Représentation numérique de l’information numérique et textuelle

Formation ISN 2017-2018 David Langlois

david.langlois@univ-lorraine. fr

Représentation numérique de l’information numérique et

textuelle

Objectifs du cours



Montrer comment est

représentée/manipulée l’information dans un ordinateur



Etude du codage binaire pour :



Les valeurs numériques



Les caractères



Autres natures de données



Les fichiers sons : voir version étendue de ce support



Les images ? Voir un cours à suivre

Information

 Un ordinateur manipule des informations de natures diverses

 Valeurs numériques : naturels, réels, irrationnels (?), fractions, complexes...

 Données textuelles : texte brut, texte enrichi, texte avec format

 Images : dessin libre, figures géométriques, photos

 Sons : bruit, musique, parole

 Vidéos : suite d’images + bande sonore

 Ces informations sont stockées sous des formats très divers

 Ex : image  BMP, DXF, EPS , GIF, Jpeg, Photo CD, PCX, PICT, PS, TIFF, WPG

 Ces informations sont :

 Stockées

 Manipulées

 Calculées

 Quels codages de ces informations ?

Ordinateur, c’est quoi ?

 Une machine manipulant de l’information, seul

(calcul de trajectoire de météorite), ou en interaction avec l’utilisateur

 Quand je dessine à l’ordinateur, l’ordinateur manipule-t- il un dessin ?

 Même réponse que pour la question « quand je joue au tennis contre un mur, le mur joue-t-il au tennis du fait qu’il me renvoie la balle ? »

 Une machine permettant d’exécuter des programmes

 Une machine capable de lire des registres mémoire, d’opérer des calculs sur ces registres et de modifier les valeurs des registres

 Un assemblage de plusieurs millions de transistors

Ordinateur, c’est quoi ?



Utilisateur : niveau numérique et symbolique



Ordinateur : niveau purement électrique



Comment est construit le lien entre les

deux niveaux ?

Transistor

 Un composant électronique dôté de :

 Deux entrées e1 et e2

 Une sortie s

 e2 est l’alimentation du transistor

 Deux états :

 Pas de courant en e1 + courant en e2  courant en s

 Courant en e1 + courant en e2  pas de courant en s

 Quel intérêt ?

 Présence/absence de tension : facile à mesurer

 Mesure robuste aux interférences

 Simule une porte logique NON  calcul logique

e2 NON

=1e s

TRANSIST OR

e2 e 1

s ATTENTION

: vision schématiqu

e

6

Logique et binaire



Logique et binaire : une correspondance bijective



Logique : deux valeurs VRAI/FAUX



Binaire : deux valeurs 0/1



Possibilité de représenter les calculs

numériques binaires à l’aide des portes logiques



Binaire = représentation efficace de

l’information de toute nature.

Codage binaire d’un nombre



Codage en base 10 : utilisation de

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 pour coder les valeurs numériques



Codage en base 2 : utilisation de 0,1 pour coder les valeurs numériques



Tout entier en base n peut être codé en binaire.



Exemple

 5₁₀ = 101₂ car 5 = 1*2²+0*2¹+1*2⁰



En général

 X₁₀ = b_nb_n-1b_n-2....b₂b₁b₀ si et seulement si :

2

0 n i

i

b

X   



Fabriquer un NON logique (rappel)

e2= NON 1e1=

A

NON A NON

A NON

A

VRAI FAUX FAUX VRAI

NON A

Fabriquer un ET logique



= Brancher plusieurs transistors

e1 = A NON

ET

A B A ET

B VRAI VRAI VRAI VRAI FAUX FAUX FAUX VRAI FAUX FAUX FAUX FAUX

e1 = B NON NON

NON B NON A OU NON B

NON (NON A OU NON B )

= A ET B

Distribution du NON

alimentation = 1

Autres opérations logiques



NON et ET suffisants pour :



A OU B = NON ((NON A) ET (NON B))



A NON-OU B = NON (A OU B)



A OU-EXCLUSIF B = (A ET NON B) OU (NON A ET B)

OU

A B A OU

B VRAI VRAI VRAI VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI VRAI FAUX FAUX FAUX

NON-OU

A B A NOR

B

VRAI VRAI FAUX VRAI FAUX FAUX FAUX VRAI FAUX FAUX FAUX VRAI

OU-EXCLUSIF

A B A XOR

B

VRAI VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI FAUX VRAI VRAI FAUX FAUX FAUX

Le calcul binaire et le calcul logique



1 bit = 0 ou 1



Opération sur les bits : complémentaire, somme, multiplication



Convention



1 pour VRAI



0 pour FAUX

Et les supports de stockage ?

 Disque dur

 Surface magnétique constituée de très petits éléments

 Deux valeurs +/-

 Têtes de lecture/écriture génèrent un champ magnétique capable de changer la polarité

  code binaire

 Mémoire flash

 basée sur des semi-conducteurs à deux états

 Passage du courant  passage d’un état à l’autre

  code binaire

Et les supports de stockage ?

 CD-ROM

 Lecture laser : la surface réfléchissante renvoie le laser

 Vierge = surface opaque = laser non renvoyé

 Ecriture = percer un trou minuscule dans la surface opaque = la lumière laser est renvoyée

 Deux états : lumière renvoyée ou non  codage binaire

 CD-RW : couche d’éléments pouvant devenir

transparents/opaques suivant la chaleur imposée  binaire

 Conclusion : les supports de stockage utilisent le binaire

Mesure de la taille des données



1 octet = 8 bits



1 Ko = 1024 octets (~1000)



1 Mo = 1024 Ko (~1000)



1 Go = 1024 Mo (~1000)



1 To = 1024 Go (~1000)

Conclusion



L’ordinateur gère tout sous forme binaire



Les supports de stockage aussi



Le binaire en plus d’être adapté à la structure même d’un ordinateur a d’autres avantages

 Souplesse pour coder les éléments du monde

 Opérations courantes (multiplication par 2)  simplicité + efficacité en machine



Donc tout doit être représenté sous cette forme



Etudions les codages en binaire de

l’information sous toutes ses formes

Coder les nombres en binaire

Les entiers (rappel)



Codage en base 10 : utilisation de

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 pour coder les valeurs numériques



Codage en base 2 : utilisation de 0,1 pour coder les valeurs numériques



Tout entier en base n peut être codé en binaire.



Exemple

 5₁₀ = 101₂ car 5 = 1*2²+0*2¹+1*2⁰



En général

 X₁₀ = b_nb_n-1b_n-2....b₂b₁b₀ si et seulement si :

2

0 n i

i

b

X   



Opérations binaires



Complémentaire à 2 sur n bits



Si A est un nombre binaire, alors le complémentaire c(A) est tel que :

 c(A) = 2ⁿ-A



Remarque :

 c(A) = (2ⁿ-1)-A+1

 2ⁿ-1 en base 2 = que des 1

 Donc :

 (2ⁿ-1)-A : remplacer dans A les 1 par des 0 et les 0 par des 1

 c(A) : puis ajouter 1

 Calcul facile !

Complémentaire : exemple

 Si A = 103₁₀, C(A) = 256₁₀-103₁₀ = 153₁₀

 Retrouvons ce résultat avec la méthode de la diapositive précédente

 A : code 01100111₂ (application de la méthode classique)

 2⁸-1-A : code 100110002 (on remplace les 1 par 0 et 0 par 1)

 2⁸-1-A+1 : code 10011001₂ (on ajoute 1)

 Donc C(A) : code 10011001₂

 Finalement : 100110012 = 128+16+8+1 = 15310

 On retombe sur le résultat ! Mais bon on n’est pas surpris puisqu’on a prouvé que ce serait le cas

dans la diapositive précédente.

Opérations binaires

Somme

Base 2 Base

10

R  1 1

1 0 1 5

1 1 1 7

1 1 0 0 12

Multiplication

Base 2 Base 10

1 0 1 5

1 1 1 7

R 1 1

1 0 1

1 0 1

1 0 1

1 0 0 0 1 1 35

Multiplier par 2 = décalage de tous les bits à gauche, dernier bit à 0

Codage

 Chaque valeur est codée sur un nombre préfixé de bits

 Exemples : 8, 16, 32, 64

 Notez les puissances de 2, qui simplifient ensuite les calculs

 Note : 8 bits = 1 octet

 1 bit = 2 valeurs possibles

 2 bits = 4 valeurs possibles

 ...

 n bits = 2ⁿ valeurs possibles

 Un entier sur 8 bits peut coder 256 valeurs différentes

  constante importante : un ordinateur a toujours des limites finies.

Codage



2

valeurs, d’accord, mais lesquelles ?



Tout dépend du codage choisi !!



C’EST UN CHOIX



TOUT LE MONDE EST D’ACCORD SUR CE

CHOIX  NORMALISATION

Codage des entiers naturels (1/2)



Sur n bits



Valeurs de 0 à 2

-1

 Exemple sur 8 bits

 00000000₂ = 0₁₀

 000000012 = 110

 000000102 = 210

 ...

 111111102 = 25410

 11111111₂ = 255₁₀



Attention aux dépassements !

 111111112+000000012 = ???

 Réponse 00000000₂

 00000000₂-00000001₂ = ???

 Réponse 111111112

Codage des entiers naturels (2/2)



Deux représentations possibles (selon les machines, les programmes)



Bit de poids faible à droite, bit de poids fort à gauche



Bit de poids faible à gauche, bit de poids fort à droite



Il faut le savoir et gérer en conséquence

Encodage/décodage des entiers



Quelle méthode appliquer à la main ?



Pour encoder de la base 10 à la base 2 ?



Pour décoder de la base 2 à la base 10 ?



Tester sur des exemples :



2

= 10



3

= 11



15

= 1111

De la base 2 vers la base 10

 x2 = 10110111

 x10 ?

 Appliquer la formule :

 1*2⁷+0*2⁶+1*2⁵+1*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+1*2⁰

 1*128+0*64+1*32+1*16+0*8+1*4+1*2+1*1

 128+32+16+4+2+1

 183

 Mais de tête, difficile de calculer toutes ces puissances de 2

 Il vaut mieux énumérer les puissances de 2 en

partant de 1 (2⁰) puis en multipliant par 2 à chaque fois

 On lit alors les bits de droite à gauche

De la base 10 vers la base 2 (1/2)



x

= 183



x

?



On peut travailler sur la formule :



Donc, on a le bit de poids faible, ensuite, il faut décoder le reste de la division par 2 sans ce bit

2 2

2

2

0 1

0 7 1

0 1 7

0 1 7

0

2

2 ^j

j j

i

i i

i

i i

i

i

b

b b b b b b

X 









 









De la base 10 vers la base 2 (2/2)



Exemple avec 183

 bit=1, reste à décoder 183/2 = 91

 bit=1, reste à décoder 91/2 = 45

 bit=1, reste à décoder 45/2 = 22

 bit=0, reste à décoder 22/2 = 11

 bit=1, reste à décoder 11/2 = 5

 bit=1, reste à décoder 5/2 = 2

 bit=0, reste à décoder 2/2 = 1

 bit=1, reste à décoder 1/2 = 0

 Résultat : 10110111

2 2

2

2

0 1

0 7 1

0 1 7

0 1 7

0

2

2 ^j

j j

i

i i

i

i i

i

i

b

b b b b b b

X 









 









Exercices

 Coder dans l’autre base (sur 8 bits)

 4910

 12610

 110100102

 010110112

 Les autres bases (souvent utilisées en informatique par les humains)

 Base 8 : code avec 0,1,2,3,4,5,6,7

 Base 16 : code avec 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F

 Coder 267110 en base 16.

 Cet exercice est proposée dans la feuille

d’exercices, et donc corrigé dans la feuille de correction.

Codage des entiers relatifs (sol 1)



Sur n bits



1 bit pour le signe, n-1 bits pour la valeur



(+) Simple



(-) Dans les opérations, le bit de signe doit être géré comme un cas particulier



(-) existence de 2 0 (non conceptuellement satisfaisant), deux cas à gérer



Nombre de valeurs pouvant être codées : 2

-

1 (et pas 2

)

Codage des entiers relatifs (sol 2)

 Sur n bits

 Complément à 2

 Si x est positif, représentation habituelle,

 Si x est négatif, on code 2ⁿ-|x| (le bit de poids fort est 1)

 Exemple sur 8 bits

 000001012 = 510

 10000101₂ = 133₁₀=256-123₁₀=2810-123₁₀ => codage de -12310

 (+) codage de 2ⁿ valeurs (un seul 0 00000000)

 (+) la somme des relatifs ne subit pas d’exceptions

Codage des entiers relatifs (sol 2)



(-) codage moins évident que sol1



(+) la somme des relatifs ne subit pas d’exception

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 1 0 0 4

1 1 1 1 1 1 0 1 253 = 2⁸-|

x|  x = -3

0 0 0 0 0 0 0 1 1

Codage des entiers relatifs (sol3)

 En excédent

 Représentation d’un intervalle [-i,+j] par les valeurs décalées de i

 Exemple :

 Intervalle [-127,128] sur 8 bits

 [-127,128] contient bien 2⁸=256 valeurs

 Décalage de 127

 Codage :

 -127 codé par 00000000

 -126 codé par 00000001

 ... ...

 -1 codé par 01111110

 0 codé par 01111111

 1 codé par 10000000

 .... ...

 127 codé par 11111110

 128 codé par 11111111

Exercices/solutions



Coder -89

sur 8 bits en :



Bit de signe



Complément à 2



Excédent à 127



Cet exercice fait partie de la feuille

d’exercices, et est donc corrigé dans la

feuille de correction

Codage binaire des réels (1/3)

 Les réels sont considérés en notation scientifique

 x = +/- 0,a.10^{+/- b}

 x peut être réprésenté par 2 entiers a et b

 (pour avoir 0,... il suffit d’adapter la valeur de b)

 En binaire :

 x = +/- 1,a.2^{+/- b}

 le 1 à gauche est toujours là par convention (voir diapo suivante)

 On ne représente pas 0,101.2^-3 mais 1,01.2^-4

 a et b sont en binaire

 Codage de la partie fractionnaire en puissances négatives de 2

 Exemple :

 1,01011.2² = 101,011 = 1*2²+0*2¹+1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2+1*2^-3

 1,01011.2² = 4+1+0,25+0,125 = 5,375₁₀

Codage binaire des réels (2/3)

 Norme IEEE 754

 Un réel est représenté sur 32 bits :

 1 bit pour le signe

 8 bits en excédent à 127 pour l’exposant

 La mantisse est représentée sous la forme 1,a. 23 bits pour a, le 1 à gauche n’est pas représenté

 Exemple pour 5,375

 5₁₀ = 101₂

 Soit 1,01...*2²

 a commence par 01

 b = 2₁₀; on représente 2+127₁₀ = 10000001₂

 Reste 21 (23 moins les 2 de 01 à droite de la virgule dans 1,01) bits pour représenter 0,375

 Principe : si x = 0,b₁b₂... alors 2x = b₁ + 0,b₂...

 2*0,375 = 0,75  0

 2*0,75 = 1,5  1

 2*0,5 = 1  1

 5,375₁₀ = 1,01011₂

 Sur 32 bits :

 010000001(1)01011000000000000000000 (le 1 est sous-entendu)

 01000000101011000000000000000000

Codage binaire des réels (3/3)



Attention : seulement 2

valeurs possibles !



Les valeurs spéciales

 Le zéro est représenté par 32 bits à 0.

 Infini : exposant rempli de 1 et mantisse à 0

 Code erreur (exemple résultat d’une division par 0) : exposant rempli de 1 et mantisse différente de 0

Coder du texte en binaire

Codage binaire des caractères

 Problème : coder ‘a’,’b’, ‘c’, ‘A’, ‘B’, ‘?’, ‘.’, ‘€’, ‘©’, ‘’, ‘μ’,

‘ø’, caractères cyrilliques, asiatiques, arabes...

 Plusieurs codages : voir la liste dans un traitement de texte

 ASCII : (American Standard Code for Information Interchange)

 7 bits = 128 valeurs, le 8^ième bit utilisé pour vérification (lors des échanges de données)

 Représentation de 128 caractères

 Pas assez pour toutes les langues

 ASCII étendu sur 8 bits (code ISO Latin-1)

 8 bits = 256 caractères différents, assez pour langues latines et européennes

 Compatibilité avec le code ASCII (partage des 128 premiers caractères)

 UNICODE sur 16 bits

 16 bits = 65536 caractères différents, assez pour tous les caractères de toutes les langues

 Compatible avec le code ASCII.

 Problème : consommation mémoire + gestion un peu compliquée des caractères sur 2 octets (voir en TD).

UTF-8 (1/2)



Coder tous les caractères de la norme unicode



Un octet ne suffit plus



Coder sur n octets  gourmand en taille



 codage sur un nombre variable d’octets



Codage

UTF-8 Signification

0xxxxxxx U+0000 à U+007F (ASCII)

110xxxxx 10xxxxxx U+0080 à U+07FF 1110xxxx 10xxxxxx

10xxxxxx U+0800 à U+FFFF 11110xxx 10xxxxxx

UTF-8 (2/2)



(+) tous les caractères sont codables



(+) : compatibilité totale avec l’ASCII sur 7 bits



(-) taille variable  décodage plus complexe



D’autres avantages/défauts plus techniques



Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/UTF-8