BACCALAUREAT BLANC
Session avril 2015
Série : S
Épreuve : Mathématiques
( candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité )Durée de l'épreuve : 4 heures coefficient : 9
MATERIEL AUTORISE OU NON AUTORISE : Calculatrice autorisée
Aucun échange de matériel autorisé
Attention : l’exercice de spécialité doit être rédigé sur une copie séparée
Avant de composer le candidat s'assure que le sujet comporte 7 pages numérotées 1/7 à 7/7
Exercice 1 ( 6 points ) commun à tous les candidats
Sur le graphique en annexe 1, on a tracé, dans un repère orthonormé ; , , une courbe et la droite où et sont les points de coordonnées respectives 0 ; 1 et −1 ; 3 .
On désigne par la fonction dérivable sur ℝ dont la courbe représentative est . On suppose, de plus, qu’il existe un réel tel que pour tout réel ,
= + 1 +
1. a. Justifier que la courbe passe par le point .
b. Déterminer le coefficient directeur de la droite . c. Démontrer que pour tout réel ,
= 1 − 2 − 1
d. On suppose que la droite est tangente à la courbe au point . Déterminer la valeur du réel .
Dans les questions suivantes, on prendra :
Pour tout réel , = + 1 − 3 et = 1 + 32− 1 2.
a. Démontrer que pour tout réel de l’intervalle −1 ; 0, > 0. b. Démontrer que pour tout réel inférieur ou égal à −1, > 0.
c. Démontrer qu’il existe un unique réel de l’intervalle !−" ; −1# tel que = 0. Justifier que < −3
2 + 2 × 10.
3. On désigne par 0 l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine défini par :
≤ ≤ 0 et 0 ≤ 2 ≤
a. Hachurer ce domaine sur l’annexe 1 puis écrire 0 sous la forme d’une intégrale.
3. On admet que l’intégrale = = > ?
" @ est une valeur approchée de 0 à 10" près.
Calculer la valeur exacte de l’intégrale =.
Partie A : étude d’une fonction
On considère la fonction définie et dérivable sur l’intervalle 1 ; +∞[ par = ln
Sur l’annexe 2 jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe représentative de la fonction ainsi que la droite M d’équation 2 =
1. Calculer les limites de la fonction en +∞ et en 1.
2. Étudier les variations de la fonction sur l’intervalle 1 ; +∞[. 3. En déduire que si ≥ alors ≥ .
Partie B : étude d’une suite récurrente 1. On considère la suite OP définie par :
Q O? = 5 pour tout entier naturel S, OPTU = OP
Sur l’annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbe et la droite M, placer les points ? , U et d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives O? , OU et O. On laissera apparents les traits de construction.
Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de la suite OP ? 2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel S, on a : OP ≥ .
b. Déterminer le sens de variation de la suite OP . c. En déduire que la suite OP est convergente.
3. On donne l’algorithme suivant :
V est une variable réelle ; W est une variable entière Affecter 5 à X
Affecter 0 à W
Tant que V > 2,72 faire Affecter V/ ln V à V Affecter W + 1 à W Fin de Tant que
Afficher W
A l’aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l’algorithme.
S 0 1 2 3 4 5
OP 5 3,106 674 672 8 2,740 652 532 3 2,718 372 634 6 2,718 281 830 01 2,718 281 828 5
Exercice 3 ( 4 points ) commun à tous les candidats
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiple). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera SUR la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n’est demandée. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ; OZ , [ . Soit \ un nombre complexe de la forme + ]2, où et 2 sont des réels.
1. Soit \ le nombre complexe d’affixe 1 + ] ^. L’écriture exponentielle de \ est : a. √2`a
b. 4`a c. √2`cd d. 4`cd
2. L’ensemble des points e du plan d’affixe \ = + ]2 tels que |\ − 1 + ]| = g√3 − ]g a pour équation :
a. − 1 + 2 + 1 = 2 b. + 1 + 2 − 1 = 2 c. − 1 + 2 + 1 = 4 d. 2 = +√"U
3. On considère la suite de nombres complexes \P définie pour tout entier naturel S par
\? = 1 + ] et \PTU= UT` \P. On note eP le point du plan d’affixe \P.
a. Pour tout entier naturel S, le point eP appartient au cercle de centre O et de rayon √2. b. Pour tout entier naturel S, le triangle ePePTU est équilatéral.
c. La suite OP définie par OP = |\P| est convergente.
h. Pour tout entier naturel S, un argument de \PTU− \P
\P est j 2 4. Soit , , k trois points du plan complexe d’affixes respectives :
\l = −1 − ] ; \m= 2 − 2] et \n = 1 + 5]. On pose : \ =\n− \l
\m− \l a. \ est un nombre réel.
b. Le triangle k est isocèle en . c. Le triangle k est rectangle en .
d. Le point e d’affixe \ appartient à la médiatrice du segment [k.
Attention : l’exercice de spécialité doit être rédigé sur une copie séparée
Partie A : préliminaires
1. a) Soient S et p deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, tels que : S ≡ p − 1 modulo p. Montrer que : S × S" ≡ 1 modulo p.
b) Déduire de la question précédente un entier rU tel que : 5rU ≡ 1 modulo 26.
On admettra que l’unique entier r tel que : 0 ≤ r ≤ 25 et 5r ≡ 1 modulo 26, vaut 21.
2. On donne les matrices : 1 1
2 2
4 1 2 1
, ,
3 2 3 4
x y
A B X et Y
x y
−
= = = =
−
a) Calculer la matrice 6A− A2.
b) En déduire que A est inversible et que sa matrice inverse, notée A−1, peut s’écrire sous la forme A−1 = α I2 +β A, où α et β sont deux réels à déterminer, et I2 la matrice unité.
c) Vérifier que : B = 5A−1.
d) Démontrer que si AX = Y, alors 5X = BY .
suite de l’exercice à la page suivante
Partie B : procédure de codage
Coder le mot "ET" en utilisant la procédure de codage décrite ci-dessous.
• Le mot à coder est remplacé par la matrice 1
2
X x x
=
où U est l’entier représentant la première lettre du mot et l’entier représentant la deuxième, selon le tableau de correspondance ci-dessous :
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
• La matrice X est transformée en la matrice 1
2
Y y y
=
telle que : Y = AX.
• La matrice Y est transformée en la matrice 1
2
R r r
=
où r1 est le reste de la division euclidienne de y1 par 26 et r2 le reste de la division euclidienne de y2 par 26.
• Les entiers r1 et r2 donnent les lettres du mot codé, selon le tableau de correspondance ci-dessus.
Exemple : "OU" se code selon la procédure :
14 76 24
" " " "
20 82 4
OU X Y R YE
→ = → = → = →
Ainsi, "OU" est codé "YE"
Partie C : procédure de décodage
(on conserve les mêmes notations que pour le codage)
Lors du codage, la matrice X a été transformée en la matrice 1
2
Y y y
=
telle que : Y = AX.
1. Démontrer que : 1 1 2
2 1 2
5 2
5 3 4
x y y
x y y
= −
= − +
.
2. En utilisant la question 1. b. de la partie A, établir que : 1 1 2
2 1 2
16 5 15 6
x y y
x y y
≡ +
≡ +
modulo 26.
3. Décoder le mot "QP".
Annexe 1 - Exercice 1
Annexe 2 - Exercice 2
