D.S. commun de mathématiques CORRIGE
1
èreS
Calculatrices autorisées, 5 exercices, 2 heures.
Exercice 1.
Soient les fonctions f et g définies respectivement sur ℝℝ ℝℝ par f(x)=(x−2)(5−4x) et 4
12 19 6 )
(x =− x3+ x2− x−
g . On désigne par Cf et Cgles courbes représentatives de f et g dans un repère ( , , ).O i j
r r
1) Montrer 2 est racine de g et en déduire une factorisation de g .
◊ g(2)=−6×23+19×22 −12×2−4=0 donc 2 est racine de g .
◊ On peut donc factoriser g(x) par (x-2) c'est-à-dire P(x) = (x-2) (-6x2 +mx +2) (expression (I)), m étant une constante à déterminer.
Déterminons m : En développant (I), on obtient P(x) = -6 x3 + (m+12)x2 + (2-2m)x-4.
En identifiant les coefficients de terme de degré 2 dans les deux expressions de P, on obtient : 19
2 =m+12=
a . En identifiant les coefficients de terme de degré 1 dans les deux expressions de P, on obtient : a1 =2−2m=−12. Ces deux équations ont toutes deux pour solution m= 7.
En reportant cette valeur dans l’expression précédente (I), on obtient P(x) = (x-2) (-6x2 +7x +2). (II) 2) Préciser les positions relatives de Cf et Cg. (Autrement dit, il faut déterminer les valeurs de x pour lesquelles Cf est au-dessus de Cget les valeurs de x pour lesquelles Cf est en dessous de Cg.)
• Les valeurs de x pour lesquelles Cf est au-dessus de Cgsont les solutions de f(x)>g(x). )
2 7 6 )(
2 ( ) 4 5 )(
2 ( ) ( )
(x >g x ⇔ x− − x > x− − x2 + x+
f ⇔(x−2)(5−4x)−(x−2)(−6x2 +7x+2)>0
(
5 4 6 7 2)
0 ( 2)(
6 11 3)
0) 2
( − − + 2 − − > ⇔ − 2 − + >
⇔ x x x x x x x .
• Pour chercher le signe de cette expression, on fait un tableau de signe et on a donc besoin de déterminer les signe de 6x2 −11x+3. On commence par chercher ses racines :
Ce trinôme a pour discriminant ∆=b2 −4ac=(−11)2 −4×6×3=121−72=49=72. Le trinôme a donc deux racines distinctes
3 1 12
4 12
7 11
1= − = =
x et
2 3 12 18 12
7 11
2 = + = =
x . C’est un polynôme de degré
deux, il est donc du signe de a = 6>0 à l’extérieur de ses racines (d’où la ligne correspondante du tableau de signe).
• On trouve le signe de cette expression au moyen d’un tableau de signe :
x -∞
3 1
2
3 2 +∞
x-2 − − − O +
3 11
6x2− x+ + O − O + +
(
6 11 3)
) 2
(x− x2 − x+ − O + O − O +
Comme f(x)>g(x)⇔(x−2)
(
6x2 −11x+3)
>0, on déduit du tableau de signe que◊ Cfest au-dessus de Cgsi x∈] 3 1 ;
2
3[∪ ∈]2 ; +∞ [ et
◊ Cfest en dessous de Cg si x∈]− ∞ ; 3 1 [∪ ∈]
2 3 ; 2 [.
Point méthode : Pour résoudre une inéquation, on met tout du même côté, puis on factorise et si besoin est, on fait un tableau de signe.
Pour vérifier : On trace les courbes des fonctions à la calculatrice et on vérifie que ces résultats sont cohérents avec les courbes observées.
Exercice 2.
On souhaite comparer les nombres
1 10
1 10 2
401 401
+
−
= ×
A et
1 10
1 10 2
400 400
+
−
= ×
B (le problème étant que la plupart des calculatrices en sont incapables.). Soit f la fonction définie par
1 1 ) 2
( +
= − x x x
f pour
−1
≠
x .
1) Montrer que pour tout x≠−1,
1 2 3 )
( = − +
x x
f .
Pour tout x, ( )
1 1 2 1
3 ) 1 ( 2 1
2 3 f x
x x x
x
x =
+
= − +
−
= +
− +
2) En déduire le sens de variation de f sur ]−−−−1, +∞[.
Méthode 1 : Manipulation d’inégalités Soient a, b∈]−1, +∞[ avec a<b.
1 2 3 1 2 3
1 3 1 3
1 1 1 1
1 1 0
1
+ + − + <
+ −
⇒
+
< − +
⇒ −
> +
⇒ +
+
<
+
<
⇒
<
<
−
b a
b a
b a
b a
b a
On en déduit que quels que soient a, b∈]−1, +∞[ avec a<b, on a f(a)< f(b). Autrement dit, la fonction f est croissante sur ]−1, +∞[.
Méthode 2 : Fonctions composées
f est obtenue par le montage suivant :
− + + +
1 3 1 1 2
1 1
:x x x x
f
w v
u
a a
a . Autrement dit,
u v w
f = o o où u est la fonction affine définie par u(x) = x+1, v est la fonction inverse et w est la fonction affine définie par w(x) = 2−3x
◊ La fonction u est croissante sur ]−1, +∞[ et, sur cet intervalle, elle prend ses valeurs dans ]0, +∞[.
◊ La fonction v est décroissante sur ]0 ; +∞ [
◊ La fonction w est décroissante sur R(et on n’a pas besoin de savoir quel est son ensemble d’arrivée car il n’y a plus d’autres fonctions après elle dans la composition).
Par le théorème sur le sens de variation des fonctions composées, la fonction f est croissante sur ]−1, +∞[
Remarque : les « tableaux de variation enchaînés » sont une variation de cette méthode. On utilise aussi le théorème sur le sens de variation des fonctions composées, seule la présentation des résultats change.
3) Comparer A et B. Justifier votre réponse.
) 10 1 (
10
1 10
2 401
401 401
f
A =
+
−
= × et (10 )
1 10
1 10
2 400
400 400
f
B =
+
−
= × . Comme 10401 et 10400 sont tous les deux dans l’intervalle ] −1, +∞[ et que la fonction f est croissante sur cet intervalle, f(10400)< f(10401) c'est-à-dire A > B … ce que la calculatrice n’avait pas su détecter !
Point méthode : Pour montrer que deux expressions sont égales, on peut partir de l’une et la transformer jusqu’à obtenir l’autre.
Par contre, on ne peut PAS partir de
1 2 3 )
( = − +
x x
f puisqu’on ne sait pas
encore que c’est vrai.
On applique la fonction inverse qui est décroissante sur ]0, +∞[ aux nombres positifs a + 1 et b + 1. Les inégalités sont donc retournées.
On multiplie par le nombre négatif −3 donc les inégalités sont retournées.
Pratique: On regarde à chaque fois le sens de variation des fonctions sur l’espace d’arrivée de la d’arrivée de la d’arrivée de la d’arrivée de la fonction précédente fonction précédente fonction précédente fonction précédente.
Exercice 3.
Soit la fonction trinôme f définie sur RRRR par f(x)=x2 −x−2. 1) Ecrire f sous forme canonique.
4 9 2 1 4
8 4 1 2 2 1
4 1 2 2 1
) (
2 2
2
2 −
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
=x x x x x
x
f .
4 9 2 ) 1
(
2
−
−
= x x f 2) Déterminer le tableau de variation de f .
2 )
(x =x2 −x−
f est un polynôme de
degré deux, sa courbe représentative est donc une parabole tournée vers le haut (car a = +1>0) dont le sommet a pour abscisse
2 1 2
1 2 =−− =
− a
b (ce que
l’on peut aussi voir sur la forme canonique).
4 9 4 9 2 1 2 1 2
1 2
−
=
−
−
=
f .
Ces informations nous permettent de déterminer le tableau de variations de f sur R.
x -∞
2
1 +∞
Variations de f(x)
4
−9
3) Construire la courbe représentative Cf de f dans un repère orthonormal ( , , )O i jr r
(unité 2 cm).
Cg
Cf
2 3 4 5 6 7 8 -1
-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1 -2 -3 -4
0 1 1
x y
4) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe Cf avec l’axe des abscisses.
Le trinôme f(x)=x2 −x−2 a pour discriminant ∆=b2 −4ac=(−1)2 −4×1×(−2)=1+8=9=32. Le trinôme a donc deux racines distinctes 2
2 3 1
1 = + =
x et 1
2 3 1
2 = − =−
x .
Les points d’intersection de la courbe Cf avec l’axe des abscisses ont pour coordonnées (2 ; 0) et (−1 ; 0).
5) On considère la fonction g définie par ( ) 3 1
2 2
g x = − x− .
a) Tracer la représentation graphique Cg de g dans le même repère que Cf .
Remarque: On demande les coordonnées des points d’intersection, donc donner leur abscisse ne suffit pas.
g est une fonction affine donc Cg est une droite. Il suffit donc de deux points pour la construire. On utilise (1, g(1)) et (−1, g(−1)) avec 2
2 1 2 ) 3 1
( =− − =−
g et 1
2 1 2 ) 3 1
(− = − =
g .
b) Résoudre l’inéquation 2 2 3 1
2 2
x − − ≤ −x x− . Interpréter graphiquement le résultat.
Résolution : 0 2 3 0
2 3 2 0 1
2 2 1 2 3 2
1 2
2 3 2 2 2
2 −x− ≤− x− ⇔x −x+ x− + ≤ ⇔x + x− ≤ ⇔ x +x− ≤
x
(en multipliant tout par 2 pour se débarrasser des fractions).
Le trinôme 2x2 +x−3 a pour discriminant ∆=b2 −4ac=12−4×2×(−3)=1+24=25=52. Le trinôme a donc deux racines distinctes 1
4 5 1
1 = − + =
x et
2 3 4
5 1
2 =− − =−
x . 2x2 +x−3 est un polynôme de degré deux, il est donc du signe de a =2>0 à l’extérieur de ses racines.
Les solutions de
2 1 2 2 3
2−x− ≤− x−
x sont donc
− ;1 2 3 .
Interprétation : ( ) ( )
2 1 2 2 3
2 x x f x g x
x − − ≤− − ⇔ ≤ . On vient donc d’établir que les valeurs de x pour lesquelles Cf est en-dessous de Cgsont les éléments de
− ;1 2
3 . (Cohérent avec la courbe, ouf !)
Exercice 4.
Le point I est un point de l’arête [AD], le point J est un point de l’arête [DH] et le point K est un point de l’arête [FB]. Construire sur cette feuille la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJK). Sur votre copie ou sous la figure, justifiez les points essentiels de la construction.
• Intersection avec la face ABEFIntersection avec la face ABEFIntersection avec la face ABEFIntersection avec la face ABEF :
◊ Dans le plan (ADE), les droites (AE) et (IJ) sont sécantes en un point que l’on appelle P.
) ( ) ) (
( ) (
) ( )
( P IJK ABE
ABE AE
P
IJK IJ
P ⇒ ∈ ∩
⊂
∈
⊂
∈ .
K aussi est un point de (IJK)∩(ABE), donc (IJK)∩(ABD) = (PK). Dans le plan (ABE), la droite (PK) coupe (AB) en M.
→ [MK] est l’intersection du plan (IJK) et de la face ABEF.
• Intersection avec les faces BCGFIntersection avec les faces BCGFIntersection avec les faces BCGFIntersection avec les faces BCGF et EFGHet EFGHet EFGHet EFGH:
◊ Le plan (IJK) coupe les plans parallèles (ADE) et (BCG) selon des droites parallèles.
L’intersection du plan (IJK) et de la face BCGF est donc la droite parallèle à (IJ) passant par K. Elle coupe (GF) en N.
◊ De même, sachant que le plan (IJK) coupe les plans parallèles (ABC) et (EFG) selon des droites parallèles, on construit Q.
Légende : Tous les objets représentés en rouge1 sont dans le plan (IJK).
A B
C D
E
F H G
I J
K
P
M N Q
→ L’intersection du plan (IJK) avec les faces du pavé est le quadrilatère IMKNQJ.
Cet argument est indispensable pour prouver que parallèles ainsi tracées sont bien dans le plan (IJK).
« Dans le plan (XXX) » est un argument est indispensable pour prouver que les droites sont effectivement sécantes (car coplanaires et non parallèles).
Exercice 5. Section plane
ABCD est un tétraèdre. Le point I est un point de la face ABC, J est un point de la face ACD et K est un point de la face BCD. Construire sur cette feuille la section du tétraèdre ABCD par le plan (IJK). Sur votre copie ou sous la figure, justifiez les points essentiels de la construction.
Méthode Méthode Méthode Méthode :::: On utilise la section du tétraèdre par le plan intermédiaire (AIJ)(AIJ)(AIJ) pour trouver un point P (AIJ) qui soit à la fois dans le plan (IJK) et dans le plan (BCD).
A B
C
I D
J K M
N
P Q R
V U
Légende : En vert2, ce qui se passe
dans le plan
intermédiaire (AIJ).
En rouge, ce qui se passe dans le plan (IJK).
On commence par construire la section du tétraèdre par le plan (AIJ) :
● Dans le plan (ACD), les droites (CD) et (AJ) sont sécantes en un point que l’on appelle N. De même, soit M = (AI)∩(BC). M et N sont bien des points de (AIJ) car M∈(AI)⊂(AIJ)et
) ( )
(AJ AIJ
N∈ ⊂ .
● Dans le plan (AIJ), les droites (IJ) et (MN) sont sécantes en un point que l’on appelle P.
).
( ) ) (
( ) (
) ( )
( P IJK BCD
BCD MN
P
IJK IJ
P ⇒ ∈ ∩
⊂
∈
⊂
∈
On construit maintenant la section du tétraèdre par le plan (IJK) :
◊ P et K sont deux points de (IJK)∩(BCD), donc (IJK)∩(BCD) = (PK).
◊ Dans le plan (BCD), la droite (PK) coupe (BC) en Q et (CD) en R. Q et R sont tous deux des points de (IJK)∩(BCD) et [QR] est l’intersection du plan (IJK) et de la face BCD.
◊ Dans le plan (ACD), (JR) coupe (AD) en U.
◊ Dans le plan (ABC), (IQ) coupe (AB) en V.
→ L’intersection du plan (IJK) avec les faces du tétraèdre est le quadrilatère QRUV.
Autres méthodes Autres méthodes Autres méthodes Autres méthodes :::: On aurait pu utiliser un autre plan intermédiaire. Les étapes intermédiaires de construction sont différentes mais la section obtenue à la fin est évidemment la même.
2 Pour un corrigé en couleur, voir http://lhelmeg.keepandshare.com/
« Dans le plan (AIJ) » est un argument est indispensable pour prouver que les droites sont effectivement sécantes (car coplanaires et non parallèles).
