CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE

SESSION 2005

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE

EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

PREMIER EXERCICE

a.

ZZ

T

(x+y)dxdy= Z1

−1

Zy=1 y=−x

(x+y)dy

! dx=

Z1

−1

xy+y² 2

^y=1

y=−x

dx

= Z1

−1

(x+ 1

2) − (−x²+ x² 2 )

dx=

Z1

−1

(x²

2 +x+ 1

2)dx=2(1 6 + 1

2) = 4 3 RR

T(x+y)dxdy= ⁴₃. b. Par symétrie,

ZZ

C

|x+y|dxdy=2

ZZ

T

(x+y)dxdy= 8 3.

DEUXIEME EXERCICE

1 Soitn∈N^∗. La fonctionx7→ −n

x est continue surI (resp.J). Les solutions de(E_n)sur I(resp.J) constituent donc unR-espace vectoriel de dimension1. La fonctionx7→xⁿ est une solution particulière non nulle de(E_n) surI(resp. J).

Donc, les solutions de(E_n)surI(resp.J) sont les fonctions de la formex7→Cxⁿ,C∈R.

2. Une éventuelle solution fde (E₁)surRdoit vérifier : f_/]0,+∞[ est solution de (E₁)sur]0,+∞[,f_/]−∞,0[ est solution de(E₁)sur] −∞, 0[et enfinf(0) =0.

Par suite, il existe deux constantes réellesC₁et C₂ telles que, pour tout réelx,f(x) =

C1xsix≥0 C2xsix < 0 .

Réciproquement, une telle fonction est solution de(E₁)surRsi et seulement si elle est dérivable en0ce qui équivaut àC₁=C₂ (graphiquement clair).

Les solutions de (E1)surRsont les fonctions de la formex7→Cx, C∈R. Elles constituent unR-espace vectoriel de dimension1.

3. Soitn≥2. De même, sif est une solution de (E_n)sur R, il existe nécessairement deux constantes réellesC1 et C2

telles que, pour tout réelx,f(x) =

C₁xⁿsix≥0 C₂xⁿsix < 0 .

Réciproquement, une telle fonction est solution de(En)surRsi et seulement si elle est dérivable en0, ce qui est le cas pour tout choix deC1et C2 (graphiquement clair :f^′(0) =0).

Les solutions de(E_n)surRsont les fonctions de la forme x7→

C₁xⁿsix≥0 C₂xⁿsix < 0 =C₁

xⁿ six≥0 0six < 0 +C₂

0six≥0

xⁿ six < 0 =C₁f₁(x) +C₂f₂(x), (C₁, C₂)∈R². La famille(f₁, f₂)étant clairement libre, les solutions de(E_n)surRconstituent unR-espace vectoriel de dimension2.

1 ^c Jean-Louis Rouget, 2006. Tous droits réservés.

PROBLEME : Autour du théorème d’ABEL pour les séries entières

I. GENERALITES

1. a. Posonsa0= 0 et pour n∈ N^∗, an = (−1)ⁿ⁻¹

n . La série entière P

anxⁿ a un rayon de convergence égal à 1 et pourx∈] −1, 1[,

f(x) =

+∞

X

n=0

a_nxⁿ=

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹xⁿ

n =ln(1+x).

Ainsi, lim

x→1⁻f(x) =ln(2)et la suite (a_n)vérifie(P2). D’autre part, la série de terme général an converge en vertu du critère spécial aux séries alternées et la suitean vérifie(P1).

b. Pourn ∈N, posonsa_n = (−1)ⁿ. La série de terme générala_n diverge grossièrement et la suite (a_n) ne vérifie donc pas(P¹). La série entièreP

anxⁿ a un rayon de convergence égal à1et pourx∈] −1, 1[, f(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿxⁿ= 1 1+x. La fonctionftend vers 1

2 quandxtend vers1par valeurs inférieures et la suite(a_n)vérifie(P2).

c.Pourn∈N, posonsan=1.(a_n)ne vérifie pas(P1)car la série de terme généralandiverge grossièrement et ne vérifie pas(P2)carf(x) = 1

1−x tend vers+∞quandxtend vers1par valeurs inférieures.

d. Pour n∈N, posonsan = (−1)ⁿ et pour x∈] −1, 1[,fn(x) =anxⁿ = (−1)ⁿxⁿ. Chaque fonctionfn a une limiteℓn

quand x tend vers1 par valeurs inférieures, à savoir ℓn = (−1)ⁿ. Si la série de fonctions de terme général fn converge uniformément sur] −1, 1[, le théorème d’interversion des limites affirme alors que la série numérique de terme généralℓn

converge, ce qui n’est pas. Donc, la série de fonctions de terme généralfn ne converge pas uniformément sur] −1, 1[.

2. Pour x∈] −1, 1[et n∈N, posonsf_n(x) =a_nxⁿ.

Pour n∈Net x∈] −1, 1[, |fn(x)|=|an|.|x|ⁿ≤|an|. Par suite, pour tout entier naturel n, kfnk∞ ≤|an|. On en déduit que la série de terme généralkfnk∞ converge.

Ainsi, la série de fonctions de terme général fn converge normalement et donc uniformément sur ] −1, 1[. Puisque chaque fonctionfn a une limite réelle quandxtend vers1par valeurs inférieures, à savoiran, le théorème d’interversion des limites permet d’affirmer quefa une limite réelle quandxtend vers1 par valeurs inférieures et que

x→lim1⁻f(x) =

+∞

X

n=0

x→lim1⁻fn(x) =

+∞

X

n=0

an.

3. Pour x∈] −1, 1[,

f(x) =

+∞

X

n=2

(−1)ⁿ 1

n−1 − 1 n

xⁿ =x

+∞

X

n=2

(−1)ⁿxⁿ⁻¹ n−1 −

+∞

X

n=2

(−1)ⁿxⁿ n

=x

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹xⁿ n +

+∞

X

n=2

(−1)ⁿ⁻¹xⁿ

n =xln(1+x) +ln(1+x) −x Maintenant, la série de terme général (−1)ⁿ

n(n−1) est absolument convergente car, quandntend vers+∞,

(−1)ⁿ n(n−1)

= 1

n(n−1) =O 1

n²

. D’après la question 2., on a alors

+∞

X

n=2

(−1)ⁿ

n(n−1) = lim

x→1⁻(xln(1+x) +ln(1+x) −x) =2ln2−1.

+∞

X

n=2

(−1)ⁿ

n(n−1) =2ln2−1.

II. THEOREME D’ABEL 4. a.Soientx∈[0, 1], n∈N^∗.

Puisque pour tout naturelp,rn+p−1−rn+p=an+p, on a

+∞

X

p=1

(r_n+p−1−r_n+p)x^n+p=

+∞

X

p=1

a_n+px^n+p=

+∞

X

k=n+1

a_kx^k=R_n(x).

b.Soient(n, N)∈(N^∗)² etx∈]0, 1[, XN

p=1

(r_n+p−1−r_n+p)x^n+p=x XN

p=1

r_n+p−1x^n+p−1− XN

p=1

r_n+px^n+p=x

NX−1

p=0

r_n+px^n+p− XN

p=1

r_n+px^n+p

=rnxⁿ⁺¹+ (x−1)

N−1X

p=1

rn+px^n+p−rn+Nx^n+N

=rnxⁿ⁺¹+xⁿ⁺¹(x−1)

N−1X

p=1

rn+px^p−1−rn+Nx^n+N.

Tout d’abord, puisque la série de terme généralan converge, la suite des restes(r_n) est définie et tend vers0 quand ntend vers+∞. Puisquex∈]0, 1[, il en est de même de la suite(r_n+Nx^n+N)_N≥1.

Mais alors, puisque pourx∈]0, 1[, on a

N−1X

p=1

rn+px^p−1= 1 xⁿ⁺¹(x−1)



 XN

p=1

(r_n+p−1−rn+p)x^n+p−rnxⁿ⁺¹+rn+Nx^n+N



,

on en déduit que la suitePN−1

p=1 r_n+px^p−1

N≥1converge ou encore que la série de terme généralr_n+px^p−1, p≥1, converge. QuandNtend vers+∞, on obtient

+∞

X

p=1

(r_n+p−1−r_n+p)x^n+p=r_nxⁿ⁺¹+xⁿ⁺¹(x−1)

+∞

X

p=1

r_n+px^p−1,

cette égalité restant claire pourx=0.

∀n∈N^∗, ∀x∈[0, 1[, R_n(x) =rnxⁿ⁺¹+xⁿ⁺¹(x−1) X∞

p=1

rn+px^p−1.

c.Soitε > 0. Puisque la suite des restes(r_n)est définie et converge vers 0quand ntend vers+∞, il existe un entiern0

tel que pour tout entiern≥n0et tout entier naturelp,|r_n+p|≤ ε 2. Soient alorsn≥n₀et x∈[0, 1[.

|Rn(x)|≤|rn|xⁿ⁺¹+xⁿ⁺¹(1−x)

+∞

X

p=1

|rn+p|x^p−1≤ ε

2xⁿ⁺¹(1+ (1−x)

+∞

X

p=1

x^p−1)

= ε

2xⁿ⁺¹(1+ (1−x) 1

1−x) =2ε

2xⁿ⁺¹≤ε.

De plus,|R_n(1)|=|r_n|≤^ε₂ ≤ε.

d.On a montré que :∀ε > 0, ∃n₀∈N/∀n∈N, ∀x∈[0, 1], (n≥n₀⇒|R_n(x)|≤ε).

Ainsi, la suite de fonctions (R_n)converge uniformément vers la fonction nulle sur le segment[0, 1] ou encore la série de fonctions de terme généralfn : x7→ anxⁿ converge uniformément vers f sur [0, 1]. Puisque chaque fonction fn est continue sur[0, 1],fest continue sur[0, 1]et en particulier, a une limite réelle quandxtend vers1par valeurs inférieures égale àf(1). On a montré que

x→1lim⁻f(x) =f(1) =

+∞

X

n=0

an.

5. D’après la question 4., siP

a_n converge,f a une limite réelle quandxtend vers1par valeurs inférieures. Donc, sif tend vers+∞quandxtend vers1par valeurs inférieures,P

an diverge.

6. On sait que pour tout réelxde] −1, 1[,

Arctanx=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹ 2n+1. Comme la série de terme général (−1)ⁿ

2n+1 converge en vertu du critère spécial aux séries alternées, le théorème d’Abel établi à la question 4. permet d’afiirmer que

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

2n+1 = lim

x→1⁻ +∞

X

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹

2n+1 = lim

x→1⁻Arctanx= π 4.

π 4 =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ 2n+1.

7. a.Le terme général du produit deCauchydes séries de termes générauxu_n etv_n est w_n =

n−1X

k=1

(−1)^k k^1/4

(−1)^n−k

(n−k)^1/4 = (−1)ⁿ

n−1X

k=1

1 (k(n−k))^1/4.

Pour 1≤k≤n−1,

0 < k(n−k) = −k²+kn= −(k−n

2)²+ n² 4 ≤n²

4 , et donc

|w_n|≥(n−1) 1

(n²/4)^1/4 =√ 2n−1

√n . Puisque √

2n−1

√n tend vers+∞quand n tend vers+∞, il en est de même de |w_n|. En particulier,wn ne tend pas vers0 et la série de terme généralw_n diverge grossièrement. Il se peut donc que le produit de Cauchy de deux séries convergentes ne soit pas une série convergente (les séries de termes généraux respectifsu_n et v_n convergent en vertu du critère spécial aux séries alternées).

b.Puisque les séries de termes générauxun,vn et wn convergent, le rayon de convergence de chacune des séries entières correspondantes vaut au moins1.

On sait que pour tout x de ] −1, 1[, P+∞

n=0wnxⁿ = (P+∞

n=0unxⁿ)(P+∞

n=0vnxⁿ). Le théorème d’Abel permet alors d’écrire que

+∞

X

n=0

w_n= lim

x→1⁻ +∞

X

n=0

w_nxⁿ = lim

x→1⁻ +∞

X

n=0

u_nxⁿ)( lim

x→1⁻ +∞

X

n=0

v_nxⁿ

!

=

+∞

X

n=0

u_n

+∞

X

n=0

v_n.

III. RECIPROQUE DU THEOREME D’ABEL 8. Considérons la suitean= (−1)ⁿ. Pourx∈] −1, 1[,

f(x) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿxⁿ= 1 1+x.

Ainsi, la fonction f a une limite réelle quand x tend vers 1 par valeurs inférieures, à savoir 1

2. Pourtant, la série de terme généralan diverge grossièrement. Ce qui précède signifie que la réciproque du théorème d’Abelest fausse.

9. Soitn∈N. Pourx∈[0, 1[, Xn

k=0

akx^k≤

+∞

X

k=0

akx^k=f(x). Quandxtend vers1par valeurs inférieures, on obtient pour tout entier natureln,

Xn

k=0

a_k≤ lim

x→1⁻f(x).

Ainsi, la suite des sommes partielles de la série de terme générala_n est majorée, et puisque la suite(a_n)est positive, on déduit que la série de terme générala_n converge.

IV. SERIES HARMONIQUES TRANSFORMEES

10. La suite(ε_n.1ⁿ⁻¹)est bornée (car|ε_n.1ⁿ⁻¹|=1) et donc le rayon de la série entière correspondante vaut au moins 1. Mais la série de terme généralε_n.1ⁿ⁻¹diverge grossièrement et donc le rayon vaut au plus 1. Finalement, le rayon de la série entière associée à la suite(ε_n)est égal à 1.

Puisque la suite (ε_n

n) est dominée par la suite (ε_n), le rayon correspondant vaut au moins 1. Mais la série de terme général ε_n

n.1ⁿ⁻¹ n’est pas absolument convergente et donc le rayon vaut au plus 1. La deuxième série entière admet également un rayon égal à1.

11. SiXεn

n converge, le théorème d’Abelmontre quefa une limite quandxtend vers1 par valeurs inférieures et si fa une limite quandxtend vers1par valeurs inférieures, le théorème deLittlewoodmontre queXε_n

n converge.

12. Soitx∈] −1, 1[. Puisque la suite(ε_n)estp-périodique,

g(x) =

+∞

X

n=1

εnxⁿ⁻¹=

+∞

X

q=0

(ε1+ε2x+. . .+εpx^p−1)x^qp

= (ε₁+ε2x+. . .+εpx^p−1)

+∞

X

q=0

(x^p)^q= ε1+ε2x+. . .+εpx^p−1

1−x^p .

Ainsi,

gest une fraction rationnelle et∀x∈] −1, 1[, g(x) = ε1+ε2x+. . .+εpx^p−1

1−x^p .

13. Dans le cas oùε_n =1, on peut prendrep=1et pour x∈] −1, 1[, g(x) = 1

1−x. Par suite,f(x) = −ln(1−x)et f n’a pas de limite quandxtend vers1par valeurs inférieures. La question 11. montre alors queX1

n diverge.

Dans le cas où ε_n = (−1)ⁿ, on peut prendre p = 2 et pour x ∈] −1, 1[, g(x) = −1+x

1−x² = − 1

1+x. Par suite, f(x) = −ln(1+x) et f(x) tend vers −ln2 quand x tend vers 1. Le théorème de Littlewood montre que X(−1)ⁿ

n converge et que

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n = −ln2.

14. gest continue sur[0, 1[ et de signe constant au voisinage de 1à gauche. Donc, f a une limite quandxtend vers 1 par valeurs inférieures si et seulement sigest intégrable sur[0, 1[. Mais alors, d’après la question 11.,Xεn

n converge si et seulement sigest intégrable sur[0, 1[.

Or, quandxtend vers1,

1−x^p= (1−x)(1+x+. . .+x^p−1)∼−p(x−1).

D’autre part, quandxtend vers1,

ε1+ε2x+. . .+εpx^p−1= Xp

i=1

εi

! +o(1).

Donc, si Xp

i=1

ε_i6=0,

g∼− Pp

i=1εi

p 1 x−1 et gn’est pas intégrable au voisinage de 1. Dans ce cas,Xεn

n diverge.

Si Xp

i=1

ε_i = 0, gest le quotient d’un polynôme admettant 1 pour racine par d’un polynôme admettant1 pour racine simple. Par suite, la fraction rationnellegn’admet pas le nombre1 pour pôle.gse prolonge donc par continuité en1 et est donc intégrable sur[0, 1[. Dans ce cas,Xεn

n converge.

Finalement,

Xεn

n converge si et seulement si Xp

i=1

εi=0.

Si pest impair, on n’a jamais Xp

i=1

εi=0 (carεi∈{−1, 1}) et doncXεn

n diverge.

15. Exemple.Pourx∈[0, 1[,

g(x) = 1+x+x²−x³−x⁴−x⁵

1−x⁶ = (1+x+x²)(1−x³)

(1−x³)(1+x³) = 1+x

1+x³+ x²

1+x³ = 1

x²−x+1+ x² 1+x³

= 1

(x−¹₂)²+³₄ + x² 1+x³ Par suite,

f(x) = Zx

0

g(t)dt= 2

√3Arctan2t−1

√3 +1

3ln(1+t³) x

0

= 2

√3Arctan2x−1

√3 + 1

3ln(1+x³) + π 3√ 3 Quandxtend vers1par valeurs inférieures,f(x)tend vers π

3√ 3+ 1

3ln2+ π 3√

3 = 2π 3√

3 +ln2

3 . Par suite,

+∞

X

n=1

εn

n = 2π 3√

3 +ln2 3 .