ÉCS2
Autour des sommes de Riemann
–Petit rappel.
Rappeler le théorème sur les sommes de Riemann.
Exercice1. Quelques exemples "basiques".
Les sommes suivantes sont définies pourn∈N∗. Pour chacune d’elles, montrer que(Sn)n∈
N∗ converge et préciser sa limite.
1. Sn=
n
X
k=1
k2010
n2011. 2. Sn =
n
X
k=1
1
n+k. 3. Sn=
n
X
k=1
n n2+k2.
Exercice2. Autour de la série harmonique.
Pour toutndeN∗, on considèreSn=
n
X
k=1
1
k etTn= S2n−Sn. 1. Rappeler la valeur de lim
n→+∞Sn. 2. a)Justifier que :∀k∈N∗, 1
k+ 1 6ln(k+ 1)−ln(k)6 1 k. b)En déduire :∀n∈N∗, ln(n+ 1)6Sn6ln(n+ 1) + 1− 1
n+ 1. c) Justifier que :Sn ∼
n→+∞ln(n).
d)Peut-on en déduire le comportement deTn lorsquentend vers+∞.
3. a)Montrer qu’il existe une fonction f continue sur[ 0 ; 1 ]telle que, pour tout ndeN∗,
Tn= 1 n
n
X
k=1
f k
n
.
b)En déduire la convergence et la limite de(Tn)n>1.
Exercice3. Stirling light ... du côté des intégrales impropres.
Pourn∈N∗, on poseun= 1 n
n
X
k=1
lnk n. 1. Montrer que l’intégrale
Z 1
0
lnxdxexiste et la calculer.
2. Montrer que, pourk∈[[1 ;n]], 1 nln k
n 6 Z k+1n
k n
lnxdx6 1
nlnk+ 1 n . 3. En déduire un encadrement deun.
4. En déduire que lim
n→+∞un =−1.
5. Montrer queln(n!) ∼
n→+∞nlnnpuis queln(n!) =nlnn−n+o(n).
6. Ce développement est-il compatible avec la formule de Stirling ?
Lycée HenriPoincaré 1/1 lo
