PC 1 & 2 - DEVOIR MAISON N◦1 - pour le 9/9/2019
Rd´esigne le corps des nombres r´eels etCle corps des nombres complexes.
M2(C) d´esigne l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre 2 `a coefficients dansC. On pose : I =
1 0
0 1
, J =
0 −1
1 0
, K =
0 i
i 0
etL=
−i 0
0 i
.
I. Etude d’une sym´etrie
On notera bien que dans toute cette partie,M2(C) est muni de sa structure de C-espace vectoriel.
PourA=
a b
c d
dansM2(C),on pose : σ(A) =
d −b
−c a
et τ(A) =a+d.
1. (a) Montrer que σ est une sym´etrie du C-espace vectorielM2(C).
(b) Etablir que (I, J, K, L) est une base duC-espace vectorielM2(C) puis donner la matrice de l’endomorphisme σ dans cette base.
2. On consid`ere Aet B dans M2(C).
(a) Montrer que : σ(AB) =σ(B)σ(A).
(b) Justifier l’´egalit´e : Aσ(A) = det(A)I.
(c) Montrer que si A est inversible alorsσ(A) l’est aussi.
Exprimer les matrices σ(A)−1 etσ(A−1) en fonction de A.
3. (a) V´erifier queτ est une forme lin´eaire sur leC-espace vectorielM2(C) (c’est-`a-dire une application lin´eaire de M2(C) dansC).
(b) Soit A dansM2(C).Exprimerσ(A) `a l’aide des matricesA, I et du complexeτ(A).
II. Les quaternions.
On notera bien que, dans toute cette partie, M2(C) est muni de sa structure de R-espace vectoriel.
A tout couple (z1, z2) de nombres complexes, on associe la matriceM(z1, z2) =
z1 −z2 z2 z1
.
On d´esigne parH l’ensemble des matrices deM2(C) de la forme M(z1, z2),le couple (z1, z2) d´ecrivant C2. 4. (a) Montrer que toute matrice deHs’´ecrit de mani`ere unique sous la formeαI+βJ+γK+δLo`uα, β, γ, δ
sont des r´eels.
(b) En d´eduire que H est un sous-espace vectoriel duR-espace vectorielM2(C).
Pr´eciser une base et la dimension duR-espace vectorielH.
(c) Montrer que H est stable pour le produit matriciel.
5. (a) V´erifier que : ∀A∈H, σ(A)∈H et det(A)∈R+.
(b) Montrer qu’une matrice non nulle de H est inversible et que son inverse est dans H.
6. Montrer que si deux entiers naturels peuvent tous deux s’´ecrire comme la somme de quatre carr´es d’entiers naturels alors il en est de mˆeme de leur produit.
On pourra exprimer det(M(z1, z2)) comme une somme de quatre carr´es de r´eels.
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pour le 8 (PC1) ou 9 (PC2) septembre 2021
PC 1 & 2 - Devoir maison de mathématiques n°1
III. Un produit scalaire et une projection orthogonale Pour A etB dansH,on pose : (A|B) = 1
4τ(Aσ(B) +Bσ(A)). 7. On consid`ere Aet B dans H.
(a) Prouver que (A|B)∈R. On pourra utiliser la questionI.3.b).
(b) Montrer que (A|A) = det(A).
(c) Etablir que (.|.) est un produit scalaire sur leR-espace vectorielH.
8. V´erifier que (I, J, K, L) est une base orthonormale de H.
9. On poseF ={A∈H / τ(A) = 0}.
(a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel du R-espace vectoriel H. En donner la dimension et une base.
(b) Montrer que : F⊥={αI, α ∈R}.
(c) On d´esigne parπ la projection orthogonale surF.
Montrer que : ∀A∈H, π(A) = 1
2(A−σ(A))
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