4ème Contrôle Exercice 1 :

4ème

Contrôle

Exercice 1 : Réduire les expressions suivantes (priorité à la multiplication sur l’addition) 7 4 2 3 5 7 2

A  a a  b b a B4a2c    5c c 8c 3c 5a 4 3 2 2 7 7 4 3

C a b c c    b c a ^{D 8c 7a7a   4 7}



^3a



^{ c 5a}

Exercice 2 : Factoriser au maximum les expressions suivantes (écrire toutes les étapes intermédiaires) :

3 5 2

60 24 36

A x  x  x B78x²54x⁷42x⁵

5 3 2 7 4 4

42 30 18

C x y  x y  x y D45x y z^{4 7 2}30x y z^{3 4} 15x y^{3 3}



^{3 2}



⁵

 

^{3 2}



^{7 4}



E  x   x x  x ^F



^{7 4 x}



^{x  4}

 

^{x 4 7 3}



^{ x}





^{5 2}



⁵

 

^{5 2}



G  x   x x ^{H }



^{7 9 x}



^{1 x}

 

^{3 7 9 x}





²



^{2 3 2}

 

I  x  x

Exercice 3 : Développer et réduire au maximum les expressions suivantes (étapes intermédiaires) :

 

2 7 4

A x  x ^{B  }



^{3x 7}

 

^3



^{4 3 3}



⁵



C a a ^D



^{3a2 4}



^a7





⁴



^{5 2}



E  x   x ^{F }



^2a3b



^3b3a



Exercice 4 : On considère l’expression A suivante :

       

3 7 5 4 6 2 4 1

A x  x  x  x

1) Sans développer cette expression, calculer la valeur prise par A lorsque : x = – 3.

2) Développer et réduire A.

3) Calculer à nouveau A avec cette forme développée et réduite pour la valeur x = – 3.

4) Comparer les résultats obtenus aux questions 1 et 3

Exercice 5 : Développer, réduire et valider le résultat pour les expressions suivantes :

     

7 2 2 9 5

A    a a   b

       

15 7 9 17 12 9 6 2

B     b a       b a 

Exercice 6 :

1) Développer puis réduire l’expression suivante



^x4

 

^{2 x 2}



^x8



2) En déduire un mode de calcul rapide et astucieux de l'expression : 9996² - 9998  9992, puis la calculer.

La Providence - Montpellier

CORRIGE – M. QUET

Exercice 1 : Réduire les expressions suivantes (priorité à la multiplication sur l’addition) 7 4 2 3 5 7 2

A  a a  b b a B4a2c    5c c 8c 3c 5a 7 4 6 5 14

A  a ab  ab B8ac   5c c 8c 15ac 2 4 8

A  a ab B2c7ac

4 3 2 2 7 7 4 3

C a b c c    b c a ^{D 8c 7a7a   4 7}



^3a



^{ c 5a}

24 2 7 84

C abc c  abc D56ac7a 4 21ac5a

60 2 7

C  abc c D35ac2a4

Exercice 2 : Factoriser au maximum les expressions suivantes (écrire toutes les étapes intermédiaires) :

 

3 5 2 2 2 3 2 2 3

60 24 36 12 5 12 2 12 3 12 5 2 3

A x  x  x  x  x x  x  x   x x x 

 

2 7 5 2 2 5 2 3 2 5 3

78 54 42 6 13 6 9 6 7 6 13 9 7

B x  x  x  x   x  x  x  x  x  x  x

 

5 3 2 7 4 4 2 3 3 2 3 4 2 3 2 2 3 3 4 2

42 30 18 6 7 6 5 6 3 6 7 5 3

C x y  x y  x y  x y  x  x y  y  x y  x y x y x  y  x y

 

4 7 2 3 4 3 3 3 3 4 2 3 3 3 3 3 3 4 2

45 30 15 15 3 15 2 15 1 15 3 2 1

D x y z  x y z x y  x y  xy z  x y  yz x y   x y xy z  yz



^{3 2}



⁵

 

^{3 2}



^{7 4}

 

^{3 2}

 

⁵

 

^{7 4}

 

^{3 2}

 

^{5 7 4}

 

^{3 2}



^{3 2}



E  x   x x  x   x    x x   x   x x   x x



^{7 4}



⁴

 

^{4 7 3}

  

⁴

 

^{7 4}

 

^{7 3}

 

^{4 7 4}

 

^{7 3}

 

⁴



⁷



F  x x  x  x  x   x   x  x  x  x  x  x



^{5 2}



⁵

 

^{5 2}

 

^{5 2}



⁵

 

^{5 2}



¹



^{5 2}

 

⁵



¹

G  x   x x   x   x x    x   x 



^{5 2}

 

^{5 1}

 

^{5 2}



⁴



G  x    x x x



^{7 9}



¹

 

^{3 7 9}

 

^{7 9}

 

¹



³



^{7 9}

 

^{1 3}

 

^{7 9}



²



H  x  x  x   x   x   x   x  x x



²



^{2 3 2}

  

²



²

 

^{3 2}

 

²

 

²



³



²

 

^{2 3}

 

²



⁵



I  x  x  x  x x  x   x  x   x x x

Exercice 3 : Développer et réduire au maximum les expressions suivantes (étapes intermédiaires) :

 

²

2 7 4 2 7 2 4 14 8

A x  x  x  x x x x



^{3 7}

 

^{3 3}

 

^{3 7}

 

^{3 9 21}

B  x         x x



^{4 3 3}



⁵



^{4 3 4 5 3 3 3 5 12 2 20 9 15 12 2 29 15}

C a a  a a a   a   a  a a  a  a



^{3 2 4}



⁷



^{3 4 3 7 2 4 2 7 12 2 21 8 14 12 2 29 14}

D a a  a a   a a   a  a a  a  a



⁴



^{5 2}



^{5 2 4 5 4 2 5 2 2 20 8 2 2 13 20}

E  x   x    x x x    x x x   x x  x



^{2 3}



^{3 3}



^{2 3 2 3 3 3 3 3 6 6 2 9 2 9 6 2 3 9 2}

F a b b a  a b a a   b b b a ab a  b  ab  a  ab b

Exercice 4 : On considère l’expression A suivante : ^A3



^{x 7}

 

^{5 x 4}

 

^{6 x 2}

 

^{4 x1}



5) Si x = – 3 : ^A3



^{x 7}

 

^{5 x 4}

 

^{6 x 2}

 

^{4 x}            ¹

 

^{3 3 7}

 

^{5 3 4}

 

^{6 3 2}

 

^{4 3 1}



A ³



¹⁰

      

        ^{5 7 6 5 4 4} 30 35 30 16   19

6) ^A3



^{x 7}

 

^{5 x 4}

 

^{6 x 2}

 

^{4 x}                ¹



^{3 x 3 7 5 x 5 4 6 x 6 2 4 x 4 1}

3 21 5 20 6 12 4 4 2 25 A x  x  x  x   x

7) Si x = – 3 : ^{A  2x 25    2}

 

^{3 25 6 25 19}

8) Les deux résultats sont identiques : ces deux formes d’écriture de l’expression A sont égales.

Exercice 5 : Développer, réduire et valider le résultat pour les expressions suivantes :

             

7 2 2 9 5 7 2 2 9 5 7 2 9 5

A    a a                 b a a b a b

7 2 9 5 2 7

A  a   b a b 

VERIFICATION : On compare les deux expressions de A pour les valeurs a = 2 et b = 5 : (on prend a = 2 car (2 – a) = 0 et on prend b = 5 car (b – 5) = 0 )(Soyez astucieux/euses)

^{A 7} 



^{2  a}

 

^{2 a}



^9^{   }



^{b 5}



⁷ 



^{2 2   }

 

^{2 2}



⁹        



^{5 5}



⁷



^{4 9}



^{7 5 2}

A2a b         7 2 2 5 7 4 5 7 2

 résultats identiques : le résultat a de très fortes chances d’être correct.

           

15 7 9 17 12 9 6 2 15 7 9 17 12 9 6 2

B     b a       b a      b a     b a

   

15 15 15 2 15 15 15 2 15

B    a b  b a       a b b a a

VERIFICATION : On compare les deux expressions de B pour les valeurs a = –3 et b = 7 :

^B15



^{7 7    }



⁹



^{3 17}



^¹²     



^{9 7}

 

^{6 2}

 

³



^¹⁵    ⁹



²⁰



   ¹²

 

² ¹² B a 15  3 15 12

 résultats identiques : le résultat a de très fortes chances d’être correct.

Exercice 6 :

1)



^x4

 

^{2 x 2}



^{x 8}

 

^x4



^{x  4}

 

^{x 2}



^x8



 

4 4 4 4 8 2 2 8

x x x x x x x x

               

 

2 2

4 4 16 8 2 16

x x x x x x

       

2 2

4 4 16 8 2 16

x x x x x x

       

2 2

4 4 8 2 16 16

x x x x x x

       

2x

2) Pour calculer 9996² - 9998  9992, on remarque que dans l’expression de départ précédente :



^x4

 

^{2 x 2}



^x8



si l’on prend pour valeur de x le nombre 10 000, alors :



x⁴

 

² x ²



x ⁸

 

^{10000 4}

 

² 10000 2 10000 8



 



9996²9998 9992 Or d’après la première question, pour toute valeur de x, on a :



^x4

 

^{2 x 2}



^{x 8}



^2x

Donc pour la valeur x = 10 000 , on obtient : 999629998 9992  2 1000020000