Espaces vectoriels

Espaces vectoriels

1 Structure d’espace vectoriel sur un corps K

1.1 D´efinitions

1.1.1 Observation des propri´et´es des vecteurs de la g´eom´etrie.

1.1.2 G´en´eralisation `a d’autres cas fr´equents.

1.1.3 D´efinition

D´efinition. Soit K Rou C,E un ensemble.

On suppose E muni d’une loi de c.i. et d’une loi de composition externe φ : K E Ñ E

pk, xq ÞÑ kx

telles que :

(a) pE, q est un groupe commutatif (b) @pα, βq P K², @px, yq PE²

(b.1) pα βq xαx βx

(b.2) α px yq αx αy

(b.3) pαβq xα pβxq

(b.4) 1xx

Alors on dit que pE, ,qest unespace vectoriel sur K, ouK-e.v.

1.2 Exemples

1.3 Calculs dans un espace vectoriel

Propri´et´e. SoitpE, ,qun espace vectoriel sur K. Alors@kP K, @xPE

(a) k0_E 0_E et 0_Kx0_E

(b) kx0E ùñ k0_K ou x0E

(c) p1q x x etpkq x pkxq

D´efinition. Soit px1, . . . , xnq PEⁿ. On dit quex est unecombinaison lin´eaire de la famillepxiqiPt1,...,nu siet seulement s’il existe pλ1, . . . , λnq P Kⁿ tel quex

¸n i1

λixi. Exemple.

1.4 Structure d’alg`ebre

D´efinition. Soit E un ensemble non vide muni de deux lois de c.i. et, et d’une loi de c.e.. Si (a) pE, ,q anneau

(b) pE, ,qe.v. sur K

(c) @px, yq PE², @kP K, k pxyq pkxq yx pkyq

Alors on dit que pE, ,,qest une alg`ebre sur K (commutative si est commutative)

Exemple.

Remarque. On d´efinit aussi les morphismes d’alg`ebres, les sous-alg`ebres.

2 Sous-espaces vectoriels

2.1 G´en´eralit´es

D´efinition. Soit E un e.v. sur K,F €E,F ∅.F est unsous-espace vectoriel deE si (a) pF, q est un sous-groupe depE, q

(b) @kP K, @xPF, pkxq PF

Remarque.

Th´eor`eme.

Soit E un e.v. surK etF €E.

F est un sous-e.v. de E si et ssi

• F ∅

• F €E

• @pα, βq P K², @px, yq PF², αx βy PF Exemple.

Remarque.

Exemple important. Soit E un e.v. sur K et x₀ P E fix´e non nul. Soit D_x0 Vectpx₀q tx P E t.q.Dk P K, xkx₀u. C’est un sous-e.v. de E appel´e droite vectorielleengendr´ee parx₀.

2.2 Intersection et somme Th´eor`eme.

Soit E e.v. surK,F etGdeux sous-e.v. de E. AlorsFXGest un sous-e.v. de E.

G´en´eralisation.

Remarque.

D´efinition. Soit E e.v. sur K,F etGsous-e.v. de E. On d´efinit

F G tzPE t.q.Dpx, yq PFG, zx yu

Alors F Gest un sous-e.v. de E contenant F etG.

Exemple.

Exemple. Cvu comme e.v. sur R:

2.3 Sous-e.v. suppl´ementaires

D´efinition. Soit E un e.v. surK,F etGdeux sous-e.v. deE. On dit que F etG sontsuppl´ementairesdans

E si et seulement si

#

F GE FXG t0Eu Notation. On note alorsE F `G Exemple.

Th´eor`eme.

On conserve les notations de la d´efinition. On a E F `G si et seulement si @z PE, D!px, yq P

FGt.q. zx y

Remarque. On dit queF etG sonten somme directe.

Exemple.

D´efinition. Soit E espace vectoriel. Un sous-espace vectoriel H de E s’appelle un hyperplan de E si et seulement s’il existe une droite vectorielle suppl´ementaire `a H.

2.4 G´en´eration de sous-e.v.

D´efinition.SoitEe.v. surKetpx1, . . . , xnq PEⁿ. On appellesous-espace vectoriel engendr´e par la famille px₁, . . . , x_nq, et on note Vectpx₁, . . . , x_nq l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels deE qui contiennent tous les xi.

Remarque. C’est un sous-e.v. par op´erations (intersection).

Exemple.

Th´eor`eme.

Vectpx₁, . . . , x_nq est l’ensemble de toutes les C.L. de la famillepx₁, . . . , x_nq. Propri´et´e. Pour F sous-espace vectoriel de E etx1, . . . , xnPE, on a :

Vectpx₁, . . . , x_nq €F ðñ x₁, . . . , x_nPF

Exemple.

Remarque.

3 Structure de sous-espace affine d’un espace vectoriel

3.1 Translation

D´efinition. Soit E un K-espace vectoriel. Pour a P E, on appelle translation vectorielle de vecteur a l’application :

τa : E Ñ E

x ÞÑ x a

Propri´et´e. L’ensemble des translations vectorielles deE est un groupe.

3.2 Sous-espace affine

D´efinition. Soit E un espace vectoriel sur K. On appelle sous-espace affine de E l’image d’un sous-espace vectoriel de E par une translation.

Remarque.SoitF un sous-espace vectoriel deE, etaPE. On noteW l’image deF par la translationt_a. Alors pour xPF,ya xPW et pour yPW,xyaPF. On ´ecrit :W a F.

Exemple.

D´efinition. Pour un sous-espace affine W a F donn´e, l’espace vectoriel F est unique. On l’appelle la direction de W, et on dit que W est le sous-espace affine passant par a de direction F. On note parfois

F ÝWÑ la direction deW.

Remarque.

Remarque.

3.3 Parall´elisme

D´efinition. Deux sous-espaces affinesW etW¹ sont ditsparall`elessi et ssila direction de l’un est inclus dans la direction de l’autre.

Attention.

Remarque.

Exemple.

3.4 Intersection de sous-espace affines Th´eor`eme.

Soit E unK-espace vectoriel. L’intersection de deux sous-espaces affinesW etW¹ de E est :

ãÑ soit vide

ãÑ soit un sous-espace affine dont la direction est l’intersection des directions deW etW¹.

4 Barycentres

4.1 D´efinition

D´efinition. Soit E un R-espace vectoriel. Les ´el´ements de E sont des vecteurs, que l’on peut aussi consid´erer

comme des points (translation de vecteur 0_E). On notera El’ensemble des points.

Soit pA_jq1¤j¤p une famille de ppoints de Eetpα_jqj P R^p. Pour tout j, le couple pA_j, α_jq est appel´epoint

pond´er´e, etαj s’appelle lamasse de Aj. Si

¸p j1

α_j 0, alors il existe un unique pointGPEappel´ebarycentre du syst`eme pond´er´e tpA_j, α_jq,1¤

j¤pu v´erifiant :

¸p j1

αjÝÝÑGAj 0E

Exemple.

4.2 Propri´et´es

Propri´et´e.SiGest le barycentre detpA, αq,pB, βqu, avecα β 0, alors Gest sur la droite pABq. On dit que l’alignement est conserv´e par « barycentration». De mˆeme, la «barycentration» respecte la coplanarit´e.

Propri´et´e (Commutativit´e). Le barycentre d’un syst`eme de points pond´er´e est ind´ependant de l’ordre des

points pond´er´es.

Propri´et´e (Homog´en´eit´e). Le barycentre est inchang´e si on multiplie toutes les masses par un mˆeme r´eel non nul.

Cons´equence. L’isobarycentre d’une famille de points est aussi le barycentre de la famille des points pond´er´es

de la mˆeme masse non nulle.

Propri´et´e (Associativit´e). SoitGle barycentre du syst`eme pond´er´etpAj, αjq,1¤j¤puavec°_p

j1αj 0. Soit

tI₁, . . . , I_ludes sous-ensembles qui forment une partition det1, . . . , pu, et tels que pour toutk,S_k ¸

jPIk

α_j 0.

Soit G_k le barycentre detpAj, αjq, jPI_ku.

Alors Gest le barycentre de tpG_k, S_kq, P t1, . . . , luu.

Exemple.

Propri´et´e. Avec les notations pr´ec´edentes, etO,M des points quelconques :

¸p j1

α_jÝÝÑGA_j 0_E

ÝÝÑOG 1

°p j1α_j

¸p j1

αjÝÝÑOAj

¸p j1

αjÝÝÝÑM Aj

_p

¸

j1

αj

ÝÝÑM G

Exemple. Pour 3 pointsA, B, C non align´es du plan, d´eterminer ∆ l’ensemble des points M tels que : ÝÝÑM A 2ÝÝÑM B ÝÝÑM C colin´eaire `a ÝÝÑAB

4.3 Parties convexes

D´efinition. Soit A etB deux points deE. On appelle segmentrABs l’ensemble des barycentres des pointsA

et B affect´es des masses positives.

Remarque. Quitte `a diviser par la masse totale pour avoir une nouvelle masse totale de1, on peut dire que les points du segmentrABssont les barycentres des syst`emes :

tpA, tq,pB,1tqupour tP r0,1s

D´efinition. Une partie X de E est diteconvexe si et ssi :

@A, B PX, rA, Bs €X Exemple.

26.1SoitEetFdeuxespacesvectorielssurK.LeproduitEF estmunid’uneloidecompositioninterned´efiniepar: px,yqpx1 ,y1 qpxx1 ,yy1 q etd’uneloidecompositionexterne: KEFÑEF pλ,px,yqqÞÑpλx,λyq D´emontrerquepEF,,qestunespacevectorielsurK.ev_1.tex 26.2OnmunitC2 desloisd´efiniespar: pa,bqpa1 ,b1 qpaa1 ,bb1 q λpa,bqpλa,0q pC2 ,,qest-ilunespacevectoriel?ev_2.tex 26.3SoitEunespacevectorielsurR.Montrerqueleproduit cart´esienEE,munideslois: px,yqpx1 ,y1 qpxx1 ,yy1 q paibqpx,yqpaxby,aybxqpa,bPRq estunespacevectorielsurC,appel´elecomplexifi´edeE.ev_24.tex 26.4Onconsid`ereERR l’espacevectorielsurRconstitu´edes fonctionsdeRÑR.Lessous-ensemblessuivantssont-ilsdessous- espacesvectorielsdeE? (a)F1tfPEt.q.fp2q0u (b)F2tfPEt.q.fp0q2u (c)F3tfPEt.q.@xPRfpxqfp5xqu (d)F4tfPEt.q.fd´erivableen1etf1 p1q0u (e)F5tfPEt.q.fp1qf2 p2q0u ev_6.tex 26.5ParmislespartiesdeR2 suivantes,quelssontlessous-espaces vectoriels? (a)tpx,yqt.q.xy0u (b)tpx,yqt.q.xy1u (c)tpx,yqt.q.xy¥0u (d)tpx,yqt.q.x0u (e)tpx,yqt.q.x¤yu (f)tpx,yqt.q.2x3y0u ev_21.tex 26.6ParmislespartiesdeRN suivantes,quelssontlessous-espaces vectoriels? (a)L’ensembledessuitescroissantes (b)L’ensembledessuitesmonotones (c)L’ensembledessuitesborn´ees (d)L’ensembledessuitesg´eom´etriques (e)L’ensembledessuitesarithm´etiques (f)L’ensembledessuitesconvergeantvers0 (g)L’ensembledessuitespunqnPNtellesque: @n,un23un12un ev_22.tex 26.7ParmislespartiesdeRR suivantes,quelssontlessous-espaces vectoriels? (a)L’ensembledesfonctionspositives (b)L’ensembledesfonctionscontinues (c)L’ensembledesfonctionsp´eriodiques (d)L’ensembledesfonctionss’annulanten0 (e)L’ensembledesfonctionsquisontdiff´erencededeuxfonctions croissantes (f)L’ensembledesfonctions`asupportborn´e(i.e.nulleendehors d’unsegment).

ev_23.tex 26.8Onconsid`ereEFpra,bs,RqRra,bs l’espacevectorielbien connu,etlesensembles(notations´evidentes) Dpra,bs,RqC0 pra,bs,RqCn pra,bs,RqC8 pra,bs,Rq MontrerquecesontdesespacesvectorielssurR,etdonnerlesliens d’inclusion.ev_9.tex 26.9SoitEunensemble,KRouC,Hl’ensembledesapplica- tionsdeEdansKquisontnullessaufpourunnombrefinid’´el´ements deE.MontrerqueH,munidesloisusuelles,estunespacevectoriel surK.ev_10.tex 26.10L’uniondedeuxsous-espacesvectorielsest-elleunsous- espacevectoriel?Etsil’unestinclusdansl’autre?ev_11.tex 26.11SoitEunespacevectorielsurKetA,B,Ctroissous-espaces vectorielsdeEtelsque: # EA`B A€C MontrerqueCA`pBXCq.ev_20.tex 26.12SoitER3 espacevectorielsurR.Notonsup1,1,1q. OnposeFtpx,y,zqPR3 t.q.xyz0uetGVectpuq tαu,αPRu.MontrerqueFetGsontdessous-espacesvectoriels suppl´ementairesdeE.ev_12.tex 26.13Dansl’espacevectorielRN ,onconsid`ere: EtpunqnPNt.q.@nPN,un3un2un1un0u E1tpunqnPNt.q.@nPN,un1un0u E2tpunqnPNt.q.@nPN,un22un1un0u D´emontrerqueE,E1,E2sontdessous-espacesvectorielsdeRN etque EE1`E2.ev_13.tex 26.14SoitEunespacevectorielsurK,F,GetHdessous-espaces vectorielsdeE.Onsupposeque FXGFXH,FGFHetG€H D´emontrerqueGHev_14.tex 26.15SoitEunespacevectorielsurK,E1,E2etE3troissous- espacesvectorielsdeE.D´emontrerque E1€E3ùñE1pE2XE3qpE1E2qXE3 ev_15.tex 26.16Dansl’espacevectorielRR ,onconsid`erel’ensembleIdesap- plicationsimpairesetl’ensemblesPdesapplicationspaires.D´emontrer quecesontdeuxsous-espacesvectorielsdeRR quisontsuppl´ementaires dansRR .ev_16.tex 26.17DansR2rXsespacevectorielsurR,montrerquelesdeux ensemblesFVectpXpX1q;XqetGVectpX2 4qsontsuppl´e- mentaires.ev_17.tex 26.18DansR4 ,onconsid`ereEVectpv1,v2,v3qo`u: v1p0,1,2,0q v2p1,0,0,1q v3p1,1,0,1q (a)Soitwp4,1,2,0q.Est-cequewPE? (b)Donnerv1commecombinaisonlin´eairedew,v2etv3. (c)SoitxPR4 rE,pλ,µqPRR .Est-cequeλwµxPE? ev_25.tex 26.19SoitEunespaceaffinededirectionE.SoitFetGdeux sous-espacesaffinesdeE,dontlesdirectionsv´erifientFGE. (a)MontrerqueFXG∅. (b)Pr´eciserlanaturedeFXGlorsqueF`GE. (c)D´emontrerquedeuxhyperplansdisjointssontparall`eles.

ev_26.tex 26.20SoitC1etC2deuxpartiesconvexesd’unR-e.v.E.Montrer quel’ensembleCform´edesmilieuxdesvecteursu1etu2,avecu1PC1 etu2PC2estconvexe.ev_32.tex

26.21SoitVetWdeuxsous-espacesaffinesdisjointsd’unR-e.v. E.Montrerqu’ilexistedeuxsous-espacesaffinesV1 etW1 disjointset demˆemedirection,contenantrespectivementVetW.ev_33.tex 26.22SoitVaFetWbGdeuxsous-espacesaffinesd’un R-e.v.E.MontrerqueVXW∅ðñbaPFG.ev_34.tex