MPSI 15-16 Feuille n

MPSI 15-16 Feuille n

09 : Suites numériques

Du 06/11/15 au 17/11/15 Exercice 1. Étudier :

1.

n

X

k=1

√ 1

n²+ 2k 2.

n

Y

k=1

1 + k

n

3.

n

Y

k=1

2k−1 2k

4.

n

X

k=1

1 k+n

5.

n

X

k=1

n k+n²

Exercice 2. Soient λ∈]0,1[et (u_n)_n∈

N telle que :0< u₀ < u₁ et∀n∈N, u_n+2 =u_n+1+λⁿu_n 1. Montrer que (u_n)_n∈

N est croissante 2. Montrer que : ∀a∈[0,1],1 +a6e^a

3. Établir : ∀n ∈N, u_n+2 6u_n+1(1 +λⁿ) 4. Conclure quant à la nature de (u_n)_n∈

N

Exercice 3. 1. Montrer : ∀x∈R⁺, x− x²

2 6ln(1 +x)6x 2. En déduire la nature de : u_n=

n

Y

k=1

1 + 1

n + k n²

Exercice 4. Montrer que : sin ∈N^∗, 1

n+ 1 6ln(n+1)−ln(n)6 1

n. Étudier :u_n= 1+1

2+· · ·+1

n−ln(n) Exercice 5. Soit les suites de terme général : u_n = 1 + 1

√2 +· · ·+ 1

√n et v_n = u_n

√n. Montrer que : un6√

n−1 +√

n. En déduire que la suite (vn)_n∈

N^∗ est croissante et converge.

Exercice 6. Soit : v₀ > u₀ > 0, u_n+1 = √

u_nv_n, v_n+1 = u_n+v_n

2 . Montrer que (u_n)_n∈

N est croissante, (vn)_n∈

N est décroissante et qu'elles ont la même limite l. Exercice 7. Soit : (u_n)_n∈

N une suite d'entiers. Montrer que : (u_n)_n∈

N converge ssi elle est stationnaire.

Exercice 8. Soit u_n =

n

X

k=0

1

k! et v_n = u_n + 1

n.n!. Étudier la convergence de ces suites et donner une valeur approchée à10⁻³ près de leur limite

Exercice 9. Montrer que, pour toutn ∈Nl'équation "xⁿ = 1−2x" possède une unique solution positive x_n. Étudier la convergence de la suite (x_n)_n∈

N. Exercice 10. Soit(u_n)_n∈

Ndénie par :u₀ =−1et :∀n ∈N, u_n+1 = u_n

3−2un. En considérantv_n = u_n−1 un , étudier la convergence de(u_n)_n∈

N

Exercice 11. Soit : v₀ > u₀ > 0, u_n+1 = u_n+v_n

2 , v_n+1 = √

u_n+1v_n. Montrer que les deux suites sont convergentes et ont la même limitel. Expliciterl en posant u₀ =v₀cos (φ)

Exercice 12. Étudier la suite (u_n)_n∈

N dénie par : u₀ = 1 et ∀n∈N, u_n+1 =√

2u_n+ 1 Exercice 13. Étudier les suites récurrentes dénies par u₀ et les relations de récurrence :

1

1. u₀ = 1 etu_n+1 = u_n 1 +u²_n 2. u₀ = 2 etu_n+1 = 1

2−√ u_n 3. u₀ = 1 etu_n+1 = 1

u_n+ 2

4. u₀ = 2 et u_n+1 = 1 3 +u_n 5. u₀ >0et u_n+1 =

ru²_n+ 7u_n 2 6. u₀ = π

4 etu_n+1 = 1−cos (u_n) Exercice 14. Montrer que les suites(u_n)_n∈

N et(v_n)_n∈

N sont adjacentes.

1. u_n=

2n+1

X

k=0

(−1)^k

(2k)! et v_n=u_n+ 1 (4n+ 4)!

2. un=

n

Y

k=1

1 + 1

k²

et vn=

1 + 1 n

un

3. u_n=

n−1

X

k=1

1

k²(k+ 1)² et v_n=u_n+ 1 3n²

Exercice 15. Théorême de Cesaro Soit(u_n)_n∈

N^∗ une suite réelle convergeant vers` ∈R. On désire établir que la suite (v_n)_n∈

N^∗ de terme général : v_n = u₁+u₂+· · ·+u_n

n converge aussi vers `. Soitε >0. 1. Justier qu'il existe n<sub>0</sub> ∈Ntel que pour tout n∈N, n > n<sub>0</sub> entraine|u<sub>n</sub>−`|6 ε

2 2. Etablir que, pour tout entier n > n₀, on a :

|v_n−`|6 |u<sub>1</sub>−`|+· · ·+|u_n0 −`|

n +n−n₀

n ε 2

3. En déduire qu'il existe n₁ ∈N tel que pour toutn ∈N,n > n₁ entraine |v_n−`|6ε

2