HAL Id: jpa-00212703
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Submitted on 1 Jan 1958
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Étude du comportement thermodynamique des
réacteurs nucléaires
G. Fournet
To cite this version:
39 A.
ÉTUDE
DU COMPORTEMENTTHERMODYNAMIQUE
DESRÉACTEURS
NUCLÉAIRES
(1)
Par G.
FOURNET,
Société Alsacienne de Constructions Mécaniques, Paris.
Résumé. 2014 Nous avons établi 2014
au moyen d’une
approximation
mathématique 2014des expres-sions monômes des différents paramètres régissant le comportement
thermodynamique
d’un type très général de réacteur nucléaire. Nous pouvons ainsi prévoir immédiatement les conséquences d’une modificationquelconque
des données de base du réacteur.Abstract. 2014
By means of a mathematical approximation we obtain monomial
expressions
of different parametersgoverning
the thermodynamical behaviour of a very general type of nuclear reactor. Thus we can foreseeimmediately
the consequences of any modification of fondamental reactor data.PHYSIQUE APPLIQUÉE 19, 1958,
1. Introduction. -
C’est
grâce à
la circulation d’un fluidé de refroidissement que l’onpeut
engénéral
extraire une certainepuissance
d’unréacteur
nucléaire ;
l’étude ducomportement
ther-modynamique
d’un réacteur est doncparticu-lièrement
importante.
Le but de notre
présent
travail est d’établir uneméthode de calcul de ce
comportement
et de déter-minerainsi,
enrégime per.manent,
les valeurs desdifférents
paramètres
(débit, températures, pertes
de
charge)
définissantl’état
de ce fluide derefroi-dissement.
La structure
mathématique
deséquations
défi-nissant leséchanges
de .chaleur est tellequ’il
paraît
impossible
d’obtenir desexpressions
maniables de ces différents
paramètres ;
laconsé-quence d’une modification d’une donnée de base du réacteur ne
peut
être connuequ’après
delongs
calculs
numériques.
Nous nous sommes donc atta-chés à essayer de trouver au moyend’approxi-mations
mathématiques
convenables
uneexpression
monôme des différents
paramètres
thermo-dynamiques
et depouvoir
ainsiprévoir
immédia-tement les
conséquences
d’une modificationquel-conque des données.
2. Modèle de réacteur. - Nous
supposons que la
partie
active du réacteur de formegénérale
cylindrique
(rayon R, longueur 2H) présente
uncertain nombre de canaux
régulièrement
répartis
et tous
parallèles
à l’axe ducylindre
Oz. Nousfaisons
l’hypothèse
que larépartition
macro-scopique
du flux (D de neutronsthermiques
estrégie
par une loi dutype
où r
désigne
la distance d’unpoint
quelconque
à(1) Le présent travail a été développé à
partir
d’étudesentreprises par la S. A. C. M. pour le compte du C. E. A. ; ces études avaient donné lieu aux rapports SACM LT 463
(juin 1953) et LT 469 (juillet 1953) et
plus
particulièrement
au rapport LT 509 d’avril 1954.
l’axe Oz de la
partie
active et z la distance de cepoint
auplan
médian de lapile perpendiculaire
àl’axe Oz. ,
Dans chacun des canaux
ménagés
dans lemodé-rateur,
se trouvedisposée
une substance fissible.Toutes
les sections de tous les canaux sontiden-tiques ;
la substance fissible aucentre, est
entouréed’une
gaine
qui
l’isole dufluide ;
cettegaine
peut
comporter
desdispositifs
augmentant
leséchanges
de chaleur et nousdésignons
par 1
le «périmètre
efficace » d’une section de lagaine.
La section offerte au passage du fluide est S.Nous supposons que toute la
production
de chaleur a lieu dans la substance fissible et que lacirculation du fluide doit être telle
qu’en
aucun cas,la
température
superficielle tG
desgaines
nepuisse
dépasser
une valeurTG (cf. chapitre 8).
Nous supposerons
également
que les écoulementsont lieu en
régime
turbulent et que la valeur ducoefficient
d’échange h
est fournie par la relationoù D est- le diamètre
hydraulique, X
laconduc-tibilité
thermique
dufluide,
8 et e les nombres deReynolds
et Prandtl.3.
Établissement
deséquations générales.
- Larépartition
macroscopique
du flux de neutronsthermiques
étant donnée par(1),
lapuissance
dissipée
dans une tranche delongueur
dz desub-stance fissible est
quand
r et z sont les coordonnées moyennes decette tranche.
Si,
suivant les notations habituelles[1],
ondésigne
par
x1Ie
« rayonéquivalent »
de la cellule que l’on attribue àchaque
canal,
le nombre des canaux duréacteur sera
40 A
et la
longueur
totale des barreaux de substance fissible est ainsiLa valeur moyenne
Ã
de la densité linéaire depuissance dissipée
dans un barreau est doncquand
Pdésigne
lapuissance
neutronique
totale de lapile
et que l’on suppose que toute la pro-duction de chaleur a lieu dans la substance fissible.Si on
désigne
par ce(variable r)
et p
(variable
z)
les
rapports
entre la valeur maximum de cettedensité
depuissance
et sa valeur moyenne, onobtient dans le sens radial
et dans le sens
longitudinal
Le
paramètre
A del’expression
(3)
est alors défini parPour obtenir les
équations
de baserégissant
lecomportement thermodynamique
duréacteur,
nous considérons les
phénomènes
thermiques
dont uncanal,
situé à une distance r du canalcentral,
est le
siège ;
lestempératures
de lagaine
et du fluide dans une tranche dz dont les coordonnéesmoyennes sont r et z sont
respectivement
notéestG
(r, z)
et6(r, z)...
La
première
équation
est obtenue enécrivant
l’égalité
entre d’unepart,
lapuissance
transmisede la
gaine
au fluidequi
circule dans le canal -- soitpour une tranche de canal de
longueur
dzoù h
désigne
le coefficientd’échange, 1
lepéri-mètre efficace de la
gaine
- et d’autrepart,
lapuissance
dissipée
dans la substance fissibleLa
première
équation
est ainsiLa deuxième
équation
peut
êtreobtenue
enécrivant que la
puissance
fournie au fluide sert àaugmenter
satempérature
d’unequantité
définiepar
’
(C
est la chaleurspécifique
dufluide,
G le débitmassique
unitaire)
d’où4. Pile à fente. - 4.1. DÉTERMINATION DU
DÉBIT MASSIQUE UNITAIRE DE CHAQUE CANAL.
-Nous allons maintenant
appliquer
leséquations
générales
que nous venonsd’indiquer
au cas d’unepile
àfente ;
l’entrée du gaz(à
latempérature
0.)
danschaque
demi-canal(compris
entre la fenteFIG.
1.
- Schéma d’unepile
à fente.et une extrémité du réacteur
(cf.
fig,
1))
se faitdans le
plan
z = 0 de sorteque
l’équation
(5)
peut
s’intégrer
sous la formesoit
La
température
de lagaine ta(z, r)
est doncfournie par
Dans le modèle de réacteur que nous
consi-dérons,
nous savons que latempérature
desgaines
doit être inférieure à une
température
limiteTG ;
la valeur maximum de
(7)
devra donc être pourchaque
canal(repéré
parr)
inférieure àTG.
Le calcul defournit pour valeur zm. de z
correspondant
aunous obtenons donc pour la
valeur
maximum de(7)
Le débit
massique
unitaire du canal se trouvant à la distance r de l’axe de lapile
est parconsé-quent
défini par :La relation fournissant la valeur du coefficient
d’échange
h étant mise sous la forme(cf. (2))
soit tous calculs faits
nous pouvons poser
avec
De
même,
nous écrirons poursimplifier
des
expressions
ultérieuresl’équation (9)
devient ainsiLa méthode de calcul
développée
dans l’annexe Ipermet, après
avoirposé
soit
d’obtenir
(cf.
(68))
soit
d’où
T’ous
calculsfaits,
nouspouvons
écrire :4.2. CHOIX DU COEFFICIENT k. - Nous
choi-sirons la valeur de k
(cf.
(14))
telle que pour uncertain canal moyen
repéré
par ro(auquel
corres-pond Go)
on ait exactement ,soit
A
partir
de(13)
on obtient alorsl’élimination de
Ga
entre(17)
et(18)
nous fournitsoit,
après
avoirremplacé
t et s par leurexpression
(cf. (11)
et(12)),
Après
avoir calculé la valeur du second membrede
(20)
la courbereprésentative
des variations depermet
de déterminer la valeur de k convenable.4.3. PERTE DE CHARGE. - Nous ne calculerons que la
perte
decharge
relative aux canaux de lapile.
Pour obtenir laperté
decharge totale,
il -convient doncd’ajouter
cequi
concerne l’extérieurde la
partie
active du réacteur.L’expression
permet
de calculer laperte
decharge
corres-pondant
là un canal delongueur
x. Cetteexpression
suppose que la valeur du
rapport
f Jp
n’évolue pasle
long
ducanal ;
quand
cette valeur varie il faut42 A
En
remplaçant
f
par sonexpression
on obtient
L’expression
précédente
de G nouspermet
d’obtenir
4.4. DÉBIT TOTAL. - Le débit
volumétrique
d’un demi-canal situé à une distance r, de l’axe du
réacteur est
égal
àPour obtenir le débit
volumétrique total,
il suffitmaintenant d’effectuer une somme de termes
ana-logues
à(26)
pour toutes les valeursde ri
réaliséesdans le
réacteur ;
poursimplifier
nousremplaçons
cette somme par une
intégrale
où le débit(26)
correspondant
au canal r estmultiplié
par laproba-bilité.
de trouver un centre de demi-canal dans une cou-ronne circulaire définie par les rayons r et r + dr. Nous obtenons ainsi pour le débit
volumétrique
total
L’exposant
deJo(x) peut
s’écrire sous laforme,
cet
exposant
est engénéral, légèrement
supérieur
à l’unité. La valeur de
l’intégrale
peut
s’écrire1(ul(k»
enposant
et
Nous pouvons donc maintenant écrire
l’expres-sion du débit
volumétrique total Q
sous la forme :Le débit
massique
s’obtient au moyen de4.5. TEMPÉRATURE DU FLUIDE A LA SORTIE DE
CHAQUE CANAL. - La
température
de sortie d’un canalquelconque
est définie parsoit,
tous calculs effectuésPour obtenir la
température
moyenne 03B8
de sortie des gaz onpeut
calculer la moyenne de03B8s(r)
oubien se servir de la relation
ce
qui
fournit4.6. PUISSANCE DE POMPAGE. - Nous
ne
cal-culons ici que la
puissance qu’il
convient de fournirau fluide pour
qu’il puisse
traverser lapartie
active du réacteur
(cf. 4.3).
Si
chaque
demi-canal du réacteur est alimentéséparément,
lapuissance
de pompage estégale
àdont la valeur en
première
approximation
estfournie par
Tous calculs faits nous trouvons ainsi
avec
Si tous les canaux sont alimentés à la fois
(dis-positif classique)
le débitmassique q(x)
corres-pondant
àchaque
demi-canal devratoujours
être associé à laperte
decharge
maximumAp(0)
desorte que dans ce cas, la
puissance
de pompage estdonnée par
soit
La seule différence entre
W 1
etW 2
réside dansl’emploi
soit deJ(u1(k))
soit deI(ul(k)),
évidem-ment la
première intégrale
possède
une valeurplus
petite
que la deuxièmeintégrale.
5. Réacteur sans fente. - 5.1. DÉTERMINATION
DU DÉBIT MASSIQUE UNITAIRE. - Nous allons maintenant montrer
rapidement
comment uneméthode de calcul similaire
peut
êtreappliquée
au cas despiles
sans fente(cf.
fig.
2).
FIG. 2. - Schéma d’une
pile sans fente.
L’entrée du gaz
(à
latempérature
00)
s’effectuedans le
plan
z = - H de sorte quel’équation
(5)
peut s’intégrer
sous la formesoit
La
température tG(z,
r)
de lagaine peut
doncs’exprimer
sous la forme :et un calcul
analogue
à celui exécuté dans leparagraphe
4.1 fournitLe débit
massique
unitaire du canal se trouvant à la distance r de l’axe de lapile
est parconséquent
défini par :
L’exemple
montre que sin bH est trèsvoisin
del’unité ;
nous pourrons doncemployer
enpremière
approximation
l’expression (69)
que nous avonsétablie dans l’annexe. En utilisant les mêmes
nota-tions que celles définies
au §
4.1 nous obtenons44 A
ou nous
rappelons que k
est défini parLa fonction
e(r)
étanttoujours
petite
devant l’unité.La relation
(44)
fournit pour valeur deG(r)
Tous calculs faits nous pouvons écrire
5.2. CHOIX DE LA VALEUR DU COEFFICIENT k. -Nous choisirons la valeur de k de telle
façon,
quepour un certain canal
repéré
par ro(auquel
corres-pond
Go)
on ait exactementA
partir
de(43)
on obtient alorsl’élimination de
Go
entre(48)
et(49)
nous fournitsoit encore,
après
avoirremplacé t
et s par leurexpression :
Après
avoir calculé la valeur du second membre de(51)
pour un modèle depile,
la courberepré-sentative des variations de
permet
de déterminer la valeur de k convenable pour lapile
considérée.5.3. PERTE DE CHARGE. - Nous
pouvons
main-tenant calculer la
perte
decharge
correspondant
à la
partie
active du canal enappliquant
l’expres-sion
(22)
avec x =2H ;
le résultat final est5.4. DÉBIT TOTAL. - Le débit
volumétrique
total
peut
s’obtenir au moyen deL’exposant
deJ o(x)
peut
s’écrirecet
exposant
est engénéral
légèrement supérieur
à l’unité. La valeur del’intégrale
peut
s’écrireI(u2(k))
oùI(u)
est définie par(28)
et oùU2(k)
estégal
àNous pouvons maintenant obtenir
l’expression
générale
du débitvolumétrique
nous ne donnerons pas
l’expression
de M trèsvoi-sine de
(56).
5.5. TEMPÉRATURE DU FLUIDE A LA SORTIE DE
CHAQUE CANAL. - La
température
de sortie d’un canalquelconque
est définie parsoit tous calculs effectués
La
température
moyenne03B8 de
sortiepeut
être définie parce
qui
fournitEn nous servant des valeurs des
rapports
«et P
nous obtenons
4.6. PUISSANCE DE POMPAGE. -
Si
chaque
canal du réacteur est alimentéséparément,
lapuissance
de pompage est enpremière approximation
déter-minée par
Tous calculs effectués nous trouvons ainsi
Si tous les canaux sont alimentés à la
fois,
la .puissance
de pompage sera donnéepar
le calcul montre que l’on obtient une
expression
analogue
à celles que nous venonsd’indiquer
à celaprès
qu’il
fautremplacer l’intégrale J(u2(k))
parI(u2(k))..
,6. Utilisation des diûérentes
expressions.
- Lapremière
opération
consiste à déterminer la valeur de ksuivant,
soitl’expression
(20),
soitl’expres-sion
(51).
Les membres de droite de cesexpressions
sont en
l’exposant
0,2
montrequ’une
variation relativeimportante
de ro n’entraînequ’une
faible variation relative déet de k par
conséquent.
Le choix de ro n’est doncpas
critique
et l’onpeut
prendre R j2
ou encore lavaleur telle que
Jgo2(aox)
soit la moyennearithmé-tique
de 1 etJg.2(aR)
ou tout autre valeurcom-mode,
c’est-à-direcorrespondante
à une valeur de kfacile à manier.
Signalons
à cesujet
que pour uncertain nombre de réacteurs on
peut
prendre
k== 1 ;
notre
premier
travail dans ce domaine étaitjus-tement limité à ce cas
(Rapports
SACM LT 469et LT
509).
Avant de
développer
la méthodegénérale
decalcul nous voulons
indiquer
que dans toutes lesexpressions
que nous avons données nous avonstoujours groupé séparément
endisposant
despoints
les facteurs suivants :les facteurs faisant intervenir la
géométrie
du réacteur : forme et dimensions de lapartie
ac-tive
(R, H,
a,b),
distance entre canaux(par
l’intermédiaire de
xl) ;
les facteurs faisant
intervenir
la «macrothermo-dynamique »
du réacteur :puissance
neutronique
(par
l’intermédiaire deA),
différenceTa -
03B80
detempérature
entre lepoint
leplus
chaud desgaines
et le fluide à
l’entrée ;
les facteurs définissant le fluide de
46 A
pression
constanteC,
viscocosité u, nombre de Prandtl L(nous
avonstoujours
éliminé laconduc-tibilité
03BB,
en faisant intervenir la définition dunombre de
Prandtl) ;
les facteurs définissant la
géométrie
d’une section de canal : diamètrehydraulique D,
périmètre
efficace 1 et aire de la section de passage S. Dans le calcul des membres de droite des
équa-tions
(20)
et(51)
définissant la valeur de k les deuxpremiers
groupes de facteurs ne donnant pas dedifficultés.
Les facteurs du troisième groupe ont des valeurs variables avec la
température.
Lepremier
stade dutravail consiste à effectuer une estimation des conditions moyennes
(température
etpression)’du
fluide au sein du
réacteur ;
on obtient ensuite àpartir
de(20)
et(51)
la valeur de kcorrespondant
à ces conditions moyennes. On
peut
ensuitecal-culer, k
étant connu, les valeurs des différentspara-mètres
eten
particulier
lesrépartitions
de latempé-rature et de la
pression
au sein du fluide. Si lesvaleurs moyennes ainsi obtenues sont par
trop
différentes de celles considérées a
priori
on recom-mence le travail en tenantcompte
de ces nouvelles valeurs. Cesapproximations
successives doivent êtreégalement
effectuéesquand
la méthode decalcul
que nouspréconisons
n’est pas utilisée et neconstitue
donc pas unecomplication
liée à cetteméthode.
Le seul facteur du
quatrième
groupequi peut
présenter
une difficulté est lepérimètre.
efficace l ;
ce
périmètre
efficacedépend
engénéral
ducoef-ficient
d’échange h
et du débitmassique
unitaire G parconséquent.
Unepremière solution,
calquée
sur celle que nous venons
d’indiquer
dans lepara-graphe précédent,
consiste à déterminer la valeur de k àpartir
d’une évaluation10 de 1 ;
la valeur de k ainsi obtenuepermet
de calculer les différentsparamètres
et la fonctionG(r)
enparticulier ;
àpartir
d’une valeur moyenneGbien
choisie onpeut
ensuite évaluer l. La
comparaison
entre cettenou-velle valeur
li et 1()
montre si l’on doit ou nonpro-céder à un nouveau calcul.
Une deuxième
solution,
qui
constitue un nouvelavantage
de notreméthode, peut
êtreemployée.
On commence par mettre la relation
sous forme d’une
expression
monômece
qui permet
de poserun calcul similaire à celui que nous avons donné dans le cas où
l’exposant
de G est0,8 peut
sepoursuivre.
Nous avons effectivementemployé
cette méthode pour résoudre un
problème
qui
nousétait soumis.
7. -Résultats. - Cette méthode de
calcul,
bienque basée sur une
approximation,
nous a fournides valeurs en très bon accord avec des évaluations
effectuées au moyen de
longs
calculs.
Leprincipal
avantage
de cette méthode est depermettre
de voir àchaque
instant ce que l’on fait et de « sentir »ainsi l’ensemble du
comportement
thermo-dynamique
du réacteur.Nos
expressions peuvent
êtreégalement
d’ungrand
secours lors de laconception
d’un modèle deréacteur. Si l’on cherche par
exemple,
touteschoses restant
égales d’ailleurs, quel
est le fluidequi
conduit auxplus
hautestempératures
de sortie dans unepile
à fente il suffit de comparer les valeurs de(cf. (31))
pour les fluides
envisagés,
la valeur de k est déter-minée pourchaque
fluide àpartir
del’expres-sion
(20) ;
onpeut
également
ne considérerqu’une
valeur de k
correspondant
à un fluide « moyen ».Nous avons souvent
remarqué
dans des calculsanalogues
que cette dernière méthode ne conduitqu’à
des erreurs faibles etqu’elle peut
êtreeffecti-vement utilisée.
8. Conclusions. - Notre méthode de calcul
peut
être facilement
adaptée
au cas où le coefficientd’échange
est fourni par une relation autre que larelation
(2).
Il estégalement
possible
deprendre
encompte
d’autreshypothèses ;
signalons
seulementà ce
sujet
que nous avons mis aupoint
un calculanalogue
pour étudier lecomportement
thermo-dynamique
d’un réacteur où l’on désirait que latempérature
de la substance fissible nedépasse
en aucun cas une valeur fixéeTF.
L’idée de base de notre travail est la transfor-mation d’une
expression
quelconque (cf.
l’annexeet
l’expression
64 parexemple)
en uneexpression
monôme
approchée.
Nous pensons que de telspro-cédés de « factorisation » sont
susceptibles
d’êtreemployés
defaçon générale
pour résoudre certainsproblèmes technologiques ;
l’avantage
de cespro-cédés est de fournir des
expressions
monômes desdifférents
paramètres
et depermettre
par là même l’étudesimple
etrapide
de l’influence des donnéessur ces
paremètres.
Nous sommes heureux de remercier MM. R. Julia
et P.
Herreng,
Directeur Général et Directeur de la S. A. C. M. pour nous avoir autorisé àpublier
cetravail.
Manuscrit reçu le 24 janvier 1958.
Annexe
quand
lerapport
de x à y est voisin d’un nombrequelconque
k ;
nous posonsoù s est
petit
devant l’unité. En ne conservantque les termes du
premier
ordre nous obtenons :Nous cherchons maintenant à déterminer
E,
03B1,03B2
pour que
par identification nous obtenons
Dans le cas où y est nul nous pouvons donc
écrire
de même dans le cas où y est
égal
à l’unitésoit encore
BIBLIOGRAPHIE
