Réarrangement relatif revisité

(1)

HAL Id: hal-03277063

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03277063

Preprint submitted on 2 Jul 2021

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Réarrangement relatif revisité

Jean Michel Rakotoson

To cite this version:

Jean Michel Rakotoson. Réarrangement relatif revisité. 2021. �hal-03277063�

(2)

RAKOTOSON JEAN MICHEL

Laboratoire de Math´ ematiques et Applications Universit´ e de Poitiers

UMR CNRS 7348 -SP2MI,

Bat H3 -Boulevard Marie et Pierre Curie T´ el´ eport 2, F-86962 Chasseneuil Futuroscope Cedex, France

rako@math.univ-poitiers.fr

1

(3)

On se propose ici de donner quelques r´ esultats r´ ecents qui compl` etent et am´ eliorent les r´ esultats connus dans la litt´ erature en utilisant le r´ earrangement relatif.

Par commodit´ e pour le lecteur, nous reprenons l’´ enonc´ e de certains de

ces r´ esultats

(4)

Part 1. Compl´ ement et am´ eliorations de r´ esultats connus

1. In´ egalit´ es ponctuelles et inclusion dans les espaces de fonction de Banach Nous avons vu dans le livre [1]

¹

que si Ω est un ouvert born´ e connexe u ∈ W

_loc^1,1

(Ω), alors son r´ earrangement d´ ecroissant u

∗

est dans W

_loc^1,1

(Ω

∗

). Il s’av` ere que lorsque l’on connaˆıt un peu la r´ egularit´ e de la frontri` ere de Ω alors on peur relier la d´ eriv´ ee u

⁰_∗

de u

∗

avec le r´ earrangement relatif de |∇u| par rapport ` a u lorsque u ∈ W

^1,1

(Ω), ce qui nous conduit

`

a une in´ egalit´ e de la forme

(1) − du

_∗

ds (s) 6 K (s; Ω) · |∇u|

_∗u

(s) p.p dans Ω

_∗

. La fonction K(·; Ω) d´ epend essentiellement du domaine Ω.

Dans les articles [18]

²

, [19]

³

nous avons utilis´ e la classe de domaines J

_α

, α >

_N¹⁰

=

^N_N⁻¹

introduite par [17]

⁴

, lorsque Ω ∈ J

_α

, alors il existe une constante Q

_α

(Ω) > 0 t.q ∀ E ∈ Ω measurable

(2) P

_Ω

(E ) > Q

_α

(Ω)

⁻¹

min

|E|

^α

; |Ω| − |E|

^α

.

Au regard du Th´ eor` eme 3.3.1 de [1] (voir aussi la d´ efinition 1.1 ci- apr` es) pour cette classe de domaine, on a

(3) − du

∗

ds 6 Q

_α

(Ω)

⁺¹

max

s

^α

; (|Ω| − s)

^α

· |∇u|

∗u

(s).

Les in´ egalit´ es type (1)

donc (3)

conduisent ` a une m´ ethode simple pour obtenir des in´ egalit´ es de type Sobolev pour les espaces invariants par r´ earrangement comme les espaces L

^p

(Ω) ou les espaces de Lorentz.

Comme nous avons stipul´ e dans [1], les r´ esultats obtenus compl` etent certaines lacunes dans les inclusions classiques. En effet, les r´ esultats classiques sur les inclusions de Sobolev nous indiquent que W

₀^1,N

(Ω) est contenu dans L

^q

(Ω) pour tout q fini, et que si

1

[1] Rakotoson J.M. R´ earrangement Relatif,.. (2008)

2

[18] Rakotoson, J.M. and Temam, R. CRAS (1987)

3

[19] Rakotoson, J.M. and Temam, R. Arch. Rational Mech. Anal. (1990)

4

[17] Maz´ja, V. Sobolev spaces. (1985)

(5)

p > N alors W

₀^1,p

(Ω) est contenu (aussi de fa¸con continue) dans les espaces h¨ olderiens C

^0,1−^N^p

(Ω). On constate qu’il “manque” des espaces interm´ ediaires X(Ω) satisfaisant : W

₀^1,p

(Ω) ⊂

_>

6=

X(Ω) ⊂

_>

6=

W

₀^1,N

(Ω) et X(Ω) ⊂ C(Ω). E.M. Stein [22]

⁵

a montr´ e que l’espace de Lorentz-Sobolev

W

¹

L

^N,1

(Ω) = n

f ∈ L

¹

(Ω) : |∇f | ∈ L

^N,1

(Ω) o

est contenu dans l’ensemble des fonctions continues C(Ω). Pour cela, en utilisant une repr´ esentation int´ egrale de f , il montre que pour tout cube Q(h) de cˆ ot´ e |h|, pour tout x et x + h dans Q(h), on a :

|f(x + h) − f (x)| 6 c|∇f χ

_Q(h)

|

_L^N,1

.

La m´ ethode que nous proposons dans ce chapitre nous conduira ` a red´ emontrer ce r´ esultat mais en mˆ eme temps ` a pr´ eciser la constante, on prouvera en particulier que W

¹

L

^N,1

(Ω) ⊂ C(Ω) et ∀ u ∈ W

¹

L

^N,1

(Ω), ∀ x ∈ Ω t.q. B(x, r) ⊂ Ω, on a :

(4) osc

B(x,r)

u 6 α

¹⁻

1 N

N

α

_N−1

αNr^N

Z

t

^N¹

|∇u|

_∗

dt t

0

.

Cette in´ egalit´ e d´ ecoule d’une in´ egalit´ e plus g´ en´ erale sur W

^1,1

(Ω) stipulant que si u est la restriction de u ` a B(x, r) alors

(5) osc

B(x,r)

u 6 α

¹⁻

1 N

N

α

_N−1

αNr^N

Z

s

^N¹⁻¹

|∇u|

_∗u

∗

(s)ds

0

.

Lorsque l’ouvert Ω est lipschitzien, on aura ;

(6) W

¹

L

^N,1

(Ω) ⊂

_>

C(Ω).

On notera d´ esormais

W

¹

L(Ω, ρ) = n

v ∈ L

¹

(Ω), ρ(|∇v |) < +∞ o lorsque L(Ω, ρ). est un espace de fonction de Banach.

Nous montrerons que la m´ ethode pourrait ˆ etre appliqu´ ee ` a diff´ erentes inclusions con- cernant les espaces de Sobolev associ´ es ` a des espaces de fonction de Banach L(Ω, ρ) :

5

[22] Stein, E.M. Annals of Math (1981)

(6)

W

¹

L(Ω, ρ) invariants par r´ earrangement. Entre autre, si nous consid´ erons les espaces bmo

_r

(Ω) (bounded mean oscillation) muni de la norme

|v|

_bmo

= sup

B⊂Ω

|B|

⁻¹

Z

B

|v(x) − v

_B

|dx

+ |v|

₁

o` u v

_B

= |B|

⁻¹

Z

B

v(y)dy, B ´ etant une boule quelconque dans Ω (voir [5]

⁶

), alors

(7) W

¹

L

^N,∞

(Ω) ⊂

_>

bmo

_r

(Ω).

Un des lemmes clef qui permet de prouver l’inclusion est le suivant Lemme 1.1.

Soit v ∈ W

^1,1

(Ω). Alors pour toute boule B contenue dans Ω on a

|B |

⁻¹

Z

B

|v (x) − v

_B

|dx 6 2

^N¹

α

¹⁻

1 N

N

a · α

N−1

Z

a 0

M ax

t

^N¹

; (a − t)

^N¹

|∇u|

_∗u

(t)dt o` u u = v

B

, v

_B

= |B|

⁻¹

Z

B

v(y)dy, a = |B|.

De plus,

(8) W

¹

L

^N

(Ω) ⊂

>

vmo

r

(Ω)

(vmo

_r

(Ω) est un sous-espace de bmo

_r

, vmo est l’abr´ eg´ e de vanishing mean oscillation) Si on consid` ere l’ensemble W

¹

L

^N)

(Ω), L

^N)

(Ω) ´ etant le grand espace de Lebesgue d’exposant N d´ efini par

L

^N⁾

(Ω) = n

v : Ω → IR measurable sup

0<ε<N−1

ε

Z

Ω

|v (x)|

^N^−ε

dx

_N−ε¹

est fini o on aura

W

¹

L

^N)

(Ω) ⊂

_>

L

_exp

(Ω).

L’espace L

_exp

(Ω) est d´ efini par L

_exp

(Ω) = n

v : Ω → IR measurable : sup

0<t<|Ω|

|v|

∗

(t) 1 − Log t

|Ω|

< +∞ o

Notons que nous avons les inclusions suivantes :

L

^(N

(Ω) ⊂ L

^N,1

(Ω) ⊂ L

^N

(Ω) ⊂ L

^N,∞

(Ω) ⊂ L

^N⁾

(Ω),

6

[5] Cianchi, A. Pick, L. Arch. fur Math. (1998)

(7)

C(Ω) ⊂ vmo

_r

(Ω) ⊂ bmo

_r

(Ω) ⊂ L

_exp

(Ω).

Ces espaces sont dits espaces “limites”.

L

^(N

(Ω) est l’espace associ´ e de L

^N⁰⁾

(Ω), N

⁰

= N N − 1

Les injections pr´ ec´ edentes sont continues et les constantes d’inclusion sont diff´ erentes.

Par exemple, pour

W

¹

L

^(N

(Ω) = n

u ∈ L

¹

(Ω) : |∇u|

_(N

< +∞ o

, N > 2 on a

osc

B(x,r)

u 6 α

¹⁻

1 N

N

α

N−1

|Ω|N N − 1

1−_N¹

∇u · χ

_B(x,r)

(N

.

Nous retrouverons d’autres in´ egalit´ es de Poincar´ e-Sobolev classiques mais avec comme suppl´ ement une estimation de la constante d’inclusion. Notamment :

W

¹

L

^p

(Ω) = W

^1,p

(Ω) ⊂

_>

C

^0,α

(Ω), α = 1 − p N .

W

¹

L

^p,q

(Ω) ⊂ L

^p^∗^,q

(Ω) pour 1 6 p < N, 1 6 q 6 +∞, p

^∗

= N p N − p .

Toutes ces estimations s’obtiendront d’abord ` a l’aide du r´ earrangement relatif du gradient |∇u|

∗u

. Voici la d´ efinition fondamentale ` a partir de laquelle on aura les inclusions pr´ ec´ edentes.

D´ efinition 1.1 (propri´ et´ e PSR ).

Nous dirons qu’un sous-ensemble V de W

^1,1

(Ω) v´ erifie les in´ egalit´ es de Poincar´ e-Sobolev pour le r´ earrangement relatif (not´ e PSR) si

i) u

∗

∈ W

_loc^1,1

(Ω

∗

), ∀ u ∈ V

ii) Il existe une fonction K (·, Ω, V ) : Ω

_∗

→ [0, +∞[ mesurable t.q. :

−u

⁰_∗

(s) 6 K(s, Ω, V ) · |∇u|

_∗u

(s), p.p. tout s et ∀ u ∈ V .

Dans [1], au Th´ eor` eme 4.1.1 et son Corollaire, nous avons donn´ e des exemples de fonctions K. Voici une application des formules pr´ ec´ edentes.

Proposition 1.1.

Si ρ

⁰

(t

⁻^N¹⁰

) < +∞ et ρ est une norme de Fatou invariante par r´ earrangement, on a n´ ecessairement W

₀¹

L(Ω, ρ) ⊂ W

₀¹

L

^N,1

(Ω) ce qui implique

L(Ω, ρ) ⊂ L

^N,1

(Ω).

(8)

Preuve de la Proposition 1.1

On applique la d´ efinition 1.1 avec V = W

₀^1,1

(Ω) et dans ce cas on a : K(s) = (N α

1 N

N

)

⁻¹

Max

s

⁻^N¹⁰

; (|Ω| − s)

⁻^N¹⁰

On calcule alors K

∗

pour avoir

K

∗

(s) = 2

^N¹⁰

N α

1 N

N

−1

s

⁻^N¹⁰

(Noter K n’a pas de palier et est continue). Ainsi la condition

ρ

⁰

(K) < +∞ est ´ equivalent ` a ρ

⁰

(t

⁻^N¹⁰

) < +∞.

De plus si u ∈ W

¹

L(Ω, ρ) et ρ

⁰

(t

⁻^N¹⁰

) < +∞ alors osc

Ω

u = u

∗

(0) − u

∗

(|Ω|) 6

Z

Ω∗

K

∗

(t)(|∇u|

∗u

)

∗

(t) (en utilisant l’in´ egalit´ e de Hardy-Littlewood). Par suite on obtient :

(9) osc

Ω

u 6 2

^N¹⁰

N α

1 N

N

Z

|Ω|

0

t

^N¹

(|∇u|

∗u

)

∗

dt

t 6 2

^N¹⁰

N α

1 N

N

Z

|Ω|

0

t

^N¹

|∇u|

∗

(t) dt t

(d’apr` es [1], Corollaire 2.2.1 de la Proposition 2.2.1). En utilisant la d´ efinition de ρ

⁰

et du fait que ρ est invariant par r´ earrangement

(10) osc

Ω

u 6 2

^N¹⁰

N α

1 N

N

|∇u|

_N,1

6 2

^N¹⁰

N α

1 N

N

ρ

⁰

(t

⁻^N¹⁰

)ρ(|∇u|) < +∞.

ce qui implique non seulement le r´ esultat mais aussi que

W

¹

L(Ω, ρ) ⊂ L

^∞

(Ω) d` es que ρ

⁰

(t

⁻^N¹⁰

) < +∞.

♦ Ce r´ esultat a ´ et´ e aussi donn´ e dans [5]

⁷

et de plus ils ont prouv´ e que si on a l’injection continue W

¹

L(Ω, ρ) ⊂

_>

L

^∞

(Ω) alors n´ ecessairement ρ

⁰

(t

⁻^N¹⁰

) < +∞. On ne donnera pas la preuve de cette r´ eciproque. On a donc en d´ efinitive :

Proposition 1.2.

Soit ρ une norme de Fatou invariante par r´ earrangement et W

₀¹

L(Ω, ρ) = n

v ∈ W

₀^1,1

(Ω) : ρ(|∇v|) < +∞ o

. Alors

W

₀¹

L(Ω, ρ) ⊂

_>

L

^∞

(Ω) si et seulement si ρ

⁰

(t

⁻^N¹⁰

) < +∞.

7

[5] Cianchi, A. Pick, L. Arch. fur Math.(1998)

(9)

Pour cette raison nous revenons ` a l’espace L

^N,1

(Ω) et nous avons montr´ e que son associ´ e est L

^N⁰^,∞

(Ω) (voir [1] Lemme 4.2.3 ou [3]

⁸

. ).

Lemme 1.2.

L’application f ∈ L

⁰

(Ω

_∗

) −→

^ρ^N

Z

Ω∗

t

^N¹

|f|

_∗

(t) dt

t est une norme de Fatou, invariante par r´ earrangement, non triviale.

Preuve. On a facilement le fait si ρ

N

(f) = 0 alors |f|

∗

(t) = 0 ∀ t donc f ≡ 0 et ρ

_N

(λf ) = |λ|ρ

_N

(f). Quant ` a l’in´ egalit´ e triangulaire, comme la fonction t ∈ Ω

∗

→ t

^N¹⁻¹

est d´ ecroissante alors d’apr` es la Proposition 1.5.2 de [1], on a

Z

Ω∗

|f|

∗

(t)t

^N¹⁻¹

dt = Max Z

Ω

|f |gdx : g

∗

(t) = t

^N¹⁻¹

. Ainsi

Z

Ω∗

|f

₁

| + |f

₂

|

∗

(t)t

^N¹⁻¹

dt 6 Z

Ω∗

|f

₁

|

∗

(t)t

^N¹⁻¹

dt + Z

Ω∗

|f

₂

|

∗

t

^N¹⁻¹

dt.

D’o` u

ρ

_N

(f

₁

+ f

₂

) 6 Z

Ω∗

|f

₁

| + |f

₂

|

∗

(t)t

^N¹⁻¹

dt 6 ρ

_N

(f

₁

) + ρ

_N

(f

₂

).

Si f ∈ L

⁰₊

(Ω

∗

) 0 6 f

_n

6 f

_n+1

→ f presque partout, comme 0 6 f

n∗

6 (f

_n+1

)

∗

→ f

∗

, avec le th´ eor` eme de Beppo-L´ evi on a

ρ

_N

(f

_n

) → ρ(f).

Par suite f → ρ

_N

(f) est une norme de Fatou et invariante par r´ earran-gement sur L

⁰₊

(Ω), donc sur L

⁰

(Ω). Il suffit de prendre

f(t) = 1, ρ

_N

(1) = N |Ω|

^N¹

,

donc elle est non triviale. ♦

2. Inclusions de Poincar´ e-Sobolev-Lorentz.

Compte tenu de quelques erreurs typographiques dans [1] (voir par exemple le Th´ eor` eme 4.4.4 et la formule de Bliss) et des r´ esultats trouv´ es r´ ecemment (voir [14]

⁹

), nous reprenons l’´ etude suivante de [1]), en la simplifiant et la compl´ etant.

8

[3] Bennett, C. and Sharpley, R. Interpolation of operators. (1983)

9

[14] Fiorenza A., Formica M.R., Rakotoson J.M. Differential Integral Equations (2017)

(10)

2.1. Cas des fonctions ` a trace nulle.

Consid´ erons le cas o` u V = n

u ∈ W

₀^1,1

(Ω), u > 0 o

. Alors nous savons que dans ce cas, la fonction K(t, Ω, V ) = K (t) de la d´ efinition 1.1 est donn´ ee par K(t) =

^t

1 N−1

N α

1 N N

. Choisissons ρ(f ) =

Z

Ω∗

|f|

^p

_p¹

, 1 < p < +∞, alors

W

₀₊¹

L(Ω, ρ) = W

₀^1,p

(Ω) ∩ L

⁰₊

(Ω).

Dans ce cas ρ

⁰

(f) = Z

Ω∗

|f |

^p⁰

_p¹0

. Ainsi, pour s ∈ Ω

∗

:

ρ

⁰

(b(s)) =







|Ω|

Z t

⁻^p

0 N0

s







1 p0

1 N α

1 N

N

=



 



 

 1 N α

1 N

N

+ Log |Ω|

s

_N¹0

si p = N 1

N α

1 N

N

· 



|Ω|

¹⁻^p

0

N0

− s

¹⁻^p

0 N0

N

⁰

− p

⁰

N

⁰





1 p0

sinon

Remarque : On peut consid´ erer aussi le cas p = 1, ρ

⁰

b(s)

= s

^N¹⁻¹

N α

1 N

N

. Th´ eor` eme 2.1.

Soit L(Ω, ρ

₀

) un espace de fonction de Banach invariant par r´ earrangement t.q.

ρ

₀

+

Log

^|Ω|_s

_N¹0

< +∞. Alors W

₀^1,N

(Ω) ⊂

_>

L(Ω, ρ

₀

).

En particulier W

₀^1,N

(Ω) ⊂

_>

L

1 N0

exp

(Ω) o` u L

^α_exp

(Ω) = n

v ∈ L

⁰

(Ω) : sup

0<s<|Ω|

|v|

∗∗

(s)

1 + Log |Ω|

s

α

< +∞ o

pour α > 0.

Preuve. D’apr` es l’expression de ρ

⁰

(b(s)) et le Th´ eor` eme 4.3.1 de [1], on d´ eduit W

₀^1,N

(Ω ⊂

>

L(Ω, ρ

0

).

Dans le cas o` u ρ

₀

(v) = sup

0<s<|Ω|

|v |

∗∗

(s)

1 + Log |Ω|

s

_N¹0

alors on a bien

ρ

₀

Log |Ω|

s

_N¹0

< +∞, par suite on a l’inclusion.

(11)

Noter que nous obtenons en prime que, si v ∈ W

₀^1,N

(Ω), u = |v| alors sup

0<s<|Ω|

u

∗

(s)

1 + Log |Ω|

s

_N¹0

≈ sup

0<s<|Ω|

u

∗∗

(s)

1 + log |Ω|

s

_N¹0

6 2 N α

1 N

N

|∇u|

∗u

N

6 2 N α

1 N

N

|∇v|

_N

.

Cette in´ egalit´ e a ´ et´ e donn´ ee dans [8]

¹⁰

Th´ eor` eme 2.2 (inclusion pour p < N ).

Si 1 6 p < N, on a : W

₀^1,p

(Ω) ⊂

_>

L

^p^∗

(Ω) avec 1 p

^∗

= 1

p − 1 N . De plus, on a :

i) |u|

_Lp∗

(Ω)

6 1 N α

1 N

N

B

^p¹^∗

| |∇u|

_∗u

|

_L^p_(Ω_∗₎

si 1 < p < IN, Γ(x + 1) =

+∞

Z

t

^x−t

dt

0

,

B =







Γ

pp^∗ p^∗−p

Γ

p^∗

p^∗−p

Γ

p(p^∗−1) p^∗−p







−1+_p^p∗

p

^∗

1 − 1

p

p^∗−^p^∗

N

.

ii) |u|

L

N

N−1

6

¹

N α

1 N N

|∇u|

_L1(Ω)

si p = 1.

La preuve de ce th´ eor` eme donn´ e dans [1] a utilis´ e la formule suivante due ` a Bliss (voir [23]

¹¹

)

10

[8] D´ ıaz J.I, G´ omez-Castro D, Rakotoson J.M, Temam R. DCDS (2018)

11

[23]Talenti, G. Best constant in Sobolev inequality. (1976).

(12)

Lemme 2.1 (de Bliss).

Soit ϕ > 0 et q > p > 1. Alors

+∞

Z

0







+∞

Z

ϕ(s)ds

t







q

dt 6 B







+∞

Z

ϕ(t)

^p

t

^−1+p+^p^q

0







q p

o` u

B =







Γ

pq q−p

Γ

q q−p

Γ

_p(q−1)

q−p







q p−1

×

q

1 − 1 p

q−^q_p

.

On peut ´ etudier les inclusions de Sobolev sans la condition de trace nulle de fa¸con directe et similaire au cas pr´ ec´ edent. L’id´ ee principale est de donner une m´ ethode analogue ` a celle donn´ ee plus haut, qui permet d’obtenir une estimation des constantes o` u la con- tribution de chaque param` etre comme le domaine Ω, les diff´ erentes puissances p, q,. . . Les estimations seront fonction de constante relative isop´ erim´ etrique Q(Ω).

Pour cela, on va utiliser le Th´ eor` eme 4.1.1 de [1] avec V = W

^1,1

(Ω), Ω connexe born´ e lipschitzien, le th´ eor` eme avec la constante relative implique :

Corollaire 2.1. du Th´ eor` eme 4.1.2 de [1]

Si u ∈ W

^1,1

(Ω) alors

−u

⁰_∗∗

(s) 6 Q(Ω)s

^N¹⁻¹

|∇u|

∗∗

(s) p.p. s ∈ i 0, |Ω|

2 h

. Ainsi, l’id´ ee consiste ` a se ramener ` a la moiti´ e de l’intervalle i

0, |Ω|

2 h

et suivre la m´ ethode pr´ ec´ edente donn´ ee dans le cadre d’une fonction ` a trace nulle.

Voici quelques illustrations de ce cas :

(13)

Proposition 2.1.

Si Ω est un ouvert born´ e connexe lipschitzien, alors (1) Si 1 6 p < N on a

W

¹

L

^p,q

(Ω) ⊂

>

L

^p^∗^,q

(Ω) avec 1 6 q 6 +∞, p

^∗

= N p N − p . (2) Si p = N on a

W

¹

L

^N,q

(Ω) ⊂

>

L

1 q0

exp

(Ω), 1 < q < +∞.

Preuve

Soit v ∈ W

¹

L

^p,q

(Ω), u = |v|. Commen¸cons pour 1 6 p < N

Cas q = +∞ Puisque la fonction t ∈ Ω

∗

→ u

∗∗

(t) est d´ ecroissante, on d´ eduit que sup

|Ω|

2 6t6|Ω

t

^p∗¹

u

∗∗

(t) 6 2

^p∗¹

sup

06t6^|Ω|₂

t

^p∗¹

u

∗∗

(t) :

Sur i 0, |Ω|

2 h

, on ´ ecrit u

_∗∗

(t) = u

_∗∗

|Ω|

2 − Z

^|Ω|₂

t

u

⁰_∗∗

(σ)dσ 6 u

_∗∗

|Ω|

2 + Q(Ω) Z

^|Ω|₂

t

σ

^N¹⁻¹

|∇u|

_∗∗

(σ)dσ.

D’o` u 0 6 u

_∗∗

(t) 6 2

|Ω| |v|

₁

+ Q(Ω) sup

σ

h

σ

¹^p

|∇u|

_∗∗

(σ) i

· Z

|Ω|

t

σ

^N¹⁻¹^p⁻¹

sσ.

Et

sup

06t6^|Ω|₂

t

^p∗¹

u

∗∗

(t) 6 |Ω|

^p∗¹⁻¹

2

¹⁻^p∗¹

|v|

₁

+ p

^∗

Q(Ω)|∇u|

(p,+∞)

|v|

_(p^∗,∞)

6 2|Ω|

^p∗¹⁻¹

|v|

₁

+ 2

^p∗¹

Q(Ω)|∇u|

(p,+∞)

. Cas o` u q < +∞

On ´ ecrit que

|v|

_(p^∗_,q)

6 "

Z

^|Ω|₂

0

t

^p∗^q

[u

∗∗

(t)]

^q

dt t

#

¹_q

+

"

Z

|Ω|

2

t

^p∗^q

[u

∗∗

(t)]

^q

dt t

#

¹_q

= I

₁

+ I

₂

.

On majore la derni` ere int´ egrale en utilisant le fait que l’application t → u

∗∗

(t) est d´ ecroissante que

(11) I

₂

6 |Ω|

^p∗¹

u

∗∗

|Ω|

2 6 2|Ω|

^p∗¹ ⁻¹

|v|

₁

(14)

Quant ` a la premi` ere int´ egrale, on utilise l’in´ egalit´ e pr´ ec´ edente (corollaire du Th´ eor` eme 4.1.2 de [1]) comme pr´ ec´ edemment, en ´ ecrivant d’abord

I

1

6 Z

|Ω|

0

t

^p∗^q

u

∗∗

(t) − u

∗∗

|Ω|

2

q

dt t

!

¹_q

+ u

∗∗

|Ω|

2 p∗

q

¹_q

|Ω|

2

_p∗¹−¹_q

. Soit

I

₁

6 I

₃

+ |Ω|

2

_p∗¹ −¹

q−1

p∗

q

¹_q

|v|

₁

et

I

₃^q

6 Z

^|Ω|₂

0

t

^p∗^q

Z

^|Ω|₂

t

u

⁰_∗∗

(σ)

dσ

!

q

dt t .

`

a l’aide de l’in´ egalit´ e de Hardy(Lemme 1.4.2 de [1]) on d´ eduit comme ci-dessus : I

₃^q

6 (p∗)

^q

Z

^|Ω|₂

0

h

t

¹^p

(t

¹⁻^N¹

|u

⁰_∗∗

(t)| i

q

dt

t 6 (p∗)

^q

Q(Ω)

^q

|∇u|

^q_(p,q)

En combinant les trois relations pr´ ec´ edentes, on d´ eduit

|v|

_(p^∗_,q)

6 p

^∗

Q(Ω)|∇v |

_(p,q)

+ c

₀

|v|

₁

avec c

0

= 2|Ω|

^p∗¹ ⁻¹

+

|Ω|

2

_p∗¹−¹_q−1

p∗

q

¹_q

. Pour p = N, 1 < q < +∞, pour 0 6 s < |Ω|

2 , on a 0 6 u

∗∗

(s) 6 Q(Ω)

Z

|Ω|

s

t

⁻^N¹⁰

|∇u|

∗∗

(t)dt + u

∗∗

|Ω|

2 u

∗∗

(s) 6 Q(Ω)|t

⁻^N¹⁰

|

_LN0,q0

(]s,|Ω|[)

|∇u|

_L^N,q

+ 2

|Ω| |u|

₁

D’o` u

|u|

L

1 q0 exp

(Ω) 6 Q(Ω)|∇u|

_L^N,q

+ 2

|Ω| |u|

_L¹

.

♦ D’autres inclusions, de type Sobolev peuvent ˆ etre obtenue par la mˆ eme m´ ethode. Par exemple, pour 1 < p < N , on a

L

^(p

(Ω) ⊂

>

L

^p,1

(Ω) ⊂

>

L

^p

.

De sorte que W

¹

L

^(p

(Ω) ⊂

_>

W

¹

L

^p,1

(Ω) ⊂

_>

W

¹

L

^p

(Ω) ⊂

_>

L

^p^∗

(Ω). ♦

(15)

Remarque sur les injections compactes dans les espaces de Sobolev li´ es ` a l’espace GΓ

La question des injections compactes est intimement li´ ee aux inclusions qu’on a ´ etudi´ ees en partie. Par exemple, l’injection de W

¹

L

^(p

(Ω) dans L

^p^∗

(Ω) est compacte pour 1 <

p < N , p

^∗

= N p N − p .

De mˆ eme, W

¹

L

^1,1

(Ω) = W

¹

L(Log L) dans L

^N⁰

(Ω) avec N

⁰

= N

N − 1 , N > 2 est aussi compacte. Ces deux r´ esultats sont inclus dans le th´ eor` eme suivant qui a ´ et´ e ´ elabor´ e dans [10], [13] et [12]

¹²

Th´ eor` eme 2.3. de compacit´ e

Soit Ω un ouvert born´ e lipschitzien de mesure 1, (p, m) ∈]1, +∞[

²

et w une fonction poids sur ]0, 1[ t.q d = inf

t∈]0,1[

h

t

^m^p

w(t) i

> 0 et w(t) · t

^m^p

∈ L

¹

(]0, 1[). Consid´ erons l’espace G-Gamma : GΓ(p, m; w) d´ efini au chapitre 1 et

W

¹

GΓ(p, m; w) = n

v ∈ W

^1,1

(Ω) : |∇v| ∈ GΓ(p, m; w). o Alors

(1) W

¹

GΓ(p, m; w) ⊂

_>

L

^p^∗

(Ω), p

^∗

= N p

N − p . De plus :

(2) l’injection pr´ ec´ edente est compacte si et seulement si w / ∈ L

¹

(]0, 1[).

Nous renvoyons la preuve dans l’article [10] o` u nous avons impos´ e que m 6 p car pour le cas m > p les r´ esultats d´ ecoulent du fait que

GΓ(p, m; w) ⊂

_>

L

^m

(Ω) car d > 0 et dans ce cas

W

¹

GΓ(p, m; w) ⊂

>

W

^1,m

(Ω) ⊂

>

L

^p^∗

(Ω) ⊂

>

6=

L

^m^∗

(Ω).

Comme p

^∗

< m

^∗

, dans ce cas l’injection de W

^1,m

(Ω) dans L

^p^∗

est compacte.

Noter que, mˆ eme dans ce cas (m > p) on a toujours

w / ∈ L

¹

(]0, 1[) car w(t) > d · t

⁻^m^p

∈ / L

¹

(]0, 1[) et donc le th´ eor` eme s’applique encore.

12

[10]Fiorenza, A. and Rakotoson, J.M. Calculus of Var. and PDE (2005)

[13]Fiorenza, A. Rakotoson, J.M. Zitouni. L Indiana Univ. Math. J. (2009)

[12] Fiorenza, A. and Rakotoson, J.M. J. of Math. Analysis and Appli. (2008)

(16)

Dans, le cas o` u GΓ(p, m; w) = L

^(p

(Ω), i.e

les param` etres m = 1 < p < N, et w(t) = t

⁻¹

(1 − log t)

⁻¹^p

∈ / L

¹

(]0, 1[). On a GΓ(p, m; w) = L

^1,1

(Ω) avec p = m = 1, w(t) = t

⁻¹

∈ / L

¹

(]0, 1[),

tw(t) = 1. Les r´ esultats ´ enonc´ es ci-dessus s’appliquent ` a ces deux derniers cas.

Mais l’injection de W

¹

L

^m,1

(Ω) dans L

^m^∗

(Ω) n’est pas compacte pour

1 < m < N . ♦

Remarques sur les notations

On utilise les notation de [1], en particulier les espaces de Lorentz

|f |

_(p,q)

= Z

Ω∗

h

t

¹^p

|f|

∗∗

(t) i

q

dt t

¹_q

, si q < +∞, |f|

∗∗

(t) = 1 t

Z

t 0

|f|

∗

(σ)dσ et

|f |

p,∞

= sup

0<t<|Ω|

t

¹^t

|f|

∗∗

(t) si q = +∞.

3. Formalisme d’estimations pour les probl` emes aux limites

Comme le Chapitre 5 de [1], nous allons aborder quelquess applications de r´ earrangement relatif, notamment dans l’´ etude de la r´ egularit´ e des EDP. Pour plus de la clart´ e, nous reprendrons certains r´ esultats de [1].

Un r´ esultat r´ ecent de A. Cianchi et V. Maz’ja [6]

¹³

nous montre qu’on peut utiliser les techniques de r´ earrangement pour obtenir une estimation sur le gradient de la solution pour certaines ´ equations mˆ eme non lin´ eaires.

En examinant de pr` es leur m´ ethode, on peut l’adapter ici en se basant sur deux faits (1) On peut avoir une in´ egalit´ e ponctuelle de la forme

−v

_∗⁰

(s) 6 K (s, Ω, V ) Φ(G(T )

∗v

)(s),

u solution de A(u) = T avec v = |u|, |∇u| = |∇v| solution de la forme

(12) |∇v|

∗v

(s) 6 h

|∇v|

^p

∗v

i

¹_p

6 Φ

₀

G(T )

∗v

(s) .

13

[6]Cianchi, A. Maz’ja, V. J. Eur. Math. Soc. (2014)

(17)

(2) On utilise l’in´ egalit´ e ∀ ϕ > 0, ϕ ∈ L

^∞

(Ω

∗

) (13)

Z

Ω∗

ϕ

^∗

(t)|∇v|

∗

(t)dt 6 Z

Ω∗

ϕ(t) h

|∇v |

∗v

(t) i dt 6

Z

Ω∗

ϕ(t) h

|∇v|

^p

)

∗v

i

_p¹

dt o` u ϕ

^∗

(t) = ϕ

∗

(|Ω| − t) le r´ earrangement monotone croissantde ϕ.

Notons que l’in´ egalit´ e est donn´ ee dans l’´ enonc´ e 2), voir au Th´ eor` eme 12 de [20]

¹⁴

, (voir [2]

¹⁵

).

Pour illustrer ceci, nous allons montrer que si u ∈ W

₀^1,p

(Ω) solution de

−div

|∇u|

^p−2

∇u

= f ∈ L

¹

(Ω), o` u 2 6 p < N alors u v´ erifie n´ ecessairement

|∇u|

∗

(s) sup

ϕ∈L^∞₊(Ω∗)





 Z

s

0

(s − t)ϕ(t)dt Z

s

0

ϕ(t)t

¹⁻^p

0 N0

dt







1 p

6 N

⁰

p

⁰

− N

⁰

_p¹

c

1 p−1

N

|f |

1 p−1

L¹

avec c

_N

= 1 N α

1 N

N

.

On minorera le supremum pr´ ec´ edent.

L’in´ egalit´ e ponctuelle de base pour obtenir cette derni` ere in´ egalit´ e est |∇v |

^p

∗v

(s) 6 1 N α

1 N

N

!

p⁰

s

⁻^p

0 N0

Z

s 0

|f |

∗

(t)dt

p⁰

, s ∈ Ω

∗

.

On appliquera le mˆ eme argument que la preuve du Th´ eor` eme 5.3.1 de [1], voir le Corol- laire 3.1 ci-apr` es.

La m´ ethode conduit alors ` a ∀ ϕ > 0, ϕ ∈ L

^∞

(Ω

∗

).

Z

Ω∗

ϕ

^∗

(t)|∇v|

^p_∗

(t)dt 6 Z

Ω∗

ϕ(t) |∇v |

^p

∗v

(t)dt 6 C

_N^p⁰

Z

Ω∗

ϕ(t)t

⁻^p

0 N0

|f |

^p_L⁰1

. On aura besoin du lemme suivant :

14

[20]Rakotoson, J.M. Applicable Analysis, (2001)

15

[2]Alvino, A. Ferone, V. Trompetti, G. Ann.Matem.Pura Appli. (2000)

(18)

Lemme 3.1.

Soient G = |F |

^p⁰

, p < m < +∞. Alors, on a ∀ v ∈ L

¹

(Ω) (1) (G

∗v

)

∗

6 G

∗∗

(2) Si F ∈ L

^p−1^m

(Ω) alors

(G

_∗v

)

¹^p

∈ L

^m

(Ω

_∗

) et |(G

_∗v

)

¹^p

|

_L^m

6 m

m − p

¹_p

|F |

1 p−1

L

p−1m

. Preuve

(1) On sait que ∀σ ∈ Ω

∗

,

(G

∗v

)

∗

(σ) 6 (G

∗v

)

∗∗

(σ) 6 G

∗∗

(σ).

(2) On d´ eduit de 1) et de l’´ equimesurabilit´ e que

|(G

∗v

)

¹^p

|

_L^m

6 |G

∗∗

|

1 p

L^m^p

6 m

m − p

¹_p

|F |

1 p−1

L^p−1^m

.

Th´ eor` eme 3.1.

On a, pour toute solution u ∈ W

₀^1,p

(Ω) de −div

|∇u|

^p−2

∇u

= T , p.p. en s 1./ |∇v|

_∗v

(s) 6 h

|∇v|

^p

∗v

(s) i

¹_p

6 1 α

^p−1¹

h |F |

^p⁰

i

¹_p

∗v

(s), 2./ −v

_∗⁰

(s) 6

^s

1 N−1

N α

1 N Nα

p−11

h |F |

^p⁰

i

¹_p

∗v

(s), o` u v = |u|, T = −div(F ).

Ce Th´ eor` eme est une application du Th´ eor` eme 5.2.1 de [1].

Voici une des cons´ equences

Corollaire 3.1. du Th´ eor` eme 3.1 Soit u ∈ W

₀^1,p

(Ω) solution de −div

ˆ

a(x, u, ∇u)

= T ∈ L

¹

(Ω) ∩ W

^−1,p⁰

(Ω).

Posons c

_{N α}

= 1 αN α

1 N

N

. Alors pour presque tout s ∈ Ω

∗

(1) |∇v|

∗v

(s) 6 c

1 p−1

N α

s

⁻^N(p−1)^N−1

Z

s

0

|T |

∗

(s)dσ

_p−1¹

. (2)

|∇v |

^p

∗v

(s) 6 c

^p_{N α}⁰

s

⁻

p(N−1) N(p−1)

Z

s 0

|T |

∗

(σ)dσ

p⁰

o` u v = |u|.

(19)

En combinant l’in´ egalit´ e de Bliss avec le Th´ eor` eme 3.1, on a : Th´ eor` eme 3.2.

(1) Si T ∈ W

^−1,^p−1^N

(Ω), 1 < p < N alors toute solution u ∈ W

₀^1,p

(Ω),

−div

|∇u

^p−2

∇u

= T dans D

⁰

(Ω) v´ erifie : u ∈ L

1 N0

exp

(Ω) et sup

0<s6|Ω|

|u|

∗

(s)

1 + Log |Ω|

s

_N¹0

6 N

N − p

¹_p

|F |

1 p−1

L

p−1N

. En particulier u ∈ L

^q

(Ω) ∀ q < +∞.

(2) Si T ∈ W

^−1,r

(Ω), p

⁰

< r < N

p − 1 alors u ∈ L

^m^∗

(Ω), avec m

^∗

= (p − 1)rN

N − (p − 1)r et |u|

_m∗

6 B

₀

|F |

1 p−1

L^r(Ω)

. On peut remplacer l’op´ erateur ∆

_p

u = div

|∇u|

^p−2

∇u

par un op´ erateur du type Leray- Lions (voir paragraphe 5.2 de [1]) Preuve.

(1) D’apr` es le Th´ eor` eme 3.1, nous avons

(14) −v

_∗⁰

(t) 6 c

_{N α}

t

⁻^N¹⁰

(G

∗v

)

^p¹

(t), t ∈ Ω

∗

o` u G = |F |

^p⁰

. On int` egre cette relation entre s > 0 et |Ω|, on obtient

(15) v

_∗

(s) 6 c

_{N α}

Z

|Ω|

s

t

⁻^N¹⁰

(G

_∗v

)

^p¹

(t)dt.

On applique l’in´ egalit´ e de H¨ older et le Lemme 3.1, on d´ eduit v

_∗

(s) 6

1 + Log |Ω|

s

_N¹0

|(G

_∗v

)

¹^p

|

_LN(Ω)

. et

sup

0<s6|Ω|

|u|

∗

(s)

1 + Log |Ω|

s

_N¹0

6 N

N − p

¹_p

|F |

1 p−1

L

N p−1(Ω)

.

(2) Pour l’´ enonc´ e 2. soient m = (p − 1)r donc p < m < N, m

^∗

= N m

N − m .

(20)

Alors d’apr` es l’in´ egalit´ e de Bliss (voir Lemme 2.1)

|u|

^m_Lm^∗∗

6 B Z

Ω∗

v

_∗⁰

(t)t

^N−1^N

m

dt

^m

∗ m

en utilisant l’estimation −v

_∗⁰

(t)t

¹⁻^N¹

6 c

_{N α}

G

∗v

¹_p

(t) du Th´ eor` eme 5.2.1 avec G = |F |

^p⁰

, on d´ eduit

|v|

^m_m^∗∗

6 Bc

^m_{N α}^∗

Z

Ω∗

(G

∗v

)

^m^p

(t)dt

^m

∗ m

|v|

_m∗

6 B

^m¹^∗

c

_{N α}

|G

∗v

|

1 p

L^m^p

6 B

^m¹^∗

c

_Ω

|F |

1 p−1

L^p−1^m

< +∞

pour F ∈ L

^r

(Ω), r = m

p − 1 < N. ♦

3.1. Une m´ ethode d’estimation du gradient de la solution u ∈ W

₀^1,p

(Ω) de div

b a(x; u; ∇u)

= T ∈ L

¹

(Ω) ∩ W

^−1,p⁰

(Ω). o` u b a est un op´ erateur du type Leray-Lions v´ erifiant les conditions (LL1) et (LL2) du paragraphe 5.2 de [1].

Le th´ eor` eme principal de ce paragraphe est le suivant Th´ eor` eme 3.3.

Soit u ∈ W

₀^1,p

(Ω) avec 2 6 p < N , une solution de div

b a(x; u; ∇u)

= T avec T ∈ L

¹

(Ω) ∩ W

^−1,p⁰

(Ω) o` u b a v´ erifie en particulier l’hypoth` ese de coercivit´ e (LL2) du paragraphe 5.2 de [1]. Alors, pour tout s ∈ Ω

∗

(1) |∇u|

∗

(s) sup

ψ∈L^∞₊(Ω∗)





 Z

s

0

(s − t)ψ(t)dt Z

s

0

ψ(t)t

¹⁻^p

0 N0

dt







1 p

6 N

⁰

p

⁰

− N

⁰

_p¹

c

1 p−1

N α

|T |

1 p−1

L¹(Ω)

. (2) En particulier, on a |∇u| ∈ L

^N−1^N ^(p−1),∞

(Ω) et

s

(N−1)

N(p−1)

|∇u|

∗

(s) 6 c

⁰_{N α}

|T |

1 p−1

L¹

avec c

⁰_{N α}

= 2

¹^p

(N

⁰

)

²^p

(p

⁰

− N

⁰

)

¹^p

(2N

⁰

− p

⁰

)

¹^p

· c

1 p−1

N α

.

(21)

Preuve

En utilisant le Th´ eor` eme 3.1 nous avons

(16)

|∇v|

^p

∗v

(s) 6 c

^p_{N α}⁰

s

⁻^p

0 N0

Z

s 0

|T |

∗

(σ)dσ

p⁰

.

On utilise le lemme suivant dont la preuve est donn´ e au Th´ eor` eme 12 de [20]

¹⁶

Lemme 3.2.

Soient Φ : IR

₊

→ IR

₊

, une fonction concave croissante et h une fonction int´ egrable t.q Φ(h) ∈ L

¹

(Ω), v ∈ L

¹

(Ω). Alors

Z

Ω∗

Φ h

∗

(σ)

ϕ

^∗

(σ)dσ 6 Z

Ω∗

Φ h

∗v

(t)

ϕ(t)dt, ∀ ϕ > 0, ϕ ∈ L

^∞

(Ω

∗

).

Ici ϕ

^∗

(s) = ϕ

∗

(|Ω| − s) est le r´ earrrangement croissant de ϕ.

En appliquant ce lemme avec la fonction affine Φ(t) = t, on d´ eduit de la relation (16) que

(17)

Z

Ω∗

ϕ

^∗

(σ)|∇v|

^p_∗

(σ)dσ 6 c

^p_{N α}⁰

Z

Ω∗

ϕ(s)s

⁻^p

0 N0

ds

|T |

^p_L⁰1

. Noter que si ϕ : Ω

∗

→ IR

₊

est croissant alors ϕ

^∗

= ϕ.

Consid´ erons alors ψ ∈ L

^∞₊

(Ω

_∗

) et s fix´ e dans Ω

_∗

et la fonction croissante

ϕ(t) =



 

 

 

  Z

t

0

ψ(σ)dσ si 0 6 t 6 s,

Z

s 0

ψ(σ)dσ si s < t 6 |Ω|,

alors, du fait que t → |∇v|

^p_∗

(t) est d´ ecroissante (18)

Z

Ω∗

ϕ(t)|∇v|

^p_∗

(t)dt > |∇v|

^p_∗

(s) Z

s

0

Z

t 0

ψ(σ)dσ

dt, et par int´ egration par partie

(19)

Z

s 0

Z

t 0

ψ(σ)dσ

dt = Z

s

0

(s − t)ψ(t)dt.

16

[20] Rakotoson, J.M. Applicable Analysis, (2001).

(22)

Quant ` a l’int´ egrale du second membre de (17), nous avons, apr` es int´ egration par partie Z

Ω∗

ϕ(t)t

⁻^p

0

N0

dt = N

⁰

p

⁰

− N

⁰

Z

s 0

ψ(t) t

¹⁻^p

0

N0

− s

¹⁻^p

0 N0

dt + N

⁰

p

⁰

− N

⁰

Z

s

0

ψ(t)dt

s

¹⁻^p

0

N0

− N

⁰

|Ω|

¹⁻^p

0 N0

Z

|Ω|

0

ψ(t)dt d’o` u

(20)

Z

Ω∗

ϕ(t)t

⁻^p

0

N0

dt 6 N

⁰

p

⁰

− N

⁰

Z

s 0

ψ(t)t

¹⁻^p

0 N0

dt.

En combinant les relations(17) ` a (20) on a l’in´ egalite 1./ du Th´ eor` eme. On minore le supremum en choisissant ψ(t) = χ

_]0,s[

(t) ainsi

(21) sup

ψ∈L^∞₊(Ω∗)





 Z

s

0

(s − t)ψ(t)dt Z

s

0

ψ(t)t

¹⁻^p

0 N0

dt







1 p

>

1 − p

⁰

2N

⁰

¹_p

s

^p

0 pN0

.

En utilisant cette relation (21) et l’in´ egalit´ e 1. du Th´ eor` eme, on aboutit ` a l’in´ egalit´ e 2.

avec c

⁰_{N α}

comme donn´ e. ♦

Part 2. R´ earrangement relatif et espaces de Lebesgue

`

a exposants variables

Une des derni` eres applications du rearrangement relatif concerne les fonctions ` a exposants variables. Nous rassemblerons ici des ´ el´ ements r´ ecents de [11]

¹⁷

, RakoChine

¹⁸

Comme nous l’avons fait remarquer tout le long du livre [1], les r´ earrangements sont des outils tr` es adapt´ es pour les espaces invariants par r´ earrangement car ils permettent de passer d’une dimension d’espace ´ el´ ev´ ee ` a la dimension 1 sur IR.

Cela permet alors de faire un calcul presque manuel pour obtenir des estimations ex- plicites voire optimales.

La question naturelle est alors qu’apporte cet outil quand on travaille avec des espaces non invariants par r´ earrangement?

17

[11] Fiorenza A., Rakotoson J.M. J.math. Purs Appl. (2007).

18

[21]Rakotoson J.M. Chinese nnals of Math. (2010)

(23)

Ces derni` eres d´ ecennies, une attention particuli` ere a ´ et´ e donn´ ee aux espaces ` a exposants variables L

^p(·)

(Ω), qui sont en fait des espaces de Lebesgue mais o` u la puissance d’int´ egration d´ epend des variables du domaine dans lequel on int` egre. En fait, on a deux fonctions, une : l’exposant, et l’autre : celle qui est dans l’espace. On voit alors que si on r´ earrange la fonction, comme l’espace n’est plus le mˆ eme pour chaque point, on ne peut pas parler d’invariance par r´ earrangement.

N´ eanmoins, on souhaite utiliser le r´ earrangement. Ainsi l’id´ ee est de r´ earranger ` a la fois la fonction concern´ ee et l’exposant.

D´ efinition 3.1. de l’espace L

^p(·)

(Ω)

Soit Ω un ensemble mesurable born´ e et p : Ω → [1, +∞[ une fonction mesurable.

Pour u : Ω → IR mesurable, posons Φ

_p

(u) = Z

Ω

|u(x)|

^p(x)

dx.

On d´ efinit la norme |u|

p(·)

= inf n

λ > 0, : Φ

_p

u λ

6 1 o

, et l’espace L

^p(·)

(Ω) =

n

u : Ω → IR : mesurable t.q |u|

p(·)

< +∞ o . L’espace

L

^p(·)

(Ω), | · |

_p(·)

est un espace de fonction de Banach.

On a une norme ´ eqivalente appel´ ee norme de Amemiya d´ efinie par

||u||

p(·)

= inf

λ>0

λ

1 + Φ

_p

u λ

, et |u|

p(·)

6 ||u||

p(·)

6 2|u|

p(·)

. Pour une ´ etude compl` ete, nous vous renvoyons au livre de L. Diening et al [9]

¹⁹

.

4. Comparaison des normes |u|

_p(·)

et |u

_∗

|

_m(·)

avec m = p

^∗

(·) ou m = p

_∗

(·).

Pour remplacer les ´ equimesurabilit´ es, nous avons

19

[9] Diening, L. Harjulehto, P. Hasto, P. Ruzicka, M. Lebesgue and Sobolev spaces with

variables exponents (2011)

(24)

Th´ eor` eme 4.1.

Soient u : Ω → IR

₊

, p : Ω → [1, +∞[ deux fonctions mesurables, on note p

^∗

le r´ earrangement croissant de p, et p

_∗

son r´ earrangement d´ ecroissant. Ainsi

p

^∗

(s) = −(−p)

∗

(s), s ∈ Ω

∗

=]0, |Ω|[.

Alors on a

1 1 + |Ω| ||u

∗

||

_p^∗(·)

6 ||u||

p(·)

6 (1 + |Ω|)||u

∗

||

_p^∗(·)

A partir de cette relation on d´ eduit 1

2(1 + |Ω|) |u

∗

|

_p^∗(·)

6 |u|

p(·)

6 2(1 + |Ω|)|u

∗

|

_p_∗(·)

Preuve

On aura besoin du lemme suivant Lemme 4.1.

Sous les mˆ eme hypoth` eses que le Th´ eor` eme 4.1, on a pour tout λ > 0 : Z

{u∗>λ}

u

∗

λ

p^∗(s)

(s)ds 6 Z

{u>λ}

u λ

p(x)

(x)dx 6 Z

{u∗>λ}

u

∗

λ

p∗(s)

(s)ds Preuve

On utilise les in´ egalit´ es de Hardy-Littlewood : pour u > 0, v > 0,

Z

Ω∗

u

∗

v

^∗

ds 6 Z

Ω

uvdx 6 Z

Ω∗

u

∗

v

∗

ds,

et du fait que si ψ : IR → IR est un fonction non d´ ecroissante alors (ψ(u))