Problème numéro A 632

Problème numéro A 632

Énoncé.

On s’intéresse aux partitions de l’entier 2018 enkentiers distincts strictement positifs dont le PPCM (plus petit commun multiple)p_kest le plus petit possible. Ainsip₁=2018 etp₂=2016 avec la partition 2018=2016+2, tout autre partition de 2018 de la forme 2018=a+(2018−a) donnant un PPCM deaet 2018−astrictement supérieur à 2016.

Q1.Démontrer que la suite desp_kcontient un nombre fini de termes.

Q2.Déterminer les termes de la suite desp_kpourkvariant de 3 à 9.

Q3.Déterminer la valeur minimale des termes de la suite desp_ket les indiceskpour lesquel cette valeur minimale est atteinte.

Q4.Pour les plus courageux : determiner la valeur du dernier terme de la suite desp_k.

Solution.

Q1.Pourkentier≥1, on pose

p_k:=min{s≥1|il existe 1≤a₁<a₂< · · · <a_ktel quea₁+. . .a_k=2018 ets=PPCM(a₁, . . . ,a_k)}, avecp_k= +∞s’il n’existe aucune partitition, i.e., si l’ensemble dont on prend le minimum est vide.

Soitk≥64. Supposons qu’il existe 1≤a₁<a₂< · · · <a_ktel quea₁+. . .a_k=2018. On a alors 2080=1+2+3+ · · · +64≤1+2+3+ · · · +k≤a₁+. . .a_k=2018,

ce qui implique 2080≤2018 ce qui est impossible. Ainsip_k= +∞.

Q2.

Cas 1 :k=3.

Montrons quep₃=1344. Remarquons que six:=672 alors 2+x+2x=2018,

avec PPCM(2,x, 2x)=2x=1344. Donc , par définition dep₃, nous avons p₃≤1344.

Pour montrer l’égalité, il suffit de prouver quep₃≥1344. Soita<b<c tels quea+b+c=2018 et tels que PPCM(a,b,c)=p₃. D’une part

2018=a+b+c≤(c+2)+(c+1)+c=3c+3,

doncc≥672. Siane divise pascalors il existe un nombre premier q≥2 qui diviseamais pasc, et alors PPCM(a,b,c)≥qc≥2c=1344, et on obtient le résultat souhaité dans ce cas. De même sibne divise pasc.

Donc on peut supposer maintenant queaetbdivisec. Notonsd:=PGCD(a,b).ddiviseaetbet aussic, donc ddivise 2018=2×1009 avec 1009 nombre premier. Ainsi il ne reste plus qued=1 oud=2. Supposons tout d’abord qued =1. Alorsaetbsont premiers entre eux et donc, d’après Gauss,ab divisec et il existeu≥1 entier tel que

c=uab.

Donc nous obtenons l’égalité :

a+b+uab=2018.

•a=1 est impossible car alorsb(1+u)=2017, ce qui contredit la primarité de 2017.

•Sia=2, alors 2+b+2ub=2018, soitb(1+2u)=2016. On obtientb≤2016/3=672 etc=2018−b≥1346.

Le nombre PPCM(a,b,c) sera encore ici plus grand que 1344.

•Sia≥3, alors on peut supposer queb≥6 (car sinonc≥2009 !)) etc=uab≥ab≥2(a+b) (en effet 1/a+1/b≤1/3+1/6=1/2). Donc

2018=a+b+c≤3/2c etp₃≥c≥1346.

Supposons maintenant qued=2 ; on posea=2a⁰b=2b⁰etc=2c⁰aveca⁰+b⁰+c⁰=1009 eta⁰,b⁰premiers entre eux. En reprenant le même type de raisonnement on aboutit encore à la bonne conclusion. Ainsip₃≥1344.

Cas 2 :k=4.

Poury:=288, nous avons

2+y+2y+4y=2018,

avec PPCM(2,y, 2y, 4y)=4y=1152. Donc , par définition dep₄, nous avons p₄≤1152.

Je ne sais pas si cette inégalité est en fait une égalité ! Cas 3 :k=5.

Pourz:=134, nous avons

8+z+2z+4z+8z=2018,

avec PPCM(8,z, 2z, 4z, 8z)=8z=1072. Donc , par définition dep₅, nous avons p₅≤1072.

Je ne sais pas si cette inégalité est en fait une égalité ! Cas 3 :k=6, 7, 8 et 9.

Pour calculer les valeurs exactes dep₆, . . . ,p₉, j’ai utilisé un programme informatique. Fixonsk∈{6, 7, 8, 9}. On crée la liste des valeursnentre 2 et 2018, telles que la somme deskplus grands diviseurs densoit≥2018. Cette liste est assez longue. Mais quand on regarde à la main de près les premières valeursn₁,n₂, . . . de cette liste, les essais dekdiviseurs den_ipour lesquelles leur somme est égale à 2018 est réduite. On trouve miraculeusement une première solution assez rapidement, dans les 5 premières valeurs denpossibles en général. Ceci semble plus fastidieux pourk=4 et 5. Cette valeur minimal denest bien-sûr la valeur dep_k. Nous avons obtenu alors :

•p₆=990=2×3²×5×11avec l’égalité

2+3+198+330+495+990=2018 et PPCM(2, 3, 198, 330, 495, 990)=990.

•p₇=840=2³×3×5×7 avec l’égalité

40+60+168+210+280+420+840=2018 et PPCM(40, 60, 168, 210, 280, 420, 840)=816.

•p₈=816=2⁴×3×17 avec l’égalité

12+68+102+136+204+272+408+816=2018 et PPCM(12, 68, 102, 136, 204, 272, 408, 816)=816.

•p9=780=2²×3×5×13 avec l’égalité

3+26+78+130+156+195+260+390+780=2018 et PPCM(3, 26, 78, 130, 156, 195, 260, 390, 780)=780.

Q3.Notons

p^?:=min

k≥1 p_k. (1)

Il existe donc un entierk≥1 et une suite d’entiersa1< · · · <a_kaveca1+. . .a_k=2018 tels quep^?=PPCM(a1, . . . ,a_k).

Ce PPCM s’écrit sous la forme

p^?=(q^?₁)^α?1. . . (q^?_s)^α?s,

oùsest un entier≥1,q₁^?< · · · <q_s^?sont des nombres premiers et oùα^?1, . . .α^?s sont des entiers≥1. Nous allons maintenant procéder en plusieurs étapes.

Etape 1.Il est clair, d’après (1), quep^?≤p₂=2016. Nous avons donc une supérieure pourp^?qui, je l’avoue, est très large (on peut faire mieux avec la question Q2 !). L’objectif de cette première étape est de donner une bonne inférieure pourp^?. Pour touti=1 . . .k, il existe 0≤α1(i)≤α^?₁, . . . , 0≤αs(i)≤α^?s tels que

a_i=q₁^?α1(i). . .q^?_s ^αs(i). Comme lesa_i sont distincts deux à deux, nous avons

2018=a₁+ · · · +a_k≤ X

0≤i₁≤α^?₁,...,0≤i_s≤α^?s

q₁^?i1. . .q^?_s ^is=

s

Y

j=1

³

1+q^?_j +q^?_j ²+ · · · +q^?_j ^α?j´

=

s

Y

j=1

q^?_j ^α?j+1−1 q^?_j −1 . Ainsi nous avons montré que

p^?≥p₋:=min





 n=Y

j∈J

q^α_j^j :Y

j∈J

q^α_j^j+1−1 q_j−1 ≥2018







. (2)

oùY

j∈J

q^α_j^jest la décomposition en facteurs premiers den.

En utilisant le logiciel Scilab (ou Maple) et la commande factor() qui décompose un entier en facteurs pre- miers, il est très simple à l’aide d’un petit programme d’obtenir cette borne inférieure. On obtient

p₋=720=2⁴×3²×5.

Etape 2.Dans cette deuxième étape nous allons montrer quep^?=p₋. D’après la première étape, nous avons (1+2+4+8+16)(1+3+9)(1+5)=2418≥2018.

En développant ce produit, on obtient le nombre 2418 comme la somme des 30 diviseurs de 720 suivants L:=[[1 2 4 8 16][3 6 12 24 48][9 18 36 72 144][5 10 20 40 80][15 30 60 120 240][45 90 180 360 720]]

dont le PPCM est bien-sûr 720. Alors il est évident que 2018 est somme de tous ces nombres privés de 360, 36 et 4 (360+36+4=400 !). Nous avons donc montré que 2018 est somme de 27 nombres distincts≥1 dont le PPCM est 720. Par définition dep₂₇, ceci entraîne :

p27≤720=p₋.

Grâce à (1), on conclutp^?≤p₂₇≤p₋. D’où l’égalité souhaitée puisque nous avons démontré l’inégalité inverse

(2) dans la première étape.

Etape 3.Pour avoir une décompositiona₁≤ · · · ≤a_kde 2018 avec un PPCM de 720, il faut que lesa_i appar- tiennent à la listeLdécrite dans l’étape 2. En prenant les 9 plus grand nombres, nous avons

720+360+240+180+144+120+90+80+72=2006.

Donck>9 et on constate que 720+360+240+180+144+120+90+80+72+12=2018, ce qui signifie que p₁₀≤720 et donc, par l’étape 2, on a finalement :

p₁₀=720.

Ayant beaucoup de choix de partitions, il est simple de montrer aussi que : p10=p11= · · · =p26=p27=720.

Ensuite bien-sûrp_k>720 pourk>27.

Q4.D’après la première question on comprend bien quep₆₃est la dernière valeur finie et on a 2016=1+2+3+ · · · +63≤a₁+. . .a_k=2018.

les seules partitions possibles sont`1:=(1, 2, 3, . . . , 60, 61, 62, 65) et`2:=(1, 2, 3, . . . , 60, 61, 63, 64). Or PPCM(`1)= PPCM(1, 2, . . . , 61) et PPCM(`2)=PPCM(1, 2, . . . , 61, 64). D’où

p₆₃=PPCM(1, 2, . . . , 61).

On a alorsp₆₃=2⁵×3³×5²×7²×11×13×17×19× · · · ×59×61 soit p63=591133442051411133755680800.