B en
Fr ed j so fia ne
Ann´ee scolaire 2013-2014
D
EVOIR DE SYNTHESE N` ˚ 1 : D
EUXIEME ANN`
EE SCIENCES´ D
UREE´ 2
HPR : BEN FREDJ SOFIANE
Exercice 1. (3 points) Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Indiquer sur la copie le num´ero de la question et la r´eponse choisie. Aucune justification n’est demand´ee.
1. Le polynˆome dont l’expression est (x2+x−1)3 est
(a)
❐
de degr´e 3 (b)❐
de degr´e 5 ()❐
de degr´e 6 2. Le polynˆome nul(a)
❐
est de degr´e 0 (b)❐
de degr´e 1 ()❐
n’ a pas de degr´e 3. L’´equation x2+20132013x−2012=0(a)
❐
admet deux racines de mˆeme signe(b)
❐
admet deux racines de signes contraires()
❐
n’admet pas de racines r´eellesExercice 2. (6 points) ABC est un triangle rectangle et isoc`ele en A. (Voir figure
`a la page 3)
Soit G le barycentre des points pond´er´es (A;−4),(B;1) et (C;2) 1. Exprimer −→
AG `a l’aide de −→
AB et −→
AC puis placer G.
2. Soit K le barycentre des points pond´er´es (B;1) et (C;2).
(a) Montrer que A,G et K sont align´es.
(b) D´eduire alors une construction de K.
3. Soit C l’ensemble des points M du plan tels que :
|| −4−→
MA+−→
MB+2−→
MC||=||−→
MG−−→
MB||. (a) Montrer que C est un cercle de centre G et passant par B.
(b) On rapporte le plan au rep`ere orthonorm´e (A;−→
AB,−→
AC).
Donner les composantes des vecteurs −→
BC et −→
BG puis montrer que C est tangent
`a (BC).
4. La parall`ele `a(AB) passant par C coupe(AK) en L. Montrer que K est le barycentre des points pond´er´es (A;1) et (L;2).
1
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Exercice 3. (4 points) Soit T(x) =x2+x+c et on donne ci dessous son tableau de signe incomplet.
x ∞ −4 .... ∞
|
T(x) 0 +
| 1. (a) V´erifier que c=−12.
(b) V´erifier que 3 est une autre racine de T(x).
(c) Completer le tableau du signe de T(x).
2. R´esoudre dans R l’in´equation : √
12−x<x.
Exercice 4. (7 points).
1. R´esoudre dans R, l’´equation : x2−5x−10=0.
2. Soit P le polynˆome d´efini par : P(x) =x3−7x2+20.
(a) V´erifier que 2 est une racine de P.
(b) Factoriser P sous forme d’un produit dont l’un de ses facteurs est un trinˆome de second degr´e.
(c) R´esoudre dans R, l’´equation P(x) =0.
3. . L’unit´e de mesure est le centim`etre. x est un r´eel positif. Les solides repr´esent´es ci-dessous sont deux parall´el´epip`edes.
(a) D´eterminer x pour que les deux solides (S1) et (S2) ont le mˆeme volume.
(b) D´eterminer les valeurs des r´eels x pour que le volume du solide(S1) soit inf´erieur ou ´egal au volume du solide (S2).
x x
7−x
(S1)
2 2
5
(S2)
2
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Nom : ...
Pr´enom : ...
b
A
bB
bC
3
