Enonc´e noD234 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je remarque d’abord queM A2−M B2 =M D2−M C2.
En effet, ces diff´erences sont d´etermin´ees par la position de M par rapport
`
a la m´ediatrice commune aux segments (´egaux)AB etCD.
DoncM D2 = 9 + 1−4 = 6.
Je combine ensuite les expressions donn´ees pour ´eliminer √ 2.
q
95−4√ 2
2
+ q
58 + 4√ 2
2
= 153 = 17·9 = 17·M C2. q
95−4√ 2
2
+ q
7 + 4√ 2
2
= 102 = 17·6 = 17·M D2. q
10−4√ 2
2
+ q
58 + 4√ 2
2
= 68 = 17·4 = 17·M B2. q
10−4√ 2
2
+ q
7 + 4√ 2
2
= 17 = 17·M A2. Ainsi, au facteur √
17 pr`es, les 4 termes de l’expression propos´ee corres- pondent respectivement
– pour q
95−4√
2, `a une projection commune `aM C etM D, celle surBC; – pour
q
58 + 4√
2, `a une projection commune `aM C etM B, celle surAB; – pour
q
10−4√
2, `a une projection commune `aAM etM B, celle surBC; – pour
q 7 + 4√
2, `a une projection commune `aAM etDM, celle sur AB.
L’expression donn´ee vaut donc, au facteur √
17 pr`es, la diff´erence entre la projection de la polygonaleAM B surAB et la projection de la polygonale AM C surBC. Ces projections ´etantAB etBC, la diff´erence vaut z´ero.
Autre m´ethode
Je regroupe d’abord les termes positifs ; le carr´e de leur somme est q
95−4√ 2 +
q
10−4√ 2
2
= 105−8√ 2 + 2
q
982−420√ 2 =
= 105−8√
2 + 2(21√
2−10) = 85 + 34√ 2.
Faisant de mˆeme avec les termes n´egatifs q
58 + 4√ 2 +
q 7 + 4√
2 2
= 65 + 8√ 2 + 2
q
438 + 260√ 2 =
= 65 + 8√
2 + 2(13√
2 + 10) = 85 + 34√ 2.
La valeur cherch´ee est donc q
85 + 34√ 2−
q
85 + 34√ 2 = 0.
On retrouve 85 + 34√
2 = 17(5 + 2√
2) = 17·AB2, car l’angle (M A, M B) = 3π/4.
En effet, la rotation de centreB et d’angle π/2 qui am`eneC enAam`eneM en P. Le triangle BM P est isoc`ele rectangle enB et l’angle (M P, M B) = π/4. On aM P =M B√
2 = 2√
2,AP =M C = 3, M A= 1, donc (Pytha- gore) le triangleAM P est rectangle enM.
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