Solution analytique du problème de la réfraction de la houle

(1)

Mécanique des fluide

Solution analytique du problème de la réfraction de la houle

Analytical resolution of the swell refraction problem

par P.M. Petridis

Marine Technology Development, Grèce

This paper deaLs with the swell refraction in a Less deep area, where the swell speed is affected by the deepness decrease. The analytical resoLution proposed uses the Snell's Law.

(3)

III • SOLUTION ANALYTIQUE POUR UN FOND D'INCLINAISON CONSTANTE ET UNE PROFONDEUR INTERMÉ- DIAIRE ET FAIBLE

métrique suivante de l'équation des orthogonales (avec la célérité de phase C comme paramètre) dérive:

X=C _{. J} l

^CYzlZ)

_. ^[~gT+2n:C

4 ln T 'l-C+ ~

^grc]

^A ^dC+Co

l-c2

è

n g -~, gl -4~c

x

=

F (C, co)

=

F (C,0)+Co (4)

y=y(tO(C))

=<j>(C) Après l'intégration, il résulte:

Après une longue série de manipulations, l'intégration de (3) conduit aux relations finales suivantes qui constituent la solution paramétrique de l'équation des orthogonales:

Casa :a o^<^sin-¹^(tanhⁿ⁾ _ cot<p {

{(l-aCC)~

X - - - ln - - -

2a_g

è

1+acC .

(2) L'analyse utilise la loi de Snell. Si les lignes de niveau sont des droites parallèles, la validité de la loi pour toute profondeur peut être prouvée théoriquement sur la base de l'équa- tion différentielle de phase «<eiconal equation »). La formulation mathématique de la loi est la suivante:

sin a / C=sin a o/ Co=c (constante)=(2n sin a o) /

(gT

tanhn)

(1) où

C, Co' a, a o sont respectivement les célérités de phase de la houle à la profondeurdo' d, et les angles entre la direction de la houle et la normale sur la ligne de niveau de profondeur do' d, Test la période de la houle (constante) etg est l'accélération de la gravité.

II • ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DES COURBES ORTHOGONALES

Sur la base de la loi de Snell et pour une géométrie simple l'équation différentielle des courbes orthogonales prend la forme:

1 • LOI DE BASE DE L'ANALYSE

La constanteCode l'orthogonale dépend du système de réfé- rence.

Considérant la fonction du fond z=j(y) et substituant la

célérité de phase d'après la formule d'Airy, la forme para-

(

^{V 1 -}^{V 1 -}

^{~ ~}

^~~^c^c^c^{C - V}⁺^V^{a -}^{a - 1. c.}^1.^c.^C^C

^)l/a~ ^.

LA HOUILLE BLANCHFJN° 7-1998

Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1998076

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SOLUTION ANALYTIQUE DU PROBLÈME DE LA RÉFRACTION DE LA HOULE _

cotlpag (l_sina)CaSa

=- - 2- .ln 1 . +2tan

a

+^Co

200 +sma

(7)

_ CT 1 gT+

mC _

^{cot lp.a.g} ^. ¹

(1

⁺^{a sin}

a)

y - cotlp. 4 . n T "'-C - 2 'sm

a

n I ·

n g - L.JL 200 - a sm

a

{ { (

~. );Ia~

=cotlp~ag ln (l_as~na)casa. cosa+Va-l sma .

200 1+a sma cosa - ~sina

[ (l-COSa)(l-sina~ -Sin2a)]~/a}}+co

(l-cosa)(l +sina~-sin2a)

=

^FI(C,^co)

=

^Fj(a,^co) ⁽⁵⁾

Cas b :al)<sin-¹(tanh lt) cotlp {

(1 _

^aCc)J^i_c²^C²

x = - - - ln - - - 2agC² 1+acC

pour tous les cas

=<P(C)=<f(a) où

a= tanh lt/sina o cp est l'angle d'inclinaison du fond.

(8)

En utilisant les équations précédemment dérivées et les conditions aux limites, pour chaque intervalle (i), la réfrac- tion a lieu conformément aux équations:

= cot lp.ag{ln

(1 -

^a

s~n

^a)casa

200² 1+asma

+2_a

b

₁_{_a}²

^tan-I(~

^+tana)-

IV • PROFONDEUR VARIABLE

x=

F;" (C,

^lpj'

0) - F;" (Ci'

^lp,"

0)

^+XOj

y=<Pk

(C,

^lpi)+Ai

avec:

où:

(9)

~ _1(sina~(I-COSa))}

^r.

- . tan +'"1J

a sin2a-(I-cosa)

=

^F2(C, co)= F~(C, co)

Cas c: a o<sin-^I (tanh lt)

cotlp (1 -

CC)~

^2cC

X=--ln - - + +c

2gc2 1+cC

J

1 _ c2è a

(6)

oùXII est connu.

Les valeurs de l'indicekcorrespondent aux cas(a), (b), (c) respectivement.

o

1 1 1 1 1

i~:,-7u:_rtl_i3,_rE:!i-j:f?'_'1J_~~~ ^{:_=_: :::} :_~_~_~ ^::;; ~~~~~:;;:~::~~~~~~~~

-- - - -- - - ^- - - - - - ^-

^-'

^- ^{- -} ^-

^{- - -}

^-

^{- - -}

^-

^{- -}^- ^-

^-

^- ^{- -}

^{- - -} ^- ^-

^-

^{- - -}

^"

- !-l - - - --- ..

_ :.!ÎJ! - - - - ..

1 1 1 1 1 1 1

~J

a

1 1 1 1

z

1. Section du fond avec des variations linéaires de la profondeur par segments.

LA HOUILLE BLANCHE/N° 7·1998

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Mécanique des fluide~

• = 10°

00 3 30°

Lo • 100

(-SO), .•...• , _ ...•..••..

(-)01 , ..

.(oiO) ..

. (·J5) _ .

'('~SJ - . "

(-1$) _-_.- _ ..

(·tOl , '" .

2. Comparaison des résultats des solutions analytique, numérique et graphique.

·,(-tO) .. ···• 1 , ..

/ / ./

".t

C- 5)··· 'f-·/ ECHELLE 1 : 1200

--- Solution analytique Solution numérique Solution graphique

v • PRÉSENTATION DES RÉSULTATS

Les données d'application sont les suivantes:

Sur la figure 2, on constate une concordance très satisfai- sante entre les solutions analytique et numérique.

Dans le cas d'une variation linéaire de la profondeur, les résultats de la solution analytique du problème de la propa- gation de la houle sont présentés sur la figure 2 comparés avec les résultats d'une solution numérique (basée sur le schéma numérique de Griswold-Lepetit) et de la solution graphique.

Angle d'inclinaison du fond:

Angle d'incidence de la houle à grande profondeur:

Longueur d'onde à grande profondeur:

cp= 10·

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