ECOLE DE L'AIR MATH 2 2005

ECOLE DE L'AIR MATH 2 2005

La r¶edaction du sujet suppose parfois, sans le dire, que quand le paramµetre t d¶ecrit R, le paramµetresd¶ecrit aussiR. prendre un mobile dont la vitesse est pour t2R ^dsdt(t) =_1+t¹2 ,td¶ecrira l'intervalle ]¡¼=2; ¼=2[

1.a)

Soit provisoirement ½ la courbure (pour distinguer du c du sujet) .Soit s quelconque , z(s) est l'a±xe de M(s) et z⁰(s) est l'a±xe de ¡!T(s) , ce qui impose jz⁰(s)j = 1 . Si on d¶erive une seconde fois z"(s) est l'a±xe du vecteur

µ x"(s) y"(s)

¶

=

½¡¡!

(s)N(s) =½(s)R¼=2(¡!

T(s)) . Or une rotation d'angle ¼=2 se traduit par une multiplication par le complexe de module 1 et d'argument ¼=2 , donc pari. z"(s) =½(s)iz⁰(s) .

On a donc : z"(s) =ic(s)z⁰(s) si et seulement siic(s)z⁰(s) =i½(s)z⁰(s) Or z⁰(s) est de module 1 donc toujours non nul. Le r¶esultat pr¶ec¶edent ¶equivaut donc µac(s) =½(s) .

8s2R,z"(s) =c(s)iz⁰(s) , si et seulement sicest la fonction courbure 1.b)

² Sicest la fonction nullez v¶eri¯e l'¶equationz" = 0 , doncz⁰ est constante et de module 1 , il existeµtel quez⁰(s) =e^iµ en int¶egrant z(s) =e^iµs+z0 . Soit

½ x = cos (µ)s+x0

y= sin (µ)s+y0

On v¶eri¯e que pour une telle courbe¡!T(s) =

µ cos (µ) sin (µ)

¶

et ^d_ds^¡!T =¡!0

une courbe de courbure toujours nulle est incluse dans une droite , la droite entiµere sisd¶ecrit R

² Sicest une constante non nul on a : z"(s) =ciz⁰(s) , donc en int¶egrant l'¶equation di®¶erentiellez⁰(s) =Ke^cis . et comm jz⁰s)j= 1 il existe µtel quez⁰(s) =e^iµe^ics. En int¶egrant

z(s) =e^iµe^ics ic +z0

On a doncjz(s)¡z0j= _j¹_cj

Une courbe de courburecconstante non nulle est incluse dans un cercle de rayon ¹_c R¶eciproquement on v¶eri¯e que pour un cercle de rayonR la courbure est constante et vaut _R¹ .

Si tous les points sont des sommets , la courbe est donc un morceau de droite ou un morceau de cercle.

1.c)

Si c(s) = _1+s¹2 on a z"(s) = _1+sⁱ 2z⁰(s) , et donc z⁰(s) = Ke^{iar ctan(s)} .La condition z⁰(0) = 1 donne K = 1 . Donc z(s) = cos (arctan(s)) +isin(arctan(s)):

A simpli¯er par la trigonom¶etrie : siµ= arctan(s) on aµ2]¡¼=2; ¼=2[ et tan (µ) =s. Or tan²(µ) + 1 = 1

cos²(µ) , et tan (µ) = sin (µ) cos (µ) donc cos²(µ) =_1+s¹2 et comme sur le domaine cos (µ)¸0 , cos (µ) =p ¹

1+s² et sin (µ) = p ^s

1+s² . doncz⁰(s) =p ¹

1+s²+ip ^s 1+s²

; on peut donc prendre la primitive telle quez(0) =i

z(s) = argsh(s) +ip 1 +s²

Si on poses=sh(t) , on a donc z=t+i ch(t) doncy=ch(x) . la courbe est incluse dans une cha^³nette.

2) sommet d'une parabole.

On remarquera que,test homogµene µa une longueur et donc aussip . 2.a)

On a ^d_dt^¡!M(t) = µ 1

t=p

¶

donc ^ds_dt (t) =°°°^ddt^¡M!(t)°°°= ¹_pp

p²+t² . D'oµu :

¡!T (t) = p ¹

t²+p²

µ p t

¶

,¡!N(t) =p ¹

t²+p²

µ ¡t p

¶

ces deux vecteurs sont de norme 1 .

2.b)

On d¶erive¡!

T par rapport µa t d¡!

T dt (t) =

à _¡pt

(p²+t²)³⁼²

¡t

(t²+p²)³⁼²:t+ p ¹

t²+p²

!

=

à _¡pt

(p²+t²)³⁼²

¡t

(t²+p²)³⁼²:t+ ^p2+t2

(t²+p²)³⁼²

!

=

à _¡pt (p²+t²)³⁼²

p² (p²+t²)³⁼²

!

= p

p²+t²

¡!N(t)

d'oµu la courbure en utilisant ^dT_ds = ^dT_dt ^dt_ds

c(t) = ^p2

(p²+t²)³⁼²

qui est bien homogµene µa l'inverse d'une longueur (le rayon de courbure) 2.c)

On a donc ^dc_dt(t) =¡3p²_(p2+t^t₂₎5=2 . La d¶eriv¶ee par rapport µa test donc nulle si et seulement sitest nul.

la parabole admet un seul sommet (au sens du sujet) le pointt= 0 qui est aussi le sommet au sens usuel.

3) sommet d'une ellipse.

a et b sont homogµenes a des longueurs . La v¶eri¯cation de l'homog¶en¶eit¶e des formules et la v¶eri¯cation de ^dT_dt==N doivent vous prot¶eger de la grande majorit¶e des erreurs de calcul.

Je note S = sin etC = cos . On a donc ¡¡!OM = µ aC

bS

¶

donc en d¶erivant ^d_dt^¡M! =

µ ¡aS bC

¶

et °°°^ddt^¡M!

°°

° =p

a²S²+b²C²soit

¡!T = p ¹ a²S²+b²C²:

µ ¡aS bC

¶

et ¡!

N = ^p_a2S²¹+b²C²: µ ¡bC

¡aS

¶

(de norme 1) . Puis : d¡!

T

dt = ¡¡

a²¡b²¢ SC (a²S²+b²C²)³⁼²:

µ ¡aS bC

¶

+ 1

pa²S²+b²C²

µ ¡aC

¡bS

¶

= 1

(a²S²+b²C²)³⁼² µ a¡

a²¡b²¢

S²C¡aC¡

a²S²+b²C²¢

¡b¡

a²¡b²¢

SC²¡bS¡

a²S²+b²C²¢

¶

= 1

(a²S²+b²C²)³⁼²

µ ¡ab²C¡

S²+C²¢

¡ba²S¡

C²+S²¢

¶

= 1

(a²S²+b²C²)³⁼²

µ ¡ab²C

¡ba²S

¶

= ab

(a²S²+b²C²)

¡! N

d'oµu comme ^d_ds^¡!T =^d_dt^¡!T :_ds^dt

c= _(a2S2+b^ab_2C2)3=2

homogµene µa l'inverse d'une longueur.

et donc :

dc

dt = ¡3ab¡

a²¡b²¢ SC (a²S²+b²C²)⁵⁼²

Comme a6=b la d¶eriv¶ee est nulle si et seulement si sin(t) = 0 ou cos(t) = 0 . donct = 0[¼=2]

Remarque : Sia=b on retrouve le cas du cercle oµu tous les points sont des sommets:

l'ellipse admet quatre sommets (au sens du sujet) qui sont aussi les sommets au sens usuel.

4.a) ¯gure 1

La courbe ¶etantC³la fonctionY estC³et donc continue . Le th¶eorµeme de Rolle permet donc de dire que commeY change de signe sur [u; v] ,Y admet une racine sur [u; v] .

Par hypothµese s1; s2; w sont deux µa deux distincts et situ¶es strictement sur la m^eme p¶eriode de M . Les trois points sont deux µa deux distincts et align¶es sur la droiteY = 0 .

NotonsA; B; C ces trois points avec une notation telle queB2]A; C[ .

² Soit la tangente en B partage le plan en deux demi plans ouverts , l'un contenant A l'autre C . Ce qui contred l'hypothµese que la courbe reste incluse dans un seul demi plan ouvert. . D'oµu l'absurdit¶e.

² Soit la tangente est la droite ABC ce qui contredit la convexit¶e stricte.

4.b) ¯gure 2

D'aprµes l'absurdit¶e pr¶ec¶edente, la courbe pour s 2]s1; s2[ est donc situ¶ee dans l'un des demis plans ouverts d¶e¯ni par la droite M(s1)M(s2) . en rempla»cants1 par s2 et s2 par s1+Lon a le m^eme r¶esultat. Reste µa prouver que les deux demis plans sont distincts. Par l'absurde supposant que la courbe sur ]s1; s2[ et sur ]s2; s2+L[ soit dans le m^eme demi plan (par exempleY >0) .

On a alors que Y est minimum ens2 et donc comme la fonction est C¹ on aY⁰(s2) = 0 . Comme la courbe est r¶eguliµere X⁰(s2)6= 0 et la tangente en M(s2) est donc la droite Y = 0 . Elle passe par M(s1)6= M(s2) ce qui contredit la stricte convexit¶e.

chaque corde M(s1)M(s₂₎ partage le plan en demi plans ouverts contenant chacun un arc de courbes1 < s < s2 ous2< s <

5.a)

L'image d'un segment par une fonction continue est un segment . On peut l'appliquer au segment [O; L] avec la fonction continueY. Il existe un minimum atteint en un point not¶e s1 et un maximum en un point not¶es2 .

La fonction ¶etantC¹ la d¶eriv¶ee aux extr¶emums est nulle. Donc

il existe au moins deux sommetsM(s1) etM(s2) 5.b)

sur [s1; s2] la d¶eriv¶ee est de signe constant ( par hypothµese il n'y a pas d'autre racines , donc par continuit¶e pas d'autre changement de signe) .Or on a un minimum ens1et un maximum ens2. La d¶eriv¶ee est donc positive sur [s1; s2] strictement positive sur ]s1; s2[ . Comme on suppose aussiY(s)>0 on ac⁰(s)Y(s) positif sur [s1; s2] , strictement positif sur ]s1; s2[:

Sur ]s2; s1+L[ on a par la m^eme ¶etude des variations et l'hypothµese sur les racines de c⁰ : c⁰(s)< 0 . La question 4 nous donneY(s)<0 . Donc sur ]s2; s1+L[c⁰(s)Y(s)>0 .

On intµegre donc une fonction continue positive , strictement positive en au moins un point donc Rs1+L

s1 Y(s)c⁰(s)ds > 0

Si on intµegre par parties avec les fonctionsC¹,setY (la classe des donn¶ees ne laisse pas le choix) Z s₁+L

s₁

Y(s)c⁰(s)ds= [Y c]^s_s^1+L

1 ¡

Z s₁+L s₁

Y⁰(s)c(s)ds

Le morceau tout int¶egr¶e est nul par p¶eriode L . Prouvons que l'autre est aussi nul . On prend le repµere de Frenet dans le nouveau repµere :

¡!T = µ X⁰

Y⁰

¶ ,¡!N =

µ ¡Y⁰ X⁰

¶

cY⁰ est donc l'oppos¶e de l'abscisse dec¡!

N de primitive¡!

T . On a donc Z s1+L

s₁

Y⁰(s)c(s)ds=¡[X⁰]^s_s^1+L

1 = 0 par p¶eriode D'oµu l'absurdit¶e 0>0 .

Si on ne suppose pasY(s)>0 sur ]s1; s2[ la question 4 montre queY(s)<0 et donc ...Rs1+L

s1 Y(s)c⁰(s)ds <0 d'oµu l'absurdit¶e.

Il existe au moins un troisiµeme sommetM(s3) 5.c)

Supposons qu'il n'y ai que trois sommets .

² s1¶etant un minimum la d¶eriv¶ee est positive µa droite des1 (et n¶egative µa gauche) donc la d¶eriv¶ee est positive sur [s1; s3

et donc strictement positive sur ]s1; s3[ .

² s2¶etant un maximum la d¶eriv¶ee est positive µa gauche des1(et n¶egative µa droite) donc la d¶eriv¶ee est positive sur [s3; s2

et donc strictement positive sur ]s3; s2[ .

² La d¶eriv¶ee s'annule ens3 sans changer de signe.

² L'¶etude du 5:breste alors valable sauf en s3 oµuc⁰(s)Y(s) est nul au lieu d'^etre strictement positif (ou n¶egatif) . Il rest toujours des points oµu l'expression est non nulle . l'int¶egrale Rs1+L

s1 Y⁰(s)c(s)ds est donc toujours strictement positiv (n¶egative).. Mais elle est aussi nulle d'oµu l'absurdit¶e.

Si on suppose ques3 est compris entres2 et s1+Lon a le m^eme r¶esultat en se pla»cant sur [s2; s2+L] au lieu de [s1; s1+L]

une courbe planeC³p¶eriodique strictement convexe admet au moins 4 sommets.

Remarque : pour l'ellipseM(s1) est un sommet du petit axe ,M(s2) un sommet du grand axe. Su l'un des arcs de courbes reliantM(s1) µaM(s2) il n'y a pas d'autre sommet. Sur l'autre il y en a deux.