SYSTEMES DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES SATUREES

HAL Id: hal-01253027

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01253027

Submitted on 8 Jan 2016

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

SYSTEMES DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES SATUREES

Bertrand Toën, Michel Vaquié

To cite this version:

Bertrand Toën, Michel Vaquié. SYSTEMES DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES SAT- UREES. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Mathématiques., Université Paul Sabatier _ Cellule Mathdoc 2016. �hal-01253027�

SYST `EMES DE POINTS DANS LES DG-CAT ´EGORIES SATUR ´EES

BERTRAND TO ¨EN AND MICHEL VAQUI ´E A Vadim Schechtman, avec admiration et amiti´` e.

R´esum´e. Dans ce travail nous consid´erons le probl`eme de r´ealiser g´eom´etriquement les cat´egories triangul´ees (plutˆot les dg-cat´egories triangul´ees) comme des cat´egories d´eriv´ees de vari´et´es alg´ebriques.

Pour cela, on introduit la notion desyst`eme de pointsdans une dg-cat´egorie satur´eeT. Nous montrons que la donn´ee d’un tel syst`eme permet de construire un espace alg´ebrique MP, de type fini, lisse et s´epar´e, ainsi qu’un dg-foncteur de T vers une version tordue de la dg-cat´egorie d´eriv´ee deMP. On montre de plus que ce dg-foncteur est une ´equivalence si et seulement siMP est propre. Tout au long de ce travail nous ´etudions les t-structures sur les familles alg´ebriques d’objets dansT, ce qui poss`ede possiblement un int´erˆet en soi ind´ependant du th`eme de ce travail.

Table des mati`eres

Introduction 1

1. Dg-cat´egories satur´ees 4

2. Espaces de modules d’objets simples dans une dg-cat´egorie satur´ee 5

3. Extension des scalaires et t-structures 7

4. Espaces Quot 13

5. Objets ponctuels et co-engendrement 17

6. L’espace de modules des objets ponctuels 19

7. Th´eor`eme de reconstruction 22

8. Deux exemples 24

R´ef´erences 26

Introduction

Toute vari´et´e propre et lisse X sur un corps k (ici alg´ebriquement clos) donne lieu `a une dg- cat´egorieLparf(X) des complexes parfaits surX. La dg-cat´egorie, souvent consid´er´ee comme l’espace non-commutatif associ´e `aX, se rappelle de tr`es nombreux invariants cohomologiques et g´eom´etriques de la vari´et´e X (voir par exemple [Ro, To2]). Cependant, la pr´esence de vari´et´es qui partagent un mˆeme cat´egorie d´eriv´ee implique qu’il est en g´en´eral impossible de reconstruireX`a partir deL_parf(X), et quand bien mˆeme une telle reconstruction est possible il existe de tr`es nombreux choix pourX.

Dans [To-Va1] nous avons introduit une construction dans le sens inverse T 7→ M_T, qui `a une dg- cat´egorie T associe le (∞-)champ classifiant des objets dans T. Cette construction n’est pas inverse

Date: Mars 2015.

1

de X7→Lparf(X), mais est adjointe en un sens pr´ecis (voir [To4,§3.1]). LorsqueT s’´ecrit de la forme L_parf(X), la vari´et´e X se retrouve comme un ouvertX ⊂ M_T (modulo une Gm-gerbe triviale), qui correspond `a la partie deM<sub>T</sub> qui classe les faisceaux gratte-ciel associ´es aux points de X vus comme complexes parfaits sur X. Un autre choix de vari´et´e X<sup>0</sup> telle que T ' L<sub>parf</sub>(X<sup>0</sup>) donne lieu `a un autre ouvert X⁰ ⊂ M_T. Ceci montre que la reconstruction d’une vari´et´e X telle que T 'L_parf(X) n’est envisageable que si l’on sp´ecifie un sous-ensemble P des classes d’´equivalence d’objets de T correspondant aux gratte-ciel de X vus comme objets deT.

Le r´esultat principal de ce travail est le th´eor`eme 7.2, dans le quel nous donnons des conditions n´ecessaires et suffisantes sur un ensembleP de classes d’´equivalence d’objets dans une dg-cat´egorieT propre et lisse, pour qu’il existe un espace alg´ebrique X, lisse, s´epar´e et de type fini surk, une classe α ∈H_et²(X,Gm) et un dg-foncteur

φP :T^op−→L^α_parf(X),

qui identifie l’ensembleP aux gratte-ciel deX(o`uL^α_parf(X) est la dg-cat´egorie des complexes parfaits sur X tordus par α). On montre de plus que φP est une ´equivalence si et seulement si X est propre.

Cet ´enonc´e est une r´eponse possible au probl`eme de savoir si une dg-cat´egorie propre et lisse T est d’origine g´eom´etrique. Cependant, plus qu’un simple th´eor`eme de reconstruction nous pensons que notre r´esultat peut ˆetre un outil utile pour construire des ´equivalences entre cat´egories d´eriv´ees, bien que cet apsect ne sera pas discut´e en d´etail dans ce travail (voir cependant §8).

Les conditions sur la dg-cat´egorieTet l’ensembleP qui constituent les hypoth`eses de notre th´eor`eme ne peuvent pas se r´esumer dans cette introduction, et une grande partie de ce travail consiste en l’introduction des notions qui entrent en jeu. Elles peuvent cependant se d´ecliner en quatre grandes familles de conditions que nous allons bri`evement commenter.

(1) La dg-cat´egorie T est satur´ee.

(2) Les objets deP sont des objets ponctuels deux `a deux orthogonaux et co-engendrentT. (3) Les objets deP co-engendrent une t-structure parfaite et ouverte surT.

(4) La famille des objets deP est born´ee.

La premi`ere condition affirme que T est propre, lisse et triangul´ee (voir [To-Va1]), ce qui est une hypoth`ese naturelle et incontournable si l’on souhaite reconstruire une vari´et´e propre et lisse X. Par ailleurs, ces hypoth`eses impliquent l’existence d’un foncteur de Serre pour T (voir notre §1), ce qui intervient de mani`ere cruciale tout au long de l’article.

La condition (2) contraint le comportement cohomologique des objets de P. On demande par exemple que l’on ait T(x, x) ' Sym_k(Ext¹(x, x)[1]) avec Ext¹(x, x) de dimension uniforme d. Par ailleurs, si x6=y on demande que T(x, y) '0. On doit aussi avoir ST(x)'x[d] pour toutx∈ P, o`u S_T est le foncteur de Serre de T. Enfin, on demande que l’ensemble des objets deP soit unespanning class au sens de Bridgeland: siT(y, x)'0 pour tout x∈ P alorsy '0.

La condition (3) est la plus d´elicate et la plus indirecte. Tout d’abord, on d´eclare qu’un objety∈T est positif si pour tout x∈ P, le complexeT(y, x) est cohomologiquement concentr´e en degr´e n´egatif.

Une premi`ere condition est que cette notion de positivit´e d´efinisse une t-structure sur la cat´egorie triangul´ee [T] associ´ee `a T. Cette t-structure est dite co-engendr´ee par l’ensembleP. On demande de plus qu’elle soit ouverte, c’est `a dire qu’ˆetre un objet du cœur de cette structure soit une condition ouverte (qui est une mani`ere d’imposer une semi-continuit´e pour les objets de cohomologie associ´es `a la t-structure). Cette notion demande une ´etude des t-structures induites sur les familles alg´ebriques d’objets de T (voir notre §3) et nous ne sommes pas arriv´es `a la d´ecrire de mani`ere simple en termes

de T seule, on encore `a donner des conditions suffisantes pour qu’elle soit automatique. On demande aussi que la t-structure soit parfaite, ce qui signifie essentiellement que son cœur est noeth´erien et que les foncteurs de troncations pr´eservent les objets compacts. Encore une fois nous ne sommes pas arriv´es `a d´ecrire cette condition simplement en termes deT.

Enfin, la derni`ere condition (4) affirme que la famille d’objetsP vit dans une partie quasi-compacte du champ des objets M<sub>T</sub> ce qui peut se traduire par l’existence d’une borne uniforme sur la coho- mologie des objets de P par rapport `a un g´en´erateur compact (voir [To-Va1, §3.3]).

Sous ces conditions (1) `a (4), nous montrons l’existence d’un espace de modules grossier MP qui classe les objets de P. On montre que cet espace est un espace alg´ebrique de type fini, s´epar´e et lisse sur k. Le champ des objets de P est lui une Gm-gerbe MP −→ MP d´ecrit par une dg-alg`ebre d’Azumaya (au sens de [To4]) naturelle. Si on note α ∈ H_et²(MP,Gm) la classe de cette gerbe, on montre l’existence d’undg-foncteur de d´ecomposition

φP :T^op−→L^α_parf(MP),

qui est `a rapprocher de la d´ecomposition spectrale d’une repr´esentation comme faisceau sur l’espace des repr´esentations irr´eductibles d’un groupe. Ce dg-foncteur est une quasi-´equivalence sur les sous-dg- cat´egories pleine form´ees des points, et on montre que c’est une quasi-´equivalence si et seulement siMP

est de plus propre (sans ˆetre arriv´e `a mettre au jour un crit`ere simple qui implique la propret´e deMP).

Pour conclure, nous souhaitons signaler que nous ne consid´erons pas notre th´eor`eme principal comme r´eellement optimal, mais plutˆot comme un premier pas, et qu’il serait souhaitable de l’am´eliorer.

Tout d’abord, comme nous l’avons d´ej`a signal´e, certaines conditions, particuli`erement autour de la t-structure, sont d´elicates `a d´ecrire en termes deT seule. Leurs v´erifications sont parfois difficiles dans la pratique, et il est fort probable que l’on puisse donner des am´eliorations (par exemple en donnant des conditions suffisantes sur une t-structure pour ˆetre ouverte ou encore parfaite). Par ailleurs, nous d´emontrons que le foncteur φP :T<sup>op</sup> −→ L<sup>α</sup><sub>parf</sub>(MP) est une ´equivalence seulement si X est propre, sans donner pour autant de condition qui permette de s’en assurer. Encore une fois, dans la pratique cela veut dire qu’il faut v´erifier la propret´e de X au cas par cas. On devrait pouvoir am´eliorer cela en rajoutant, par exemple, des conditions de stabilit´es en plus de la donn´ee deP. A notre d´echarge, notre point de d´epart est une dg-cat´egorie propre et lisse g´en´erale, qui peut ne rien avoir `a voir,

`

a priori, avec la dg-cat´egorie d´eriv´ee d’une vari´et´e alg´ebrique, on pourrait prendre par exemple des dg-cat´egories d’origines topologiques ou symplectiques (comme les cat´egories de type Fukaya). La conclucion du th´eor`eme 7.2 est ainsi relativement forte, et il n’est pas suprenant que les hypoth`eses le soient proportionnellement.

Enfin, pour finir, nous avons inclus deux exemples de paire (T,P) dans notre dernier paragraphe, mais nous n’avons pas fait l’exercice de v´erifier toutes les conditions qui forment les hypoth`eses de notre th´eor`eme, notre but ´etant ici plus d’illustrer la signification du th´eor`eme plutˆot que de donner de r´eelles applications. Il serait donc int´eressant d’avoir un exemple d’application du th´eor`eme 7.2 o`u l’on obtienne une ´equivalence de cat´egories d´eriv´ees qui n’´etait pas encore connue. Nous pensons par exemple `a la sym´etrie mirroir: une vari´et´e symplectique N munie d’une fibration en tores lagrang- iens N → S, semble pouvoir donner une paire (T,P), o`u T est un dg-mod`ele pour la A_∞-cat´egorie de Fukaya de N, et P est la famille d’objets correspondant `a la famille de tores lagrangiens donn´ee par les fibres de N → S. Ici, l’espace alg´ebrique MP serait bien entendu un candidat au miroir de M (voir l’introduction de [Ab]), modulo d’innombrables complications techniques (e.g. le corps de

base k doit ˆetre remplac´e par quelque chose commek((t)), etc). Malheureusement, notre manque de compr´ehension des cat´egories de Fukaya ne nous permet pas d’en dire plus dans ce travail.

Conventions: Tout au long de ce travail nous travaillerons au-dessus d’un corps alg´ebriquement clˆosk de caract´eristique nulle.

1. Dg-cat´egories satur´ees

Nous nous pla¸cons dans le cadre de la th´eorie Morita des dg-cat´egories (k-lin´eaires) de [To2], auquel nous renvoyons le lecteur pour les d´etails. Nous travaillerons dans Ho(dg −cat), la cat´egorie ho- motopique des dg-cat´egories k-lin´eaires. Concr`etement, cela signifie que nous travaillons `a quasi-

´

equivalence de dg-cat´egories pr`es, sans que cela soit dit de mani`ere explicite. Il nous arrivera par exemple d’utiliser l’expression dg-foncteur pour signifier en r´ealit´e un morphisme dans Ho(dg−cat), ou encorelimites pour signifierlimites homotopiques. De mˆeme certaines constructions seront d´ecrites de mani`ere na¨ıve et demanderaient d’expliciter certains mod`eles explicites (ce que nous laissons au lecteur le soin de faire, ou pas). Nous rencontrerons parfois des dg-cat´egories non petites, et nous lais- sons le soins au lecteur de fixer des univers pour donner un sens `a certains ´enonc´es (voir par exemple [To2, To4]).

Soit T une petite dg-cat´egorie sur k. Nous noterons Tb:= RHom(T^op,bk), la dg-cat´egorie obtenue

`

a partir de T en y rajoutant des colimites homotopiques (voir [To2]). L’objet Tb est bien d´efini dans Ho(dg−cat), la cat´egorie homotopique des dg-cat´egories. Un mod`ele explicite deTbest la dg-cat´egorie des T^op-dg-modules cofibrants et fibrants (voir [To-Va1,§2.2]).

On dispose d’un plongement de Yoneda h:T −→Tb qui identifie T `a une sous-dg-cat´egorie pleine de Tb. Le morphismeh se factorise parTbc⊂Tbla sous-dg-cat´egorie pleine form´ee des objets compacts.

Nous rappelons la terminologie suivante.

• La dg-cat´egorie T est triangul´ee si le morphismeh induit une quasi-´equivalenceT 'Tbc.

• La dg-cat´egorieT estlisse sur ks’il existe une dg-alg`ebreB sur k, avecTbquasi-´equivalente `a B, et telle queb B soit un B⊗_kB^op-dg-module compact.

• La dg-cat´egorieT estpropre surk s’il existe une dg-alg`ebreB surk, avecTbquasi-´equivalente

`

a B, et telleb B soit compacte commek-dg-module (i.e. soit un complexe parfait de k-espaces vectoriels).

• La dg-cat´egorie T est satur´ee si elle est propre, lisse et triangul´ee.

Les dg-cat´egories satur´ees poss`edent de fabuleuses propri´et´es de dualit´e. Elles sont par exemple les objets pleinement dualisables de la cat´egorie mono¨ıdale sym´etrique des petites dg-cat´egories `a

´

equivalence de Morita pr`es (voir [To4, Prop. 2.5]), et aussi les objets pleinement dualisables de la 2- cat´egorie mono¨ıdale sym´etrique des dg-cat´egories compactement engendr´ees et dg-foncteurs continus (voir [Lu2]). En ce qui nous concerne, nous rentiendrons les faits suivants.

(1) Pour deux dg-cat´egories satur´ees T1 et T2, la dg-cat´egorie RHom(T1, T2) est satur´ee. Elle est de plus naturellement ´equivalente `a (T<sub>1</sub>\⊗T<sub>2</sub><sup>op</sup>)<sub>c</sub>, la dg-cat´egorie des (T<sub>1</sub>, T<sub>2</sub>)-dg-bimodules compacts. Le dg-bimodule correspondant `a un morphismef sera g´en´eralement not´e Γ(f). Ce dg-bimodule envoie (a, b)∈T₁⊗T₂^op sur le complexeT₂(b, f(a)).

(2) Toute dg-cat´egorie satur´eeT poss`ede un foncteur de Serre ST. Il s’agit d’un endomorphisme S_T :T −→T de T, tel que le dg-bimodule correspondant soit donn´e par la formule

Γ(ST) : (a, b)7→T(a, b)^∨:=Hom(T(a, b), k).

On dispose donc de quasi-isomorphisme naturel T(a, b)^∨ 'T(b, ST(a)).

L’endomorphismeS_T deT est toujours une auto-´equivalence.

(3) Soitf : T1 −→ T2 un dg-foncteur entre dg-cat´egories satur´ees. Alors f poss`ede un adjoint `a droite et un adjoint `a gauche (au sens de [To4, §3.1]), not´es respectivement

f∗ :T2 −→T1 f!:T2 −→T1.

Sif correspond au dg-bimodule Γ(f)∈T1\⊗T₂^op, alorsf∗ correspond au (T2, T1)-dg-bimodule Γ(f_!) : (a, b)7→T₂(f(b), a).

L’adjoint `a gauche f! est quand `a lui donn´e par la formule f_!=S_T⁻¹

1 (f∗)S_T2,

o`u S<sub>Ti</sub> est le foncteur de Serre de la dg-cat´egorie Ti. En d’autres termes le dg-bimodule correspondant `af_! est (a, b)7→T₂(a, f S_T1(b))^∨.

2. Espaces de modules d’objets simples dans une dg-cat´egorie satur´ee

Soit T une dg-cat´egorie satur´ee sur k. On d´efinit un pr´efaisceau simplicial sur la cat´egorie Af f_k des sch´emas affines sur k

M_T :Af f_k^op−→sSet, par la formule

M_T(Spec A) :=M apdg−cat(T^op,Abc).

Le pr´efaisceau M_T est un champ pour la topologie fpqc (voir [To-Va1]). De plus, pour tout champ F ∈St_k on dispose d’une ´equivalence naturelle

M apSt_k(F,M_T)'M apdg−cat(T^op, L_parf(F)), o`uL_parf(F) est la dg-cat´egorie des complexes parfaits surF d´efinie par

L_parf(F) := lim

Spec A−→FAb_parf.

Il s’agit ici d’une limite homotopique dans la th´eorie homotopique des dg-cat´egories (voir [To-Ve2]

pour plus de d´etails sur la descente).

Le principal th´eor`eme de [To-Va1] affirme queM<sub>T</sub> est un champ localement alg´ebrique et localement de pr´esentation finie sur k. Dans ce travail nous nous restreindrons au sous-champ M<sup>simp</sup><sub>T</sub> ⊂ M<sub>T</sub>, form´e des objets simples. Par d´efinition, un point deM<sub>T</sub>(Spec A) correspond `a unT^op⊗_kA-dg-module compact. Un telT^op⊗_kA-dg-moduleE poss`ede un complexe d’endomorphismesRHom(E, E) qui est un complexe deA-dg-modules. Ce complexe est de plus parfait surAcarT est satur´ee. Par d´efinition, l’objetE ∈ M_T(Spec A) est ditsimple si le complexe parfaitRHom(E, E) v´erifie les deux conditions suivantes.

• L’amplitude de RHom(E, E) est contenue dans [0,∞].

• Le morphisme naturel A −→ RHom(E, E) induit par l’identit´e de E, induit pour tout mor- phisme d’anneauxA−→A⁰ un isomorphisme

A⁰ 'H⁰(RHom(E, E⊗_AA⁰)).

Par semi-continuit´e on voit que l’inclusion naturelle M^simp_T ⊂ M_T est une immersion ouverte de champs. On en d´eduit donc queM^simp_T est lui-mˆeme un champ localement alg´ebrique et localement de pr´esentation finie. Par ailleurs, l’annulation des Ext n´egatifs des objets simples implique que M^simp_T est un 1-champ d’Artin localement de pr´esentation finie (voir [To-Va1,§3.4]). Enfin, le fait que les objets simples ne poss`edent que les scalaires comme endomorphismes de degr´e z´ero implique que M<sup>simp</sup><sub>T</sub> est uneGm-gerbe au-dessus d’un espace alg´ebriqueM<sub>T</sub><sup>simp</sup>localement de pr´esentation finie sur k. De mani`ere plus explicite, la projection

π :M^simp_T −→M_T^simp

est le morphisme quotient pour l’action naturelle du champ en groupes K(Gm,1) sur M^simp_T qui consiste `a tensoriser par des fibr´es en droites de la base. Pour Spec A ∈ Af f<sub>k</sub>, le groupe simplicial K(A<sup>∗</sup>,1) op`ere naturellement sur l’ensemble simplicial M_T(A) par son action naturelle sur la dg- cat´egorie Abc des complexes parfaits de A-dg-modules. Lorsque Spec A d´ecrit Af f_k cela d´efinit une action du champ en groupes K(Gm,1) sur M^simp_T dont le quotient estM_T^simp. On peut donc ´ecrire

M_T^simp'[M^simp_T /K(Gm,1)]

de sorte `a ce que la projectionπ :M^simp_T −→M_T^simp soit le morphisme quotient.

Notons que la gerbe M^simp_T au-dessus de M_T^simp est en g´en´eral non-triviale. Elle est cependant donn´ee par une dg-alg`ebre d’Azumaya sur M<sub>T</sub><sup>simp</sup> au sens de [To4], qui peut-ˆetre construite de la mani`ere suivante. Sur le champM^simp_T , on dispose d’une T^op-dg-module universel E, qui apr`es oubli de la structure de T<sup>op</sup>-dg-module fournit un complexe parfait E<sub>0</sub> sur M<sup>simp</sup><sub>T</sub> . La dg-cat´egorie des complexes parfaits sur M<sup>simp</sup><sub>T</sub> poss`ede des sous-dg-cat´egories pleines

L^χ_parf(M^simp_T )⊂L_parf(M^simp_T ),

o`uχparcours l’ensemble des caract`eresZdeGm, et o`uL<sup>χ</sup><sub>parf</sub>(M<sup>simp</sup><sub>T</sub> ) consiste en les complexes parfaits de poids χ: un complexe parfait E ∈ L<sub>parf</sub>(M<sup>simp</sup><sub>T</sub> ) vit dans L<sup>χ</sup><sub>parf</sub>(M<sup>simp</sup><sub>T</sub> ) si et seulement si pour toute gerbe r´esiduelle BGm ⊂ M<sup>simp</sup><sub>T</sub> la restriction de E `a BGm est un complexe de repr´esentations de Gm pures de poids 1. Notons que si M^simp,ν_T d´esigne un ouvert quasi-compact de M^simp_T (voir [To-Va1, §3.3]), alors les inclusions naturelles d´efinissent une quasi-´equivalence de dg-cat´egories

M

χ∈Z

L^χ_parf(M^simp,ν_T )'Lparf(M^simp,ν_T ).

Cette d´ecomposition n’est plus valable surM^simp_T tout entier dˆue `a la non-quasi-compacit´e.

Nous disposons donc d’un complexe parfait universel E₀ sur M^simp_T , pur de poids 1. Cet objet est de plus un g´en´erateur compactlocal deL^χ=1_parf(M^simp_T ), au sens o`u son image r´eciproque sur tout affine Spec A−→ M<sup>simp</sup><sub>T</sub> est un g´en´erateur compact deD(A) la cat´egorie d´eriv´ee de A. Il s’en suit, d’apr`es le formalisme g´en´eral de [To4], que le faisceau en dg-alg`ebres parfaitesA:=REnd(E₀) est pur de poids

0, donc vit dans L^χ=0_parf(M^simp_T ) ' Lparf(MT), et est de plus une dg-alg`ebre d’Azumaya sur l’espace alg´ebriqueM<sub>T</sub><sup>simp</sup>. D’apr`es [To4, Cor. 4.8], elle d´etermine une classeγ(A)∈H_et²(M_T^simp,Gm) qui n’est autre que la classe de la gerbe M^simp_T −→ M_T^simp. Par construction, on a une quasi-´equivalence de dg-cat´egories

L_parf(A)'L^χ=1_parf(M^simp_T ),

o`u le membre de gauche est la dg-cat´egorie des A-dg-modules parfaits sur M<sub>T</sub><sup>simp</sup>. Nous renvoyons `a [To4] pour plus de d´etails.

3. Extension des scalaires et t-structures

Comme pr´ec´edemment, soitT une dg-cat´egorie triangul´ee surketTbla dg-cat´egorie des dg-modules sur T^op. On note h : T −→ Tb le dg-foncteur de Yoneda, qui est un dg-foncteur pleinement fid`ele.

On note [T] :=H⁰(T) la cat´egorie homotopique deT. Comme T est triangul´ee, [T] est munie d’une structure triangul´ee naturelle pour laquelle les triangles distingu´es sont les images des suites exactes de fibrations (voir [Ho, §7] ou [To3, §4.4]). D’apr`es nos conventions [T] est aussi Karoubienne. De la mˆeme mani`ere, [Tb] est une cat´egorie triangul´ee qui poss`ede des sommes infinies. Le plongement de Yoneda induit un foncteur triangul´e pleinement fid`ele

[T],→[Tb].

Le caract`ere triangul´e de T implique que l’image essentielle de ce plongement est la sous-cat´egorie pleine des objets compacts dans [Tb]. On dipose donc d’une ´equivalence triangul´ee naturelle

[T]'[Tb]_c.

D´efinition 3.1. Une t-structure sur T est la donn´ee d’une t-structure sur la cat´egorie triangul´ee [Tb] au sens de [BBD]. Le cœur d’une t-structure sur T est par d´efinition le cœur de la t-structure correspondante sur [Tb]. Il sera not´eH.b

Par d´efinition, une t-structure sur T est compl`etement caract´eris´ee par la donn´ee d’une sous- cat´egorie pleine [Tb]<sup>≤0</sup> ⊂ [Tb], form´ee des objets x tels que τ<sub>>0</sub>x ' 0. Inversement, une telle sous- cat´egorie pleine de [T] d´b etermine une t-structure si et seulement si elle est stable par sommes (possi- blement infinies), cˆones et facteurs directs, et si de plus elle est engendr´ee par cˆones, sommes et facteurs directs par un ensemble petit d’objets (voir [Ke-Vo]). Par la suite, nous supposerons implicitement que les t-structures consid´er´ees satisferont toutes cette hypoth`eses ensemblistes: [T]b^≤0 est engendr´ee, par cˆones, sommes et facteurs directs par un ensemble petit d’objets.

Comme l’ensemble des classes d’´equivalence de sous-cat´egories pleines de [Tb] sont en correspondance bi-univoque avec celui des sous-dg-cat´egories pleine de T, on voit qu’une t-structure surb T consiste en la donn´ee d’une sous-dg-cat´egorie pleine Tb^≤0 ⊂Tbqui est stable, `a ´equivalence pr`es, par colimites (au sens des dg-cat´egorie) et qui est engendr´ee par colimites par un ensemble petit d’objets. Il est important de noter cependant que bien que l’inclusion naturelle [T]b^≤0 ⊂ [Tb] soit induite par un dg-foncteur pleinement fid`eleTb^≤0 ⊂Tb, le foncteur de troncation

τ≤0 : [Tb]−→[T]b^≤0

ne l’est pas (car il n’est pas un foncteur triangul´e). Ce foncteur de troncation peut cependant ˆetre repr´esent´e par un∞-foncteur sur les∞-cat´egories correspondantes

|Tb| −→ |Tb^≤0|

(o`u| − |d´esigne le foncteur qui `a une dg-cat´egorie associe l’∞-cat´egorie correspondante, en appliquant par exemple la construction de Dold-Kan aux complexes de morphismes, voir par exemple [Ta3]).

Fixons maintenant une dg-cat´egorie T triangul´ee sur k munie d’une t-structure. Nous noterons Tb^≤0,Tb^≥0 ⊂Tb les sous-dg-cat´egories pleines form´ees des objets n´egatifs, respectivement positifs, par rapport `a la t-structure. Pour n∈Z, on pose Tb^≤n⊂Tbla sous-dg-cat´egorie pleine form´ee des objets x tels queτ_>0(x[n])'0. De mˆeme, Tb^≥n est d´efinie comme la sous-dg-cat´egorie pleine form´ee des x tels que τ<0(x[n])'0. On pose, pour toute paire d’entiersa≤b

Tb^[a,b]:=Tb^≤b∩Tb^≥a⊂T .b

Notons que Tb^[0,0] est une sous-dg-cat´egorie pleine de Tb dont la cat´egorie homotopique s’identifie naturellement au cœur de la t-structure. De plus, pour deux objets x, y ∈ Tb^[0,0] les complexes de morphismes T(x, y) sont cohomologiquement concentr´es en degr´es positifs. On voit ainsi que [Tb^[0,0]], qui est une cat´egorie ab´elienne k-lin´eaire, est munie d’une dg-foncteur naturel

[Tb^[0,0]]−→Tb^[0,0]

induisant une ´equivalence sur les cat´egorie homotopiques. En composant avec l’inclusion naturelle on trouve un dg-foncteur

[Tb^[0,0]]−→T .b

Ce dg-foncteur n’est pas pleinement fid`ele, mais induit un foncteur pleinement fid`ele [Tb^[0,0]],→[Tb]

qui identifie [Tb^[0,0]] au cœur. De cette mani`ere, le cœur de la t-structure Hb sera consid´er´e comme sous-cat´egorie pleine de [Tb], mais aussi comme sous-dg-cat´egorie (non-pleine) de Tb.

Nous introduisons les notions de finitudes suivantes pour une t-structure sur T. D´efinition 3.2. Soit T une dg-cat´egorie triangul´ee sur kmunie d’une t-structure.

(1) Nous dirons que la t-structure est born´ee si tous les objets compacts de [Tb]sont born´es: pour tout E∈[T]'[Tb]c il existea≤b tels queE ∈Tb^[a,b].

(2) Nous dirons que la t-structure est pr´ecompacte si pour tout E ∈ [T], les objets τ≤0(E) et τ≥0(E) sont compacts dans [Tb].

(3) Nous dirons que la t-structure est compacte si elle est born´ee, pr´ecompacte et si de plus la sous-dg-cat´egorie pleineTb^≥0⊂Tb est stable par colimites filtrantes.

Les t-structures compactes d´efinies ci-dessus poss`edent des propri´et´es de stabilit´e remarquables que nous avons rassembl´ees dans la proposition suivante.

Proposition 3.3. SoitT une dg-cat´egorie triangul´ee munie d’une t-structure compacte. Les propri´et´es suivantes sont satisfaites.

(1) Pour toute paire d’entiers a ≤ b, la sous-dg-cat´egorie Tb^[a,b] ⊂ Tb est stable par colimites fil- trantes. Les ∞-foncteurs de cohomologie H_tⁱ :|Tb| −→Hb commutent aux colimites filtrantes.

(2) Pour tout −∞ ≤a≤b≤ ∞, la sous-dg-cat´egorie pleineTb^[a,b]⊂Tbest engendr´ee par colimites par les objets de T ∩Tb^[a,b].

(3) La t-structure sur [Tb] se restreint en unet-structure sur la sous-cat´egorie des objets compacts [T]. Le cœur H de cette t-structure induite est H ∩b [T] ⊂ [Tb], l’intersection du cœur de la t-structure sur[Tb]avec la sous-cat´egorie des objets compacts.

(4) La sous-cat´egorie des objets ω-petits de la cat´egorie ab´elienne Hb est H=H ∩b [T].

(5) Un objetE ∈Tb est compact si et seulement s’il existe deux entiers a≤b avec E∈Tb^[a,b] et de plus H_tⁱ(E)∈Hb est un objet de H.

Preuve: (1) Pour commencer, notons |Tb|l’∞-cat´egorie associ´ee `a la dg-cat´egorieTb. Par d´efinition de t-structure compacte la sous-∞-cat´egorie pleine |Tb^≥0| ,→ |Tb| est stable by colimites filtrantes.

Comme l’∞-foncteur de troncation τ≥0 est un adjoint `a gauche, il commute aux colimites filtrantes.

En utilisant le triangle distingu´e d’∞-foncteurs

τ≤−1 //id ^//τ≥0

on voit que τ≤−1 commute aussi aux colimites filtrantes. Cela implique que pour tout a≤ b les ∞- foncteurs τ_[a,b] commutent aux colimites fitrantes, et donc que les sous∞-cat´egories pleines|Tb^[a,b]|,→

|Tb|sont stables par colimites filtrantes.

(2) Soit x ∈ Tb^[a,b]. On ´ecrit x ' colimαxα, une colimite filtrante d’objets xα ∈ T. Par (1) on a x ' τ_[a,b](x) 'colim_ατ_[a,b](x_α). Or, par hypoth`ese de compacit´e de la t-structure, tous les τ_[a,b](x_α) sont dans T, et donc dansT ∩Tb^[a,b].

(3) C’est une cons´equence directe de la condition de compacit´e sur la t-structure.

(4) Tout d’abord, comme les objets deH sont compacts dansT, ils sont aussib ω-petits dansHb (car (1) implique que les colimites filtrantes dansHbsont aussi des colimites filtrantes dansTb). Inversement, soitxun objetω-petit deH. On voitb xdansTbet on ´ecritxcomme une colimite filtrantex'colimαxα

avec x_α∈T∩Hb=H(ce qui est possible `a l’aide de (2)). Tous les objetsx etx_α ´etantω-petits dans Hb on voit que x est un r´etracte d’un xα. Mais T ∩ H=Hb est stable par facteurs directs dans Tb, et donc x∈ H.

(5) Se d´eduit par d´evissage des points pr´ec´edents. 2

Soit maintenantAunek-alg`ebre commutative et consid´eronsTA:=T⊗ˆ<sub>k</sub>Ala dg-cat´egorie triangul´ee A-lin´eaire induite par changement de base. La construction A7→T<sub>A</sub> se promeut en un∞-foncteur de la cat´egorie desk-alg`ebres commutatives vers celle des dg-cat´egories triangul´ees (voir [To4,§3.1]). De mani`ere explicite,T<sub>A</sub>peut-ˆetre d´efinie, `a ´equivalence naturelle pr`es, comme la sous-dg-cat´egorie pleine des (T⊗_kA)^op-dg-modules, form´ee des dg-modules cofibrants et quasi-repr´esentables (voir [To-Va1]).

On peut aussi voirTA par la formule suivante

T_A'RHom(A, T),

o`uAest consid´er´ee comme une dg-cat´egorie surkavec un unique objet. La dg-cat´egorieTc<sub>A</sub>s’identifie naturellement `a Tb_A =RHom(A,Tb) ainsi qu’`a la dg-cat´egorie des (T ⊗_kA)^op-dg-modules cofibrants.

Nous renvoyons `a [To4] pour plus de d´etails sur les changements d’anneaux de base pour les dg- cat´egories.

On d´efinit une t-structure sur TbA induite par celle de T de la mani`ere suivante. On dispose d’un unique dg-foncteur k −→ A induit par l’identit´e dans A. Cela d´efinit un dg-foncteur de restriction RHom(A,Tb)−→RHom(k,Tb)'Tb, et donc un dg-foncteur, que nous appelleronsoubli

Tb_A−→T .b On d´efinit Tb_A^≥0 par la carr´e cart´esien suivant

Tb_A^{≥0 //}

Tb_A

Tb^{≥0 //}T .b

Le dg-foncteur d’oubli admet un adjoint `a gauche (au sens des dg-cat´egories, voir [To4])

− ⊗_kA:Tb−→Tb_A,

qui en termes de dg-modules envoie un T^op-dg-module E sur E⊗_kA muni de sa structure naturelle de T^op⊗_k A-dg-module. On en d´eduit un adjoint `a gauche au foncteur d’oubli sur les cat´egories triangul´ees associ´ees, que nous appellerons changement de base

− ⊗_kA: [Tb]−→[TbA].

On d´efinit alors Tb_A^≤0 comme ´etant la plus petite sous-dg-cat´egorie pleine de TbA qui est stable par sommes, cˆones et r´etractes, et qui contient l’image de Tb^≤0 par le dg-foncteur− ⊗_kA.

La paire de sous-cat´egories de [Tb_A]

[Tb_A]^≤0 := [Tb_A^≤0] [Tb_A]^≥0 := [Tb_A^≥0]

d´efinit une t-structure surTbA. Pour cette t-structure, l’adjonction de foncteurs triangul´es

− ⊗_kA: [Tb]←→[Tb_A]

est compatible avec les t-structures au sens o`u − ⊗<sub>k</sub>A est t-exact `a droite, et son adjoint `a droite t-exact `a gauche.

D´efinition 3.4. Avec les notations ci-dessus, la t-structure sur Tb_A est appel´ee la t-structures induite par extension des scalaires.

Le lemme suivant se d´eduit ais´ement des d´efinitions et du fait que le foncteur d’oubli [TbA]−→[Tb] commute avec les sommes arbitraires.

Lemme 3.5. Avec les notations ci-dessus, pour toute dg-cat´egorie triangul´ee T munie d’une t- structure, et toute k-alg`ebre commutative A, le foncteur d’oubli

p: [TbA]−→[Tb]

est t-exact pour la t-structure sur Tb_A induite par extension des scalaires. De plus, ce foncteur reflˆete la t-structure sur [TbA]: pour tout objet x∈[TbA]on a

(p(x)∈[Tb]^≤0)⇐⇒(x∈[Tb_A]^≤0) (p(x)∈[T]b^≥0)⇐⇒(x∈[Tb_A]^≥0).

Preuve: Il suffit de d´emontrer les deux ´equivalences. La seconde ´equivalence est vraie par d´efinition de [Tb_A]^≥0 comme image r´eciproque de [Tb]^≥0 parp. Soitx∈Tb_A^≤0. C’est une colimite dansTb_Ad’objets de la forme xα ⊗A, avec xα ∈ Tb^≤0. Comme le dg-foncteur p commute aux colimites arbitraires, p(x) est une colimite d’objets de la forme x_α⊗_kA, qui eux mˆeme sont des sommes de x_α. On voit donc que p(x) ∈ Tb^≤0. Inversement, supposons que p(x) ∈ Tb^≤0. A l’aide de l’adjonction (⊗_kA, p), on construit un objet simplicial R∗(x) dansTb_A muni d’une augmentation R∗(x)−→x avec R_n(x) ' qⁿ(x) 'p(x)⊗_kA^⊗n+1 pour tout n≥ 0, avec q l’endomorphisme deTb_A donn´e par p(−)⊗_kA. Cet objet est une r´esolution dexau sens o`u l’augmentation induit une ´equivalence dans Tb_A

colim

n∈∆^opR_n(x)'x

Par hypoth`ese et par d´efinition chaque R<sub>n</sub>(x) est dans Tb<sub>A</sub><sup>≤0</sup>, et ainsix∈Tb<sub>A</sub><sup>≤0</sup>. 2 Ce lemme, associ´e au fait que Tb<sub>A</sub> est la dg-cat´egorie des A-modules dans Tb, montre que le cœur de la t-structure induite surTbA n’est autre que la cat´egorie des A-module dans la cat´egorie ab´elienne k-lin´eaireH. En d’autre termes, le cœur deb Tb<sub>A</sub> s’identifie `a la cat´egorie ab´elienne A-lin´eaire obtenue

`

a partir de Hb par extension des scalaires dek `aA.

Nous arrivons aux notions principales de cette section, la notion de t-structure ouverte et de t- structure parfaite sur une dg-cat´egorie satur´eeT. Ces notions font intervenir les t-structures induites sur TbA et ne semblent pas facilement exprimables en terme deT seule.

Commen¸cons par la notion de t-structure ouverte. Pour toute paire d’entiersa≤bnous d´efinissons M^[a,b]_T ⊂ M_T un sous-pr´echamp de M_T comme suit. Soit A une k-alg`ebre commutative, rappelons que l’ensemble simplicial M<sub>T</sub>(A) est le nerf de la cat´egorie des T<sup>op</sup>⊗<sub>k</sub>A-dg-modules cofibrants et compact et des quasi-isomorphismes entre iceux (voir [To-Va1]). Par d´efinition, M<sup>[a,b]</sup><sub>T</sub> (A)⊂ M<sub>T</sub>(A) est le sous-ensemble simplicial plein (i.e. r´eunion de composantes connexes) form´e des dg-modulesE satisfaisant la condition suivante: pour tout A-alg`ebre commutativeA⁰, on a

E⊗_AA⁰ ∈[Tb_A⁰]^[a,b].

Par d´efinition, un objet E ∈ M^[a,b]_T (A) sera ditd’amplitude contenu dans l’intervalle [a, b], ou encore d’amplitude [a, b].

Le lemme suivant montre que la condition d’ˆetre d’amplitude dans l’intervalle [a, b] est une condition locale pour la topologie ´etale.

Lemme 3.6. Le pr´echampM^[a,b]_T est un champ pour la topologie ´etale.

Preuve: On commence par remarquer le fait suivant. SoitA−→Bun morphisme plat dek-alg`ebres commutatives de type fini. Alors le dg-foncteur de changement de base

TbA−→TbB

est t-exact. En effet, sans hypoth`ese de platitude et simplement par d´efinition, ce dg-foncteur est t-exact `a droite. Par ailleurs, pourx∈Tb_A, si on notep:Tb_B−→Tb_A le dg-foncteur d’oubli, on trouve p(x⊗_AB)'x⊗_AB. CommeB est unA-module plat, il est colimite filtrante deA-modules projectifs, et ainsi p(x ⊗_AB) est une colimite filtrante d’objets de la formes x ⊗_A M avec M un A-module

projectif. Mais un tel x⊗_AM est un r´etracte d’une somme de x. Ainsi, on voit quep(x⊗_AB) est dans la sous-dg-cat´egorie pleine deTb_Aengendr´ee par colimites filtrantes parx. Ainsi, si x∈Tb_A^≥0 il en est de mˆeme de p(x⊗_AB).

Soit maintenant A −→ B un morphisme fid`element plat entre k-alg`ebres commutatives de type fini. On note B^∗ la k-alg`ebre commutative co-simpliciale co-nerf du morphisme A −→ B, de sorte que Bⁿ =B^⊗An+1. On dipose d’une co-augmentation A −→ B^∗. Il faut montrer que le morphisme naturel

M^[a,b]_T (A)−→ lim

n∈∆M^[a,b]_T (Bⁿ)

est une ´equivalence. Comme M^[a,b]_T est un sous-pr´echamp plein du champ M_T, ce morphisme est

´

equivalent `a une r´eunion de composantes connexes. Il reste `a montrer que si un objet t-plat x∈T_A est tel que x⊗_AB ∈T_B^[a,b] alorsx∈T_A^[a,b]. Mais commeA7→T_A est un champ en dg-cat´egories (voir [To4]), on a une ´equivalence dans TA

x' lim

n∈∆x⊗_ABⁿ.

Chaque Bⁿ est un A-module plat, et donc colimite filtrante de A-module projectifs. Ainsi, chaque x⊗_ABⁿ est un facteur d’une somme de xet est donc dans Tb_A^[a,b]. Comme Tb_A^≥a est stable par limites dans TbA il s’en suit que x∈T_A^≥a.

Par ailleurs, pour montrer que x∈T_A^≤b, il faut montrer que pour tout y ∈Tb_A^>b le complexe de A- modules TbA(x, y) est cohomologiquement concentr´e en degr´es strictement positifs. Comme A−→ B est fid`element plat, il suffit de montrer queTb_A(x, y)⊗_AB est cohomologiquement concentr´e en degr´es strictement positifs. Or x est compact, et on a donc un quasi-isomorphisme naturel

Tb_A(x, y)⊗_AB 'Tb_B(x⊗_AB, y⊗_AB).

Comme nous avons vu que ⊗_AB est t-exact, on ay⊗_AB ∈Tb_B^>b, et doncHⁱ(TbB(x⊗_AB, y⊗_AB)) = 0 pour i≤0. Ceci implique quex∈Tb_A^≤b et termine la preuve du lemme. 2 D´efinition 3.7. Soit T une dg-cat´egorie satur´ee. Nous dirons qu’une t-structure sur T est ouverte si elle v´erifie la condition suivante: pour toute paire d’entiersa≤b, le sous-champ

M^[a,b]_T ⊂ M_T est repr´esentable par une immersion ouverte.

On peut interpr´eter la d´efinition ci-dessus comme une tentative pour s’assurer d’une forme de semi- continuit´e des foncteursH_tⁱ, analogue `a la semi-continuit´e de la dimension des groupes de cohomologie des complexes parfaits de Grothendieck.

Si une dg-cat´egorie satur´eeT est munie d’une t-structure ouverte, alors pour touta≤b, les champs M^[a,b]_T sont localement alg´ebriques et localement de pr´esentation finie. Par ailleurs, sin=b−a+ 1, on voit facilement queM^[a,b]_T est unn-champ d’Artin localement de pr´esentation finie sur k. Ainsi, pour a = b= 0 on trouve un 1-champ d’Artin M^[0,0]_T qui classifie les objets compacts du cœur de T. Ce champ sera not´eM^H_T, et est un champ de modules d’objets dans la cat´egorie ab´elienneH. Il peut ˆb etre

d´ecrit de la mani`ere suivante. Pour A une k-alg`ebre commutative notons Hb_A la cat´egorie ab´elienne des A-modules dans la cat´egorie k-lin´eaire H. L’associationb A7→ Hb_A d´efinit un champ en cat´egories sur le site des k-sch´emas affines muni de la topologie ´etale. Le champ M^H_T en est le sous-champ en groupo¨ıdes form´e des objets E∈Hb_Aqui v´erifient les deux conditions suivantes.

(1) L’objetEestt-plat: pour tout morphisme dek-alg`ebres de type finiA−→A⁰, l’objetE⊗_AA⁰∈ Tb_A⁰ est dans le cœur de la t-structure induite sur Tb_A⁰.

(2) L’objetE est compact dans [Tb_A].

Notons que le champ M^H_T d´epend `a priori de strictement plus que de la cat´egorie ab´elienne, car la condition de compacit´e pr´ec´edente fait intervenir le plongement Hb<sub>A</sub> ,→ [Tb<sub>A</sub>] qui d´epend `a priori du choix de T.

Venons-en `a notre seconde notion, celle de t-structure parfaite.

D´efinition 3.8. Soit T une dg-cat´egorie triangul´ee munie d’une t-structure. Nous dirons que la t- structure est parfaite si pour toute k-alg`ebreAr´eguli`ere les deux conditions suivantes sont satisfaites.

(1) La t-structure induite sur la dg-cat´egorie triangul´ee T_A = T⊗b_kA par extension des scalaires est une t-structure compacte.

(2) Le cœur Hb_A de la t-structure induite est une cat´egorie ab´elienne noeth´erienne: tout sous-objet d’un objet ω-petit est ω-petit.

4. Espaces Quot

Nous avons vu la notion de t-structure ouverte sur une dg-cat´egorie satur´ee T. Nous allons voir dans ce paragraphe comment cette notion permet de d´efinir des g´en´eralisation des sch´emas Quot de Grothendieck pour des objets de H. Ces espaces Quot seront utilis´es de mani`ere essentielle dans la suite de ce travail pour aboutir `a notre th´eor`eme principal, mais cette notion poss`ede aussi un int´erˆet en soi.

Soit donc T une dg-cat´egorie satur´ee sur k munie d’une t-structure parfaite et ouverte (voir les d´efinitions 3.7 et 3.8). SoitA une k-alg`ebre commutative de type fini. On note H<sub>A</sub> l’intersection du cœur de la t-structure induite sur [Tb<sub>A</sub>] avec [T<sub>A</sub>] la sous-cat´egories des objets compacts. Rappelons qu’un objet E de Hb<sub>A</sub> est dans H<sub>A</sub> si et seulement si pour tout objet compact K ∈ T, le complexe T(K, E) est un complexe parfait de A-modules (prop. 3.3 et le fait que T soit satur´ee). On suppose que E est t-plat: pour tout morphisme de k-alg`ebres commutatives de type fini A −→ A⁰ l’objet E⊗_AA⁰ ∈[Tb_A⁰] est dans le cœur de la t-structure induite sur [Tb_A⁰].

Comme dans [To-Va1], on noteraM⁽¹⁾_T le champ des morphismes dansT, classifiant les morphismes de T^op-dg-modules parfaits. Il vient avec deux projections

M_T ^{oo s} M⁽¹⁾_T ^{t //}M_T,

de source etbut. La condition de platitude impos´ee surE d´efinit un morphisme de champs E:Spec A−→ M^H_T ⊂ M_T.

On consid`ere le champM^/E_T , d´efini par le produit fibr´e ci-dessous M^/E_T ^//

M⁽¹⁾_T

t

Spec A

E //M_T.

Le champ M^/E_T classifie lesT^op-dg-modules compacts munis d’un morphisme versE. Sa pr´esentation par le produit fibr´e ci-dessus montre qu’il s’agit d’un champ localement alg´ebrique et localement de type fini sur k. Le morphisme source d´efinit un morphisme induit

s:M^/E_T −→ M_T. Nous noterons M^H/E_T le champ d´efini par le produit fibr´e

M^H/E_T ^//

M^H_T

M^/E_{T s} ^//M_T.

Le champ M^H/E_T est un 1-champ au-dessus de Spec A, dont les sections au-dessus d’une A-alg`ebre commutative de type finie A⁰ est le groupo¨ıde des couples (E⁰, u), avecE⁰ ∈ H_A⁰ un objet t-plat, et u un morphisme u:E⁰ −→E⊗_AA⁰ dans H_A⁰. En utilisant l’alg´ebricit´e de M⁽¹⁾_T et l’ouverture de la t-structure, il est facile de voir queM^H/E_T est un 1-champ d’Artin, qui se r´ealise comme un sous-champ ouvert du champ localement alg´ebrique M^/E_T .

Enfin, soit Quot(E) le sous-champ de M^/E_T form´e des objets (E⁰, u) comme ci-dessus v´erifiant la condition suivante: le morphisme u est un monomorphisme dans la cat´egorie ab´elienne Hb_A⁰, et son conoyau est un objet Coker(u)∈Hb_A⁰ qui est t-plat. En d’autre termes,Quot(E) est le produit fibr´e suivant

Quot(E) ^//

M^/E_T

c

M^H_T ^//M_T,

o`uc est le morphisme qui envoie une paire (E⁰, u) comme ci-dessus sur le cˆone de u.

Finalement, on fixe un g´en´erateur compact K de Tb, et une fonction ν : Z −→ N `a support fini.

On note M^ν_T ⊂ M_T le sous-champ ouvert de type fini des T^op-dg-modules compactsF tels que (voir [To-Va1, §3.3])

dim_kHⁱ(T(K, E))≤ν(i)∀i∈Z.

Nous noterons de mˆeme Quot^ν(E) le sous-champ ouvert de Quot(E) form´e des paires (E⁰, u) dont le cˆone de uest dans M^ν_T. En d’autre termes,Quot^ν(E) est le produit fibr´e

Quot^ν(E) ^//

M^/E_T

c

M^H_T ∩ M^ν_T ^//M_T.

Proposition 4.1. Avec les hypoth`eses, notations et d´efinitions ci-dessus, les deux assertions suivantes sont satisfaites.

(1) Le champQuot^ν(E)est repr´esentable par un espace alg´ebrique de type fini et s´epar´e surSpec A.

(2) La projection Quot(E) −→ S = Spec A v´erifie le crit`ere valuatif de propret´e: pour toute k- alg`ebre commutativeRint`egre lisse et de dimension1, de corps des fractionsK, le morphisme

Quot(E)(R)−→Quot(E)(K)×_S(K)S(R) est une ´equivalence.

Preuve: (1) Les r´esultats de [To-Va1, §3.3] impliquent ais´ement que Quot^ν(E) est un espace alg´ebrique de type fini au-dessus deSpec A. CommeQuot^ν(E) est un sous-champ ouvert deQuot(E), sa s´eparation est une cons´equence du crit`ere valuatif de propret´e que nous allons d´emontrer dans (2).

(2) On fibre le morphisme Quot(E)(R) −→ Quot(E)(K)×_S(K)S(R) au-dessus de S(R), et on montre que qu’il est bijectif fibre `a fibre. Cela implique que l’on peut remplacerA parR.

On dispose donc de (E⁰, u) un objet de Quot(E)(R), repr´esent´e comme une suite exacte d’objets t-plats dans H_R

0 ^//L ^//E ^{u //}E^{0 //}0.

On utilise l’adjonction de cat´egories ab´eliennes

− ⊗_RK :Hb_RHb_K

induite par changement de base et son adjoint `a droite le foncteur d’oubli. L’unit´e de l’ajonction induit un morphisme de suites exactes dans Hb_R

0 ^//L

//E ^{u //}

E^{0 //}

0

0 ^//L⊗_RK ^//E⊗_RK ^{uK //}E⁰⊗_RK ^//0.

On commence par remarquer que les morphismes verticaux sont des monomorphismes. En effet, pour tout objet t-plat E ∈ Hb_R, l’unit´e v : E −→ E ⊗_RK est un monomorphisme. Pour voir cela, on consid`ere le cˆone de v dans Tb_R, qui s’exprime comme E⊗_RK/R 'colim_f∈R−0E/f. Ici la colimite est prise sur l’ensemble filtrant des ´el´ements non-nuls deR(ordonn´e par la relation de divisibilit´e), et E/f d´esigne le cˆone de la multiplication×f :E →E. Ce cˆone s’exprime aussi comme E⊗_RR/(f), et comme E est t-plat ce cˆone est dans H_R. On en d´eduit que colimf∈R−0E/f, et doncE⊗_RK/R est dans Hb_R, et ainsi que le morphismev est un monomorphisme.

Le fait que les morphismes verticaux du diagramme pr´ec´edent soient des monomorphismes implique que le carr´e

L ^//

E

L⊗_RK ^//E⊗_RK

est cart´esien dans la cat´egorie ab´elienne Hb_R (attention, il ne l’est pas dans Tb_R). Cela implique clairement que (E, u⁰) est l’unique rel`evement de (E<sup>0</sup>⊗<sub>R</sub>K, u⊗<sub>R</sub>K) de K `aR. Ainsi, le morphisme Quot(E)(R)−→Quot(E)(K)×_S(K)S(R) est injectif.

Soit maintenant (E_K⁰ , u_K) un objet de Quot(E)(K), repr´esent´e par une suite exacte dansH_K 0 ^//L_K ^//E_K ^{uK //}E_K^{0 //}0.

On d´efinit un sous-objetL⊂E dansHb_R par le carr´e cart´esien (dans Hb_R) suivant

L ^//

E

LK //E⊗_RK.

Comme la t-structure est noeth´erienne L est un objet ω-petit et donc est dans H_R. Par ailleurs, le quotient E/Ldans H_R est par construction un sous-objet de E⁰⊗_KR∈Hb_R. Ceci implique queE/L est un objet sans torsion: pour tout f ∈R−0, le cˆone de la multiplication ×f :E −→ E est dans H_R. Ceci implique ais´ement que pour toutR-moduleM, l’objetE⊗_RM `a priori dansTb<sub>R</sub>, reste dans Hb<sub>R</sub>. L’objetE/Lest donc t-plat, et l’objet (E/L, u), o`uu:E−→E/Lest la projection naturelle est

un rel`evement de (E<sub>K</sub><sup>0</sup> , u<sub>K</sub>) `a un point de Quot(E)(R). 2

L’espace alg´ebrique Quot(E) contient deux copies du sch´emaSpec A, qui correspondent au couple (E⁰, u) avec soitu un isomorphisme soit E'0. Cela d´efinit deux morphismes

a, b:Spec A⇒Quot(E),

de sorte que la projection Quot(E) −→ Spec A en soit un r´etracte. En particulier, commeQuot(E) est s´epar´e d’apr`es la proposition 4.1, les morphismes a et b sont des immersions ferm´ees. Ces deux morphismes sont aussi clairement des immersions ouvertes, car ˆetre nul est une condition ouverte pour les complexes parfaits (le morphisme Spec k −→ M<sub>T</sub> correspondant `a l’objet nul est une immersion ouverte). On trouve ainsi une d´ecomposition canonique d’espaces alg´ebriques au-dessus de Spec A

Quot(E)'Spec Aa

Quot^](E)a

Spec A,

avec Quot^](E) l’ouvert des paires (E⁰, u) qui sont telles que u n’est pas un isomorphisme et E⁰ n’est pas nul.

La d´ecomposition pr´ec´edente et la proposition 4.1 implique le corollaire suivant.

Corollaire 4.2. Avec les notations pr´ec´edentes, Quot^](E) est un espace alg´ebrique s´epar´e localement de pr´esentation finie sur Spec A, et la projection

Quot^](E)−→Spec A v´erifie de plus le crit`ere valuatif de propret´e.

5. Objets ponctuels et co-engendrement

On fixe T une dg-cat´egorie satur´ee sur k. Rappelons (voir section §1) que sur T on dispose de l’auto-´equivalence de Serre

S_T :T 'T, telle qu’il existe des quasi-isomorphismes fonctoriels

T(x, y)^∨ 'T(y, S(x)), pout toute paire d’objets (x, y) dansT.

D´efinition 5.1. Un objet ponctuel de dimension d ∈ N dans T est un objet x ∈ T v´erifiant les conditions suivantes.

(1) Pour tout i <0 on a Hⁱ(T(x, x))'0.

(2) La dg-alg`ebre T(x, x) est quasi-isomorphe `a Sym_k(H¹(T(x, x))[−1]).

(3) H¹(T(x, x))est un k-espace vectoriel de dimensiond.

(4) On a S_T(x)'x[d].

Exemples. Deux exemples standards d’objets ponctuels. Si X est un espace alg´ebrique propre et lisse de dimension d, le gratte-ciel en un point k(x), vu comme objet de L_parf(X) est un objet ponctuel de dimension d. Si A est une vari´et´e ab´elienne de dimensiond, alors tout fibr´e en droites de degr´e 0 sur A est un objet ponctuel de dimensiond.

D´efinition 5.2. Un syst`eme de points de dimension d∈ N dans T est la donn´ee d’un ensemble de classes d’´equivalence d’objets P de T satisfaisant les conditions suivantes.

(1) Pour tout x∈ P, x est un objet ponctuel de dimension ddans T. (2) Pour tout x, y∈ P, avec x6=y, on a T(x, y)'0.

(3) Un objet E∈T est nul si et seulement si pour tout x∈ P on a T(E, x)'0.

Un commentaire sur le point (3) de la d´efinition pr´ec´edente. Par dualit´e,T(E, x)'0 est ´equivalent

`

a T(E, x)^∨ 'T(S_T⁻¹(x), E)'0. Or T(S_T⁻¹(x), E) 'T(x, E)[−d] car x est ponctuel de dimension d.

Ainsi, la condition (3) peut aussi s’exprimer par: E est nul si et seulement siT(x, E)'0. Cependant, les objets x ∈ P ne forment pas une famille de g´en´erateurs compacts de Tb, car il n’est pas vrai en g´en´eral queT(x, E)'0 pour tout x∈ P impliqueE '0 pour un objet quelconque de Tb.

Exemples. Pour revenir aux deux exemples pr´ec´edents l’ensemble des gratte-ciel sur X forme un syst`eme de points de dimension d, et de mˆeme l’ensemble des fibr´es en droites de degr´e z´ero sur A.

Bien que les objets consituant un syst`eme de points dans une dg-cat´egorie satur´ee T ne forment pas des g´en´erateurs compacts, ils permettent de d´etecter les ´equivalences. Nous retiendrons le r´esultat bien connu suivant (voir par exemple [Or, Lem. 2.15]).

Lemme 5.3. Soit f :T −→T⁰ un dg-foncteur entre deux dg-cat´egories satur´ees. Soient P etP⁰ deux syst`emes de points de mˆeme dimension ddansT etT⁰. On suppose que les deux conditions suivantes sont satisfaites.

(1) Le dg-foncteur f envoie P dans P⁰ et de mani`ere surjective.

(2) Le dg-foncteur f restreint aux objets de P est pleinement fid`ele: pour tout x, y ∈ P, le mor- phisme

T(x, y)−→T(f(x), f(y)) est un quasi-isomorphisme.

Alors f est une quasi-´equivalence.

Preuve: On note f∗ et f_! les adjoints `a droite et `a gauche de f : T −→ T⁰ (voir [To4]). Il faut montrer que pour toutz∈T etz⁰ ∈T⁰ les co-unit´es d’adjonction

f!f(z)−→z f f∗(z⁰)−→z⁰

sont des ´equivalences dansT etT⁰. CommeP etP⁰ sont des syst`emes de points dansT etT⁰, il suffit de voir que pour tout x∈ P et tout x⁰ ∈ P les morphismes induits

T⁰(f_!f(z), x)−→T(z, x) T(x⁰, f f∗(z⁰))−→T⁰(x⁰, z⁰)

sont des quasi-isomorphismes. Par adjonction, il faut v´erifier que les unit´es d’adjonctions x−→f∗f(x) x⁰ −→f f_!(x⁰)

sont des ´equivalences. Mais cela est induit par le fait que le dg-foncteurf induit une quasi-´equivalence de la la sous-dg-cat´egorie pleine des objets deP dans T vers celle des objets de P⁰ dans T⁰. 2 Les notions de syst`eme de points et de t-structure entrent en interaction `a travers la notion de co-engendrement, r´esum´ee dans la d´efinition suivante. Rappelons que si une t-structure sur T est parfaite elle induit une t-structure sur [T], qui dispose d’un cœur H. Ce cœur est une sous-cat´egorie pleine de Hb stable par sommes finies, r´etractes, noyaux, conoyaux et extensions.

D´efinition 5.4. Soit T une dg-cat´egorie satur´ee munie d’une t-structure parfaite et d’un syst`eme de points P de dimension d.

(1) Nous dirons que le syst`eme P co-engendre la t-structure si l’on a:

(E∈T^≤0)⇐⇒(Hⁱ(T(E, x))'0∀x∈ P, ∀i <0).

(2) Nous dirons que le syst`eme P co-engendre fortement la t-structure s’il co-engendre la t- structure et si de plus pour tout objet E du cœur Hde la t-structure induite sur T, on a:

(E'0)⇐⇒([E, x]'0∀x∈ P).

Lorsqu’un syst`eme de pointsP co-engendre une t-structure parfaite, cette derni`ere est totalement caract´eris´ee par la donn´ee deP. En effet, par d´efinitionP d´etermine la partie n´egative [T]^≤0 = [T^≤0] de la t-structure induite sur [T]. On reconstruit alors Tb^≤0 ⊂ Tb comme ´etant la plus petite sous-dg- cat´egorie pleine contenant les objets deT^≤0 et qui est stable par sommes arbitraires et par cˆones (voir prop. 3.3 (2)).

Lemme 5.5. Soit T une dg-cat´egorie satur´ee munie d’une t-structure parfaite co-engendr´ee par un syst`eme de points P de dimensiond.