Analyse de sensibilité en fiabilité des structures

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Paul Lemaitre

To cite this version:

Paul Lemaitre.

Analyse de sensibilité en fiabilité des structures.

Mécanique des structures

[physics.class-ph]. Université de Bordeaux, 2014. Français. �NNT : 2014BORD0061�. �tel-01143779�

THÈSE PRÉSENTÉE

POUR OBTENIR LE GRADE DE

DOCTEUR DE

L’UNIVERSITÉ DE BORDEAUX

ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE

SPÉCIALITÉ : Mathématiques appliquées

Par Paul Lemaître

Analyse de sensibilité en fiabilité des

Structures

Directeur de thèse : M. Pierre Del Moral

Soutenue le 18 mars 2014 devant la commission d'examen composée de :

M. Josselin Garnier

Professeur

Université Paris VII

Rapporteur

M. Bertrand Iooss

Chercheur Senior EDF R& D

Co-encadrant

M. François Legland

Dir. de Recherche INRIA Rennes

Rapporteur

M. Emmanuel Remy

Chercheur Expert EDF R& D

Examinateur

Résumé :

Cette thèse porte sur l'analyse de sensibilité dans le contexte des études de

fiabilité des structures. On considère un modèle numérique déterministe permettant de

représenter des phénomènes physiques complexes.

L'étude de fiabilité a pour objectif d'estimer la probabilité de défaillance du matériel à partir

du modèle numérique et des incertitudes inhérentes aux variables d'entrée de ce modèle.

Dans ce type d'étude, il est intéressant de hiérarchiser l'influence des variables d'entrée et

de déterminer celles qui influencent le plus la sortie, ce qu'on appelle l'analyse de

sensibilité. Ce sujet fait l'objet de nombreux travaux scientifiques mais dans des domaines

d'application différents de celui de la fiabilité. Ce travail de thèse a pour but de tester la

pertinence des méthodes existantes d'analyse de sensibilité et, le cas échéant, de proposer

des solutions originales plus performantes. Plus précisément, une étape bibliographique

sur l'analyse de sensibilité puis sur l'estimation de faibles probabilités de défaillance est

proposée. Cette étape soulève le besoin de développer des techniques adaptées. Deux

méthodes de hiérarchisation de sources d'incertitudes sont explorées. La première est

basée sur la construction de modèle de type classifieurs binaires (forêts aléatoires). La

seconde est basée sur la distance, à chaque étape d'une méthode de type subset, entre les

fonctions de répartition originelle et modifiée. Une méthodologie originale plus globale,

basée sur la quantification de l'impact de perturbations des lois d'entrée sur la probabilité

de défaillance est ensuite explorée. Les méthodes proposées sont ensuite appliquées sur

le cas industriel CWNR, qui motive cette thèse.

Mots clés

: Analyse de sensibilité ; Fiabilité; Incertitudes ; Expériences numériques;

Perturbation des lois

Title : Reliability sensitivity analysis

Abstract :

This thesis' subject is sensitivity analysis in a structural reliability context. The

general framework is the study of a deterministic numerical model that allows to reproduce

a complex physical phenomenon. The aim of a reliability study is to estimate the failure

probability of the system from the numerical model and the uncertainties of the inputs. In

this context, the quantification of the impact of the uncertainty of each input parameter on

the output might be of interest. This step is called sensitivity analysis. Many scientific works

deal with this topic but not in the reliability scope. This thesis' aim is to test existing

sensitivity analysis methods, and to propose more efficient original methods. A

bibliographical step on sensitivity analysis on one hand and on the estimation of small

failure probabilities on the other hand is first proposed. This step raises the need to

develop appropriate techniques. Two variables ranking methods are then explored. The

first one proposes to make use of binary classifiers (random forests). The second one

measures the departure, at each step of a subset method, between each input original

density and the density given the subset reached. A more general and original methodology

reflecting the impact of the input density modification on the failure probability is then

explored.

The proposed methods are then applied on the CWNR case, which motivates this thesis.

Keywords :

Sensitivity Analysis; Reliability; Uncertainties; Computer experiments; Input

perturbations

boîte mailuneproposition destageen analysed'in ertitudesau CEAdeCadara he. Unami,que je

dénon e plustard, m'aaidéà passerle apdu"j'aipas leniveau" etm'apousséà andidater. Bien

m'en a pris, ar e stage fut ledébut d'unefru tueuse ollaboration. C'est le moment de remer ier

toutes les personnes sansqui la thèse n'aurait toutsimplement pasété possible.

Que e soit à Tunis, Cadara he, Chatou ouà Villard de Lans, BertrandIoossa su faire montre

d'une grande humanité et de ompéten es s ientiques très poussées sous ouvert d'une arapa e

punk. Je lui suis très re onnaissant de m'avoir transmis une bonne partie de ses onnaissan es, je

l'espèrepasuniquement statistiques.

Mer i à Fabri e Gamboa pour m'avoir permis de nir ma thèse dans de bonnes onditions, je

lui suis inniment re onnaissant de m'avoir a epté omme obureau ("room servi e") pour les 5

derniers mois.

Jeremer ie Pierre DelMorald'avoir a eptéde m'en adrerau titrede dire teurdethèse. Dela

même façon,jesaisgréàJosselinGarnieretFrançoisLeGland d'avoirpatiemment relu ettethèse

et d'avoir apporté des remarquespertinentes me permettant d'améliorer le résultat. Mer i aussi à

Jérme Sara opour avoir a epté de fairepartie du jury.

UnebonnepartiedemagratitudevaàAurélieArnaudpoursonen adrementorientéappli ations.

De la même façon, je suis parti ulièrement re onnaissant envers Emmanuel "Manu" Remy, pour

m'avoirsupportédansson ouloiràdesheuresquele odedutravailréprouve,pourses onnaissan es

sur laphysique desréa teurs etpour ses (très)patientesrele tures.

Ma re onnaissan e va également à Agnès Lagnoux pour m'avoir en adré lors d'un ourt mais

e a e séjour de re her he à l'UPSn 2012.

C'est l'o asion pour moi de dire la gratitude que j'ai envers Didier Larrauri pour m'avoir

au-torisé à prolonger ma thèse an de la nir dans de bonnes onditions. J'ai pu appré ier pendant

ette thèse d'êtreentouré de ollègues à lafois sympathiqueset e a es, pointusen statistiques et

enappli atif. MeshommagesàtoutMRI,T-55etT-57entête. Enparti ulier, jeremer ie Mathieu

pour son aide sur la partie logi ielle et Mi hael pour son savoir des ar anes du al ul numérique

ainsiqueMerlin pouravoirpatiemmenté outémesélu ubrations,notammentsurlapartie

"pertur-bation desparamètres" desDMBRSI. À mon"on le de thèse" Ni olas, j'adresse mes plus sin ères

remer iements. Mer i de m'avoir rassuré à plusieurs o asions sur l'avenir de ette thèse. Et bien

sûr, salutations sportivespour mes deux ollègues de sallede sportPopi etFafa.

Cettethèse n'aurait pasvule jour sans lefort supportdanstous les momentsdi iles quej'ai

eu delapartdemes amis. Enparti ulierjeremer ie letrioparisienformépar Jean-Phi,Thiernoet

Nessie,pourlesbonsmomentsetlesautres. DespoutouxàMorganeet Diday. Ilmefautégalement

tirer mon hapeau à l'équipe toulousaine, Dra o et Maria en tête. Je remer ie également Bébert

(il sait pourquoi). Bigup àRaphaël, pour m'avoire a ement onseillésur toutl'interfaçageave

l'Université de Bordeaux. Mention spé iale à Petit Paul, Agathe, Alex etMélopour l'anglais. Par

ailleurs,jesuisredevableà euxquiprendrontlapeinedeposerunRTTpourallerjusqu'àBordeaux

lejourdemasoutenan e, Fly,Quentin,Jeb ettontonVip-hopdénon é. Enn, jenepeux on lure

sans unepenséepour Mathieu.

Pour nir, mes sentiments vont vers ma famille, en parti ulier mes parents et mes deux s÷urs

Introdu tion

Analyse d'in ertitudes et expérien es numériques

On présentei i brièvement le adre général de ette thèse : l'exploitation d'un modèle numérique.

Unmodèleesti iunereprésentation mathématique d'unphénomènephysique etsontraitement est

ee tué autravers d'un systèmede al ul.

Ce modèle possède des entrées et des sorties (ou réponses). I i, toutes es quantités seront

onsidéréess alairesmaisd'autrestypespourraientêtreenvisagés,modalesparexemple. Enfon tion

d'unjeudedonnéesd'entrée,le odede al ulvaproduireunjeuderéponsesaprèsun ertaintemps

de al ul. Le adre des odes déterministes estutilisé : un même jeu d'entrée produira toujours le

même jeudesortie. Dans erapport, ilseraparfoisfaitunabusdelangageen assimilant le ode au

modèle, pour desraisonsde lisibilité.

Unenotionessentielleestlaquantitéd'intérêt. Ilesteneetpossibleque enesoitpasunevaleur

de sortie qui intéresse l'expérimentateur, mais plutt une plage de valeurs ou une quantité dénie

àpartirdessorties. Ilestdon primordialavanttouteétudededénirquelleestlaquantitéd'intérêt.

L'analyse de sensibilité est dénie par Saltelli et al. [89℄ omme l'étude de la façon dont

l'in ertitudesurunequantitédesortiedumodèlepeutêtreattribuéeauxdiérentessour esd'in ertitudes

dansles variablesd'entrée.

L'analysedesensibilitéd'unmodèlenumériquepeutserviràdéterminerlesvariablesd'entréequi

ontribuentleplusàun ertain omportementd'unesortie,déterminer ellessansinuen eou elles

quivontinteragiràtraverslemodèle. Lebutpeutêtrede omprendrelemodèle, delesimplier, ou

en ore de prioriserlere ueilde donnéespour mieuxmodéliser unevariabled'entrée. Une appro he

ré ente est l'appro he dite globale. L'ensemble du domaine de variation des variables d'entrée est

alorsétudié. Laplupartdeste hniquessontdéveloppéesdansuneappro heindépendantedumodèle

("model free"), 'est-à-dire sans émettre d'hypothèses sur le omportement du modèle omme par

exemple lalinéarité oulamonotonie.

Fiabilité des stru tures

On her heàrépondreauproblèmeindustrieldesavoirsiunestru tureouun omposantpeutrésister

à des ontraintes qui lui sont appliquées. L'appro he basée sur des essais et mesures est possible,

mais peut s'avérer di ile pour des raisons de oûts ou de risques. Parfois, l'expérimentation est

impossible. Desmodèlesnumériquessontalorsutilisés ommereprésentation appro héedelaréalité

in luant ertains mé anismes ( omme par exemple eux de la dégradation, de la propagation des

ssures...).

An d'exploiter omplètement le modèle, les in ertitudes sur les paramètres d'entrées du ode

représentedon la stru ture,dotée d'une ertaine résistan e, et l'environnement, qui engendre une

solli itation. Le al ul pour un jeu d'entrées xées permet d'obtenir un ritère de défaillan e qui

amène àune réponsebinaire : lastru tureest défaillantepour esentrées ounon défaillante.

Le fait d'in lure les in ertitudes omme des variables aléatoires permet de modéliser le risque

ommeuneprobabilitédedéfaillan e. Cetteappro heestplusnequ'uneappro hedéterministe où

les grandeurs sont xéesàdes valeursnominales.

Soit

X

= (X

1

, ...X

d

)

le ve teur aléatoire

d

−

dimensionnel (dont la densité

f

X

est onnue) des

variables d'entrée(s alaires) dumodèle numérique. Ons'intéresse à e quelavaleurs alaire

Y

∈ R

renvoyée par lafon tion de défaillan e

G

du modèle(ou fon tion d'état-limite du modèle) soit plus

faiblequ'un ertainseuil

k

(usuellement

0

): 'estle ritèrededéfaillan e. Lastru tureestdéfaillante

pour un jeu d'entrée

x

si

y = G(x)

≤ k

(où

x

= (x

1

, ..., x

d

)

∈ R

d

estune réalisation de

X

et

k

un

seuil usuellement xé à

0

). L'ensemble de l'espa e sur lequel et évènement se produit est appelé

domaine dedéfaillan e

D

f

. Lasurfa edéniepar

{x ∈ R

d

_{, G(x) = k}

_}

estditesurfa ed'état-limite.

La probabilitéque l'évènement seproduiseest notée

P

f

,probabilité de défaillan e. Ona :

P

f

=

P(G(X) ≤ k)

=



D

f

f

_X

(x)dx

=



R

d

1

_G(x)≤k

f

_X

(x)dx

=

E[1

_G(X)≤k

]

La omplexitédesmodèlesetlepossiblegrand nombredevariablesd'entréefaitque,dansle as

général, on ne peut pas al uler la valeur exa te de la probabilité de défaillan e. On peut

epen-dant estimer ette quantité (qui est une espéran e mathématique) à l'aide de diverses méthodes

numériques. Labasedelaabilité desstru turesestdefournir uneestimationde

P

f

etune

in erti-tude autour de ette estimation. Cetteestimation permetensuitede répondreàlaquestion initiale

de larésistan ede lastru ture.

Obje tifs de la thèse

Le but de ettethèse est ledéveloppement de te hniquesd'analyse desensibilité quandlaquantité

d'intérêtestuneprobabilitédedépassementdeseuil( equiéquivautàuneprobabilité dedéfaillan e

dansle ontextedelaabilitédesstru tures). Les ontraintesdu odeCWNRquiamotivéletravail

de thèsedoivent êtreprisesen ompte. Laprobabilité de défaillan edansle aslemoinspénalisant

(

7

variables) aunordredegrandeurattendude

10

−5

. Sipossible,lesméthodesdéveloppéesdoivent

être en relation ave l'estimation de

P

f

et doivent produire une estimation de l'erreur faite lors de

l'estimation desindi esde sensibilitéetde

P

f

.

Organisation de la thèse

La thèse estdiviséeen quatre hapitres.

Le premier hapitre est une revue des stratégies existantes pour estimer des probabilités de

défaillan e etdeste hniquesd'analysede sensibilité.

Lese ond hapitreest onsa réàladénitiondemesuresdesensibilitéave pourbut la

modi ationde densitéd'entrée surlaprobabilité de défaillan e produite ensortie.

Lequatrième hapitreprésenteuneappli ation desméthodesétudiéessurle asCWNR, asréel

qui amotivé lathèse.

Méthodes de lassement de variables

Le se ond hapitre présente deuxméthodespermettant de lasserles variablesd'entrée enfon tion

deleurinuen esurlasortie(binaire). Deplus, esméthodessontdessous-produits del'estimation

de laprobabilitéde défaillan e

P

f

.

En eet la première te hnique propose de faire usage de mesures dérivées de l'ajustement de

forêts aléatoires surun é hantillon de type Monte-Carlo. Un rappel surlesarbres binairespuis sur

les forêts aléatoires est proposé, puis l'étude de deux indi es (Gini Importan e et Mean De rease

A ura y) mesurant l'importan e desvariables surlaquantité d'intérêt binaireestproposé.

La se onde te hnique mesure l'é art, à haque étape d'uneméthode de type subset simulation,

entreles densités d'entrée etlesdensités sa hant quelesous-ensembleestatteint.

La dénition informelle est la suivante : l'indi e de sensibilité est déni pour la variable

i

et

l'étapedu subset

k

ommeladistan e entre lafon tion de répartition (f.d.r.) empiriqueet laf.d.r.

théorique de lavariable. Considérant

M

étapes desubset ave

k = 1 . . . M

;eten notant :

F

_n,i

k

= F

i

(x

|A

k

),

laf.d.r. empirique de la

i

ème

variablesa hant queleseuil

A

k

a étédépassé. L'indi e proposés'é rit

ommesuit :

δ

_i

SS

(A

k

) = d(F

n,i

k

, F

i

),

où

F

i

est la f.d.r. de la

i

ème

variable, et

d

est une distan e. Une variable inuente aura un grand

é art enf.d.ralors qu'une variablenon-inuente auraunfaibleé art enf.d.r.,don unfaible indi e.

Des travauxsont menés surle hoix dela distan e

d

en fon tiondu besoin de l'analyste.

Cesdeuxméthodespeuventdon êtrevues ommedessous-produits dete hniquesd'estimation

de laprobabilitéde défaillan e.

Méthode basée sur une perturbation des densités (DMBRSI)

Dans le troisième hapitre, de nouveaux indi es de sensibilité pour la abilité sont proposés. Cet

indi e de sensibilité est basé sur une modi ation des densités et est adapté aux probabilités de

défaillan e. Une méthode pourestimer de tels indi es estproposée.

Ces indi es reètent l'impa t d'une modi ation d'une densité d'entrée sur la probabilité de

défaillan e

P

f

. Ils sont indépendantsde la perturbation dansle sensoù l'utilisateur peut hoisir la

perturbation adaptéeà sonproblème.

Pour des raisons de simpli ité, un s héma d'é hantillonnage Monte-Carlo lassique est

onsid-éré par la suite, bien que le pro essus d'estimation a été étendu aux méthodes subset et tirages

d'importan e. Les indi es de sensibilitépeuvent être estimésen utilisant seulement lejeu de

simu-lations déjà utilisé pour estimer laprobabilité de défaillan e

P

f

. Ce ilimite lenombred'appels au

ode de al ul, ommementionné dansles ontraintes du asindustrielCWNR.

Le hapitre est organisé de la façon suivante : en premier lieu, les indi es et leurs propriétés

deperturbationdesdensitéssontprésentées. Cesmodi ationspeuventêtre lasséesendeuxgrandes

familles : minimisation de Kullba k-Leibler et perturbation des paramètres. Le omportement des

indi es proposésesttesté surdes astests, puisles avantageset problèmes restantssont nalement

dis utés.

Le hapitre 3 estune versionétendue dupapier par Lemaître et oauteurs[63 ℄.

Indi e DMBRSI

Soit une entrée unidimensionnelle

X

i

de densité

f

i

, on appelle

X

iδ

∼ f

iδ

l'entrée perturbée

orre-spondante.

La probabilité dedéfaillan e modiéedevient :

P

iδ

=



1

_{G(x)<0}

f

iδ

(x

i

)

f

i

(x

i

)

f (x)dx

où

x

i

estla

i

ème omposante du ve teur

x

.

L'indi eDMBRSI alaforme suivante.

Dénition Ondénit les indi es de sensiblité basés sur une modi ation des lois (Density

Modi- ation Based Reliability SensitivityIndi es - DMBRSI) omme la quantité

S

iδ

:

S

iδ

=



P

iδ

P

f

− 1



1

_{P

_iδ

_≥P

_f

_}

+



1

₋

P

f

P

iδ



1

_{P

_iδ

_<P

_f

_}

=

P

iδ

− P

f

P

f

· 1

{P

iδ

≥P

f

}

+ P

iδ

· 1

{P

iδ

<P

f

}

.

Estimation

Un estimateur

P

ˆ

N

de

P

f

peut être al ulé en utilisant un plan d'expérien e de

N

points. Par la

suite,

N

est onsidéré omme étant assez grand pour que le ontexte de la théorie asymptotique

s'applique. Par ailleurs,uné hantillonnage detypeMonte-Carlostandardestutilisépoursimplier

les al uls. Oné ritalors

ˆ

P

N

=

1

N

N

X

n=1

1

_{G(x

n

_)<0}

où

x

1

_,

_{· · · , x}

N

sont des réalisations indépendantes de

X

. La loi forte des grands nombres et le

théorème limite entrale (TLC) assurent quepour presque toutes lesréalisations,

ˆ

P

N

−−−−→

N →∞

P

f

et

s

N

P

f

(1

− P

f

)

( ˆ

P

N

− P

f

)

−−−−→

L

N →∞

N (0, 1).

Le adre Monte-Carlo permetd'estimer

P

iδ

de façon onsistante sans nouvel appel au ode de

al ul

G

,grâ e àune te hnique de tirage d'importan e "inverse" (reverse importan e sampling):

ˆ

P

iδN

=

1

N

N

X

n=1

1

_{G(x

n

_)<0}

f

iδ

(x

n

i

)

f

i

(x

n

i

)

.

Ce i est très intéressant quand le ode de al ul

G

est oûteux en temps de al ul ( Be kman and

M Key,Hesterberg[8, 45℄).

et les te hniques d'estimation présentées restent validespour toute perturbation tant quedes

on-traintes sur le support sont respe tées. I i on se fo alise sur deux familles de méthodes. Dans la

première, la densitéperturbée est elle minimisant ladivergen e de Kullba k-Leibler sousdes

on-traintes xées par l'utilisateur. Plusieurs ontraintes sont proposées (perturbation de la moyenne,

delavarian eetdesquantiles). L'usage delase onde méthodeest onseilléquandl'utilisateurveut

tester la sensibilité de

P

f

aux paramètres des distributions. Chaque se tion est introduite par un

exemple jouet.

Cette se tion illustre la apa ité des DMBRSI à traiter des obje tifs d'analyse de sensibilité

diérents. L'utilisateur est invité à proposer de nouvelles perturbations qui répondraient à ses

obje tifs.

Appli ation au as CWNR

Le quatrième hapitre présente l'appli ation des méthodes développées au as CWNR. Ce as est

présentédans l'organisationde la thèse,page 24. On rappelle que e modèlede type "boîte-noire"

onstitue lamotivation initialede e travail.

Pour estimer

P

f

,laméthode FORM(voir Se tion 1.2.2.2) et unMonte-Carlonaïf(voirSe tion

1.2.1.1) ont étéutilisées. Lesrésultatsproduitspar laméthodeMonte-Carlosont onsidérés omme

étant laréféren e dans e hapitre.

Lapartieanalysedesensibilitéest onsa réeàlamiseen÷uvredetroisméthodes: premièrement,

les fa teurs d'importan e FORM(voirSe tion 1.3.2.2). Ensuite, desforêts aléatoires (voir Se tion

2.2) sont onstruitessurl'é hantillon Monte-Carloetdesmesures de sensibilitésont dérivées. Pour

nir, les DMBRSI (voir Chapitre 3) sont utilisés. Plusieurs perturbations (moyenne, quantile et

paramètres) sont testées.

Ce hapitre estdiviséen troisse tions prin ipales,se on entrant ha unesurdes asde

dimen-sion roissante (

3

,

5

et

7

variables probabilisées), où plus la dimension est petite, plus le as est

pénalisant.

Les on lusionsde e hapitre sontles suivantes :

ˆ en e qui on erne lapartie estimation de

P

f

, la méthode de Monte-Carlo reste la référen e

surun odeindustriel. Le désavantage majeurest bienentendu letemps de al ulné essaire.

ˆ En equi on ernelapartieanalysedesensibilité,lesforêtsaléatoiresproduisent desrésultats

ontestables, ar les modèles ajustés sont de mauvaise qualité. La méthode est don peu

on luante pour l'instant.

ˆ LesDMBRSIsemblent uneméthodeadaptée pour ee tuerune analysedesensibilitésurune

probabilitéde défaillan e. Plusieurs ajustementset ongurations ont ététestées.

Axes de re her hes futures

Les méthodesprésentées dansleChapitre 2peuventêtre améliorées. Plusspé iquement, ilya un

besoin d'améliorer les lassieurs binaires (forêts aléatoires). Les indi es MDA ouplés à lasubset

simulation doivent être implémentés. Une autre perspe tive d'amélioration, en utilisant les indi es

δ

SS

LesDMBRSIintroduitsdansleChapitre3présententeuxaussiplusieursperspe tivesd'amélioration.

La grandepartie des travauxsera onsa rée àl'amélioration desindi es

S

iδ

entermes de rédu tion

de varian e et d'appels au ode de al ul. Le ouplage des estimateurs ave la subset simulation

doitaussiêtreperfe tionné. Uneperturbationbaséesurl'entropiepourraitégalement êtreproposée,

maisdes al ulsplus poussésdoiventêtre menéspour obtenir unesolutiondu problèmede

minimi-sation deladivergen e deKullba k-Leibler. Un autreaxeseraitde hangerlamétrique/divergen e.

Par ailleurs, une autre idée pourraitêtre la prise en ompte des dépendan es entre variables et de

perturber ette dépendan eentre marginalesvia la théoriedes opules.

Des perspe tives plus larges sont à onsidérer, en parti ulier l'utilisation de méthodes

séquen-tielles ouplées ave desméta-modèles (Be tet al. [9℄) està étudier.

Ré emment,Fortetal. [35 ℄ontintroduitdenouveauxindi esdesensibilitépouvantêtre

onsid-érés ommeunegénéralisation desindi esdeSobol'. La notiondefon tion de ontrasteadaptée au

Résumé étendu 5

Contents 11

List of Figures 14

List of Tables 18

Context, obje tives and outline 21

Onnumeri al simulation . . . 21

Un ertaintyquanti ationand sensitivity analysis . . . 21

Stru tural reliability . . . 23

Context: omponent withinnu lear rea tor (CWNR) . . . 24

Obje tives . . . 24

Outline . . . 25

1 State of the art forreliability and sensitivity analysis 27 1.1 Introdu tion . . . 27

1.2 State ofthe art: reliabilityand failureprobabilityestimation te hniques . . . 27

1.2.1 Monte-Carlo methods . . . 28

1.2.2 Stru tural reliability methods . . . 33

1.2.3 Subsetsimulation . . . 36

1.3 Sensitivity analysis(SA) . . . 39

1.3.1 Globalsensitivityanalysis . . . 39

1.3.2 Reliability basedsensivityanalysis . . . 44

1.4 Fun tionalde ompositionof varian e forreliability . . . 45

1.4.1 Firstappli ations . . . 45

1.4.2 Computational methods . . . 47

1.4.3 Reliability test ases . . . 51

1.4.4 Redu ingthe numberoffun tion alls: useofQMC methods . . . 56

1.4.5 Redu ingthe numberoffun tion alls: useof importan e sampling methods 57 1.4.6 Lo alpolynomialestimation for rst-order Sobol' indi es ina reliability on-text . . . 58

1.4.7 Con lusionon Sobol' indi esfor reliability . . . 66

1.5 Moment independent measures for reliability. . . 67

1.5.1 Appli ation inthereliability ase . . . 67

1.5.2 Crude MCestimationof

δ

i

. . . 67

1.5.4 Useof subset samplingte hniques . . . 68

1.5.5 Hyperplane 6410 test ase . . . 68

1.5.6 Con lusion . . . 69

1.6 Synthesis . . . 69

1.7 Sensivityanalysisfor failureprobabilities (FPs) . . . 70

2 Variable ranking in the reliability ontext 73 2.1 Introdu tion . . . 73

2.2 Using lassi ation trees and random forestsinSA . . . 73

2.2.1 Stateof theartfor lassi ation trees . . . 73

2.2.2 Stabilisation methods . . . 75

2.2.3 Variableimportan e - Sensitivityanalysis . . . 78

2.2.4 Appli ations . . . 80

2.2.5 Dis ussion . . . 85

2.3 Using input umulative distribution fun tion departure asameasure ofimportan e . 88 2.3.1 Introdu tion and reminders . . . 88

2.3.2 Distan es . . . 89

2.3.3 Appli ations . . . 90

2.3.4 Con lusion . . . 104

2.4 Synthesis . . . 104

3 Density Modi ation Based Reliability Sensitivity Indi es 107 3.1 Introdu tion and overview . . . 107

3.2 The indi es: denition, propertiesand estimation . . . 108

3.2.1 Denition . . . 108

3.2.2 Properties . . . 108

3.2.3 Estimation . . . 108

3.2.4 Framework . . . 110

3.3 Methodologiesof inputperturbation . . . 112

3.3.1 Kullba k-Leibler minimization . . . 112

3.3.2 Parameters perturbation . . . 119

3.3.3 Choi eof theperturbation given theobje tives . . . 125

3.4 Numeri al experiments . . . 126

3.4.1 Testingmethodology . . . 126

3.4.2 Hyperplane 6410 test ase . . . 126

3.4.3 Hyperplane 11111test ase . . . 133

3.4.4 Hyperplane with15 variablestest ase . . . 137

3.4.5 Hyperplane withsame importan e and dierent spreadstest ase . . . 141

3.4.6 Tresholded Ishigamifun tion . . . 146

3.4.7 Flood test ase . . . 155

3.5 Improving the DMBRSIestimation . . . 161

3.5.1 Coupling DMBRSIwithimportan e sampling . . . 161

3.5.2 Coupling DMBRSIwithsubset simulation . . . 163

3.6 Dis ussion and on lusion . . . 165

3.6.1 Con lusionon theDMBRSImethod . . . 165

3.6.2 Equivalent perturbation . . . 165

3.6.3 Support perturbation . . . 166

3.6.5 A knoweldgements . . . 166

4 Appli ation to the CWNR ase 167 4.1 Introdu tion . . . 167

4.2 Three variables ase . . . 167

4.2.1 Estimating

P

f

. . . 168

4.2.2 SensitivityAnalysis . . . 168

4.3 Fivevariables ase . . . 175

4.3.1 Estimating

P

f

. . . 175

4.3.2 SensitivityAnalysis . . . 175

4.4 Seven variables ase . . . 182

4.4.1 Estimating

P

f

. . . 183 4.4.2 SensitivityAnalysis . . . 183 4.5 Con lusion . . . 189 Con lusion 191 Bibliography 195 A Distributionsformulas 203 B Test ases 205 B.1 Hyperplane test ase . . . 205

B.2 TresholdedIshigami fun tion . . . 206

B.3 Flood ase . . . 207

C Isoprobabilisti transformations 209 C.1 Presentation of the opulas . . . 209

C.2 Obje tives, Rosenblatt transformation . . . 210

D Appendi es for Chapter 3 211 D.1 Proofsof asymptoti properties . . . 211

Proof ofLemma 3.2.1 . . . 211

Proof ofProposition 3.2.1 . . . 211

D.2 Computation ofLagrange multipliers . . . 212

D.3 Proofsof the NEFproperties . . . 212

1 Un ertaintystudy referen e framework . . . 22

1.1 Spa elling omparison: Sobol'ssequen e (left)anduniform random sampling (right). 29 1.2 2-dimensional illustrationof dire tionalsampling . . . 32

1.3 Illustration ofFORM/SORM . . . 34

1.4 Conditional expe tations for 2variables . . . 46

1.5 Boxplots ofthe estimatedrst orderSobol' indi eswiththeSobol'method . . . 53

1.6 Boxplots ofthe estimatedrst orderSobol' indi eswiththeSaltellimethod . . . 54

1.7 Comparison ofrst order and total indi es, MC(left) andimportan e sampling (right), with

10

4

points for the hyperplane 6410 test ase . . . 59

1.8 Comparison ofrst order and total indi es, MC(left) andimportan e sampling (right), with

10

3

points for the hyperplane 6410 test ase . . . 60

1.9 Boxplotof the estimatedFOSIFDfor the 6410 hyperplane ase . . . 62

1.10 Boxplotof the estimatedFOSIFDfor the 11111 hyperplane ase . . . 62

1.11 Boxplotof the estimatedFOSIFDfor the 15 variables hyperplane ase . . . 63

1.12 Boxplot of the estimated FOSIFDfor thesame importan e dierent spread hyperplane ase . . . 64

1.13 Boxplotof the estimatedFOSIFDfor thresholded Ishigami ase . . . 64

1.14 Boxplotof the estimatedFOSIFDfor the ood ase . . . 65

1.15 Example surfa e . . . 66

2.1 Binarytree . . . 76

2.2 Boxplots ofMDA indi es(left)and GIindi es(right)for thehyperplane 6410 test ase. 81 2.3 Boxplots ofMDA indi es(left)and GIindi es(right)for thehyperplane 11111 test ase 82 2.4 Boxplots ofMDA indi esfor the hyperplane 15variables test ase . . . 82

2.5 Boxplots ofGIindi es forthe hyperplane 15 variablestest ase . . . 83

2.6 BoxplotsofMDAindi es(left)andGIindi es(right)forthehyperplanedierentspreads test ase . . . 84

2.7 Boxplots of MDA indi es (left) and GI indi es (right) for thethresholded Ishigami test ase . . . 84

2.8 Boxplots ofMDA indi es(left)and GIindi es(right)for theood test ase . . . 85

2.9 Several .d.f. . . 91

2.10 Hyperplane 6410 test ase, Kolmogorov distan e . . . 92

2.11 Hyperplane 6410 test ase, Cramer-Von Misesdistan e . . . 92

2.12 Hyperplane 6410 test ase, Anderson-Darlingdistan e . . . 93

2.13 Hyperplane 11111test ase, Kolmogorov distan e . . . 94

2.14 Hyperplane 11111test ase, Cramer-Von Misesdistan e . . . 94

2.16 Hyperplane 15 variablestest ase, Kolmogorov distan e . . . 96

2.17 Hyperplane 15 variablestest ase, Cramer-Von Misesdistan e . . . 96

2.18 Hyperplane 15 variablestest ase, Anderson-Darlingdistan e . . . 97

2.19 Hyperplane dierent spread test ase, Kolmogorov distan e . . . 98

2.20 Hyperplane dierent spread test ase, Cramer-Von Misesdistan e. . . 98

2.21 Hyperplane dierent spread test ase, Anderson-Darlingdistan e . . . 99

2.22 Thresholded Ishigami test ase, Kolmogorovdistan e . . . 100

2.23 Thresholded Ishigami test ase, Cramer-Von Misesdistan e . . . 100

2.24 Thresholded Ishigami test ase, Anderson-Darlingdistan e. . . 101

2.25 Flood test ase, Kolmogorovdistan e. . . 102

2.26 Flood test ase, Cramer-Von Misesdistan e . . . 103

2.27 Flood test ase, Anderson-Darling distan e . . . 103

3.1 General DMBRSIframework . . . 111

3.2 Theoriginal densityof mean

0

(full line)andseveral andidatesdensitiesof mean

2

. . 113

3.3 Mean shifting (left) and varian e shifting (right) for Gaussian (upper) and Uniform (lower) distributions. The original distribution is plotted in solid line, the perturbed one isplotted indashedline. . . 116

3.4 StandardGaussian andperturbeddensity: quantilein rease(left)andquantilede rease (right) . . . 118

3.5 Uniform, Triangleand Trun ated Gumbelpdf: quantilein rease. . . 119

3.6 Originaland perturbed Weibulls pdfs. . . 120

3.7 DMBRSIwithparameters perturbations . . . 122

3.8 Spe i DMBRSIframeworkfor parameters perturbations . . . 124

3.9 Estimated indi es

S

c

iδ

for the 6410 hyperplanefun tion witha meanshifting . . . 128

3.10 Estimated indi es

S

d

i,V

f

for hyperplanefun tion witha varian e shifting . . . 128

3.11

5

th per entile perturbation on thehyperplane 6410 test ase . . . 129

3.12

1

st quartileperturbation onthehyperplane 6410 test ase. . . 130

3.13 Medianperturbation onthehyperplane 6410 test ase . . . 130

3.14

3

rd quartileperturbation on thehyperplane 6410 test ase . . . 131

3.15

95

th per entile perturbation on thehyperplane 6410 test ase . . . 131

3.16 Parameters perturbation on thehyperplane 6410 test ase. Dotsare for means,triangle for thestandard deviations. Green orrespondsto

X

1

,bla kto

X

2

,red to

X

3

and blue to

X

4

. . . 132

3.17 Estimated indi es

S

c

iδ

for the 11111hyperplane fun tionwitha meanshifting . . . 135

3.18 Estimated indi es

S

c

iδ

for the 11111hyperplane fun tionwitha varian e shifting. . . 135

3.19 Medianperturbation onthehyperplane 11111 test ase . . . 136

3.20 Parameters perturbationonthehyperplane11111 test ase. Dotsareformeans,triangle for thestandard deviations. A dierent olor isused forea h variable. . . 137

3.21 Estimated indi es

S

c

iδ

for the 15 variables hyperplane fun tionwitha meanshifting . . . 139

3.22 Estimated indi es

S

c

iδ

for the 15 variables hyperplane fun tionwitha varian e shifting . 140 3.23 Medianperturbation onthe hyperplane with15 variables test ase . . . 141

3.24 Parameters perturbation on the 15 variables hyperplane test ase. Dots are for means, triangle for the standard deviations. Bla k is for the rst group of inuen e, red is for these ondand bluefor the third. . . 142

3.25 Estimated indi es

S

c

iδ

for the hyperplanewith dierent spreads asewitha meanshifting 143

3.27 Parameters perturbation on the hyperplane with dierent spreads ase. Dots are for

means,trianglefor thestandard deviations. Bla kisfor

X

1

,redisfor

X

3

andblueisfor

X

5

.. . . 145

3.28 Estimated indi es

S

c

iδ

for the thresholded Ishigamifun tion witha meanshifting . . . . 147

3.29 Estimated indi es

S

d

i,V

per

forthe thresholded Ishigami fun tion withavarian e shifting . 149

3.31

1

st

quartileperturbation onthethresholded Ishigami test ase . . . 149

3.30

5

th

per entile perturbation on the thresholdedIshigami test ase . . . 150

3.32 Medianperturbation onthe thresholded Ishigami test ase . . . 150

3.33

3

rd

quartileperturbation on the thresholded Ishigamitest ase . . . 151

3.34

95

th

per entile perturbation on thethresholded Ishigamitest ase . . . 152

3.35 Parameters perturbationonthethresholdedIshigamitest as. Triangles orrespondtoa

minimum bound,dots to a maximum bound.

X

1

is plotted in red,

X

2

in bla kand

X

3

inblue. . . 153

3.36 Parameters perturbation on thethresholded Ishigami test ase. Triangles orrespond to

aminimumbound,dotstoa maximumbound.

X

1

isplotted inred,

X

2

inbla kand

X

3

inblue. . . 154

3.37 Estimated indi es

S

c

iδ

for the ood asewitha meanperturbation. . . 156

3.38

5

th

per entile perturbation on theood ase . . . 157

3.39

1

st

quartileperturbation on the ood ase . . . 157

3.40 Medianperturbation onthe ood ase . . . 158

3.41

3

rd

quartileperturbation ontheood ase . . . 158

3.42

95

th

per entile perturbation on theood ase . . . 159

3.43 Parameters perturbation on the ood test ase. The indi es orresponding to

Q

are

plotted in green: dark green for the lo ation parameter and light green for the s ale

parameter. Theindi es orresponding to

K

s

are plotted asfollows: bla kfor the mean,

dark grey for the standard deviation. The indi es of the mode of

Z

v

areplotted in red

whilethe ones orrespondingto themode of

Z

m

areplotted inblue. . . 160

4.1 Estimated indi es

S

c

iδ

for the CWNR asewith ameanperturbation - 3variables . . . . 170

4.2

5

th

per entile perturbation on theCWNR ase- 3 variables . . . 170

4.3

1

st

quartileperturbation on the CWNR ase- 3 variables . . . 171

4.4 Medianperturbation ontheCWNR ase - 3variables . . . 172

4.5

3

rd

quartileperturbation on theCWNR ase- 3 variables . . . 172

4.6

95

th

per entile perturbation on theCWNR ase- 3 variables . . . 173

4.7 Parameters perturbation on the CNWR ase- 3 variables . . . 174

4.8 Estimated indi es

S

c

iδ

for the CWNR asewith ameanperturbation - 5variables . . . . 177

4.9

5

th

per entile perturbation on theCWNR ase- 5 variables . . . 178

4.10

1

st

quartileperturbation on the CWNR ase- 5 variables . . . 178

4.11 Medianperturbation ontheCWNR ase- 5 variables . . . 179

4.12

3

rd

quartileperturbation on theCWNR ase- 5 variables . . . 180

4.13

95

th

per entile perturbation on theCWNR ase- 5 variables . . . 180

4.14 Parameters perturbation on the CNWR ase- 5 variables . . . 182

4.15 Estimated indi es

S

c

iδ

for the CWNR asewith ameanperturbation - 7variables . . . . 184

4.16

5

th

per entile perturbation on theCWNR ase- 7 variables . . . 185

4.17

1

st

quartileperturbation on the CWNR ase- 7 variables . . . 185

4.18 Medianperturbation ontheCWNR ase- 7 variables . . . 186

4.19

3

rd

quartileperturbation on theCWNR ase- 7 variables . . . 186

4.20

95

th

4.21 Parameters perturbation on theCNWR ase- 7 variables . . . 188

1 Distributionsof the random physi al variables oftheCWNRmodel. . . 24

1.1 Sobolindi esfor therstfailure re tangle . . . 46

1.2 Sobolindi esfor these ond failurere tangle. . . 47

1.3 First orderSobol'indi es for the hyperplane 6410 ase . . . 53

1.4 Estimated Sobol'indi es for thehyperplane 6410 ase . . . 53

1.5 Estimated Sobol'indi es for the hyperplane 11111 ase . . . 54

1.6 Estimated Sobol'indi es for thehyperplane 15 variables ase . . . 55

1.7 Estimated Sobol'indi es for thehyperplane dierent spreads ase . . . 55

1.8 Sobol'indi es estimationfor thethresholded Ishigami fun tion . . . 55

1.9 Estimated Sobol'indi es for the ood ase . . . 56

1.10

4

dimensionalpointsgenerated through Sobol' sequen e . . . 57

1.11 Estimationof Sobolindi esusing QMCfor the6410 hyperplane test ase . . . 57

1.12 True values of

δ

i

for thehyperplane 6410 ase . . . 69

1.13 Synthesison thetested SA methods . . . 70

1.14 Corresponden ebetween the general SA obje tivesand theengineers' motivations. . . . 71

2.1 Dataset . . . 75

2.2 Confusionmatrix of theforest withdefaultparameters . . . 85

2.3 MDAindi es ofthe forest withdefault parameters . . . 86

2.4 Confusionmatrix of theforest withdierent weights . . . 86

2.5 MDAindi es oftheforest withdierent weights. . . 86

2.6 Confusionmatrix of the forest with

2000

trees . . . 86

2.7 MDAindi es ofthe forest with

2000

trees . . . 87

2.8 Confusionmatrix of the forest built onan ISsample . . . 87

2.9 MDAindi es oftheforest built on anIS sample. . . 87

2.10 Synthesison thepresentedSA methods . . . 105

3.1 Hellingerdistan einfun tion of theparameterperturbation . . . 122

3.2 Type ofperturbation re ommended giventheobje tive orthe motivation . . . 126

3.3 Importan e fa torsfor hyperplane 6410 fun tion . . . 127

3.4 Estimated Sobol'indi es for thehyperplane 6410 ase . . . 127

3.5 Hellingerdistan einfun tionoftheparameterperturbation. Therstvalueisanin rease of the parameter (right hand of the graph) whereas the se ond is a de rease of the parameter (lefthand of thegraph). Both perturbationlead to thesame

H

2

departure. . 132

3.6 Importan e fa torsfor hyperplane 11111 fun tion . . . 133

3.7 Estimated Sobol'indi es for thehyperplane 11111 ase . . . 134

3.8 Importan e fa torsfor thehyperplane 15 variables . . . 138

3.10 Importan e fa torsfor hyperplane withdierent spreads fun tion . . . 142

3.11 Estimated Sobol'indi es for the hyperplane withdierent spreads ase . . . 143

3.12 Hellingerdistan einfun tion of theparameterperturbation . . . 145

3.13 Importan e fa torsfor Ishigamifun tion . . . 146

3.14 Sobol'indi es estimationfor thethresholded Ishigami fun tion . . . 146

3.15 Hellingerdistan einfun tion of theparameterperturbation . . . 154

3.16 Importan e fa torsfor theood ase . . . 155

3.17 Estimated Sobol'indi es for theood ase . . . 155

3.18 Hellingerdistan einfun tion of theparameterperturbation . . . 161

4.1 Distributionsof therandom physi al variables oftheCWNRmodel -3 variables . . . . 168

4.2 MDAindex - 3 variables . . . 168

4.3 Giniimportan e -3 variables . . . 169

4.4 Confusion matrixof theforest -3 variables . . . 169

4.5 Distributionsof the random physi al variables oftheCWNRmodel -5 variables . . . . 175

4.6 MDAindex - 5 variables . . . 176

4.7 Giniimportan e -5 variables . . . 176

4.8 Confusionmatrix of the forest -5 variables . . . 176

4.9 Distributionsof therandom physi al variables oftheCWNRmodel -7 variables . . . . 182

A.1 Distributionsof therandom physi al variables taken for theCWNRmodels. . . 203

On omputer experiments

Numeri alsimulationisthepro essthatallowstoreprodu eaphysi alphenomenonwitha omputer.

This phenomenon is represented via a mathemati al model, and this model is solved during a

omputation time.

Thenumeri al simulation an be ostly, due to the timeneeded to prepare theset of inputs or

to the possibly large number of al ulations needed. Moreover, the result of the simulation may

be un ertain, thus this s ienti topi is often referred to as numeri al experiments. The use of

simulationin on eptionand safetyofanindustrial systemequipment - twoappli ativedomains of

interest inthisthesis - hasgrownoverthelast de ades.

Un ertainty quanti ation and sensitivity analysis

Webrieypresentthegeneralframeworkofourwork: thestudyofadeterministi numeri almodel.

Asexplained before,a modelis amathemati al representation ofa omplex physi al phenomenon.

Thismodelre eivesinputs andprodu esoutputs(orresponses). Forthesakeofsimpli ity,these

quantities will be onsidered ass alar and ontinuous but other types ould be onsidered, modal

for instan e. Given a ertain input value, the modelprodu es a ertain output after omputation.

Thedeterministi frameworkis onsideredhere,thatistosaythatagivensetofinputvaluesalways

produ es thesameoutput values.

Consider the quantity of interest. It might be possible that theexperimenter is interested in a

quantity dened from one or several outputs. It is therefore of outmost importan e to rst dene

aboveall study the quantityof interest.

Someparameters (su h asphysi al values) arenot pre isely hara terized due to a la kof data

or variability for instan e, therefore these parameters an be seen as random variables. Some

other inputs will be onsidered as known and modelled by deterministi values. Let us denote

X

= (X

1

, ...X

d

)

the

d

−

dimensional random ve tor (with known density

f

X

) of random (s alar)

input variables of the numeri al model. Let us also denote by

t

the

p

-dimensional ve tor of

de-terministi input. Let us onsider without loss of generality, a single output

Y

∈ R

dened as

Y = G(X, t)

where

G

is the deterministi model. The quantity of interest is

Z

or a fun tion of

it. In the following, we will denote

Y = G(X)

. Also, it is important to noti e that in the whole

thesis, independent inputs will be onsidered, althoughthe study ofmodels with dependent inputs

is amajor eldofresear h.

Figure 1 summarizes the referen e framework for un ertainty treatment (de Ro quigny et al.

Figure1: Un ertainty studyreferen e framework

ˆ Step A, problem spe i ation: the obje tives are dened, as well as the model used, the

quantityof interestand the inputvariables (someofwhi h are onsidered un ertain).

ˆ Step B, quanti ation of un ertainty sour es: the input variables onsidered un ertain are

modelled byrandomdistributions. Thisstepisdone ollaborating withexpertsand olle ting

datapoints.

ˆ StepC, propagation ofun ertainty sour es: thequantity ofinterest isevaluated a ordingto

theun ertainty ontheinput variables dened instepB.

ˆ StepC',sensitivityanalysis: therelativeun ertainty ontributionofea hinputontheoutput's

un ertaintyis evaluated.

The generi ness allows this framework to address numerous problems. This thesis will mainly

fo- uses on StepC',even ifthis step annoteasily beseparated fromStepC.

Sensitivityanalysis(SA)isdened bySaltelliet al. [89℄asthestudy ofhowtheun ertaintyin

theoutputofamodel anbeapportionedtodierent sour esofun ertainty inthemodelinput. It

maybe usedto determinethemost ontributing inputvariables toanoutputbehaviour. It analso

be usedto determine non-inuential inputs,or as ertain some intera tion ee tswithin themodel.

The obje tives of SA are numerous; one an mention model understanding, model simplifying or

fa tor prioritisation.

There are many appli ation examples, for instan e Makowski et al. [67 ℄ analyse, for a rop

In nu lear engineering eld, Auder et al. [5 ℄ study the inuential inputs on thermohydrauli al

phenomena o urringduring an a idental s enario, whileIoosset al. [50 ℄ andVolkova et al. [100℄

onsider theenvironmental assessment of industrialfa ilities.

Thersthistori alapproa htosensitivityanalysisisknownasthelo alapproa h. Theimpa tof

small perturbationsoftheinputs ontheoutput isstudied. Thesesmallperturbationso uraround

nominal values (the mean of a random variable for instan e). This is a ounterpart to the partial

derivativesof the modelin ertainpointsoftheinput spa e. Mostof these methods (someof them

will be itemized in se tion 1.3.2) make strong assumptions on the modeland/or on theinputs (in

terms oflinearity,normality, ...).

A se ond approa h, more re ent due to the development of omputational power is known as

theglobal approa h. Thewhole variation range oftheinputs istherein onsidered. An appli ative

introdu tion an be found in Iooss [49 ℄. Most te hniques (someof them will be dened in se tion

1.3.1 and tested in se tions 1.4 and 1.5) are developed in an independent approa h (model free),

without makingassumptions su h aslinearity or monotony.

Stru tural reliability

Consider theindustrial problemof knowing ifa stru ture,subje tto physi al loads or onstraints,

goes undamaged or goes to a state of failure. This will be referred as stru tural reliability. A

trial and measures approa h might be possible, but an be di ult to manage for safety or osts

reason. Within this ontext, omputer models are used in order to assess the safety of omplex

systems. These models are then used as an approximate representation of the reality, in luding

some me hanisms su h asaw propagation, fri tionlaws...

In order to ompletely use the model, un ertainties on the model inputs (essentially physi al

values)aremodelled byrandom variables. Themodel isthereforerepresentingthe stru turegifted

with a ertain toughness and the environment providing a load. Computation for a xed set of

inputs allows to obtain a failure riterion leading to a binary response: for this set of inputs, the

stru ture failsor behaves soundly.

Thefa tthatun ertainties aremodelledbyrandom variablesenables riskmodellingasafailure

probability. This approa h is more subtle than a deterministi approa h where inputs arexed to

nominal values (generally penalized).

Oneisinterestedinthefa tthatthe value

Y

∈ R

givenbythefailurefun tion

G

issmallerthan

a given threshold

k

(usually0): it isthefailure riterion. Thestru ture is failingfor agiven set of

input

x

if

y = G(x)

≤ 0

,where

x

= (x

1

, ..., x

d

)

∈ R

d

isarealizationof

X

. Thepartofspa einwhi h

this event o urs is alledfailure domain,denoted

D

f

. Thesurfa e dened by

{x ∈ R

d

_{, G(x) = 0}

_}

is alledlimit-statesurfa e. Theprobabilityforthe eventtoo urisdenoted

P

f

,failureprobability.

One has:

P

f

=

P(G(X) ≤ 0)

(1)

=



D

f

f

_X

(x)dx

(2)

=



R

d

1

_G(x)≤0

f

_X

(x)dx

(3)

=

E[1

_G(X)≤0

]

(4)

The omplexity of models and the possible great number of inputs make di ult, in a general

ase, to ompute the exa tvalueof

P

f

.

However, it an beestimated(sin ewritten under theform

ofamathemati alexpe tation)withthehelpofseveralmethods thatwillbeitemized inse tion1.2.

Theprimer ofstru tural safetyisto provide anestimationof

P

f

andsome un ertainty surrounding

thisestimation. It anbeusedtoanswertheoriginalquestionofthestru turesupporting theloads.

Context: omponent within nu lear rea tor (CWNR)

This ase-study provided the initial motivation for this work. It fo uses on the reliability and risk

analysisof anu lear powerplant omponent. Howevertheresults ofthis thesismustbe onsidered

as textbook exer ises, whi h an not be used to draw on lusions about the integrity or safety

assessmentof nu lear powerplants.

During the normal operation of a nu lear power plant, the omponent within nu lear rea tor

(CWNR) isexposedtoageingme hanisms. Inorderto assesstheintegrityofthe omponent,ithas

been demonstrated thata postulated manufa turingaw an withstand severeme hani al loads.

The CWNR me hani al model in ludes three parts. Firstly, a simplied representation of the

loading event,whi hanalyti allydes ribesasfun tionsofthetime,thetemperature

T

,thepressure

and theheattransfer oe ient between theenvironment and thesurfa e oftheCWNR. Se ondly,

a thermo-me hani al model ofthe CWNRthi kness, in orporating theCWNRmaterial properties

depending on the temperature. Lastly, an integrity model allowing to evaluate the no ivity of a

manufa turing aw, in luding dierent variables: (a) a variable,

h

, summarizing the dimension of

the aw, (b) a stress intensity fa tor, ( ) the toughnessdepending on the temperature at theaw

andthelevelofdeterioration,whosedis repan ywithoperationtimeisevaluatedwithsome odied

fore astingformulas. Inpra ti e, themodellingofthe CWNRmayassignprobabilisti distributions

tosomephysi alsour esofun ertainty. Inthismanus ript,amaximumof7inputphysi alvariables

will be onsidered as random. Table 1 summarizes the distributions of the independent physi al

random inputs ofthe CWNRmodel. Table A.1isa reminder oftheinputs' densities.

Randomvar. Distribution Parameters

Thi kness (m) Uniform

a = 0.0075

,

b = 0.009

h

(m) Weibull

a = 0.02

, s ale

= 0.00309

, shape

= 1.8

Ratioheight/length Lognormal

a = 0.02

,

ln (µ) =

−1.53

,

ln (σ) = 0.55

Azimuth aw (°) Uniform

a = 0

,

b = 360

Altitude (mm) Uniform

a =

−5096

,

b =

−1438

σ∆T T

Gaussian

µ = 0

,

σ = 1

σRes

Gaussian

µ = 0

,

σ = 1

Table1: Distributionsof the random physi al variables oftheCWNRmodel.

Also,forthe numeri alappli ationsovertheCWNRmodel,therandominputwillbe onsidered

as 3, 5 or 7 dimensional and will respe tively orrespond to the 3, 5 and 7 rst random variables

presentedinTable 1.

Obje tives

Theaimofthisdissertationisthedevelopmentofsensitivityanalysiste hniqueswhenthequantityof

berelatedtotheestimationof

P

f

andmustprovideanestimationoftheerrormadewhenestimating

sensitivityindi esaswell asan estimationof theerror madewhen estimating

P

f

.

Outline

The following thesis isorganised infour hapters.

Therst hapterisanoverviewofbothexistingstrategiesforestimatingfailureprobabilities and

methodsofsensitivityanalysis. Inthis hapter,statesoftheartforreliabilityandsensitivityanalysis

(SA) te hniques will be separately developed. More pre isely, three main families of reliability

te hniques will be studied: Monte-Carlo methods, stru tural reliability methods and sequential

Monte-Carlomethods. Finally,twofamiliesofwell-knownsensitivityanalysiste hniqueswillbeput

to the proof on reliability test ases (whi h are itemized in Appendix B). These te hniques show

some limitations, onrming the need to develop SA methods fo used on failure probabilities. A

table(Table1.13)summarizingthepresentedmethodsisproposed,andadis ussiononthemeaning

of sensitivityanalysis inthe reliability ontext is ondu ted.

The se ond hapter fo uses on dening measures of sensitivity in order to produ e a variable

ranking. More spe i ally, theuse of random forests on a Monte-Carlo sample is proposed in the

rst pla e. Two importan e measures derivedfrom the random forests predi tors aretested on the

usual ases. In the se ond pla e, a te hnique using a sample produ ed bysequential Monte-Carlo

methods is eli ited. This last method isbased on the departure between themarginal distribution

of aninput andits equivalent given thestepof the subset method.

The third hapter presents an original method to estimate theimportan e of ea h variable on

a failureprobability. Thismethod fo uses on the impa t of perturbations upon theoriginal input

densities

f

i

. A general framework deningappropriate perturbationsiselaborated, thensensitivity

indi es are presented. An estimation te hnique of these indi es that makes no further allsto the

modelisgiven. Themethodology isthentested on the usual ases.

Thefourth hapterpresentstheappli ationofthedevelopedmethodstotheCWNR ase. Several

tuningswillbestudiedtoassessorinrmtheabilityofthedierentSAmethodstoidentifyinuential

State of the art for reliability and

sensitivity analysis

1.1 Introdu tion

Theoutlineofthe hapteristhefollowing: inSe tion1.2,astateoftheartforreliabilityisproposed.

Several te hniques for estimating failure probabilities arepresented. Then inSe tion 1.3, a review

of Sensitivity Analysis (SA) is given. The appli ation of a well-known SA method, Sobol' indi es

(1.3.1.3) ona failureprobability, istested onnumerousappli ation ases inSe tion 1.4. InSe tion

1.5, theso- alled momentindependent sensitivity measures (presentedinSe tion 1.3.1.4)aretested

within the reliability ontext. Next, Se tion 1.6 proposes a synthesis of these states of the art.

Finally, Se tion 1.7 dis usses themeaning and obje tives of sensitivityanalysis when dealing with

failureprobabilities.

1.2 State of the art: reliability and failure probability estimation

te hniques

This state of the art for reliability is widelyinspired by the PhD thesis of Gille-Genest [41℄,

Can-naméla [22 ℄ (in Fren h) and Dubourg[33℄ (in English). Inaddition, monographsbyMadsen et al.

[66℄ andLemaire[60℄havebeen used. Inthisse tion,astateoftheartfortheestimationte hniques

of failureprobabilities is detailed. Choi e issetto present 3families ofmethods.

ˆ Monte-Carlo(MC) simulation methods: these te hniques are standard instatisti s. The MC

methods are used to estimate an expe tation. These are based upon an appli ation of the

Strong Law of Large Numbers for estimation and on the Limit Central Theorem for error

ontrol. Severalvarian e-redu tion te hniquesareavailableintheliterature. Themost

appro-priate of themwill beitemised in1.2.1.

ˆ Reliability methods: histori ally these methods ome from me hani al engineering. They

provide answers based upon a linear (FORM) or quadrati (SORM) approximation of the

failuresurfa e. Thisapproximation isthenused to estimatethefailure probability. Asfar as

we know, error ontrol isnot easily made. Thesemethods arepresentedin1.2.2.

ˆ Subset simulation methods: sometimes also referred as parti le methods, sequential MC or

splittingte hniques, these methodshave been more re ently developed. Theyarebasedupon

are easier to estimate. These estimations are made running a large number of Monte-Carlo

MarkovChains (MCMC). Somete hniques willbe presentedin1.2.3.

However, thepartition must be qualied. Inpra ti e, methods an be asso iated; for instan eone

an rst useFORMnumeri al approximation, then perform some importan e sampling aroundthe

most probable failingpoint. In the same way,most ofMunoz-Zuniga's works[72 ℄ are devotedto a

stratiedsamplingte hnique(MCvarian e-redu tionmethod) ombinedwithdire tionalsimulation.

1.2.1 Monte-Carlo methods

Thesemethods allowthe estimation ofan expe tation ofform:

I =

E[ϕ(X)]

(1.1)

or on theintegralform:

I =



E

ϕ(x)f

_X

(x)dx

(1.2)

where

ϕ(.)

is a fun tion from

E

⊂ R

d

_{→ R}

and

X

is a

d

−

dimensional random ve tor (with known

density

f

X

). In areliabilityframework,the fun tion

ϕ(.)

is writtenasan indi ator,

1

G(X)≤k

.

1.2.1.1 Crude Monde-Carlo method

Presentation of the estimator The main ideaof this methodis to generate a large number of

i.i.d. ve tors with density

f

X

, then to estimate

I

with the empiri al mean of the

N

values. The

Strong Law ofLarge Numbersallowsto getan unbiased estimator of

I

.

ˆ

I =

1

N

N

X

i=1

ϕ(x

i

)

(1.3)

withgiven

N

andwhere

x

i

arei.i.d with

f

X

. Inthereliability ase, anunbiased estimatorof

P

f

is:

b

P =

1

N

N

X

i=1

1

_{G(x

i

_)≤k}

(1.4)

The varian e of the estimatorof

E[ϕ(X)]

is:

Var

[ ˆ

I] =

1

N

Var

[ϕ(X)]

(1.5)

and it an beestimatedby:

d

Var

[ ˆ

I] =

1

N

_{− 1}

"

1

N

N

X

i=1

ϕ

2

(x

i

)

− ˆ

I

2

#

(1.6)

When

ϕ(.)

is anindi ator fun tion,asusual instru tural reliabilitystudies, asimplied expression

an beobtained:

Var

[ ˆ

P ] =

1

N

P

f

(1

− P

f

).

(1.7)

Its lassi al estimatoris:

d

Var

[ ˆ

P ] =

1

N

P (1

b

− b

P )

(1.8)

Figure1.1: Spa elling omparison: Sobol'ssequen e(left)and uniformrandomsampling (right).

Advantages and drawba ks of the MC method This method makes no hypothesis on the

regularity of

ϕ(.)

. The produ ed estimator is unbiased. Conden e intervals an be obtain around

the estimator, whi h are useful to quantify the pre ision of the latter. Furthermore, quality of the

estimation onlydependsonthesamplesize. ThismeansthattheMCmethodisindependent ofthe

dimension of the problem, unlikeother integration methods.

However, this te hnique needs a fair number of fun tion alls to rea h su ient pre ision.

A - ording to therule ofthumb, to obtaina variation oe ient of

10%

on a

10

−k

failure probability,

N = 10

k+2

simulations are needed. This an be unrealisti in some appli ations when dealing

with very low failureprobabilities (

< 10

−6

). Furthermore, omputer models an be omplex and

time- onsuming.

Varian e-redu tion The varian e ofthe estimator de reases inVar

[ϕ(X)]/N

. Therefore alarge

sample is needed to get a good estimation. Varian e-redu tion te hniques onsist in redu ing the

un ertainty involved by the numeri al integration te hnique, thus diminishing u tuations of

esti-mations aroundthe sear hed value.

In the referen e books (see Rubinstein [85℄), numerous varian e-redu tion te hniques an be

found. In a reliability ontext, su h methods are based on fo using the exploration of the sample

spa earoundthelimitstate(ie,thefailure)surfa e. Inthefollowing,wepresentthreemainmethods.

1.2.1.2 Quasi Monte-Carlo Methods

Presentation ofthe method TheideabeneathQuasiMonte-Carlo(QMC)methodistorepla e

the random sampling by quasi-random sequen es. These are deterministi sequen es having good

equirepartition properties. Thesesequen es are alled low-dis repan y sequen es, or quasi-random

sequen es. Loosely speaking, dis repan y isa measure of departure from the uniform distribution.

Thereexistanumberofdierentdenitions(

L

∞

_{, L}

2

_,

modied

L

2

_{, . . .}

). Examplesofpseudo-random

sequen es as well as theoreti al developments are given in Niederreiter [75 ℄. Figure 1.1 displays a

two-dimensional example ofbetter spa e llingbyalow-dis repan ysequen e(Sobol'ssequen e),

QMCestimationofthedesiredquantityisobtainedsubstitutingintheMCestimatortherandom

samplesbythepseudo-randomsamples. However,itisnotpossibletoobtainavarian eestimationof

theQMC estimator. Koksma-Hlakwa's inequalityallowsto bound theerror madewhenintegrating

withQMC method,dependingon the hosen sequen eand on

ϕ(.)

's regularity.

Reliability ase QMC methods are not well adapted for stru tural reliability. The main issue

whenestimatingsmallfailureprobabilitiesbyMCistogetextreme samples(withinthedistribution

tail) leading to the failure event, rather than getting evenly distributed samples. However, these

methods will be applied in Se tion 1.4 to de rease the number of fun tion alls when estimating

Sobol' indi es(whi h aredened inSe tion 1.3.1.3).

1.2.1.3 Importan e sampling

Presentation of the method Thebasi idea ofimportan e samplingis to modifythesampling

density. Theestimatoris thenobtained by in ludinga densityratio. Theaim isto foster sampling

insigni antregions. Inareliability ontext,thisissimplyin reasingthenumberoffailuresamples.

Let us denote

f

˜

X

a density sele ted by the pra titioner. It will be referred to as the instrumental

density. The problemrewrites asfollows:

I =



E

ϕ(x)f

_X

(x)dx

(1.9)

=



E

ϕ(x)

f

X

(x)

f

_X

˜

(x)

f

_X

˜

(x)dx

(1.10)

=

_E

_X

˜



ϕ (X)

f

X

(x)

f

_X

˜

(x)



(1.11) where

E

˜

X

is the expe tation when

X

isof density

f

˜

X

. The estimationis thenmadeby:

ˆ

I

IS

=

1

N

N

X

i=1

ϕ(x

i

)

f

X

(x

i

₎

f

_X

˜

(x

i

)

(1.12) where

x

i

arei.i.dwith density

f

˜

X

. One analso getthevarian e oftheestimator:

Var

( ˆ

I

IS

) =

1

N

Var

˜

X



ϕ(X)

f

X

(X)

f

_X

˜

(X)



(1.13) where Var

˜

X

isthe varian ewhen

X

follows density

f

˜

X

. Itshould be noti edthatthesupportof

f

˜

X

must be in luded withinthe support ofthe initial density

f

X

. Otherwise,theestimator isbiased.

Thiste hniquedoesnot onsistentlyprovide avarian eredu tion. Agiveninstrumentaldensity

f

_X

˜

usefulonly if:

Var

˜

X



ϕ(X)

f

X

(X)

f

_X

˜

(X)



<

Var

X

[ϕ(X)]

(1.14)

Minimal varian e isobtained withthe following optimaldensity:

f

_X

∗

(x) =

|ϕ(x)|f

X

(x)

|ϕ(y)|f

X

(y)dy

(1.15)

However,thedenominator onthe latterisdi ult to estimateasit boilsdownto

I

inthe aseof a

positivefun tion

ϕ(.)

. Choosing ofawell-tted instrumentaldensityisaprobleminitself. Chapter