MPSI 15-16 Feuille n

MPSI 15-16 Feuille n

04 : Calcul de primitives

Du 29/09/15 au 02/10/15 Exercice 1. Déterminer les primitives des fonctions f dénies par f(x) = :

1. arcsin(x)

√1−x²

2. (e^x−1)²

3. 1

√1 +e^{x poseru=e}

x

4. sin³(x)

pcos(x) ^{poseru= cos(x)} 5.

p3

1 +√⁴

√ x

x ^poseru=

3

q 1 +√⁴

x

6. x²+ 1 x√

x⁴−x²+ 1 ^poseru=x−

1 x

Exercice 2. A l'aide d'intégration par parties, déterminer les primitives de : 1. x²−1

e^3x 2. x²−x+ 3

sin(x) 3. x³−1

ch(x) 4. x²+ 1

e^xcos(x)

5. (xsh(x))² 6. arcsin(x) 7. ln

x+√

1 +x²

8. ln x+√

x²−1

9. x³ln(x) (x⁴+ 1)² 10. x²ln x⁶ −1 11. ln(x²+ 1)

Exercice 3. Calculer les intégrales suivantes : 1. Z 0

−1

dt p1 +√

1 +t (poseru= q

1 +√ 1 +t ) 2. Z 1

0

(arcsint)²dt (poseru= arcsin(t) ) 3. Z ln(2)

0

√

e^t−1dt (poseru=e^t )

4. Z 1 0

1 +t²

arctantdt (IPP ) 5. Z 2

1

(lnt)²dt (poseru= ln(t) )

Exercice 4. Calculer les primitives de :

1. 1

x(x²+ 1)³ (poseru=x² puis transformer la fraction enA/u+B/(u+ 1) +C/(u+ 1)²+D/(u+ 1)³ ) 2. x³

x² + 2x+ 2 (transformer la fraction enAx+B+ (Cx+D)/(x²+ 2x+ 2) )

3. 1

(x+ 1)⁵−x⁵ −1 (transformer la fraction enA/x+B/(x+ 1) + (Cx+D)/(x²+x+ 1) ) Exercice 5. Trouver les primitives de :

1. sin⁴x 2. sin¹⁰x×cos³x 3. sin⁴3xcos²3x 4. sin 9xsinx

Exercice 6. Calculer les intégrales suivantes : 1. Z 2

1 2

x²+ 1 x²

arctanxdx

(poseru= 1 x )

2. Z 1 0

xarctanxdx

3. Z 1 0

arctanx 1 +x² dx

4. Z ^π₂

0

e^2xsinxdx (IPP) 5. Z ln 2

0

dx 5 shx−4 chx

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