SESSION 2007
CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE PC
MATHEMATIQUES 2
PARTIE I
I.1 Soityune solution de(E)surI. Montrons par récurrence que ∀n∈N∗,yestnfois dérivable surI.
• Par définitionyest deux fois dérivable surIet en particulier une fois dérivable surI.
• Soitn≥1. Supposons queysoitnfois dérivable surI. Alors, puisqueϕest de classeC∞ sur I,y′′= −ϕy est nfois dérivable surIou encoreyestn+2fois dérivable surI. En particulier,yestn+1fois dérivable surI.
On a montré par récurrence que∀n∈N∗,yestnfois dérivable surI.
Toute solution de(E)sur Iest de classeC∞ surI.
I.2 Soityune solution de(E)sur I. Pour x∈I, posons z(x) =y(−x). Puisquey est deux fois dérivable surIet queI est symétrique par rapport à l’origine,zest deux fois dérivable surI. De plus, pourx∈I,z′(x) = −y′(−x)puis, comme ϕest paire,
z′′(x) =y′′(−x) = −ϕ(−x)y(−x) = −ϕ(x)y(−x) = −ϕ(x)z(x).
Si yest une solution de(E)surI, la fonctionx7→y(−x)est une solution de(E)surI.
I.3 Puisque ϕest continue sur I, le théorème de Cauchy permet d’affirmer que pour tout(x0, y0, z0)∈I×R×R, il existe une solutionyde(E)surIet une seule telle quey(x0) =y0et y′(x0) =z0. On en déduit l’existence et l’unicité de f0et f1.
Pour x∈ I, posonsg0(x) =f0(−x). D’après la question précédente,g0 est une solution de (E) sur I. De plus,g0(0) = f0(0) =1 etg0′(0) = −f0′(0) =0=f0′(0). D’après le théorème de Cauchy,g0=f0et doncf0 est paire.
De même, pourx∈I, posonsg1(x) = −f1(−x).g1est une solution de(E)surId’après I.2. et puisque(E)est une équation linéaire homogène. De plus,g1(0) = −f1(0) =0=f1(0)et g1′(0) =f1′(0) =1. D’après le théorème de Cauchy,g1=f1
et doncf1est impaire.
f0 est paire etf1est impaire.
Montrons que la famille(f0, f1) est libre.f0 et f1 sont deux solutions sur I de l’équation linéaire homogène du second ordre(E). Le wronskien de cette famille est défini pour tout réel xdeIpar
w(x) =f0(x)f1′(x) −f1(x)f0′(x).
On aw(0) =1×1−0×0=16=0. On sait alors que la famille(f0, f1)est libre. Comme l’ensembleSI des solutions de (E)surIest unR-espace vectoriel de dimension2,(f0, f1)est une base deSI. Finalement
SI ={λf0+µf1, (λ, µ)∈R2}.
Par unicité de la décomposition d’une fonction en somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire, les solutions de (E)surIqui sont paires (resp. impaires) sont les fonctions λf0,λ∈R(resp.µf1,µ∈R).
I.4 I.4.1.uest dérivable sur Ien tant que quotient de fonctions dérivables sur I dont le dénominateur ne s’annule pas surI. De plus,
http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.
u′ = f0f1′ −f1f0′ f20 = w
f20,
oùwest le wronskien de la famille(f0, f1). Puisque la famille(f0, f1)est une base de l’espaceSI, on sait quewne s’annule pas surI. Il en est de même deu′.
u′ ne s’annule pas sur I.
On a ensuite
u′′=w′× 1
f20 +w×−2f0′ f30 avec
w′ =f0f1′′+f0′f1′ −f0′f1′ −f1f0′′= −f0ϕf1+f1ϕf0=0.
Par suite,
u′′=w×−2f0′
f30 = −2×w f20×f0′
f0
= −2u′f0′ f0
. u′′
u′ = −2f0′ f0
.
I.4.2.Puisquew′=0,west constante et donc∀x∈I, w(x) =w(0) =1.
I.4.3.Mais alorsu′= w f20 = 1
f20 puisu=u(0) +u0=u0et finalement f1=f0u0.
I.5 I.5.1.Puisque la fonctiony : x7→cos2xest solution de(E)surIet vérifiey(0) =1 ety′(0) =0, c’est la fonction f0. De plus, pour tout réelx,f0(x) = 1+cos(2x)
2 et doncf0′′(x) = −2cos(2x) = −4f0(x) +1puis ϕ(x) = −f0′′(x)
f0(x) = −4+ 1
f0(x) = −4+ 1 cos2x.
∀x∈I, f0(x) =cos2xetϕ(x) = −4+ 1 cos2x. I.5.2.Pourx∈I,
u0(x) = Zx
0
1 f20(t) dt=
Zx 0
1
cos4t dt= Zx
0
(1+tan2t) 1
cos2t dt= Zx
0
(1+tan2t)tan′t dt
=
tant+tan3t 3
x
0
=tanx+ tan3x 3 .
∀x∈I, u0(x) =tanx+ tan3x 3 . I.5.3.Pourx∈I,
f1(x) =f0(x)u0(x) =cos2x
tanx+tan3x 3
, et donc
S]−π
2,π2[=
x7→cos2x
λ+µ
tanx+tan3x 3
(λ, µ)∈R2
.
PARTIE II
II.1 Soityune solution de(E)sur R. Pour x∈R, posons z(x) =y(x+2π). Puisqueϕ est 2π-périodique, pour x∈R on a
z′′(x) =y′′(x+2π) = −ϕ(x+2π)y(x+2π) = −ϕ(x)y(x+2π) = −ϕ(x)z(x).
Donc, la fonctionzest solution de(E)surR.
Siyest une solution de(E)surR, la fonction x7→y(x+2π)est une solution de(E)surR.
II.2 Les fonctionx7→f0(x+2π)etx7→f1(x+2π)sont deux solutions de(E)surR. La famille(f0, f1)est une base de l’espace des solutions, il existe quatre réelswij,1≤i, j≤1, tels que pour tout réelx
f0(x+2π) =w00f0(x) +w10f1(x)etf1(x+2π) =w01f0(x) +w11f1(x).
Ensuite,f0(2π) =w00f0(0) +w10f1(0) =w00 et f0′(2π) =w00f0′(0) +w10f1′(0) =w10. De même,f1(2π) =w01f0(0) +w11f1(0) =w01 et f1′(2π) =w01f0′(0) +w11f1′(0) =w11.
∀x∈R, f0(x+2π) =f0(2π)f0(x) +f0′(2π)f1(x) f1(x+2π) =f1(2π)f0(x) +f1′(2π)f1(x).
II.3 Soitgune solution de(E)surR. Il existe(λ, µ)∈R2tel que g=λf0+µf1. Pourx∈R, on a alors
g(x+2π) =λf0(x+2π) +µf1(x+2π) =λ(w00f0(x) +w10f1(x)) +µ(w01f0(x) +w11f1(x))
= (w00λ+w01µ)f0(x) + (w10λ+w11µ)f1(x).
Puisque la famille(f0, f1)est libre,
gest2π-périodique⇔∀x∈R, g(x+2π) =g(x)
⇔∀x∈R, (w00λ+w01µ)f0(x) + (w10λ+w11µ)f1(x) =λf0(x) +µf1(x)
⇔
w00λ+w01µ=λ w10λ+w11µ=µ ⇔
w00 w01
w10 w11
λ µ
= λ
µ
(S).
Mais alors,(E)admet une solution2π-périodique non nulle si et seulement si (S)admet une solution λ
µ
non nulle ce qui équivaut au fait que1 est valeur propre de la matriceW.
II.4 Soitgune solution de (E) sur R, non nulle et 2π-périodique. Pour x∈ R, posonsh(x) =g(x) +g(−x) et k(x) = g(x) −g(−x).
• D’après I.2., la fonctionx7→g(−x)est une solution de (E) surR. Mais alors, puisque l’ensemble des solutions de (E) surRest un espace vectoriel,het ksont deux solutions de(E)surR.
•Pour tout réelx,h(x+2π) =g(x+2π) +g(−x−2π) =g(x) +g(−x) =h(x). Donchest 2π-périodique et de même k est2π-périodique.
• On ne peut avoirh=k =0car alors g=h+k=0 ce qui n’est pas. Donc, l’une au moins des deux fonctionsh ouk est non nulle.
• Puisqueh est paire, h est proportionnelle àf0. En effet, il existe deux réelsλet µ tels queh= λf0+µf1 avecµ =0 par unicité de la décomposition d’une fonction en somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire. De même,kest proportionnelle àf1.
Par suite, il existe(λ, µ)6= (0, 0)tel queh=λf0 etk=µf1. On a alors ou bienf0= h
λ et f0 est2π-périodique, ou bien f1= k
µ etf1 est2π-périodique.
II.5 II.5.1.Soit Ψ : [−π, π]×R → R (t, x) 7→ ekcostcosxf0(t)
.
•Pour toutx∈R, la fonctiont7→Ψ(t, x)est continue sur le segment[−π, π]et donc intégrable sur ce segment.
•La fonction Ψest pourvue sur [−π, π]×Rde dérivées partielles premières et secondes par rapport àxet pour(t, x)∈ [−π, π]×R,
∂Ψ
∂x(t, x) = −kcostsinx ekcostcosxf0(t), et
∂2Ψ
∂x2(t, x) = −kcostcosx ekcostcosxf0(t) +k2cos2tsin2x ekcostcosxf0(t).
De plus,
- pour toutx∈R, les fonctionst7→ ∂Ψ
∂x(t, x)et t7→ ∂2Ψ
∂x2(t, x)sont continues sur le segment [−π, π]; - pour toutt∈[−π, π], les fonctionsx7→ ∂Ψ
∂x(t, x)etx7→ ∂2Ψ
∂x2(t, x)sont continues sur le segmentR; -pour tout(x, t)∈[−π, π]×R,
∂Ψ
∂x(t, x)
≤|k|e|k||f0(t)|=ϕ1(t)et
∂2Ψ
∂x2(t, x)
≤(|k|+k2)e|k||f0(t)|=ϕ2(t), les fonctionsϕ1et ϕ2étant continues sur [−π, π]et donc intégrables sur[−π, π].
D’après une généralisation du théorème de dérivation sous le signe somme,Fest de classeC2surRetF′ etF′′s’obtiennent par dérivation sous le signe somme. De plus,F est clairement paire.
II.5.2.Pour(x, t)∈R2, on aK(x, t) =K(t, x). L’identité de l’énoncé s’en suit immédiatement.
On multiplie alors les deux membres de cette égalité parf0(t)et après intégration, on obtient
∀x∈R, F′′(x) + (a−k2sin2x)F(x) = Zπ
−π
∂2F
∂t2(x, t)f0(t)dt+ Zπ
−π
(a−k2sin2t)K(x, t)f0(t)dt.
Une double intégration par parties fournit alors pourx∈R Zπ
−π
∂2K
∂t2(x, t)f0(t)dt= ∂K
∂t(x, t)f0(t) π
−π
− Zπ
−π
∂K
∂t(x, t)f0′(t)dt
= ∂K
∂t(x, t)f0(t) −K(x, t)f0′(t) π
−π
+ Zπ
−π
K(x, t)f0′′(t)dt
= ∂K
∂t(x, t)f0(t) −K(x, t)f0′(t) π
−π
− Zπ
−π
K(x, t)ϕ(t)f0(t)dt
= − Zπ
−π
(a−k2sin2t)K(x, t)f0(t)dt.
(le crochet est nul car toutes les fonctions considérées sont2π-périodiques). Finalement, pour tout réelx, F′′(x) + (a−k2sin2x)F(x) = −
Zπ
−π
(a−k2sin2t)K(x, t)f0(t)dt+ Zπ
−π
(a−k2sin2t)K(x, t)f0(t)dt=0.
F est une solution paire de(E)surR. II.5.3.D’après I.3., il existeλ∈Rtel que F=λf0ou encore
∃λ∈R/∀x∈R, Zπ
−π
ekcostcosxf0(t)dt=λf0(x).
PARTIE III
III.1 On sait que les solutions surIde l’équation y′′+ω2y =0 sont les fonctions de la forme y : x7→λcos(ωx) + µsin(ωx),(λ, µ)∈R2. De plus, (y(0) =1 ety′(0) =0 ⇔λ=1et µ=0) et (y(0) =0 ety′(0) =1 ⇔λ=0et ωµ=1).
∀x∈i
−π 2,π
2
h, f0(x) =cos(ωx)etf1(x) = 1
ωsin(ωx).
III.2 La fonction x7→sinx est unC2-difféomorphisme de i
−π 2,π
2
h sur ] −1, 1[. Par suite, la fonction yest deux fois dérivable suri
−π 2,π
2
hsi et seulement sizest deux fois dérivable sur] −1, 1[. De plus, pouri
−π 2,π
2
h,y′(x) =cosxz′(sinx) et
y′′(x) = −sinxz′(sinx) +cos2xz′′(sinx) = −sinx z′(sinx) + (1−sin2x)z′′(sinx).
Mais alors,
ysolution de(E)surI⇔∀x∈i
−π 2,π
2 h
, y′′(x) +ω2y(x) =0
⇔∀x∈i
−π 2,π
2
h, (1−sin2x)z′′(sinx) −sinx z′(sinx) +ω2z(sinx) =0
⇔∀X∈] −1, 1[, (1−X2)z′′(X) −X z′(X) +ω2z(X) =0.
III.3
III.3.1NotonsRle rayon de la série entièreX
anXn et supposonsR > 0. PourX∈] −R, R[∩] −1, 1[, on a
(1−X2)z′′(X) −X z′(X) +ω2z(X) = (1−X2)
+∞
X
n=2
n(n−1)anXn−2−X
+∞
X
n=1
nanXn−1+ω2
+∞
X
n=0
anXn
=
+∞
X
n=2
n(n−1)anXn−2−
+∞
X
n=0
n(n−1)anXn−
+∞
X
n=0
nanXn+
+∞
X
n=0
ω2anXn
=
+∞
X
n=2
n(n−1)anXn−2−
+∞
X
n=0
(n2−ω2)anXn
=
+∞
X
n=0
(n+2)(n+1)an+2Xn−
+∞
X
n=0
(n2−ω2)anXn
=
+∞
X
n=0
(n+2)(n+1)an+2− (n2−ω2)an Xn.
Mais alors, par unicité des coefficients d’un développement en série entière,
zsolution de(E′)sur] −1, 1[⇔∀n∈N, (n+2)(n+1)an+2− (n2−ω2)an
⇔∀n∈N, an+2= n2−ω2 (n+2)(n+1)an
⇔∀p∈N∗, a2p= (2p−2)2−ω2
(2p)(2p−1) a2p−2 (I) eta2p+1= (2p−1)2−ω2
(2p+1)(2p) a2p−1 (II).
Ensuite,
(I)⇔∀p∈N∗, a2p= (2p−2)2−ω2 (2p)(2p−1)
(2p−4)2−ω2
(2p−2)(2p−3). . .(0)2−ω2 (2)(1) a0
⇔∀p∈N∗, a2p= 1 (2p)!
p−1Y
k=0
((2k)2−ω2)
! a0.
et
(II)⇔∀p∈N∗, a2p+1= (2p−1)2−ω2 (2p+1)(2p)
(2p−3)2−ω2
(2p−1)(2p−2). . .(1)2−ω2 (3)(2) a1
⇔∀p∈N∗, a2p+1= 1 (2p+1)!
p−1Y
k=0
((2k+1)2−ω2)
! a1.
Sia0=a1=0, alors les relations précédentes montrent que∀n∈N, an=0.
Sizest une solution polynomiale non nulle de(E′), il est donc nécessaire que a06=0oua16=0.
Ensuite, sia06=0, puisque∀p∈N∗, a2p= 1 (2p)!
p−1Y
k=0
((2k)2−ω2)
!
a0, si zest une solution polynomiale non nulle de (E′), il est nécessaire queωsoit l’un des2p,p∈N. Réciproquement, siω=2p,p∈N, en prenanta0=1eta1=0,a2k
est nul pour k≥p+1 et a2k+1 est nul pour tout k. Dans ce cas,z est une solution polynomiale non nulle de(E′)sur ] −1, 1[.
De même, sia1 6=0 et si z est une solution polynomiale non nulle de (E′), il est nécessaire queωsoit l’un des 2p+1, p∈N. Réciproquement, si ω=2p+1,p∈N, en prenanta0=0et a1=1, a2k+1est nul pourk≥p+1et a2k est nul pour toutk. Dans ce cas aussi,zest une solution polynomiale non nulle de(E′)sur] −1, 1[.
(E′)admet des solutions polynomiales non nulles si et seulement siω∈N.
Posonsz0(x) =1+
+∞
X
p=1
1 (2p)!
p−1Y
k=0
((2k)2−ω2)
!
x2petz1(x) =x+
+∞
X
p=1
1 (2p+1)!
p−1Y
k=0
((2k+1)2−ω2)
!
et déterminons les rayons de convergence associé à chacune de ces deux séries entières.
• Siωest un entier pair,z0 est un polynôme et la série entière considérée a un rayon infini. Sinon, aucun desa2p n’est nul et pourx6=0,
a2p+2x2p+2 a2px2p
= |(2p)2−ω2|
(2p+2)(2p+1)x2 ∼
p→+∞
4p2
4p2x2=x2.
D’après la règle de d’Alembert, la série numérique de sommez0(x)converge quand|x|< 1ce qui montre que le rayon de convergence de la série entière de sommez0 est supérieur ou égal à1.
Ainsi, dans tous les cas, le rayon de convergence de la série entière de sommez0 est supérieur ou égal à1.
• Si ωest un entier impair,z1 est un polynôme et la série entière considérée a un rayon infini. Sinon, aucun desa2p+1
n’est nul et pourx6=0,
a2p+1x2p+1 a2p−1x2p−1
= |(2p−1)2−ω2| (2p+1)(2p) x2 ∼
p→+∞
4p2
4p2x2=x2.
La série numérique de sommez1(x)converge quand|x|< 1ce qui montre que le rayon de convergence de la série entière de sommez1est supérieur ou égal à1.
Ainsi, dans tous les cas, le rayon de convergence de la série entière de sommez1 est supérieur ou égal à1.
Le rayon de convergence de la série entièreX
anXn est supérieur ou égal à 1.
III.3.2.Les fonctionsX7→− X
1−X2 etX7→ ω2
1−X2 sont continues sur] −1, 1[. On sait alors que les solutions de(E′)sur ] −1, 1[ constituent unR-espace vectoriel de dimension2.
Les foncionsz0etz1sont deux solutions indépendantes de(E′)sur] −1, 1[carz0est non nulle et paire etz1est non nulle et impaire. On en déduit que(z0, z1)est une base de l’espace des solutions de(E′)sur] −1, 1[.
S]−1,1[′ ={λz0+µz1, (λ, µ)∈R2}.
La fonctiony : x7→cos(ωx)est une solution de(E)suri
−π 2,π
2
h. Donc, la fonctionz : X7→y(ArcsinX)est une solution de(E′)sur] −1, 1[ et il existe(λ, µ)∈R2tel que ∀x∈i
−π 2,π
2
h, cos(ωx) =λz0(sinx) +µz1(sinx). yest paire et donc µ=0puis pourx=0,1=λz0(0) =λet donc∀x∈i
−π 2,π
2
h, cos(ωx) =z0(sinx).
De même, il existe (λ, µ) ∈ R2 tel que ∀x ∈ i
−π 2,π
2
h, sin(ωx) = λz0(sinx) +µz1(sinx) avec λ = 0 car la fonction x7→sin(ωx)est impaire. D’autre part, quandxtend vers0, ωx∼sin(ωx) =µz1(sinx)∼µxet doncµ=ω.
∀ω∈]0,+∞[, ∀x∈i
−π 2,π
2 h
, cos(ωx) =1+
+∞
X
p=1
1 (2p)!
p−1Y
k=0
((2k)2−ω2)
! sin2px
∀ω∈]0,+∞[, ∀x∈i
−π 2,π
2
h, sin(ωx) =ωsinx+ω
+∞
X
p=1
1 (2p+1)!
p−1Y
k=0
((2k+1)2−ω2)
!
sin2p+1x.
III.3.3.Siω=2m,m∈N∗, on obtient pour x∈i
−π 2,π
2 h
cos(2mx) =1+ Xm
p=1
1 (2p)!
p−1Y
k=0
((2k)2− (2m)2)
!
sin2px=Pm(sinx),
oùPm =1+ Xm
p=1
1 (2p)!
p−1Y
k=0
((2k)2− (2m)2)
!
X2p.Pmest un polynôme pair de degré2m. CommePmest pair, la fonction x7→Pm(sinx)estπ-périodique de même que la fonctionx7→cos(2mx). L’égalité cos(2mx) =Pm(sinx)reste donc valable suri
−π 2,π
2
ipar continuité puis surRparπ-périodicité.
De même, siω=2m+1,m∈N∗, on obtient pourx∈i
−π 2,π
2 h
sin((2m+1)x) = (2m+1)sinx+ (2m+1) Xm
p=1
1 (2p+1)!
p−1Y
k=0
((2k+1)2− (2m+1)2)
!
sin2p+1x=Qm(sinx),
oùQm = (2m+1)X+ (2m+1) Xm
p=1
1 (2p+1)!
p−1Y
k=0
((2k+1)2− (2m+1)2)
!
X2p+1.Qm est un polynôme impair de degré 2m+1. CommeQmest impair, la fonctionx7→Qm(sinx)estπ-antipériodique de même que la fonctionx7→sin((2m+1)x).
L’égalité sin((2m+1)x) =Qm(sinx)reste donc valable suri
−π 2,π
2
ipar continuité puis surRparπ-antipériodicité.
∀m∈N∗, ∀x∈R, cos(2mx) =1+ Xm
p=1
1 (2p)!
p−1Y
k=0
((2k)2− (2m)2)
! sin2px
∀m∈N∗, ∀x∈R, sin((2m+1)x) = (2m+1)sinx+ (2m+1) Xm
p=1
1 (2p+1)!
p−1Y
k=0
((2k+1)2− (2m+1)2)
!
sin2p+1x.
