I. Étude d’un périscope

PCSI 1 - Stanislas DM de PHYSIQUE N^◦2 - 16/10/17 - CORRIGÉ A. MARTIN

Optique géométrique et Électricité

I. Étude d’un périscope

L’incidence étant normale, il n’y a pas de déviation à la traversée du premier dioptre. L’incidence sur le second dioptre se fait avec un angle de i= 45^◦. Or l’angle de réflexion totale s’écrit i_`= arcsin1

n = 41,8^◦< i.

Donc il y aréflexion totale, le dioptre se comporte comme un miroir.

Finalement le rayon traverse le 3ème dioptre en incidence normale donc sans être de nouveau dévié.

2. cf annexe ci-contre.

3. On résume la succession des conjugaisons ainsi :A−→^M1A1 L1

−→A2 L2

−→A3 M2

−→A⁰

•Relation de Descartes : ¹

O1A− ¹

O1A1

=_f¹0 1

avecO1A1=O1M1+M1A1 M1

= O1M1−AM1, d’où

O1A2= 1

f₁⁰+ 1 O1M1−AM1

−1

≈f₁⁰ = 0,50 m.

L’approximation est ici motivée par le fait que^O_AM^1M1

1 = 0,0031 et _AM^f10

1= 0,0051.

•De même on obtientO2A3 L2

=_f¹0 2

+ ¹

O2A2

−1

d’où O2A3= 1

f₂⁰ + 1

−f₁⁰−∆−f₂⁰+O1A2

!−1

.

Avec l’approximation ci-dessus,O1A1≈f₁⁰, on obtient O2A3≈f₂⁰ f₂⁰

∆+ 1

= 1,2 m.

•Enfin,M2A^{0 M}=²M2A3d’où M2A⁰=−O2M2+O2A3≈ −O2M2+f₂⁰ f₂⁰

∆+ 1

= 0,30 m.

Les miroirs donnent un grandissement de 1 donc

γ=A⁰B⁰ AB =A3B3

A1B1

=A3B3

A2B2

.A2B2

A1B1

=γL₂. γL₁=O2A3

O2A2

.O1A2

O1A1

,

En réutilisant les résulats approximatifs précédents, on obtient γ= f₁⁰f₂⁰

∆AM1

= 1,0×10⁻²>0. Le signe positif confirme quel’image finale est droite, ce qui a été obtenu dans la construction en annexe.

4. cf TP Focométrie... Méthode par autocollimation (rapide et peu précise) : à l’aide d’un miroir plan en arrière de la lentille, former une image nette dans le même plan que l’objet. La distance objet-lentille est alors égale à la distance focale.

Mais aussi : méthode basée sur la relation deDescartes, méthode deBessel, méthode deSilbermann.

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II. Alimentation d’un moteur

1.

Générateur (convention générateur) : u=E−ri. Moteur (convention récepteur) : u=E⁰+r⁰i.

2. Utilisons la loi des noeuds en terme de potentiel au pointA en ajoutant une masse au contact des générateurs (cf schéma ci-contre).

V_A 2

r+1 r⁰

=V_C r +V_D

r +V_B r⁰ = 2E

r +E⁰ r⁰ d’où V_A= ^Er

0+E^0r₂ r⁰+^r

2

. On en déduitI⁰= ^VA−V_r0^B =^VA_r^−E0 ⁰

d’où après simplification : I⁰=E−E⁰ r⁰+^r₂ = 2 A.

Autres méthodes possibles (plus :

•lois de Kirchhoff (la plus rapide ici). 2 lois de mailles + une loi de noeud :E⁰+r⁰I⁰=E−rI= E−r(I⁰−I)puis éliminerI;

On trouve aussi queI=¹₂I⁰, ce qui pouvait être postulé a priori en utilisant de la symétrie plane du circuit (Hors Programme) qui permet d’écrireI=I⁰−I(doncI=¹₂I⁰).

•Rammener le circuit à une seule maille par transformations et association des générateurs. Cela conduit à un générateur de Thévenin équivalent de femEet de résistance moitié^r₂.

3. La puissance reçue par le moteur s’écritP_rmoteur=V_AI⁰avec les notations ci-dessus. Si la tension aux bornes du moteur n’a pas été déterminée (cf autres méthodes), on peut l’obtenir paru= E⁰+r⁰I⁰. Finalement on obtient (au choix)

P_rmoteur=Er⁰+E^0r₂ r⁰+^r₂

E−E⁰

r⁰+^r₂ = E⁰+E−E⁰ 1 +_2r^r0

!E−E⁰

r⁰+^r₂ = 14 W.

Comme la tensionus’applique aussi à chaque moteur, on trouve par la loi des noeuds queP_cgéné 1+ P_{cgéné 1}=P_rmoteur. La symétrie impose P_{cgéné 1}=P_cgéné 1=1

2P_rmoteur = 7 W (carI=¹₂I⁰).

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III. Fonctionnement d’une minuterie

1. Il s’agit d’un circuit RC série en charge soumis à une tension constanteE(cf cours). La loi des mailles donne

E=τdu_c

dt +u_c avec τ=RC .

2. La solution générale s’écritu_c(t) =u_p(t) +λ e⁻τ^t oùλ∈Rune constante indéterminée.u_p(t) est une solution particulière cherchée constante. On obtientu_p(t) =E. La condition de continuité de la tension du condensateur imposeu_c(0) = 0 =E+λd’oùλ=−Eet u_c(t) =E1−e^−τt.

On au_c(t)

t→∞

=Ece qui représente le régime permanent.

3. On note que la pente à l’origine vaut ^E_τ :

4. On cherchet_{`</sub>vérifiant :u<sub>c</sub>(t<sub>`}) =U<sub>`</sub>=E1−e<sup>−t`τ</sup>⇔ t_`=−τln

1−U_` E

= 22 s.

5. Le composantM doit couper le circuit dès que le critèreu_c≥U_`est détecté. Mais il y a toujours du

« bruit » (électrique) qui se superpose au signal théorique, d’où des erreurs de détection du seuil. Si ce critère est validé au bout d’un temps long devantτ, lorsqueu_cévolue lentement (faible pente), cela risque d’occasionner unegrosse incertitude surt_{`</sub>et donc un non respect de la durée demandée. En pratique il faut prendre un seuil suffisamment éloigné de l’asymptote pour assurer une détermination fiable det<sub>`}. 6. On peut augmentert_{`</sub>en augmentantU<sub>`}, avec l’inconvénient cité précédemment. L’autre solution est

d’augmenterτ, c’est-à-dire le produitRC, en augmentantRouCou les deux.

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