L’INFLUENCE DE LA CROISSANCE DE CAVITE SUR L’ENDOMMAGEMENT DES POLYMERES
K. EL-AHMAR1, M. BENGUEDIAB 1, S. Maachou1 et B. BOUCHOUICHA 1
1 Laboratoire de Matériaux et Systèmes Réactifs, Département Génie Mécanique, UDL- SBA BP 89, Cite Ben M’hidi, SBA, 22000, Algérie
[email protected] Résumé:
Le but de notre travail est la modélisation de l'endommagement d'un polymère (Polypropylène) en utilisant la méthode des éléments finis et les concepts de la mécanique de la rupture basée sur des approches locales. L’utilisation du modèle Gurson-Tvergaard-Needleman, nous a permis de modéliser le comportement d’endommagement du Polypropylène, qui est décrit comme étant dû à la croissance de cavités.
Mots clés : Croissance des Cavités, Déformation Volumique, Endommagement, GTN, Polypropylène, Polymère.
1 Introduction
Notre objectif est de dégager une méthodologie incluant éventuellement la modélisation par éléments finis, pour décrire les différentes voies d’étude possibles et de choisir l’approche la plus adéquate à la description des mécanismes de rupture du polypropylène. Nous allons effectuer une caractérisation mécanique pour dégager les phénomènes physiques majeurs à prendre en compte pour une modélisation. Sur cette base, nous pouvons proposer l’approche d’une loi de comportement et d’un critère d’endommagement spécifique à ce matériau.
2 Présentation du code de calcul
ABAQUS est un logiciel de calcul par élément fini. Il peut traiter avec plusieurs organismes ayant diverses charges, les températures, les contacts, les impacts, et d’autres conditions environnementales.
ABAQUS comprend quatre composantes fonctionnelles : Modules d’analyse, module du prétraitement, Module distribution de traitements, Utilitaires. La méthode des éléments finis est une méthode numérique employée dans le domaine de la rupture. Son succès s’explique par la facilité de sa mise en œuvre pour la résolution d’une grande variété de problèmes (statiques ou dynamiques, linéaires ou non linéaires….). Elle permet l’évaluation de certains paramètres caractérisant la rupture des matériaux à comportement linéaire élastique et plus récemment les matériaux à comportement non linéaire.
3 Présentation du modèle GTN
Les résultats expérimentaux indiquent le rôle central que joue la croissance des cavités dans la rupture ductile des métaux. Toutes ces études ont porté sur des matériaux métalliques et ont montré que les cavités se formaient sur des particules de seconde phase, ou par décohésion entre une particule et la matrice, ou par la rupture d’une particule. La rupture finale intervient après la phase de croissance de cavités voisines jusqu’à leurs coalescences finales. Des analyses de croissance de cavités dans un matériau infini plastique montrent que cette croissance est fortement dépendante de la contrainte hydrostatique. Ainsi la coalescence des cavités sera engendrée par un taux de tri axialité élevé. Cette prévision a été confirmée par des séries de testes sur des éprouvettes plus moins entaillées sévèrement dans le cas d’acier.
Le modèle GTN est basé sur le modèle micromécanique développé par. Il permet de décrire la croissance d’une cavité sphérique dans une matrice rigide parfaitement plastique conduisant à l’expression du critère de plasticité donné par (1) :
2
2 0
0 0
( , , ) 2 cosh 3 1
2
eq m
f f f
(1)
Avec
le tenseur des contraintes macroscopiques (matrice+porosités), σeq la contrainte macroscopique équivalente,
m 1/ 3
kkla contrainte macroscopique moyenne, f la porosité du matériau, et σ0 la limite d’élasticité de la matrice.
4 Loi de comportement
Pour déterminer la loi de comportement du polypropylène on a fait appel à un essai expérimental, la géométrie correspond à la norme ASTM D638 M1A. L’essaie a été effectué sur machine de traction Inströn, les propriétés mécaniques du polypropylène pour une vitesse de 0,001 mm.s-1 et à une température ambiante 23°C sont données comme suit : E = 2100 MPa et e= 30 MPa ; densité = 0,9 et
= 0,4. (Figure 1)
En travaillant sur des éprouvettes axisymétriques entaillées (AE), il est possible d’étudier des sollicitations multiaxiales, uniquement en utilisant un essai de traction. Ces éprouvettes permettent l’étude des conditions de contraintes planes et déformations planes.
Figure 1 : Courbe pour un Polypropylène à 0.001/s et à 23°C
Pour une éprouvette entaillée, tant que la limite d’élasticité n’est pas dépassée la contrainte est maximale en fond d’entaille par phénomène de concentration des contraintes. La limite d’élasticité est donc atteinte en premier à cet endroit. Si l’éprouvette continue à être déformée, la zone déformée plastiquement s’étend et finit par envahir toute la section entaillée. La charge atteint alors la charge limite de l’éprouvette, elle est supérieure à ce qu’elle serait sans défaut (entaille). Considérons pour cela tout d’abord un cylindre de matière dans la partie entaillée de l’éprouvette ; s’il était isolé, il s’allongerait selon son axe et se contracterait selon son diamètre de façon à conserver un volume constant. Inclus dans l’entaille, entre les deux parties non entaillées qui restent élastiques et se déforment peu, il ne peut que se contracter de la même façon et il apparaît donc des contraintes
v = 0.001 mm.s
-1Déformati on vraie
radiales de tension. Pour satisfaire le critère de plasticité (Von Mises ou Tresca), il est nécessaire d’augmenter d’autant la contrainte axiale. Ainsi, la déformation plastique confinée élève le niveau général des contraintes et le taux de triaxialité des contraintes β. Celui-ci est défini par la relation (2) :
eq
m
d’où
( ))
3
(1 11 22 33
m
(2)
m: Contrainte moyenne définie telle queeq
: Contrainte équivalente de Von Mises.
Pour une éprouvette cylindrique comportant une gorge de rayon à fond d’entaille (R) laissant subsister un col de rayon (a) dans la section minimale, le calcul des répartitions de contraintes et des déformations est compliqué et ne peut être complètement résolu analytiquement. Des hypothèses simplificatrices sont nécessaires comme celle de l’égalité entre les déformations radiales et tangentielles dans la section minimale où Z=0. Il en résulte que les contraintes radiales et tangentielles sont égales et que le déviateur est indépendant de la coordonnée radiale (r) dans cette section. Avec ces hypothèses, les équations de l’équilibre et le critère de plasticité, il est démontré que :
eq r
rr
d
d
(3)
Avec (r) le rayon de courbure des lignes isostatiques, là où elles interceptent le plan Z=0. Bridgman a supposé que les lignes isostatiques peuvent être assimilées à des cercles qui coupent à angle droit la surface de l’entaille qui est torique. Le rayon de courbure ()est donné par la relation (4) :
r r r aR a
2 2
2 2
2
(4)
L’intégration de l’équation différentielle (3) conduit à (5) :)
1 2 ln(
2 2
aR r a
eq rr
Et (5)
)]
1 2 ln(
1 [
2 2
aR r a
eq ZZ
La contrainte axiale moyenne ZZ
_ c’est à dire la charge appliquée à l’éprouvette est donnée par l’expression (6) :2 ) 1 ln(
2 ) 1 (
_
R a a
R
ZZ eq
(6)
Le taux de triaxialité des contraintes est maximale sur l’axe de l’éprouvette tel que : 2 )
1 3 ln(
1
R a
eq
m
(7)
5 Choix de la geometrie
On a choisit de travailler avec des éprouvettes axisymétriques entaillées AE à quatre rayons de courbures différents afin d’étudier l’influence du taux de triaxialité des contraintes sur le comportement du matériau «l’endommagement ». Les quatre rayons de courbures étudiés sont : R = 80 mm (AE80), 10 mm (AE10), 4 mm (AE4) et 2 mm (AE2). Nous considérons l’analyse la plus simple en traction monotone. Compte tenu des imperfections du modèle, nous justifierons malgré tout l’apport de ses composantes dépendantes du critère de plasticité. Les essais de tractions sur les éprouvettes AE ont été effectués en déplacement imposé. La géométrie des éprouvettes axisymétriques entaillées (AE) est de type Sablier (Figure 2) telle que la longueur totale est de 66 mm, la largeur du fût est de 10 mm, et le fond d’entaille est de 5 mm. La hauteur de la zone entaillée variera avec le rayon de courbure (R= 80, 10, 4, 2 mm)
6 RESULTATS ET DISCUSSIONS
La résolution par éléments finis nous a permis d’analyser numériquement et de déterminer la répartition des champs de déformations au voisinage de l’entaille. Ces résultats sont obtenus à partir des tests d’analyse en traction sur quatre éprouvettes de triaxialité différentes β = 0.33, 0.44, 0.6 et 0.8.
La Figure 2 montre la variation de la contrainte équivalente de Von-Mises en fonction du temps réalisé par éléments finis et prise au centre de l’éprouvette (la partie la plus sollicitée) pour les mêmes tests d’analyse en traction avec les quatre différents triaxialité β = 0.33, 0.44, 0.6 et 0.8. Les résultats obtenus montrent que la contrainte équivalente évolue lorsque la triaxialité augmente. Pour un rayon de R=80, on constate qu’il y a une évolution linéaire qui dépasse légèrement la limite élastique du matériau.
Figure 2 : Evolution de la contrainte équivalente en fonction du temps.
Les Figures 3 (a, b, c, d) montrent la variation de contraintes et déformations au centre de l’éprouvette en fonction du temps afin d’étudier la sensibilité et l’effet de la triaxialité. On observe lorsque la triaxialité augmente, la contrainte maximale est toujours la même mais la déformation augmente.
Concernant l’aspect général des courbes, deux résultats intéressants sont à mentionner. Le premier concerne la présence d’un crochet de traction au niveau de l’extrémité maximale. Ce crochet de
eq ( MP a)
Temps (s)
AE A2 AEE4 10 AE 80
traction indique que la formation rapide de la striction supporte la majorité de l’élongation et de l’effort. Le second point montre que la déformation plastique obtenue après le crochet de traction est présentée sur les courbes des déformations longitudinales. La charge reste à peu près constante et se caractérise par un durcissement, ce résultat indique qu’il y a un fort écoulement plastique associé à une orientation et un glissement des chaînes. Enfin, les fibres sont fortement étirées créant alors une résistance supplémentaire.
a
) b)
c) d)
Figure 3 : Evolution des contraintes - déformations en fonction du temps.
La figure 4 représente la contrainte vraie et la variation du volume en fonction de la déformation axiale vraie, si on fait une comparaison des résultats de contrainte vraie en fonction de la déformation axiale vraie pour les différentes triaxialités, on remarque que les segments OA, AB et BC, ont la même forme, se qui explique que : OA c’est la partie linéaire de la courbe. Elle correspond à la déformation réversible. AB : il ya perte de linéarité entre charge et déformation, généralement B est considéré comme le seuil de plasticité, donc une déformation plastique au-delà de ce seuil. BC zone de striction, le point B est associé au début de la formation d’une striction, dont on peut remarquer une diminution de la charge. Sur le segment CE, on peut dire qu’il s’agit de la zone de striction qui commence par la partie CD : une réorganisation à grande échelle de la structure moléculaire de l’échantillon. Qui change de forme tout dépend de la triaxialité donnée à nos éprouvettes. Partie DE est la même sur les quatre courbes, se qui nous laisse observer une propagation de la striction qui se fait à une charge plus au moins constante
a)
b)
e
eq eq (MPa)
Temps (S) AE 80
eq (MPa)Temps (S)
e
AE10
e
eq eq (MPa)
Temps (S)
AE 4
eq (MPa)Temps (S)
A
e
DV/V0
eq (Mpa)e
eqAE 80 A
O B
C
D E DV/V0
eq (Mpa)e
eqAE 10 A
O B
C
D E
c)
d)
Figure 4 : La variation de la contrainte vraie et du volume en fonction de la déformation axiale vraie
7 Conclusion
Le modele de Gurson-Tvergaard-Needleman habituellement employé pour les matériaux métalliques a été utilisé ici pour modéliser le comportement d’endommagement du polypropylène.
L’endommagement dans ce modèle est décrit comme étant dû à la croissance de cavités, représentée par des paramètres.
Le modele a permis de rendre compte de tous les résultats mécaniques et de déterminer une approche liée au mode de ruine et rupture par crazing, un critère en coalescence de cavités aux taux de triaxialité et un critere en coalescence de cavités aux taux de triaxialité élevés. La contrainte principale maximale a été déterminé comme étant le critère de transition ductile fragile expliquant les modes de rupture en traction. L’endommagement est pris en compte en ajustant les paramètres du modèle sur l’évolution de la déformation volumique, ainsi que sur le crochet de traction traduisant l’adoucissement de charge lié à la forte croissance des cavités.
La présente étude que nous venons de présenter vient de prouver que les essais expérimentaux menés sur le polypropylène nous ont permis de mettre en évidence que lorsque la vitesse de déformation augmente, la réponse du matériau accroît ce qui nous donne une caractérisation mécanique du polypropylène. Par contre, les paramètres représentatifs du matériau semblent jouer un rôle primordial pour la caractérisation et l’évolution du comportement. L’erreur relative est au de sens des moindres carrés. La méthode d’identification que nous venons d’utiliser n’est malheureusement pas optimale, et la variation d’un paramètre est susceptible entraîner.
Dans la modélisation, nous nous sommes intéressés à la variation et l’optimisation des paramètres pour décrire le comportement de cette classe de matériaux qui jouent un rôle primordial sur la réponse.
Le volet numérique consistant alors à l’exploration des paramètres employée dans notre code de calcul. Grâce à la simplicité du modèle, les testes d’analyses ont donné des résultats prometteurs dans différent cas. L’ensemble de nos tests d’analyse en termes de courbes locales sont acceptable même dans le cas de fortes localisations. Ainsi, le modèle permet de prévoir les évolutions des contraintes - déformations lors du calcul.
DV/V0
eq (MPa)e
eqAE 4 A
O B
C
D E
DV/V0
eq (MPa)e
eqAE 2 A
O B
C
D E
