MPSI 15-16 Feuille n
o13 : Analyse asymptotique, DL
Du 14/12/15 au 06/01/16 Exercice 1. Déterminer les limites des suites de termes généraux :
1. 2n+n10 3n−n100 2. n
n 2n−1
n
3. sin(n) n 4. sin n3
sin n5
1 n− n13
2
5. cos 1n
−cos 2n 1−cos n1 6. n2+ ln (nn)
p(ln(n))n 7.
ln (1 +n) ln (n)
nln(n)
8.
n2+ 5n+ 4 n2−3n+ 7
n
9. 3n−2n 3n+ 2n 10.
1 + x n
n
11. 2n+(−1)nn2sinn1 12.
1 + 1
2sin(n) n1
13. nn+n!
(n+ 1)n+nn
14. 3 r 2
n4 + 1 n3 ln
1 + 2
n
15. n+ (−1)n n−(−1)n 16. √n
n2 17.
n
X
k=1
n n2+k 18. pn
banc oùa >0 Exercice 2. Déterminer un équivalent simple de un :
1. un=√
n+ 1−√ n−1
2. un= 1
n−1− 1 n+ 1
3. un =nsin 1
n2
4. un = tan π
3 + 1 n
5. un= ln(n+ 1)−ln(n) 6. un=
tan
π 3 + 1
n n
Exercice 3. Soit (un)n∈
N et (vn)n∈
N dans R∗+
N telles que un∼vn. A-t-on : 1. eun ∼evn
2. (un)n∼(vn)n
3. ln|un| ∼ln|vn| 4. sin (un)n∼sin (vn)n
5. √
un ∼√ vn 6. (un)n1 ∼(vn)n1 Exercice 4. Soit (un)n∈
N et (vn)n∈
N dans R∗+
N telles que un=◦(vn). A-t-on : 1. eun =◦(evn)
2. (un)n=◦((vn)n)
3. ln|un|=◦(ln|vn|) 4. sin (un)n=◦(sin (vn)n)
5. √
un =◦(√ vn) 6. (un)n1 =◦
(vn)1n
Exercice 5. 1. lim
x→0
x3
x−1 ×2x(1−x)1 2. lim
x→0
etan(x)−esin(x) tan(x)−sin(x)
3. lim
x→0 tan(x)×e1−cos(x)1 4. lim
|x|→+∞
ax+x2 2x+ (ln|x|)3
Exercice 6. 1. lim
x→2−
x−2
√2−x 2. lim
x→2
x3−8 x−2 3. lim
x→0
x4+ 2x2+ 3x 2x2−x
4. lim
x→+∞
√x2−4
√3
x2+ 1 5. lim
x→+∞
√x2+ 1−√
x2−1 6. lim
x→+∞x√
x2+ 1−x
7. lim
x→a
ax−xa logax−logxa 8. lim
x→a
m√
x− √m a x−a 9. lim
x→+∞
x−1−√
x2−2x+ 2
Exercice 7. 1. lim
x→0
(sinx)x−1 xx−x 2. lim
x→1(2x+ 3x−5)tanπ x2
3. lim
x→0
1
sin2x− 1 x2 4. lim
x→+∞x(1+2 ln1 x)
5. lim
x→+∞
a1x +b1x 2
!x
6. lim
x→0
1 + 2 cos3x−3√ cos 2x sin4x
1
Exercice 8. Donner un DL aux points et ordres voulus : 1. x2
sin2x en0 ordre 5 2. (chx)(1+sinx) en0 ordre 3 3. ecosx en 0ordre 7
4. sinx sh2x en0 ordre 5 5. q
1−√
1−x2 en0ordre 4 6. lnx
x2 en1 ordre 4
7. arctan
rx+ 1
x+ 2 en+∞ordre 3 8. ex−√
1 + 2x en 0ordre 5 Exercice 9. En utilisant des DL, donner les positions relatives au voisinage de 0 des courbes de : f1(x) = esinx , f2(x) = ecosxx , f3(x) = 3−2 1 +x3√
1−x et f4(x) = x sinx+x Exercice 10. Calculer un équivalent simple des expressions suivantes :
1. q x+√
x−√
x en+∞
2. px2+ 2x+ 3−(ax+b) en+∞
3. 1
cosx −tanx en π 2 4. 1−sinx+ cosx
sinx+ cosx−1 en π 2
5. x3+ 1−cosx
(x2−2x) tan (3x) en 0 6. tanx−sinx
ex−cosx en 0 7.
r x+
q x+√
x en+∞
8. √4
x4+ 1−x en+∞
9. sinx−x cosx ecosx−e en0 10. cos1x+x2sin1x en+∞
11. ln (cos 3x) sin2(2x) en 0 12. (1−ex) sinx
x2+x3 en0
Exercice 11. Montrer que la fonctionx→(1 +x)1x se prolonge par continuité en0et écrire son DL3(0). Exercice 12. 1. DL5(0):sin2x
2. DL5 en π
6 de sinx 3. DL3 en 0 de ex
√1 +x
4. DL1 en 1 de(1 + lnx)tan(πx2 ) 5. DLn en0 decos3x
6. DLG3 en0de ln (1 + cosx) tanx
7. DL2
en 1
x
en +∞ de
√3
x3+x2−√3
x3−x2
Exercice 13. Etudier les branches innies de x→ x2
x+ 4arcsin
r x 2x+ 6 Exercice 14. 1. Montrer que : ∀n ∈N∗,∃!xn ∈i
nπ, nπ+ π 2
h
|xnsinxn|= 1 2. Développement asymptotique de xn à la précision 1
n2
Exercice 15. 1. Montrer que : ∀n ∈N∗, n>2,∃!xn ∈]n+ 1, n+ 2[
(xn−n) ln(n) =xn ln (xn−n) 2. Montrer que xn−n−1∼ ln(n)
n
Exercice 16. 1. Montrer que : ∀n ∈N∗,∃!xn ∈i
nπ, nπ+ π 2
h
tan (xn) = xn 2. Développement asymptotique de xn à la précision 1
n2 quand n tend vers +∞
Exercice 17. Comportement en+∞ et en−∞ de la fonction dénie par f(x) = x
rx−1 x+ 1 Exercice 18. Comportement en+∞ et en−∞ de la fonction dénie par f(x) = 3
5x+4 5
p|4−x2|
Exercice 19. Comportement en+∞ et en−∞ de la fonction dénie par f(x) = x2 arctan 1
1−x
Exercice 20. Soitf :R→Rtelle quef(0) = 1 et, six6= 0,f(x) = (chx)x1 Montrer quef est de classe C1 surR. Etudier les variations de f. Tracer son graphe en précisant la position relative du graphe et de la tangente au point d'abscisse 0.
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