A20449. PGCD, combien de divisions ?

A20449. PGCD, combien de divisions ?

L’algorithme d’Euclide inclut une suite de divisions pour déterminer le PGCD de deux entiers. Donnez un majorant du nombre de ces divisions quand les entiers en cause ne dépassent pasc chiffres.

Solution

A partir de deux entiersu₀ > u₁ >0, l’algorithme d’Euclide forme une suite décroissante par la relation u_n+1 = un−1 modu_n. Le PGCD est le dernier terme non nul de cette suite.

Ecrivons les divisionsun−1=anun+un+1; chaque division ajoute un “étage”

à la fraction continue (selon l’usage, chaque expression à partir de la droite s’ajoute au dénominateur situé immédiatement à sa gauche)

u0

u1

=a1+ 1 a2+

1 a3+

1 a4+

1 . . .

Ainsi u₀/u₁ est la dernière réduite de la fraction continue formée avec les quotients successifs d’Euclide, les premières réduites étanta₁/1,

(a1a2+ 1)/a2, etc.

Les réduites successives p_n/q_n s’obtiennent, à partir de la suite des a_n par les récurrencesp_n+1 =p_na_n+pn−1,q_n+1 =q_na_n+_n−1; à n donné, p_n etq_n sont fonctions croissantes de tous lesaj,j < n.

Les plus petits termes fournissant une fraction ànétages correspondent au n-upleta_j : 1, 1, . . ., 1, 1, 2. Par exemple, la suite 1,1,1,1,2 donne

1 + 1 1+

1 1+

1 1+

1 2 = 8

5 = F6

F₅, quotient de termes successifs de la suite de Fibonacci. Les quatre divisions 8/5, 5/3, 3/2 et enfin 2/1 sans reste montrent que pour nécessiterndivisions, il fautu0≥Fn+2,

Notonsϕle nombre d’or ;F_n+2 est voisin deϕⁿ⁺²/(ϕ+ 1/ϕ)> ϕⁿ>10^n/5. D’où le majorantn <5 logu₀ <5c siu₀ s’écrit (en décimal) avec cchiffres.

Ce théorème publié en 1844 est dû à Gabriel Lamé (X 1814).