Mathématiques pour les Sciences (L1-S1-MPI) Corrigé de l'examen du 14 juin 2010 - SESSION 2 Solution de l'exercice 1. A l'aide du polynôme caractéristique :det(A−λI) = det
µ−4−λ 3
−2 1−λ
¶
= λ2 + 3λ+ 2. on trouve deux racines distinctes : λ1 = −1, λ2 = −2. On calcule des noyaux et trouve des vecteurs propresv1 = (1,1)etv2= (3,2)(ou des vecteurs proportionnels à ceux-ci).
Solution de l'exercice 2. (a) On a à l'ordre 4 :
f(x) = (1−x2/2 +x4/24 +o(x4))2= 1−x2+1
3x4+o(x4), g(x) = (2x−8x3/6 +o(x5))(1−x2/2 +o(x3)) = 2x−7
3x3+o(x4). , (b) En utilisant des développements limités, on obtient
x→0lim
sinx−x x3 = lim
x→0x−3
³ x−x3
6 +o(x4)−x
´
=−1 6,
x→0lim
excos(2x)−(x+ 1) cos(x)−1 = lim
x→0
¡1 +x+x22 +o(x2)¢ ¡
1−(2x)2/2 +o(x3)¢
−1−x 1−x2/2 +o(x2)−1
= lim
x→0
−2x2+x2/2
−x2/2 = 3.
Solution de l'exercice 3. :
Pour que l'on puisse multiplier 2 matrices, le nombre de colonnes de celle de gauche doit être égal à celui des lignes de celle de droite. Ce n'est pas le cas deA·B, donc produit impossible. Pour les autres, on a :
A·tA=
µ14 5 5 5
¶
, tA·B=
0 0 1 0 2 0
, B2= µ0 0
0 0
¶
d'où (A·tA·B)(B·A·tA) =A·tA·(B2)·A·tA= µ0 0
0 0
¶
Solution de l'exercice 4. ~n= (2,4)est un vecteur normal à la droite. M = (1; 1) appartient à la droite. SoitQ la projection en question. Alors
QP−→ =~n ~n·M P−→
~n·~n = µ2
4
¶ (2,4)·(4−1,5−1) (2,4)·(2,4) =
µ2 4
¶ 22 20 =
µ2.2 4.4
¶
d'oùQ= (−2.2; 5−4.4) = (1.8; 0.6). La distance est |QP−→|=√ 20 1110.
Solution de l'exercice 5. On note (Pn) la propriété que la formule donnée soit vraie. Nous allons établir (Pn) par récurrence. Pour n= 1, on a bien que P1
k=1(k2+ 1) = (1 + 1) = 2 = 13 +12 + 76 = 2+3+76 . Supposons que (Pn−1) est vraie pour n≥2. Alors
Xn
k=1
(k2+ 1) =
n−1X
k=1
(k2+ 1) +n2+ 1 = (n−1)3
3 +(n−1)2
2 +7(n−1)
6 +n2+ 1
= n3−3n2+ 3n−1
3 +n2−2n+ 1
2 +7(n−1)
6 +n2+ 1 = n3 3 +n2
2 +7n 6 . Par le principe de récurrence, la propriété (Pn) est démontrée.
