4BIM INSA - Module BPM Examen Ecrit Mardi 31 janvier 2006
Eléments de correction
1 L’équation de Ricker
nt+1=nter(1−ntK)
1.1
Les points d’équilibre sontn?1= 0et n?2=K.
1.2
Soitf(n) =ner(1−Kn). La dérivée de cette fonction s’écrit : df
dn =er(1−Kn)(1−rn K) Pour le premier point d’équilibre, on obtient :
df dn
¯¯
¯¯
n?1=0
=er
Cette expression est>1 carr >0, doncn?1 est instable.
Pour le second point d’équilibre, on obtient : df
dn
¯¯
¯¯
n?2=K
= 1−r
n?2 sera asymptotiquement stable si|1−r|<1, soit0< r <2. Sir >2alorsn?2est instable.
1.3
Sir= 2, alors :
df dn
¯¯
¯¯
n?2=K
=−1
On ne peut donc pas conclure quant à la stabilité, il faut calculer les dérivées seconde et troisième :
d2n
dt2 = (−Kr)er(1−Kn)(2−rnK)
d3n
dt3 = (−Kr)2er(1−Kn)(3−rnK)
En calculant ces deux expressions au point n?2 =K et en remplaçant r par 2, on obtient :
d2n dt2
¯¯
¯n?2=K = (−Kr)(2−2) = 0
d3n dt3
¯¯
¯n?2=K = (−Kr)2(3−2) = K42
Ainsi
−3 d3n dt3
¯¯
¯¯
n?2=K
−2[d2n dt2
¯¯
¯¯
n?2=K
]2=− 8 K2 <0
Le point d’équilibre n?2=Kest donc asymptotiquement stable lorsque r= 2.
1.4
Avecn0= 1,K= 10etr= 0.8, on obtient :
Avecn0= 1,K= 10etr= 1.7, on obtient :
1.5
Avec un fichier de données expérimentales de la forme(t, nt), on peut utiliser la procédure suivante pour estimer facilementret K:
nt+1
nt =er(1−ntK) lnnnt+1
t =r(1−nKt) lnnnt+1
t =r−rnKt) Ainsi, en représentantlnnnt+1
t en fonction dent, on doit obtenir une droite d’ordon- née à l’origine ret de pente−Kr.
2 L’écureuil terrestre
2.1
2.2
L=
F1 F2 F3
P1 0 0
0 P2 P3
2.3
Dans l’habitat Pelouse, la population croît sur les deux périodes, par contre, l’élimination de 60% de la population est bénéfique avec un gain de croissance de (1.28−1.051.05 ) = 0.22, soit 22%.
Dans l’habitat Hors Pelouse, avant 68, la population était menacée d’extinction (λ <1) ; par contre, le retrait de plus de la moitié des individus relance la dynamique (λ >1).
Dans ces deux habitats, on peut supposer que les paramètres démographiques sont très densité-dépendants, ce qui explique le regain croissance à partir de 68. Ce constat ne s’applique dans le cas de l’habitat Frontière pour lequel la dynamique reste inchangée entre les deux périodes.
2.4
L1=
0.572 1.197 0.87
0.292 0 0
0 0.438 0.32
D’après le tableau λ1 = 1.05. Les vecteurs à droite et à gauche de L associés à λ1 sont W1 = (0.69,0.19,0.12)T (après normalisation en pourcentage) et V1 = (1,1.64,1.20)T (en prenant soin de mettre la première coordonnée à 1) respective- ment.
On obtient les graphiques suivants : Ainsi, en régime asymptotique la population
est constituée principalement de nouveaux-nés (69%), alors que ce sont les indivi- dus jeunes qui participent le plus au devenir futur de la population (plus grande valeur reproductive). C’est un schéma de fonctionnement classique pour une popu- lation suivant une stratégie de type III, beaucoup de jeunes mais un forte mortalité infantile (P1= 0.292).
2.5
S1=
0.60 0.17 0.10 0.99 0 0
0 0.20 0.12
Tous les coefficients de S ne sont en théorie pas nuls, mais n’ont de sens qu les valeurs correspondant à des coefficients dans la matrice de Leslie.
E1=
0.33 0.19 0.08 0.28 0 0
0 0.08 0.04
On constate que ce sont les paramètres de la première classe d’âge qui ont le plus d’influence surλ1, ce qui nous conforte dans l’idée d’une population avec une stra- tégie de type III.
2.6
Cette question état mal posée (mea culpa) car il fallait lire en fait "Quel sens donnez-vous à la grandeur ∂a∂λ
ij
¯¯
¯[(A(1968−1970)+A(1964−1967))/2]" ? Ainsi, on peut com- prendre que £¡
A(1968−1970)+A(1964−1967)¢±
2¤
correspond à la matrice de Leslie
moyenne sur les deux périodes, et que notre expression donne les sensibilités d’unλ moyen pour les deux périodes sous l’influence des variations des paramètres autour d’une valeur moyenne sur les deux périodes.
2.7
Les trois graphiques représentent donne les valeurs de ∆λ pour chaque para- mètre, dans les trois habitats et pour chaque classe d’âge. Pour donner une réponse à cette question, je me permet de citer partiellement Fabien SUBTIL (4BIM, 2005- 2006) ; mes propre commentaires sont entre crochets.
"On peut tout d’abord constater [qu’en] fonction de l’habitat, on n’observe pas la même influence [de la réduction de densité entre 67 et 68]." je rajoute qu’il faut regarder ces graphes en faisant attention au fait que les échelles ne sont pas les mêmes.
Habitat Pelouse. La survie [des] nouveaux-nés est très [à modérer] influencée.
Quant à la fécondité, l’influence du changement est ici à peu près la même [quelle que soit la classe d’âge], et [proche de 0].
Habitat Hors-Pelouse. La survie et surtout le fécondité des nouveaux-né [sont]
très influencée ; par contre [pour] les autres classes d’âge [fécondité et survie] ne sont pratiquement pas touchées.
Habitat Frontière. Si dans tous les autres cas, l’influence de la réduction de la po- pulation est positive pour la survie et la fécondité, elle est dans ce cas négative pour les nouveaux-nés, et un peu positive pour les jeunes. On a donc une compensation, qui explique[rait] peut-être pourquoi [la valeur de]λreste inchangée.
[Quels que soient] les cas, la réduction de la population influe dans l’ensemble plus sur les propriétés d’un classe d’âge, et ce sont globalement les nouveaux-nés qui sont les plus touchés".
C’est une façon de répondre à la question, d’autres interprétations sont toujours possibles.
