SESSION 2015 PSIMA02
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI
MATHEMATIQUES Durée : 4 heures
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Les calculatrices sont autoris´ees
Notations
– Rd´esigne l’ensemble des r´eels etR+d´esigne l’intervalle[0,+∞[.
– SiIest un intervalle r´eel non r´eduit `a un point, on noteC1(I)l’espace vectoriel des fonc- tions de classeC1d´efinies surI`a valeurs dansR.
– SoitKl’ensembleRouC. Pour tout entier naturel non nul,Mn(K)d´esigne leK-espace vectoriel des matrices `anlignes etncolonnes et `a coefficients dansK.
– Un vecteur deKnest not´e :
X= (xk)1≤k≤n=
x1
x2
... xn
.
– Une matriceAdeMn(K)est not´ee :
A= ((aj,k))1≤j,k≤n
o`uaj,kest le coefficient deAsitu´e en lignejet colonnek.
– On dit qu’une application :
M: I → Mn(K) t → M(t) = ((aj,k(t)))1≤j,k≤n
est de classeC1surI, si pour tout couple(j, k)la fonctiont→aj,k(t)est de classeC1sur Iet dans ce cas, on noteM′(t)la matrice
a′j,k(t)
1≤j,k≤n.
SoientIun intervalle r´eel non r´eduit `a un point etA:I→ Mn(C)une fonction continue.
Dans ce probl`eme, on s’int´eresse au syst`eme diff´erentiel :
X′(t) =A(t)X(t) (E) o`uX:I→Cnest une application de classeC1.
A l’exception de la question I.2 utilis´ee tout au long du sujet, les trois parties sont ind´ependantes.
Partie I
Quelques exemples d’´etude d’un syst`eme diff´erentiel
I.1 Qu’affirme le th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz lin´eaire quant `a la structure de l’ensemble des solutions de(E)?
I.2 Vecteurs propres communs
On suppose qu’il existe un vecteur non nulV ∈Cnet une fonction continueλ:I→Ctels que pour toutt∈Ion ait :
A(t)V =λ(t)V.
Montrer que la fonction :
X: I → Cn t → α(t)V
est solution de(E)si, et seulement si, la fonctionαest solution d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre que l’on pr´ecisera et pour laquelle on donnera une expression des solutions.
I.3 Un premier exemple
On suppose pour cette question quen= 2. Soientaetbdeux complexes tels quea−1−b= 0.
On suppose que, pour toutt∈I=R, on a : A(t) =
a 1−a
b 1−b
.
D´eterminer une base de l’espace vectoriel des solutions de(E).
I.4 Un deuxi`eme exemple
On suppose ´egalement pour cette question quen = 2. Soientµune constante complexe et a, bdes fonctions continues deIdansC,la fonctionbne s’annulant jamais surI. On suppose que pour tout r´eelt∈I,on a :
A(t) =
a(t) µb(t)
b(t) a(t) + (µ−1)b(t)
.
I.4.1 Traiter le cas particulier o`uµ= 1.
I.4.2 Montrer qu’il existe deux vecteurs non nulsV1etV2dansC2et deux fonctions conti- nuesλ1etλ2deIdansCtels que pour toutt∈Ion ait :
A(t)V1=λ1(t)V1etA(t)V2=λ2(t)V2.
I.4.3 Donner une condition n´ecessaire et suffisante portant surµpour que l’on ait :
∀t∈I, λ1(t)=λ2(t). On supposera cette condition v´erifi´ee pour la question suivante.
I.4.4 D´eterminer une base de l’espace vectoriel des solutions de(E).
Partie II
D´eveloppement en s´erie enti`ere des solutions pourAconstante
II.1 Norme matricielle induite
On se donne une norme vectorielleX→ XsurCnet on lui associe la fonctionNd´efinie surMn(C)par :
∀A∈ Mn(C), N(A) = sup
X∈Cn\{0}
AX X . II.1.1 Montrer que l’applicationNd´efinit une norme surMn(C).
II.1.2 Montrer que, pour toutes matricesAetBdansMn(C),on a : N(AB)≤N(A)N(B).
II.2 D´eveloppement en s´erie enti`ere des solutions
II.2.1 On suppose pour cette question, queI=Ret que la fonctionAest constante.
Montrer que siXest solution de(E),elle est alors de classeC∞surIet que pour tout entier naturelk, on a :
X(k)(t) =AkX(t) (avec la convention queX(0)=XetA0=In).
II.2.2 On noteX0=X(0). Montrer que pour tout entier naturelpet tout r´eelt∈I, on a : X(t) =
p
k=0
tk k!Ak
X0+
t
0
(t−u)p
p! Ap+1X(u)du.
II.2.3 Montrer que :
X(t) = lim
p→+∞
p
k=0
tk k!Ak
X0
et en d´eduire que les coordonn´ees deXsont d´eveloppables en s´erie enti`ere surR.
II.3 Un exemple
On suppose pour cette question, quen = 4,queI = Ret que la fonctiont → A(t)est constante et ´egale `a :
A=
1 0 −1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
∈M4(C).
II.3.1 Calculer le polynˆome caract´eristiquePA(X)deA.
II.3.2 Soitkun entier naturel non nul.
Montrer que la famille
1, X, X(X−1), X(X−1)2
est une base deC3[X], puis exprimer le reste de la division euclidienne deXkparPA(X)dans cette base.
II.3.3 En d´eduire, pour tout entierk≥1, une expression deAken fonction deA, A(A−I4) etA(A−I4)2.
II.3.4 CalculerA(A−I4)etA(A−I4)2.
II.3.5 Pr´eciser le rayon de convergence de la s´erie enti`ere :
+∞
n=1
tn n!(n−1) ainsi que sa somme.
II.3.6 SoitX0=
1 0 1 0
∈C4. D´eterminer la solution du probl`eme de Cauchy lin´eaire
X′ = AX X(0) = X0
.
Partie III
Etude de deux fonctions
III.1 L’int´egrale de Gauss
III.1.1 Montrer que l’int´egrale de la fonctionf :t→e−t2est convergente surR+.
III.1.2 Montrer que les fonctionsF etGd´efinies surR+par :
∀x∈R+, F(x) =
x
0
e−t2dt 2
, G(x) = 1
0
e−x2(t2+1) t2+ 1 dt sont de classeC1surR+,puis pr´eciser les d´eriv´ees d’ordre1deFet deG.
III.1.3 Montrer que :
∀x∈R+, F′(x) +G′(x) = 0 et en d´eduire la valeur deF +G.
III.1.4 Montrer que :
x→+∞lim G(x) = 0et lim
x→+∞F(x) = π 4. III.1.5 En d´eduire que :
+∞
0
e−t2dt=
√π 2 . III.2 Les fonctionsuetv
III.2.1 Montrer que les fonctions :
u(t) =
+∞
0
e−xcos(tx)
√x dxetv(t) =
+∞
0
e−xsin(tx)
√x dx sont bien d´efinies et de classeC1surR.
III.2.2 Montrer que la fonctionw =u+ivest solution d’une ´equation diff´erentielle, puis en d´eduire que :
X(t) = u(t)
v(t)
est solution d’un syst`eme diff´erentiel du premier ordre
X′(t) =A(t)X(t) (E1) o`u la fonction matricielleA:R→ M2(C)est `a d´eterminer.
III.2.3 D´eterminer, pour tout r´eelt, les valeurs propres complexes et les sous-espaces propres deA(t).
III.2.4 D´eterminer une base de l’espace vectoriel des solutions surCdu syst`eme(E1)et en d´eduire la solution g´en´erale de(E1).
III.2.5 Calculeru(0), v(0)et en d´eduire l’expression r´eelle deuet dev.
Fin de l’´enonc´e
