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ANALYSE : LES DOMAINES
Calculs de domaines
PrPréérreeqquuiiss :: rrééssoolluuttiioonnss dd’’ééqquuaattiioonnss eett dd’’iinnééqquuaattiioonnss ((++ttaabblleeaauuxx ddee ssiiggnneess)) Pour trouver le domaine d’une fonction, il faut :
1) écrire les conditions d’existence 2) résoudre ces conditions
Résumé sur les conditions d’existence :
k x R E C x R x
f
k x
R E C x R x
f
x R E C pair n avec x
R x x N
f
x R E C pair n avec x R x f
x D E x C D
x x N
f
n n
) ( : . . ) ( cot ) (
) 2 ( : . . ) ( tan ) (
0 ) ( : . . ) (
) (
) ) (
(
0 ) ( : . . ) (
) ( ) (
0 ) ( : . ) . (
) ) (
(
Rem : s’il n’y a pas de condition d’existence, le domaine est R Exercices (niveau 4ème)
première série
f x x
x f x x
x x f x x f x x f x x x
f x x x f x x f x x
x x f x x f x x
f x x
x f x x
x f x x
x f x
x f
( ) ( )
² ( ) ( ) ² ( ) ²
( ) ² ( ) ² ( )
² ( ) ( )
( ) ² ( ) ( )
² ( ) cos
1 2 1
3
10 25 5 7 4 49 10 9
4 4 2
2 5 4 2 7
3 2
3 1
1 2
3 9
1
3
( )x sinx f x( ) x
x x
4
1 deuxième série
5 ) 1 (
² ) 4
( cos )
sin ( ) 1
² ( 9 ) 3
( 2 1
3 ) 1
² ( 2 ) 4 (
7 2 ) ( 4 5 ) ( 5
² ) 2
(
² 25 ) ( 9 6
² ) (
5 16
² 3 )
( 4
² 49 )
( 11 5 ) 25 ( 10
² ) 3 12 ( 2 ) 1 (
3
x x x x f x x
x f x
x f x x
f x x x
x f x x
f
x x
f x x
f x x x x
f x x
f x x x f
x x x
f x
x f x x
x f x x x x f
x x f
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Solutions des exercices de la première série
D= R\{-1} D= R\{5} ]
7 ,5 ]
D ; [
2 [7 2] , 7
]
D D],9][1,[ D = R D = R f(x) n’existe pas D = R D = R
[ , 0 ] [ 0 , 3
[
D [
2 ,1 3 ]1
D D[0,[
R k k Z
D ,
/ 2
Z k
k k
D
[ 2,(2 1)] D]1,0[]0,4] Solutions des exercices de la deuxième série
D= R\{12} D= R\{5} ]
11 , 5 ]
D ]
2 ,7 2 [7
D ,5]
3 [1
D
D = R D = R f(x) n’existe pas D = R D = R [
, 0 ] [ 0 , 4
[
D [
3 ,1 2 ]1
D D],0] DR/
k,kZ
Z k
k k
D
2 ]
,2 2 2
[
] 2 , 1 ] [ 1 , 5
]
D
Rechercher les domaines et comparer les fonctions
1. ² 1
) 1
(
x x x
f
1 ) 1
(
x x g
2. 4
) 2
(
x x x f
4 ) 2
(
x x x g
3. x
x x
f
1 ) 5 (
x x x
g
1 ) 5 (
4. f(x) (x1)² g(x)( x1)² Solutions
1. Df = R \ {-1,1} Dg = R \ {1}
) 1 (
1 ) 1 )(
1 (
1 1
² ) 1
( g x
x x
x x x
x x
f
sur leur domaine commun R \ {1}
2. Df = ],2]]4,[ Dg = ]4,[
Sur leur domaine commun : ]4,[, on peut écrire 4
2 4
) 2 (
x x x
x x
f car les deux radicands sont positifs d’où f(x) = g(x) 3. Df = ]1, 5] Dg est l’ensemble vide (g(x) n’existe pas)
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4. Df = R Dg = [1,[
1 ] , 1]
[ , 1 [ 1 1
)
( x sur
sur x x
x
f g(x) = x + 1 sur [1,[
f(x) = g(x) sur leur domaine commun [1,[
