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Simulation numérique de l’effet du vent sur une structure
Halima Derbal Mokrane1*, Zahia Guezout2,
Noureddine Amrouche2, Zoubir Hamida2 and Ahmed Benzaoui1
1Laboratoire Thermodynamique et Systèmes Energétiques, Faculté de Physique USTHB, B.P. 32, El-Alia, 16111, Alger, Algérie
2Laboratoire de Mécanique Avancée, Faculté de Génie Mécanique et Génie de procédés USTHB, B.P. 32, El-Alia, 16111, Alger, Algérie
Résumé - Ce travail porte sur le domaine de l’interaction fluide- structure, en particulier sur la formulation des propriétés aléatoires du vent et ces conséquences intervenant dans la conception des structures. L’étude a donc porté sur la simulation numérique des effets aléatoires du vent turbulent sur une structure. Cette simulation a pris en considération les deux aspects micro et macrométéorologiques du vent et la topographie du site où se situe la structure. On commence par la modélisation de la structure par un système: masse- ressort- amortisseur à un degré de liberté, pour lequel les forces aérodynamiques (moyenne et fluctuante) dues à la vitesse du vent seront calculés. On commence par le calcul de la composante moyenne de la vitesse du vent à l’extrémité supérieure de la structure, en utilisant le modèle de Davenport. On passe ensuite à la simulation numérique (dans les domaines fréquentiel et temporel) de la turbulence atmosphérique, c’est-à-dire des fluctuations horizontales du vent; cette opération sera effectuée par la génération (numérique) d’un processus aléatoire simulant les caractéristiques des fluctuations de vitesse du vent présentes dans un vent turbulent. La génération d’un filtre numérique passe-bande dans le domaine temporel particulier de la résonance sera indispensable dont le but est le filtrage du signal simulant la turbulence dans ce domaine, ce qui nous permet de calculer le spectre (fréquentiel) de puissance des fluctuations de vitesse à la fréquence propre de la structure. On termine par l’évaluation temporelle des déplacements moyens (effet statique) et fluctuants (effet dynamique) de l’extrémité supérieure da la structure, dans ce domaine particulier de la résonance. Ce résultat est obtenu grâce à la résolution numérique de l’équation différentielle régissant le mouvement vibratoire de la structure.
Mots clés: Vent - Turbulence - Force fluctuante - Aérodynamique - Résonance.
1. INTRODUCTION
Toute structure d’une certaine hauteur, existant sur une surface de la terre, doit résister à la charge exercée par le vent. L’action de ce dernier sur celle-ci est globalement horizontale.
Jusqu’à un passé récent, cette action n’était pas prise en considération lors de la conception des structures pour la faible hauteur des structures, et/ou leur surdimensionnement, ce qui leur conférait une rigidité, donc une fréquence propre élevée. Cette caractéristique les mettait à l’abri du phénomène de résonance (grande amplitude de vibration).
En effet, elles étaient conçues et construites pour assurer, en tout premier lieu, les charges gravitationnelles verticales. Ainsi et pour assurer la condition supplémentaire de
* hderbal@gmail.com
stabilité, dans le sens horizontal, il est nécessaire, lors de la conception des structures, de prendre en considération l’effet du vent.
Cet effet fait alors appel à deux branches de la science: la météorologie et l’aérodynamique.
Le premier domaine (la météorologie) concerne l’étude des propriétés physiques du vent au voisinage de la structure pendant sa durée de vie.
Le second sert à déterminer les propriétés de l’écoulement autour de la structure, telles que la distribution des pressions, donc des forces sollicitant la structure.
Actuellement, à cause du caractère aléatoire du vent (la turbulence), la prédiction des conditions météorologiques et, par conséquent, l’estimation des propriétés de l’écoulement autour de la structure sont traités comme telles, c’est-à-dire par une analyse des phénomènes aléatoires.
Bien des progrès ont été faits durant les dernières années. L’estimation de la charge du vent sur les structures demeure, malgré tout, une science semi empirique basée sur des hypothèses, parfois trop simplificatrices.
2. DESCRIPTION GENERALE DU PROBLEME
La problématique posée par notre travail peut être résumée de la manière suivante:
Une structure, dont les propriétés (physiques et géométriques) sont connues, est située dans un site de topographie et à des conditions climatiques données.
Sous l’effet d’un vent turbulent, cette structure sera soumise à un mouvement vibratoire, donc à des déplacements aléatoires.
La turbulence est un phénomène aléatoire, dont les fréquences de fluctuation sont nombreuses. Parmi ces fréquences, il existe celles qui sont proches de la fréquence naturelle (propre) de la structure. Dans ce domaine particulier et important de la résonance, la réponse dynamique de la structure sera caractérisée par des déplacements optimaux.
Le but de notre travail est justement d’étudier le mouvement vibratoire de la structure, c’est-à-dire de quantifier ces déplacements fluctuants dans le domaine de la résonance en régime permanent.
Les déplacements auxquels nous nous intéressons sont de l’extrémité supérieure de la structure.
3. PROPRIETES PHYSIQUES DU VENT
Le vent est caractérisé par sa direction par rapport à la structure et son gradient de vitesses:
• En général, le système de références est tel que le vent est perpendiculaire à la surface frontale de la structure, l’angle d’inclinaison est alors considéré comme nul, c’est le cas considéré pour notre système.
• Près du sol, le vent par condition d’adhérence à une vitesse nulle. Avec l’augmentation de la hauteur, son intensité moyenne augmente. Ce dernier atteint une valeur maximale constante à une hauteur dite ‘épaisseur de la couche limite atmosphérique’. Les caractéristiques du vent, à l’intérieur de cette couche limite, sont justement celles auxquelles s’intéressent les architectes et les urbanistes.
La variation de la vitesse moyenne du vent est donnée par la formule suivante établie par Davenport [3]:
= (Z Z )α V
Vz 10 10 (1)
Où V est la vitesse moyenne du vent à une hauteur z Z, V la vitesse extrême du vent 10 à une hauteur de 10 m, et αest l’exposant de la loi de variation des vitesses, α est égal à 0.143 pour un site dégagé, 0.222 pour un site forestier et 0.400 pour un site urbain.
Dans la couche limite atmosphérique, l’un des phénomènes les plus importants qui y surviennent est la turbulence de l’écoulement, due au tourbillon causé par la rugosité du sol.
Comme les structures ont une réponse dynamique seulement pour les charges périodiques de même fréquence que la leur, la vibration de la structure est causée par une partie très infime du vent turbulent. La structure isolera alors, du vent turbulent total, la partie fréquentielle critique.
Pour pouvoir calculer l’amplitude de la réponse dynamique de cette structure, les caractéristiques, de la composante fréquentielle de la structure capables d’exciter la structure, doivent être spécifiés de manière précise. Ces caractéristiques sont déterminées par les deux grandeurs suivantes:
Le spectre fréquentiel qui quantifie la quantité d’énergie contenue dans le vent turbulent en fonction de la fréquence. Il est donné par la relation suivante:
(
2)
432 vr
X 1 ) X f ( S
+
= (2)
Avec
V10 f
X = 1200 (3)
Où f est la fréquence, X la fonction de réponse fréquentielle et Svr(f)le spectre réduit.
Le spectre de la vitesse pour un site particulier est alors donné par l’équation:
f
) f ( S . V . K . ) 4 f (
S vr
102
vd = (4)
Où Svd(f) est le spectre de puissance des vitesses établi par Davenport, Kle coefficient de rugosité, K est égal à 0.05 pour un site dégagé, 0.010 pour un site forestier et 0.025 pour un site urbain.
On peut définir aussi l’intensité de la turbulence qui définit la violence des fluctuations autour de la vitesse moyenne:
V V~ I
2 / 2 ⎟1
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
= (5)
Où I est l’intensité de la turbulence, V la vitesse moyenne du vent et V~
la vitesse fluctuante moyenne. I varie entre 0.5 et 10 % dans la couche limite atmosphérique.
4. MODELISATION DU MOUVEMENT DE LA STRUCTURE Données du problème
Le site: urbain, α = 0.4 et K = 0.025.
Le vent: ρa (masse volumique de l’air) = 1.2 kg/m³, ν (viscosité cinématique de l’air) = 15.10-6 m2/s (15 °C, 1 atm), V10= 10 m/s.
La structure: ρs = 2500 kg/m3 (béton armé). La base est un cylindre plein, de hauteur Hc = 30 m et de diamètre Dc = 5 m. Le réservoir est de forme sphérique creuse, de diamètre extérieur Dse = 20 m, l’épaisseur du réservoir est e = 5cm, ce qui donne un diamètre Dsi = 19.9 m. La hauteur totale de la structure est, approximativement de 50 m.
Les coefficients de traînée de chaque forme (CDc pour le cylindre et CDs pour la sphère) ont été déterminés sur la base des nombres de Reynolds respectifs correspondant à chaque forme [13]. Nous avons opté pour un CDg intermédiaire égal à 1.
On prend le facteur d’amortissement ξ = 0.01 (valeur communément utilisée par les auteurs [1]). Comme nous nous intéressons au phénomène de résonance la fréquence naturelle de la structure f0 doit être proche des fréquences de fluctuation des vitesses donnant des tourbillons intenses caractérisés par un niveau d’énergie (spectre fréquentiel) élevé.
] 15 [ Hz 2 . 0 f0 =
Le château d’eau sera modélisé par un système simple à un degré de liberté et qui est constitué de: une masse ‘M’, un ressort de rigidité K, un amortisseur visqueux de coefficient d’amortissement µ. (Fig. 1)
Fig. 1: Système à un degré de liberté En appliquant la seconde loi de Newton:
∑
F = M.X'' (6)Les forces internes agissant sur la structure sont:
• La force du rappel du ressort correspondant à l’élasticité de la structure, égale à kx;
• La force d’amortissement correspondant à la résistance des couches transversales de la structure au cisaillement, son expression est µX';
• La force externe s’exerçant sur la structure occasionnée par le vent F(t). L’équation régissant le mouvement de la structure sera:
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ µ +
+ M
) t ( X F
M. ' k X M. ''
X (7)
Ou bien encore:
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ ω + ω ξ
+ M
) t ( X F
. ' X . . . 2 ''
X 0 20 (8)
Avec: k la rigidité de la structure, ω0 la pulsation propre de la structure et µ le coefficient d’amortissement.
µcr µ
=
ξ (9)
µcr est le coefficient d’amortissement critique au dessus duquel le mouvement libre du système ne serait plus oscillatoire [11].
2 / cr = 2(k/M)1
µ (10)
2 0 /
0 = (k/M)1 = 2π.f
ω (11)
f0 est la fréquence naturelle de la structure.
La force F(t) est donnée par la formule:
) t ( F~ F ) t (
F = + (12)
Détermination de la force moyenne s
c F
F
F = + (13)
ds c c a
c 0.5. .CD .V .C
F = ρ (14)
Où ds est l’élément de surface cylindrique.
En se référant à la figure 2:
Fig. 2: Elément de surface sphérique
( )
θ= V . Z Z α.cos
Vc 10 10 (15)
Ce qui donne:
α + α +
α ρ
= π
102 1 2c 2 c
c 10 c a
Z . ) 1 2 ( 8
H . D . V . CD .
F . (16)
De la même manière, en se référant à la figure 2, on obtient:
[
2 1 2 1]
s .(a bcos ) (a b)
) 1 2 ( b
F c + γ α+ − + α+
+ α
= − (17)
Détermination de la force fluctuante Son expression est donnée par:
) t ( V~ . V . A . . CD F~
z a g ρ
= (18)
Si la vitesse Vz est facile à modéliser et à calculer, le problème le plus complexe réside dans le calcul de V(t).
Cette partie constituant le coeur même du sujet, elle est représentée suivant le détail ci-après.
Pour modéliser et calculer V(t), nous aurons à procéder suivant les étapes suivantes:
1- On génère un signal aléatoire donnant des nombres de même nature entre -0.5 et +0.5 avec une moyenne nulle.
Le programme permettant de le réaliser a été tiré de la référence [14].
Ces nombres aléatoires, sans dimensions, représentent les fluctuations de vitesse avec une gamme de fréquence comprise entre 0 et +∞, ils sont notés R(t).
2- On génère un filtre passe bande de bande passante BW = 0.2 f . 0
En effet, seule une très faible gamme de fréquence (celle proche de la structure) nous intéresse car nous étudions le phénomène de résonance.
Ce filtrage se fait grâce à la fonction de pondération W(τ) [10] dont l’expression est donnée par:
w w 0
w cos(2 .f . ).B .
B . 2
) . B . 2 ( ) sin (
W π τ
τ π
τ
= π
τ (19)
Le filtrage est obtenu en faisant le produit entre le signal aléatoire et la fonction du filtre dans le domaine fréquentiel.
En vertu du théorème de Plancherel [2], on peut remplacer le produit dans le domaine fréquentiel par un produit de convolution dans le domaine temporel.
La formulation mathématique de cette convolution est donnée par:
τ
∆ τ τ
−
=
∑
=
. ) ( R . ) t ( W )
t (
y i i
N 1 i
i (20)
N a été pris égale à 1024 pour deux raisons:
- Le calcul de la transformée de Fourier (pour le spectre fréquentiel) nécessite 2n points.
- Nous avons pris suffisamment de points pour avoir une évaluation temporelle à même de permettre un régime permanent (amortissement du déplacement moyen)
τ
∆ a été pris égal à 1/ (16f0) pour respecter la condition de Shanon [10] relative à l’échantillonnage du signal.
Afin d’approcher les résultats expérimentaux de Davenport, on devra corriger les résultats obtenus dans le présente étude en les multipliant par un facteur de correction
‘rap’ de telle manière que:
) f ( S ) f ( S
rap× v 0 = vd 0 (21)
) f (
Sv 0 est obtenu de la manière suivante:
- Calcul de la transformée de Fourier du signal représentant les vitesses fluctuantes en utilisant la subroutine R.F.T (Real Fourier transform).
- Calcul du spectre de puissance correspondant à la fréquence propre de la structure qui représente la valeur maximale, soit Sv(f0).
Remarque:
Le calcul de Sv(f0) a été effectué de manière séparée grâce séparée grâce au logiciel ‘Mathadvantage’.
La valeur de Sv(f0) obtenue était de 1104.9 m2/s2.
Le facteur de correction calculé à partir des spectres des vitesses est valable pour corriger la force. L’expression de la force totale deviendra:
) t ( V~ . V . A . . g D C rap F ) t (
F = + ρa z (22)
Discrétisation de l’équation du mouvement L’équation à discrétiser est:
M ) t ( F X . ' X . . . 2 ''
X + ξ ω0 + ω20 = (23)
0 ) 0 t (
X = =
0 ) 0 t ( '
X = =
Après discrétisation, l’équation du mouvement de la structure devient:
1023 , 2 i c ) i ( X . b ) 1 i ( X . a ) 1 i (
X + = − + + = (24)
avec
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
τ
∆ ω + ξ τ
⎟ ∆
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
τ
− ∆ τ
∆ ω
= ξ 0
2 0 2
) (
1 )
(
a 1 (25)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
τ
∆ ω +ξ τ
⎟ ∆
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −ω
τ
= ∆ 2 20 2 0
) (
1 )
(
b 2 (26)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
τ
∆ ω + ξ τ
⎟ ∆
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ 0
)2 (
1 M
) i (
c F (27)
Et ∆τ = 1 (16f0)
On obtient le système d’équations à résoudre:
0 ) 1 (
X =
1023 , 2 i . c ) i ( X . b ) 1 i ( X . a ) 1 i ( X
M 2 / ) 1 ( F ) ( ) 2 (
X 2
= + +
−
= +
τ
∆
=
Finalement, un simple programme permet de résoudre cette équation.
5. RESULTATS ET INTERPRETATIONS 5.1 Résultat pour une série de données fixes
Signal aléatoire (Fig. 4)
La série de nombres compris, entre -0.5 et 0.5, est bien caractérisée par une moyenne nulle, principale caractéristique des fluctuation de vitesse dans la turbulence.
Fig. 4: Signal aléatoire
Signal filtré (Fig. 5)
Il représente les fluctuations de vitesse sans dimension, au voisinage de f0, qui sont les plus importantes dans l’intervalle de temps 150 et 500 secondes ce qui rend les fluctuations de vitesse, de force et de déplacement de la structure importantes dans cet intervalle de temps
Fig. 5: Signal filtré Déplacement total de la structure (Fig. 6)
L’effet des fluctuations apparaît bien dans l’intervalle 180 – 460 s, soit durant une période de 5 mn environs. Cet effet, conséquence de V~ et F~
, fera travailler la structure en fatigue avec les conséquences dommageable attendues.
D’où la nécessité de prendre en considération ce phénomène lors de la conception de la structure.
Il est à noter que la réponse totale de la structure s’amortit vers une valeur moyenne statique de 10 cm.
Fig. 6: Déplacement total de la structure 4.2 Etude paramétrée
L’objectif est de mesurer l’effet de la variation des paramètres les plus importantes sur le comportement statique (moyen), dynamique (fluctuant) et total de la structure.
Ces paramètres sont: la hauteur et la masse de la structure, la nature du site et la vitesse extrême
V
10, ainsi que la fréquence propre de la structure et l’intensité de la turbulence dans la couche limite atmosphériqueCette étape est achevée par une analyse comparative portant sur trois formes géométrique différentes du château d’eau: tour cylindrique, structure prismatique.
Les résultats obtenus sont représentés par les figures 7, 8 et 9.
Fig. 7: Effets de H et de M sur la réponse de la structure
Fig. 8: Effets de
V
10 et du site sur le déplacementFig. 9: Effets de la forme de la structure sur le déplacement
6.CONCLUSION
Cette étude de la simulation numérique de l’effet de la turbulence atmosphérique sur la structure permet de dégager l’ensemble de conclusions suivantes:
- Les vibrations des structures sous l’effet du vent turbulent sont un phénomène complexe. La difficulté de décrire, d’une manière adéquate, aussi bien la charge du vent que la réponse dynamique de la structure est telle que plusieurs hypothèses simplificatrices ont été inévitables.
- L’étude a nécessité l’intervention combinée de plusieurs disciplines (météorologie, aérodynamique, traitement du signal), d’où sa complexité. La difficulté de l’étude résidait, entre autres, dans la méthode de simulation et de traitement de la turbulence atmosphérique présente dans le vent.
- L’étude a montré que la seule prise en considération du comportement statique (habituellement étudiée par les architectes) et nécessaire mais pas suffisante.
- Le comportement dynamique (fluctuant) de la structure est un phénomène non seulement présent mais très important à prendre en considération lors de la conception de la structure.
- L’étude a ainsi montré que les paramètres météorologiques (site, vitesse extrême), aérodynamiques (intensité de la turbulence), structuraux (hauteur, fréquence naturelle, forme géométrique, taux de remplissage) doivent être pris en considération lors de la conception de la structure.
- L’amélioration de l’étude passe, entre autres, par une modélisation à plusieurs degrés de liberté de la structure. Ceci donnera à l’étude un caractère plus ‘dynamique des structures’.
REFERENCES
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[2] A.W. Al-Khafaji and J.R. Tooley, ‘Numérical Methods in Engineering Practice’, H. Rinehart and Winston, New York, 1986.
[3] A.G. Davenport, ‘The Relationship of Wind Structure to Wind Loading’, Proceeding of the 1st Conference on Wind Effect on Building and Structures, National Physical Laboratory, Teddington, England, pp. 53 – 111, June 26-28, 1963.
[4] A. Favre, L.S.G. Kovasznaye, R. Dumas, J. Gaviglio et M. Coantic, ‘La Turbulence en Mécanique des Fluides’, Guauthier-Villars, 1976.
[5] M. Hadjal et H. Kezzar, ‘Application et Comparaison des Méthodes de Correction des Effets de Blocage, en Soufflerie Subsonique, sur des Bâtiments’, Mémoire de Fin d’Etudes, IGM, 1995.
[6] V. Kolousek, M. Fisher and J. Naprstek, ‘Wind Effect on Civil Engineering Structures’, Elsevier, 1984.
[7] M. Kunt, ‘Traitement Numérique des Signaux’, Dunod, 1981
[8] A.J. Mac Donald, ‘Wind Loading on Building’, John Wiley & Sons, 1975.
[9] M. Maouche et N. Hameni, ‘Utilisation de l’Analyse Spectrale dans le Diagnostique des Machines Tournantes’, Mémoire de Fin d’Etudes.
[10] J. Max, ‘Méthodes et Technique de Traitement du Signal et Application aux Mesures Physiques’, Masson, 1985.
[11] N. Piskounov, ‘Calcul Différentiel et Intégral’, Tome 2, 2ème Edition. Mir, 1987 [12] P. Rebuffet, ‘Aérodynamique Expérimentale’, Tome 1, Dunod, 1969.
[13] E. Simiu and R.H. Scanlan, ‘Wind Effect on Structures’, John Wiley & Sons, 1978
[14] S.A. Tenklosky, W.T. Vetterling, B.P. Fanning and H.W. Press, ‘Numerical Recipes’, Cambridge University Press, 1988.
