111 ˜˜˜ ⇐⇐⇐ ♥♥♥ ∠∠∠ {{{ 1 888 ≠≠≠

χ χ

χ⌠⌠⌠ vii

Π Π

Π xi

1 1

1˜ ˜ ˜⇐ ⇐ ⇐♥ ♥ ♥ ∠ ∠ ∠   { { { 1

1 1

1∀∀∀∧∧∧ ′′′♥♥♥⇔⇔⇔˜˜˜ΕΕΕ||| 1

0.1 Abelƒ∨{ . . . 1

0.2 Euler-Maclaurinƒ∨♠ . . . 3

ΣΚ . . . 6

1 1 1˜˜˜∧∧∧ ƒƒƒ 9 1.1 ς . . . 9

1.2 Tch´ebychevΟ . . . 10

1.3 𝑛!𝑝?∆Š. . . 12

1.4 Mertens1˜ν. . . 13

1.5 ‡#Χ♠ . . . 14

1.6 Mertens♠ . . . 15

1.7 Tch´ebychev,˜ν . . . 17

5Π . . . 18

ΣΚ . . . 19

1 1 1∧∧∧ ¬¬¬……… 24

2.1 ℜ . . . 24

2.2 ∼φ . . . 24

2.3 /♠Dirichlet? . . . 26

2.4 ¬…‚ . . . 26

2.5 M¨obius‡=♠ . . . 29

2.6 Mangoldt… . . . 30

2.7 Euler↔5… . . . 32

5Π . . . 33

ΣΚ . . . 34

1 1 1ννν∧∧∧  36 3.1 ς . . . 36

3.2 Dirichlet↓Κ∨ς↑∅ . . . 36 i

3.3 ∉φ∨… . . . 38

3.4 Euler↔5… . . . 39

3.5 𝜔 …∨Ω… . . . 40

3.6 M¨obius…Š†Tch´ebychev∨… . . . 41

3.7 ℘″∉φ. . . 44

3.8 Š3[0,1]∞ƒ5…ƒ . . . 46

5Π . . . 49

ΣΚ . . . 51

1 1 1οοο∧∧∧ {{{ 57 4.1 Eratosth`ene´ { . . . 57

4.2 Brun|⇐{ . . . 57

4.3 3⊂)ƒ↓Κ∞Α⊥ . . . 60

4.4 Œ{)⇔/♠ . . . 62

4.5 Œ{Ž/♠ . . . 67

4.6 Œ{Α⊥ . . . 70

4.7 Selberg{. . . 72

4.8 ↔µ∞″∨. . . 83

5Π . . . 87

ΣΚ . . . 91

1 1 1⊇⊇⊇∧∧∧ 444 96 5.1 {0∨ℜ . . . 96

5.2 …𝜏(𝑛) . . . 96

5.3 …𝜔(𝑛)∨Ω(𝑛) . . . 98

5.4 Euler…𝜑(𝑛) . . . 99

5.5 …𝜎^𝜅(𝑛)♣𝜅 >0 . . . 100

5Π . . . 102

ΣΚ . . . 103

1 1 1888∧∧∧ van der Corput {{{ 106 6.1 {0∨≤ . . . 106

6.2 ν∪♥ . . . 107

6.3 ν∨ . . . 108

6.4 3Vorono¨ıν∞Α⊥. . . 113

6.5 1!♥∧ . . . 115

5Π . . . 118

ΣΚ . . . 120

1 1

1∧∧∧ Diophantus %%%ΧΧΧ 125

7.1 λDirichletRoth . . . 125

7.2 %Χ♣♥ . . . 127

7.3 ♥∠µ5Ÿ . . . 132

7.4 γ℘ν♥∠µ . . . 135

5Π . . . 138

ΣΚ . . . 139

1 1 1 ⇐ ⇐ ⇐♥ ♥ ♥ ) ) )⇔ ⇔ ⇔  { { { 146

0.1 ℜ . . . 147

0.2 Weierstrassƒ∪♠ . . . 149

0.3 𝛽-… . . . 150

0.4 ΕStirling♠ . . . 152

0.5 Hankel♠ . . . 156

ΣΚ . . . 158

1 1 1˜˜˜∧∧∧ )))⁄⁄⁄………∝∝∝Dirichlet ??? 162 1.1 ℜ〉Dirichlet?. . . 162

1.2 ƒ5…Dirichlet? . . . 163

1.3 Dirichlet?⊗)⇔5Ÿ . . . 164

1.4 ℜ〉‹Ι†Š. . . 169

1.5 ˜‡ŽΑ⊥∝¬ . . . 171

1.6 ‘∞Ο . . . 173

5Π . . . 177

ΣΚ . . . 182

1 1 1∧∧∧ ƒƒƒ∨∨∨♠♠♠ 187 2.1 Perron♠ . . . 187

2.2 Α⊥∝‡ℜ〉ν . . . 192

2.3 Šν . . . 194

5Π . . . 196

ΣΚ . . . 197

1 1 1ννν∧∧∧ Riemann 𝜁-……… 199

3.1 {0 . . . 199

3.2 )⇔∫ÿ . . . 199

3.3 …♣ . . . 201

3.4 .‘∞%Χ∨.Ο . . . 202

3.5 ∀:♥∧∠∨Ο . . . 205

3.6 Α‡Ε♥⇔∞∨ν . . . 207

3.7 ∀:Ν♥∧. . . 209

3.8 Hadamardƒ∪∠µ . . . 211

3.9 ℘∀:↔ . . . 213

3.10 𝜁^′/𝜁♣1/𝜁 ∨log𝜁.Ο . . . 214

5Π . . . 217

ΣΚ . . . 219

1 1 1οοο∧∧∧ ƒƒƒννν∨∨∨Riemann βββ 226 4.1 ƒν . . . 226

4.2 φβ . . . 227

4.3 Riemann β. . . 229

4.4 𝜓(𝑥)ω♠♠ . . . 232

5Π . . . 236

ΣΚ . . . 239

1 1 1⊇⊇⊇∧∧∧ Selberg-Delange {{{ 241 5.1 𝜁(𝑠)Ε㘠. . . 241

5.2 ⊂‡(¬ . . . 243

5.3 ν5.2ψ″ . . . 245

5.4 ⊂‡ν˜‡ΧΝ . . . 249

5Π . . . 253

ΣΚ . . . 255

1 1 1888∧∧∧ ‡‡‡ŽŽŽΑΑΑ⊥⊥⊥ 261 6.1 ƒ∉φ‡𝑘. . . 261

6.2 ∉φ″♥∧∝‡υ♥∧ . . . 267

5Π . . . 272

ΣΚ . . . 274

1 1 1∧∧∧ Tauber ...ννν 277 7.1 {0♣Tauber.†Abel.ν⌠5 . . . 277

7.2 Tauberν. . . 279

7.3 Hardy–Littlewood∨Karamataν . . . 281

7.4 Karamataν{‘ . . . 286

7.5 Ikeharaν . . . 293

7.6 Berry–Esseen¬♠ . . . 298

7.7 Ξ5ŠTauber.⊥‡. . . 300

7.8 ŽTauber.ν . . . 303

5Π . . . 307

ΣΚ . . . 312

1 1 1λλλ∧∧∧ ŽŽŽ∞∞∞ƒƒƒ♥♥♥∧∧∧ 316 8.1 {0♣DirichletΑ . . . 316

8.2 𝐿?♥Žƒν . . . 325

8.3 𝜎⩾1 ž∣𝐿(𝑠, 𝜒)∣ε.Ο♣ν8.16ψ″ . . . 331

8.4 𝐿(𝑠, 𝜒)…♣ . . . 337

8.5 Hadamardƒ∪♠9℘∀:↔ . . . 339

8.6 𝜓(𝑥;𝜒)ω♠♠ . . . 343

8.7 Žƒν . . . 348

5Π . . . 353

ΣΚ . . . 355

1 1 1ν ν ν⇐ ⇐ ⇐♥ ♥ ♥ ς ς ς∩ ∩ ∩  { { { 361

1.2 —∩ . . . 364

1.3 )⇔—∩ . . . 365

1.4 ς∩¬ . . . 367

5Π . . . 368

ΣΚ . . . 369

1 1 1∧∧∧ ¬¬¬………♥♥♥∧∧∧∅∅∅ 373

2.1 ℜ♣♥∧…. . . 373

2.2 Α… . . . 376

5Π . . . 379

ΣΚ . . . 385

1 1 1ννν∧∧∧ 555 389 3.1 ℜ . . . 389

3.2 Tur´an–Kubilius¬♠. . . 389

3.3 Tur´an–Kubilius¬♠⌠/♠ . . . 395

3.4 Hardy–Ramanujanν9∧♣Α⊥. . . 396

3.5 ƒ5…′Ο . . . 398

3.6 ƒ∉φ5( . . . 401

5Π . . . 403

ΣΚ . . . 408

1 1 1οοο∧∧∧ ∴∴∴555………♥♥♥∧∧∧∨∨∨ƒƒƒ555………ŠŠŠ 414

4.1 Erd˝os–Wintnerν . . . 414

4.2 Delangeν . . . 419

4.3 Hal´aszν . . . 422

4.4 Erd˝os–Kacν. . . 434

5Π . . . 437

ΣΚ . . . 440

1 1 1⊇⊇⊇∧∧∧ ψψψ∨∨∨ΘΘΘ:::{{{ 444 5.1 {0♣Rankin{ . . . 444

5.2 Α⇔{ . . . 448

5.3 …♣ . . . 449

5.4 Dickman… . . . 454

5.5 ⊥Θ:{%ΧΨ(𝑥, 𝑦) . . . 460

5.6 Jacobsthal…∨Rankinν . . . 469

5Π . . . 472

ΣΚ . . . 479

1 1 1888∧∧∧ ℘℘℘∉∉∉φφφ 483 6.1 {0 . . . 483

6.2 …♣ . . . 485

6.3 Buchstab… . . . 489

6.4 ⊥Θ:{ΟΦ(𝑥, 𝑦) . . . 493

6.5 Kubilius. . . 502

5Π . . . 506

ΣΚ . . . 510





♥♥♥ζζζ 513

′

′

′ ∨∨∨ 547