Application

Le wagonnet se déplace vers le haut grâce à F1.

F1 et le déplacement sont de même sens. C’est un travail moteur.

Le wagonnet descend la pente malgré F2 qui le retient.

F2 est le déplacement sont de sens contraire.

C’est un travail résistant

Le seau est soumis à 2 forces. La pesanteur et la force F de l’ouvrier. Le seau monte.

La pesanteur exerce un travail résistant alors que F exerce un travail moteur.

2.1 Transformations d’énergie

Énergie : Grandeur qui représente la capacité d’un corps ou d’un système à produire un travail, à élever une température, ….

Différentes formes :

calorifique ( thermique ), électrique, mécanique, chimique, électromagnétique, nucléaire,…..

Le travail est une transformation d’énergie en une autre forme d’énergie.

Exemple d’une chaîne de transformations .

Énergie énergie énergie énergie

chimique thermique mécanique électrique

3.3 Bilan. Rendement.

Pa Pu p

Pa : puissance absorbée ( consommée, reçue )

Pu : puissance utile ( puissance que le système fourni )

p puissances perdues qu’on appelle pertes ( par effet Joule, les frottements, dans le fer )

Le rendement : ŋ = ŋ est un nombre inférieur ou égal à 1

Le travail W A B( ) effectué par une force constante au cours d’un déplacement

de son point d’application est le produit scalaire Exercice 1

Le travail est une grandeur algébrique :

Si 0 < α < π/2 rad , 0 < cos α < 1 W > 0 est une force motrice.

Elle participe au déplacement de son point d’application. Le travail est moteur.

Si π/2 < α < π rad -1 < cos α < 0 W < 0. est une force résistante.

Elle ne participe pas au déplacement de son point d’application. Le travail est

résistant.