II. Recharge d’un pacemaker

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ÉLECTRICITÉ - RSF et FILTRAGE

I. Circuit de détection d’un signal RMN

1. À Basse Fréquence (BF) le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et la bobine comme un fil. À Haute Fréquence (HF), le condensateur se comporte comme un fil et la bobine comme un interrupteur ouvert. Donc dans les deux cas le circuit est ouvert et le courantiest nul, doncu_s=Ri= 0.

Ce comportement correspond à unfiltre passe-bande.

2. On poseu_e(t) =<(u_e(t)) avecu_e(t) =E e^jωt. De mêmeu_s(t) =U_scos(ωt+ϕ) =<(u_s(t)) avecu_s(t) = U_se^j(ωt+ϕ).

3. En Régime Sinusoïdal Forcé (RSF), le circuit est composé d’impédances en série. La relation du pont diviseur de tension permet d’écrire

H(jω) =u_s

u_e= R

R+r+jωL+_jωC¹ = R R_t+jωL+_jωC¹ .

4. On revient à la forme en fraction rationnelle, dont le dénominateur doit s’écrire sous forme canonique 1 +^jx_Q+ (jx)²avecx=_ω^ω

0, et le numérateurH0jx/Qde sorte qu’à la résonance enx= 1 on aitH=H0:

H(jω) = jωRC

jωR_tC+ (jω)²LC+ 1= H0jx Q

1 +^jx_Q+ (jx)² = H0

1 +jQx−¹_x ,

ce qui implique la détermination des paramètres caractéristiques suivants (et dans cet ordre) :

ω0= 1

√LC , Q= 1 R_t

s L

C et H0= R R_t . 5. Le gain s’écritG(x) = p ^H0

1+Q²(x−_x¹)². Les pulsations de coupure réduites satisfontG(x_1,2) = ^G√max

2 avec Gmax=H0. Ceci impliqueQ(x−_x¹) =±1 et conduit àx_±=∓_2Q¹ +^q1 + ¹

4Q². On en déduit la largeur

∆x=x2−x1=_Q¹ donc ∆ω=ω2−ω1=ω0

Q . 6. a) •À basse fréquence, on aH ∼

x1H0jx

Q. Donc GdB ∼

x120 logH0−20 logQ+ 20 logx. Le gain gain admet donc une pente de +20dB.dec⁻¹, ce qui est vérifié entre 10⁷et 10⁸Hz. Et la phase

Φ = arg(H) ∼

x1

π

2, ce qui se vérifie aussi sur le graphe (asymptote à +90^◦entre 10⁷et 10⁸Hz).

•À haute fréquence, on a H ∼

x1 H0

jxQ. Donc GdB ∼

x120 logH0−20 logQ−20 logx. Le gain gain admet donc une pente de −20dB.dec⁻¹, ce qui est vérifié entre 10⁹ et 10¹⁰Hz. Et la phase Φ = arg(H) ∼

x1−π

2, ce qui se vérifie aussi sur le graphe (asymptote à−90^◦entre 10⁹et 10¹⁰Hz).

b)Aux pulsations de coupure on a GdB(x_1,2) =GdBmax−3 dB . Sur le graphe de gain zoomé on observe queGdB(x1,2)≈ −10 dB. On peut évaluer grossièrement l’écart de fréquencesfc2−fc1correspondant, qui est de l’ordre de 1 dixième de l’intervalle entre 4×10⁸et 5×10⁸Hz au voisinage de 5×10⁸Hz, doncf_c2−f_c1∼1×10⁷Hz.

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c) Le graphe de gain zoomé donne une résonance enf0≈5,0×10⁸Hz.

Le facteur de qualité peut alors être évalué grossièrement par Q= f0

fc2−fc1

∼50 .

Autre méthode plus précise :On exploite l’une des asymptotes du gain explicitées ci-dessus :GdB ∼

x1

20 logH0−20 logQ+ 20 logxqui croise l’axef=f0⇔x= 1 en la valeur 20 logH0−20 logQ. On trace cette asymptote sur le graphe zoomé en partant du pointf= 10⁸Hz, et en imposant une pente de +20dB.dec⁻¹(cf ci-dessous). Ainsi on obtient graphiquement la valeur de 20 logQpar différence avec le gain maximal à la résonance 20 logH0.

De cette façon on obtient 20 logQ≈40 doncQ≈100. Ce résultat est plus fiable compte-tenu du manque de précision sur la lecture def_c2−f_c1.

d)On connaît ω0 = 2πf0 = ^√1

LC etQ = _R¹

t

qL

C. On en déduit C= 1

2πf0QR_t = 3×10⁻¹²F et L=R_tQ

2πf0

= 3×10⁻⁸H.

7. Le signal à détecter u_e(t) a pour pulsation centraleω_p. En faisant varierC, on déplace ω0 de façon à observer une résonance lorsqueω0=ω_p. On peut alorsmesurerω_pde façon d’autant plus précise quele bruit est drastiquement réduit en dehors de la bande passante étroite.

S’il existe plusieurs types de protons (c’est-à-dire avec des environnements chimiques différents), on ob- servera plusieurs pics de résonance pour toutes les pulsationsω_picaractéristiques de ces environnements, ce qui donne un « spectre RMN ».

8. En utilisant la fonction de transfertHsous forme de fraction rationnelle et en remplaçant tous les produits parjωpar une dérivée temporelle, on obtient l’équation différentielle, valable pour tout régime :

1 +jx

Q+ (jx)²

u_s=H0

jx

Qu_e ⇔ 1 ω²₀u¨_s+ 1

Qω0

˙

u_s+u_s= H0

Qω0

˙ u_e .

9. La réponse en régime sinusoïdal forcé correspond à l’étude précédente, en notation complexe. On se place très près de la résonance doncH≈H0, doncu_s≈H0u_edonc u_sP(t)≈H0u_e(t) .

10.Le facteur de qualité estQ¹₂donc le régime transitoire est pseudo-périodique :

u_sH(t) =e⁻τ^t (Acos(ωt) +Bsin(ωt)) avec τ=2Q ω0

et ω=ω0 s

1− 1 4Q² ≈ω0 . 11.On au_e(0⁻) = 0 etu_e(0⁺) =E(analogue au cas d’un échelon de tension).

Les grandeurs qui doivent rester continues sont la tension aux bornes du condensateur (ou sa charge) et

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le courant en présence d’une bobine. Le condensateur est initialement déchargé et le courant est nécessai- rement nul car le régime est stationnaire pourt <0, donc us(0⁺) =Ri(0⁺) = 0 .

La loi des mailles donne alorsE=uL(0⁺) =L^di_dt(0⁺), donc du_s

dt(0⁺) =Rdi

dt(0⁺) =RE L .

Pour en déduire les valeurs des constantesAetB, il faut d’abord ajouter la solution particulièreu_sP(t)≈ H0u_e(t), donc

us(t) =e^−tτ (Acos(ωt) +Bsin(ωt)) +H0Ecos(ω0t)e⁻

t T2 . Les conditions initiales mènent aux valeurs suivantes :

A=−H0E et B=E ω

R L+H0

1 T2

−1 τ

.

12. Avec les valeurs précédentes, on trouveτ≈6×10⁻⁸s, ce qui est totalement négligeable devantT2≈1 s.

Le régime transitoire est donctotalement négligeable au regard de la durée du signal à détecter.

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II. Recharge d’un pacemaker

jωC_p+jωL_p

!

i_p+jωM i_s ;

• Dans la maille secondaire : 0 =jωM i_p+

R_L+R_s+ 1 jωC_s+jωL_s

i_s.

2. En réinjectant la seconde relation dans la première, et en notant queu_g=e_g−Rgi_pon obtient

u_g=Z i_p avec Z=Rp+ 1

jωC_p+jωLp− (jωM)² R_L+R_s+_jωC¹

s+jωL_s . 3. En réutilisant les résultats précédents, on au_L=−R_Li_s=− ^{jωM RL}

RL+Rs+ ¹

jωCs+jωLsi_pavecu_g=Z i_p, donc H(jω) =− jωM R_L

R_L+R_s+_jωC¹

s+jωL_sZ .

• À basse fréquence, on aZ ∼

ω→0 1

jωCp donc on obtient H(jω) ∼

ω→0−(jω)³R_LC_sM C_p−→

ω→00 .

• À haute fréquence, on aZ ∼

ω→∞jωL_p−^M_L²

s

donc on obtient H(jω) ∼

ω→0− M R_L

jω(LsL_P−M²) −→

ω→∞0 . Il s’agit d’un comportement de type filtrepasse-bande d’ordre 4(degré du dénominateur deHsous forme de fraction rationnelle). On a donc intérêt à travailler à des fréquences «intermédiaires» telles que le gain soit raisonnablement élevé.

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