Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3
UE LM364 Intégration 1 Année 2009-2010
Examen final du 26 janvier 2010 (2ème session)
Durée 2 heures.
Documents et calculatrices interdits.
Consignes et conventions
Le sujet est composé de deux parties. La partie I comprend deux exercices pour lesquels la présentation et la qualité de la rédaction compteront. La partie II est un QCM. Elle comporte unnuméro, à reporter en tête de votre copie. Le questionnaire est à rendre à l’intérieur de votre copie.
Voici un barèmeindicatif et approximatif qui n’engage pas vos enseignants : Partie I : 35 points ; partie II : 35 points ; appréciation d’ensemble : 5 points.
Le QCM comporte 36 assertions réparties sur 8 exercices. Dans la grille des réponses,entourer chaque item qui correspond à une assertion qui estnécessairement vraie etrayer chaque item qui correspond à une assertion qui n’est pas nécessairement vraie. Ne rien marquer lorsqu’un item ne correspond à aucune assertion.
Un item correctement marqué apporte un point, un item incorrectement marqué retire un point, un item non marqué est ignoré. Cependant, une note négative pour la partie II sera ramenée à zéro.
Le marquage de la grille des réponses doit être très net et ne comporter aucune ambiguïté.
Voici un exemple.
1 Six= 5 etf:R→R, alors a 0< x
b x= 2 + 8 c 2x−2 =x+ 3 d f(2x)≥2f(x) + 1
Réponses
1 a b/ c d/ e
* * *
Dans toute la suite,(E,A, µ)désignera un espace mesuré quelconque. LorsqueEestRou un intervalle de R, on supposera, si aucune mention contraire n’est faite, que A est sa tribu de Borel B(E) et on désignera alors parλla mesure de Lebesgue sur (E,B(E)).
Pour tout pointx∈E,δx désigne la mesure de Dirac en x.
La partie entière du réelx sera notésbxc.
On rappelle qu’un intervalle deRn’est pas forcément borné, que l’ensemble vide ainsi que les singletons sont des intervalles.
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Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3
UE LM364 Intégration 1 Année 2009-2010
Examen final du 26 janvier 2010 (2ème session) Partie I
Les deux exercices de cette parties sont à traiter.
Exercice 1.
a) Énoncer les résultats suivants, en choisissant pour chacun la version la plus simple lorsqu’il en existe plusieurs versions.
i) le théorème de la convergence monotone.
ii) le lemme de Fatou.
iii) le théorème de la convergence dominée.
iv) l’inégalité de Hölder.
b) Démontrer, au choix, un (exactement !) des quatre résultats mentionnés ci-dessus.
Exercice 2. On rappelle qu’une fonction à valeurs complexes est λ-intégrable si sa partie réelle et sa partie imaginaire le sont, et qu’alors l’intégrale de f, notée encore R
f dλ, est le nombre complexe ayantR
Re (f)dλ pour partie réelle et R
Im (f) dλpour partie imaginaire.
Soitg:R+×R+−→R définie pour toutt≥0parg(t,0) = 1et g(t, x) =e−tx sin(x)
x x >0.
a) Dire pourquoi pour tout t≥0, la fonction x7→g(t, x)est borélienne de R+ dansR. À partir de maintenant, on définit pour tout t >0
F(t) = Z
[0,+∞[
g(t, x) dλ(x) = Z
[0,+∞[
g(t,·)dλ.
b) Pour toutt≥0, on définit la fonctionht:R?+ −→Rparht(x) = ∂g
∂t(t, x).
i) Calculer ht(x) pour tous (t, x)∈R+×R?+.
ii) Caractériser les intervalles I pour lesquels la famille de fonctions (ht)t∈I est dominée par une fonction λ-intégrableH :R+−→Rque l’on précisera en fonction deI.
iii) Montrer queF est dérivable en tout t∈R?+.
c) On admettra ici que pour tout nombre complexeade partie réelle strictement négative, Z
[0,+∞[
eaxdλ(x) =−1 a. i) Calculer F0(t) pour toutt >0.
ii) Donner, en justifiant votre calcul,limt→+∞F(t).
iii) En déduire une expression pourF(t) dès que t >0.
iv) Que vautlimt→0+F(t)?
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