TP 13 Mesure de distances par des méthodes optiques

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TP 13 – Mesure de distances par des m´ ethodes optiques

Objectifs du TP :

I d´eterminer la focale et l’ouverture num´erique d’un objectif inconnu ;

I mesurer les dimensions caract´eristiques d’un objet inconnu `a l’aide de cet objectif, et de l’observation d’une figure de diffraction.

1 Etude d’un objectif de microscope ´

1.1 Distance focale de l’objectif

On souhaite d’abord mesurer la distance focale de l’objectif de microscope, modélisé comme une lentille convergente. Pour cela, on donne par l’objectif l’image d’un objet de taille connue. Dans une première

étape, nous allons déterminer la taille de cet objet en utilisant ses propriétés de diffraction.

L’objet est un trou percé dans le fond noir d’une diapositive. On choisit le trou le plus petit. On peut voir sa localisation en éclairant la diapositive par derrière avec une lampe.

Protocole 1:

I ´eclairer le trou par un laser ;

I placer un écran le plus loin possible derrière la diapositive ; I observer la tâche de diffraction.

A l’infini, la figure de diffraction donnée par un trou circulaire a la forme montrée sur la figure 1. Le diamètre angulaire 2θ_A de la tâche centrale, appelé tâche d’Airy, est relié au diamètre du trou dpar la relation :

2θ_A= 2,44λ

d (1)

avecλla longueur d’onde du laser.

Question :

1. D´eterminer, avec incertitude, le diam`etre du trou.

Figure 1 – Figure de diffraction créée par un trou circulaire, observée à l’infini Protocole 2:

I ´eclairer le trou par une lampe blanche ;

I faire l’image du trou par l’objectif, en projetant cette image sur un ´ecran ;

(2)

I mesurer le grandissement transverseγ pour diff´erentes distancesDentre l’objet et l’´ecran d’observation.

On obtient ainsi un nuage de points (D_n, γ_n) avec n entre 1 et N, o`u N est le nombre de points de mesure. La relation entreDet γ est de la forme :

1 D = 1

4f⁰ ñ

1−

Åγ+ 1 γ−1

ã2ô

. (2)

Question :

2. Définir une régression linéaire qui permet d’obtenir la distance focale f⁰. Faire cette régression et déterminer la focale de l’objectif.

1.2 Ouverture num´erique de l’objectif

L’ouverture numérique (ON) d’un système optique est définie par :

ON =n₀sini₀ (3)

oùn0 est l’indice optique du milieu ambiant, eti0est l’angle entre l’axe optique et le rayon le plus écarté de l’axe optique et qui entre dans le système. Dans la cas de l’objectif de microscope que nous étudions, le milieu ambiant est l’air (n0 = 1) et donc l’ouverture numérique est simplement sini0.

L’idée, pour mesurer l’ON, est d’éclairer l’objectifà l’enversc’est-à-dire en faisant rentrer un faisceau lumineux par sa sortie. Le faisceau lumineux qui entre dans l’objectif par l’arrière doit être bien parallèle, et suffisamment large pour que l’onde plane éclaire bien tout l’arrière de l’objectif.

Protocole 3:

I Faire passer le faisceau laser par un objectif auxiliaire, afin de le faire diverger ;

I mettre la sortie de l’objectif auxiliaire dans le plan focal objet d’un condenseur, afin d’obtenir en sortie un faisceau large bien parall`ele ;

I éclairer avec ce faisceau l’arrière de l’objectif étudié ;

I observer la divergence du faisceau en sortie de l’objectif étudié, en regardant la trace laissée sur un écran le plus éloigné possible de la sortie de l’objectif d’étude.

Question :

3. Mesurer l’angle du cône de lumière en sortie de l’objectif. En déduire l’ON de l’objectif.

2 Etude des dimensions caract´ ´ eristiques d’un objet inconnu

L’objet inconnu est une grille (grille I).

2.1 Etude par l’observation `´ a l’objectif de microscope Protocole 4:

I ´eclairer la grille par une lampe blanche ;

I faire l’image de la grille par l’objectif, en projetant cette image sur un ´ecran ;

(3)

I mesurer le grandissement transverseγ pour diff´erentes distancesDentre l’objet et l’´ecran d’observation.

La relation entreDet les dimensions caractéristiques de l’objetABet de l’imageA⁰B⁰, déjà donnée sous la forme de l’équation 2, est de la forme :

A⁰B⁰=AB 1 +^»1−^4f_D⁰

−1 +^»1− ^4f_D⁰ (4)

On obtient ainsi un nuage de points Ö

1 +^q1−^4f_D⁰

n

−1 +^q1− ^4f_D⁰

n

, A⁰B⁰_n è

avec nentre 1 etN, o`uN est le nombre de points de mesure.

Question :

4. Définir une régression linéaire qui permet d’obtenir les dimensions caractéristiques de l’objetAB.

Faire cette régression et déterminer les dimensions caractéristiques de la grille : pas et épaisseur des fils.

2.2 Etude par la figure de diffraction´ Protocole 5:

I ´eclairer la grille par un laser ;

I placer un ´ecran le plus loin possible derri`ere la grille ; I observer la figure de diffraction.

Questions :

5. D´eterminer, avec incertitude, le pas et l’´epaisseur des fils.

6. Comparer cette mesure avec celle obtenue `a l’aide de l’objectif de microscope.

(4)

(5)

TP 14 – spectrom` etre ` a r´ eseau

Objectifs du TP :

I r´egler le goniom`etre ;

I ´etalonner un r´eseau de traits par transmission inconnu ;

I à l’aide du goniomètre à réseau, déterminer les longueurs d’onde dans le spectre d’une lampe inconnue.

1 R´ eglage du goniom` etre

Protocole 1:

Figure 2 – R´eticule

I Allumer la lampe de la lunette de visée, tirer le miroir puis régler l’oculaire (le réticule doit être net).

I Régler la lunette à l’infini par auto-collimation sur la face d’un bloc de verre placé sur la platine du goniomètre (la réflexion du réticule sur la face du bloc de verre doit être nette). Quand ce réglage est fini, éteindre la lampe de la lunette de visée et retirer le miroir.

I Eclairer la fente du collimateur avec la lampe spectrale `´ a mercure.

I R´egler le collimateur `a l’infini (on observe alors avec la lunette une image bien nette de la fente).

I Placer le réseau dans son support sur la platine du goniomètre. La plateforme du plateau possède trois vis disposées en triangle : vérifier le parallélisme entre la fenêtre d’entrée du goniomètre, les traits du réseau et l’axe de rotation de la platine.

I Ajuster ´eventuellement l’orientation et la largeur de la fente du collimateur de fa¸con `a observer des raies fines, suffisamment lumineuses et bien verticales.

Appeler le professeur

2 Etalonnage du r´ ´ eseau

Etalonner le r´eseau de traits signifie d´eterminer son pas´ a.

On éclaire le réseau avec la lumière d’une lampe à vapeur de mercure.

Protocole 2:

I Dans la direction du faisceau incident, observer la raie blanche légèrement bleutée correspondant

`

a l’ordre 0 puis tourner ensuite la lunette pour observer les raies des spectres d’ordre 1 et −1, 2 et

−2, etc. Dessiner les observations sur un cahier ou `a d´efaut une feuille de papier.

I Faire tourner le réseau pour se placer au minimum de déviation pour une raie lumineuse à l’ordre 1 : voir figure 3. Faire de même pour l’ordre −1.

I En déduire la déviation minimale de la même raie dans l’ordre 1.

I Faire la mˆeme mesure pour plusieurs raies dans plusieurs ordres dans le spectre de la lumi`ere du mercure : voir tableau 1.

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source (λ)

réseau θ₀

θ_p D(λ,p)

Figure3 – R´eseau au minimum de d´eviation pour un certain ordre p

Au minimum de déviation, on aθ0 =−θ_p et donc D=θp−θ0 = 2θp. Ainsi, à partir de la relation des réseaux, on a :

2 sin

ÇD_m(λ, p) 2

å

=pλ

a (1)

avec a le pas du réseau, λ la longueur d’onde considérée, p l’ordre considéré et Dm(λ, p) la déviation minimale dans l’ordreppour la longueur d’onde λ.

Question :

1. Les documents donnés à la fin de cet énoncé, présentent des propriétés spectrales de la lumière

émise par une lampe à vapeur de mercure. La figure 5, en particulier, montre le spectre de cette lumière pour différentes valeurs de la pression du gaz de mercure dans l’ampoule. Pourquoi la largeur des raies augmente-t-elle avec la pression ?

2. À l’aide d’une régression linéaire, déterminer le pas a du réseau, avec incertitude. Comparer à la valeur notée sur le réseau.

3 Etude spectroscopique de la source inconnue ´

Protocole 3:

I Remplacer la lampe spectrale `a mercure par la lampe spectrale inconnue.

I Mesurer le minimum de déviation pour une raie donnée dans au moins un ordre, si possible plusieurs. Faire de même pour chaque raie.

Questions :

3. D´eterminer les longueurs d’onde des raies dans le spectre de la lampe spectrale inconnue.

4. Existe-t-il un doublet dans la lampe inconnue ? Peut-il être résolu ? Le mesurer, ou du moins donner un ordre de grandeur. Proposer une méthode pour améliorer le pouvoir de résolution.

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DOCUMENTS : SPECTRE DE LA LUMI` ERE DU MERCURE

λ(nm) couleur 365,4 violet 404,7 indigo

435,8 bleu

546,1 vert

578,2 jaune-orange Tableau 1 – Longueur d’onde des raies lumineuses présentes de manière importante dans la lumière du mercure, dans le spectre du visible

Figure 4 – Spectre de la lumière émise par une lampe à vapeur de mercure

Figure 5 – Spectre de la lumière émise par des lampes à vapeur de mercure où le gaz de mercure est sous des pressions différentes

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TP 15 – spectrom` etre ` a prisme

Objectifs du TP :

I r´egler le goniom`etre ;

I ´etalonner un prisme inconnu ;

I à l’aide du goniomètre à prisme, déterminer les longueurs d’onde dans le spectre d’une lampe inconnue.

La lumière est transmise à l’entrée dans un prisme, puis à sa sortie. Cette transmission s’accompagne d’une déviation due à la réfraction : voir figure 6. De plus, comme le verre du prisme est dispersif, les différentes longueurs d’onde ne sortent pas avec la même déviation : le bleu est plus dévié que le rouge.

Figure 6 – Lumi`ere transmise dans le prisme : notations pour les diff´erents angles

1 R´ eglage du goniom` etre

Protocole 1:

Figure 7 – R´eticule

I Allumer la lampe de la lunette de visée, tirer le miroir puis régler l’oculaire (le réticule doit être net).

I Régler la lunette à l’infini par auto-collimation sur la face du prisme placé sur la platine du goniomètre (la réflexion du réticule sur la face du prisme doit être nette).

Quand ce réglage est fini, éteindre la lampe de la lunette de visée et retirer le miroir.

I Eclairer la fente du collimateur avec la lampe spectrale `´ a mercure.

I R´egler le collimateur `a l’infini (on observe alors avec la lunette une image bien nette de la fente).

I Placer le prisme dans son support sur la platine du goniomètre. La plateforme du plateau possède trois vis disposées en triangle : vérifier le parallélisme entre la fenêtre d’entrée du goniomètre, l’arête du prisme et l’axe de rotation de la platine.

I Ajuster ´eventuellement l’orientation et la largeur de la fente du collimateur de fa¸con `a observer des raies fines, suffisamment lumineuses et bien verticales.

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2 Etalonnage du prisme ´

Etalonner le prisme signifie mesurer son angle au sommet´ A et son indice optique npour les longueurs d’onde dans le visible.

Figure 8 – Mesure de l’angle du prisme `a l’aide du goniom`etre Protocole 2:

I Allumer la lampe de la lunette de visée, tirer le miroir. Placer la lunette perpendiculairement à l’une des faces du prisme, en observant le réticule et son image après réflexion. Mesurer la position de la lunette.

I Placer la lunette perpendiculairement `a l’autre face du prisme, mesurer la position de la lunette.

Question :

1. En d´eduire la valeur de l’angle du prisme : voir figure 8.

Protocole 3:

I Eteindre la lampe de la lunette de vis´ee et retirer le miroir. ´´ Eclairer le prisme avec la lampe `a vapeur de mercure.

I Faire tourner le prisme pour se placer au minimum de d´eviation pour une raie lumineuse. Mesurer la d´eviation minimale pour cette raie.

I Faire la mˆeme mesure pour plusieurs raies dans le spectre de la lumi`ere du mercure : voir tableau 2.

Au minimum de déviation, on a i=i⁰ =i_m et doncD = 2i_m−A etA = 2r_m. Ainsi, à partir de la loi de la réfraction, on a :

sin

ÇD_m(λ) +A 2

å

=nsin ÅA

2 ã

(1) avecλla longueur d’onde considérée et D_m(λ) la déviation minimale pour la longueur d’ondeλ.

Questions :

2. Les documents donnés à la fin de cet énoncé, présentent des propriétés spectrales de la lumière

émise par une lampe à vapeur de mercure. La figure 10, en particulier, montre le spectre de cette lumière pour différentes valeurs de la pression du gaz de mercure dans l’ampoule. Pourquoi la largeur des raies augmente-t-elle avec la pression ?

3. Déterminer l’indicendu réseau, pour les différentes longueurs d’onde dans la lumière du mercure.

La dispersion du verre est mod´elis´ee par la loi de Cauchy : n(λ) =a+ b

λ² (2)

aveca etbdes param`etres positifs caract´eristiques du verre constituant le prisme.

Question :

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4. A l’aide d’une régression linéaire bien définie, déterminer les valeurs des paramètresaetbpour le prisme utilisé.

3 Etude spectroscopique de la source inconnue ´

Protocole 4:

I Remplacer la lampe spectrale `a mercure par la lampe spectrale inconnue.

I Mesurer le minimum de d´eviation pour chaque raie dans le spectre de cette lampe.

Appeler le professeur Question :

5. D´eterminer les longueurs d’onde des raies dans le spectre de la lampe spectrale inconnue.

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DOCUMENTS : SPECTRE DE LA LUMI` ERE DU MERCURE

λ(nm) couleur 365,4 violet 404,7 indigo

435,8 bleu

546,1 vert

578,2 jaune-orange Tableau 2 – Longueur d’onde des raies lumineuses présentes de manière importante dans la lumière du mercure, dans le spectre du visible

Figure 9 – Spectre de la lumière émise par une lampe à vapeur de mercure

Figure10 – Spectre de la lumière émise par des lampes à vapeur de mercure où le gaz de mercure est sous des pressions différentes

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TP 16 – Fentes d’Young et r´ eseau

Objectifs du TP :

I réaliser un montage à fentes d’Young puis un montage à réseau ;

I `a l’aide des deux montages, mesurer la longueur d’onde d’une raie spectrale ;

1 Etalonnage des fentes et du r´ ´ eseau

Nous allons tout d’abord étalonner les fentes, c’est-à-dire mesurer l’écartementades fentes, et la largeur bdes fentes supposées identiques.

Protocole 1:

I ´eclairer les fentes directement avec un laser ;

I observer la figure d’interférences sur un écran aussi éloigné que possible des fentes ;

La longueur d’onde du laser est suppos´ee connue : voir indication du constructeur sur le corps du laser.

Question :

1. A partir de l’observation de la figure d’interférences, déterminer l’écartementaet la largeurb. Pour déterminer l’écartement, on utilisera une régression linéaire bien définie. Proposer des incertitudes sur les valeurs de aet de b.

L’éclairement observé sur l’écran, est en fait le produit de deux termes :

E(M) =E₀A_interf(M)A_diffrac(M) (1)

avecA_interfetA_diffrac des termes qui représentent l’effet resp. des interférences avec des fentes infiniment fines, et de la diffraction par une seule fente. Dans le cas limite où les fentes sont infiniment fines, alors le termeAdiffrac(M) est indépendant de M, et l’éclairement est celui que nous avons décrit en cours :

A_interf(M) = 1 + cos ∆ϕ et ∆ϕ= 2π ax

λD (2)

avecD la distance entre les fentes et l’´ecran d’observation. Le terme de diffraction s’´ecrit : Adiffrac(M) = sinc²

Å π bx

λD ã

avec sincu= sinu

u . (3)

Ce terme prend des valeurs non négligeables dans l’intervalle des valeurs dexentre −λD/bet +λD/b: on dit que la frange centrale de diffraction a une largeur 2λD/b. On remarque enfin que, dans la limite b→0, la largeur de la frange centrale de diffraction tend vers l’infini : on retrouve que l’éclairement ne dépend alors que des interférences entre fentes, et non de la largeur d’une fente.

La figure 11 donne une représentation graphique de E(M), dans le cas où les fentes sont d’une largeur non négligeable.

Nous étalonnons ensuite le réseau, c’est-à-dire que nous mesurons son pasa.

Protocole 2:

I ´eclairer le r´eseau directement avec un laser ;

I observer la figure d’interférences sur un écran aussi éloigné que possible.

Question :

2. A partir de l’observation de la figure d’interférences, déterminer le pasa. On utilisera une régression linéaire bien définie. Proposer une incertitude. Comparer la valeur de a à celle indiquée par le constructeur.

Dans toute la suite, la source de lumière est placée à l’infini, et les interférences sont observées à l’infini.

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Figure11 – Éclairement sur l’écran, dans le cas d’une fente simple, et de deux fentes d’Young de même largeur que la fente simple. En abscisse : la position sur l’écran, dans la direction perpendiculaire aux franges ; en ordonnée : l’éclairement. Les maxima d’éclairement prennent des valeurs différentes, du fait de la diffraction de la lumière

2 Mesures spectroscopiques

2.1 Fentes d’Young Protocole 3:

I Eclairer la fente avec la lampe `´ a vapeur de mercure ;

I mettre la fente au foyer objet d’une lentille convergente, et placer l’´ecran d’observation au foyer image d’une autre lentille convergente ;

I placer le filtre interf´erentiel vert sur le trajet de la lumi`ere ;

I placer les fentes d’Young derri`ere le filtre, sur le trajet de la lumi`ere.

Questions :

3. Décrire et interpréter la figure observée sur l’écran.

4. En d´eduire la longueur d’onde de la raie verte du mercure. Incertitude.

2.2 R´eseau de traits en transmission Protocole 4:

I Remplacer les fentes d’Young par le réseau de traits, et enlever le filtre interférentiel ; I observer les raies vertes et les doublets jaunes du mercure sur l’écran d’observation ; Questions :

5. D´eterminer, `a partir de ces observations, la longueur d’onde de la raie verte du mercure. Incertitude.

6. D´eterminer la distance s´eparant les deux raies du doublet jaune du mercure.

3 Interf´ erences en lumi` ere blanche

Protocole 5:

I Remplacer la lampe `a vapeur de mercure par une lampe blanche ; I observer la figure d’interf´erences.

Afin de mieux visualiser la figure d’interf´erences, on place une ligne de cellules CCD pour recueillir la lumi`ere dans le plan focal image de la lentille de sortie.

Protocole 6:

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I régler l’oscilloscope ; s’il y a saturation du signal, diminuer l’intensité lumineuse en utilisant un ensemble polariseur-analyseur plus ou moins croisés.

I observer le profil d’´eclairement sur l’´ecran de l’oscilloscope.

I d´enombrer les interfranges.

Question :

7. A partir de vos observations, proposer un ordre de grandeur de la longueur de coh´erence de la lumi`ere blanche.

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TP 17 – interf´ erom` etre de Michelson en lame d’air

Objectifs du TP :

I mesurer l’indice de l’air `a l’aide du Michelson ;

I ´evaluer la longueur de coh´erence d’une source lumineuse ayant un spectre de raie.

L’interf´erom`etre de Michelson (IM) est un instrument fragile et cher. Il faut le manipuler avec le plus grand soin. En particulier,il ne faut pas toucher les miroirs.

La constitution de l’interféromètre est rappelée dans la figure 12.

Figure 12 – A gauche : photographie d’un interféromètre de Michelson. A droite : schéma de l’in- terféromètre

1 Eclairage avec une source laser ´

Les conditions de l’éclairage laser ne sont pas exigeantes : on peut placer le laser directement à l’entrée, et observer en sortie directement sur un écran. Il faut cependant veiller à placer sur le passage du faisceau laser un objectif de microscope, afin de faire diverger le faisceau, et d’obtenir un faisceau large qui éclaire bien les miroirs de l’IM.

1.1 Observation et optimisation des anneaux d’´egale inclinaison au laser Protocole 1:

I Placer le laser et l’objectif de microscope à l’entrée de l’IM ; les deux miroirs doivent être bien illuminés.

I Placer l’écran à environ 50 cm de la sortie de l’IM. Vous devez déjà observer des franges sur l’écran.

I Jouer sur les vis (G1) et (G2) du miroir M₂, afin d’améliorer le parallélisme des miroirs et de faire apparaˆıtre le centre des anneaux sur l’écran.

I Charioter le miroir M₂ avec la vis (T) de mani`ere `a observer une dizaine d’anneaux.

Remarque : Lorsque le contact optique approche, les anneaux rentrent dans le centre de la figure, l’in- terfrange augmente et le nombre d’anneaux sur l’´ecran diminue.

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La valeur de la longueur d’onde du laser est suppos´ee connue : elle est indiqu´ee par le constructeur sur le corps du laser.

Question :

1. Mesurer, sur l’écran, les diamètres des 10 premiers anneaux brillants de la figure d’interférences.

En déduire, à l’aide d’une régression linéaire bien définie, la valeur de l’épaisseur de la lame d’air.

1.2 Mesure de l’indice de l’air

Une formulation de l’indice de l’air, valable sous certaines conditions définies, fut approuvée par la Commission conjointe pour la spectroscopie (Joint Commission for Spectroscopy) à Rome en septembre 1952, comme suit :

nair= 1 + 10⁻⁸× Ç

6432,8 +2949810×λ²

146×λ²−1 + 25540×λ² 41×λ²−1

å

. (1)

Cette formule est valable pour des longueurs d’ondeλexprimées enµm et comprises entre 0,2 m et 1,35 m, c’est-à-dire entre l’ultraviolet proche et l’infrarouge proche, dans de l’air sec contenant 0,03% de CO₂ par volume à 15^◦C et à une pression de 101,325 kPa¹.

Protocole 2:

I Placer la cuve à vide sur le trajet de la lumière devant le miroir M₂. Charioter le miroir M₂ de manière à observer une dizaine d’anneaux.

I R´ealiser le vide dans la cuve.

I Ouvrir la valve de vidange pour un remplissage lent. Compter le nombre d’anneaux qui d´efilent.

Si le remplissage est trop rapide, utiliser un téléphone portable pour enregistrer une vidéo du défilement des anneaux.

I Refaire la mesure plusieurs fois.

I Mesurer la longueurL±∆Lde la cuve. Elle doit ˆetre d’environ 25 mm ou 40 mm selon les postes.

On suppose que, en fin de pompage, le vide dans la cuve est suffisant pour avoirn= 1.

Questions :

2. En déduire l’indice de l’air n_air ±∆n_air à pression atmosphérique et à température ambiante.

Expliquer la démarche à l’aide d’un schéma optique. Justifier l’évaluation des incertitudes.

3. Commenter la pr´ecision de la mesure. Comparer avec la valeur donn´ee par la formule 1.

2 Eclairage avec une source ayant un spectre de raie ´

L’interféromètre étant réglé en lame d’air au contact optique, remplacer le laser par la lampe à vapeur de mercure. Placer un filtre interférentiel vert entre la source et l’entrée de l’IM. Ce filtre sélectionne la raie verte du mercure, qui est centrée sur la longueur d’ondeλ0 = 546 nm.

Protocole 3:

1. Source : Hans Bach et Norbert Neuroth,The properties of optical glass, Berlin, Springer, 1998, 2`eme ´ed.

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I S’écarter un peu du contact optique, de manière à observer quelques anneaux ;

I Placer le centre de la cible de la cellule CCD au niveau du centre du syst`eme d’anneaux ;

I Continuer à s’écarter du contact optique ; visualiser en même temps les variations de l’intensité détectée par le capteur CCD ;

I Arrˆeter le chariotage quand les variations du signal CCD sont devenues n´egligeables ;

I A partir de ce point, revenir en arrière, en enregistrant les variations d’intensité enregistrées par le capteur CCD : traverser le contact optique et continuer à charioter jusqu’à ce que les variations du signal CCD soient devenues négligeables .

On obtient un diagramme de l’intensit´e lumineuse I en fonction de la distance parcourue au cours du tempsx. On pourra prendre l’origine du d´eplacementx au niveau du contact optique.

Question :

4. Proposer un critère de brouillage des interférences. Donner, à partir de ce critère, la valeur de la longueur de cohérence de la lumière.