La conjecture de Parisi

(1)

1

La conjecture de Parisi

Pr´ esentation,

relecture de la d´ emonstration propos´ ee par M. Talagrand

M´emoire de DEA 2003–2004

Alain Camanes

Sous la direction de : Philippe Carmona

DEA de mod´elisation stochastique et statistique

Universit´e Paris-Sud bˆat. 425/430 91405, Orsay Cedex

(2)

0.1 Pr´esentation de la conjecture de Parisi . . . 3

0.1.1 Le mod`ele de Sherrington-Kirkpatrick . . . 3

0.1.2 L’´equation antiparabolique . . . 4

0.2 Propriétés des solutions de l’équation antiparabolique . . . 8

0.2.1 notations . . . 8

0.2.2 Pr´esentation de la conjecture de Parisi . . . 10

0.3 Etude de propri´et´es analytiques . . . 11

0.3.1 Formules de d´erivation . . . 12

0.3.2 Une d´erivation particuli`ere . . . 13

0.3.3 Bref rappel `a propos de convexit´e . . . 14

0.4 Bornes de Guerra et couplage . . . 14

0.4.1 Borne de Guerra . . . 14

0.4.2 Le couplage . . . 17

0.4.3 Int´egration par parties et couplage . . . 18

0.5 R´esultat pr´eliminaire . . . 22

0.5.1 Rappels et notations . . . 22

0.5.2 Utilisation de l’optimalit´e . . . 23

0.5.3 Théorème préliminaire . . . 23

0.6 La formule de Parisi . . . 26

2

(3)

0.1. PR ´ESENTATION DE LA CONJECTURE DE PARISI 3

Introduction

Durant ce stage de DEA, nous nous sommes propos´es de relire la d´emonstration de M.

Talagrand concernant la conjecture de G. Parisi. Nous allons dans un premier temps présenter le contexte de cette conjecture, à savoir comment elle est issue d’une question portant sur le comportement des verres de spin. Nous proposerons ensuite une relecture de la démonstration de M. Talagrand [3]. Nous avons opté pour une vision plus analytique du problème. Nous ne sommes toutefois pas parvenus à démontrer la conjecture avec le degré de généralité proposé dans [3].

0.1 Pr´ esentation de la conjecture de Parisi

0.1.1 Le mod`ele de Sherrington-Kirkpatrick

Nous nous intéressons aux verres de spin, c’est à dire à une collection finie de v.a.

indépendantes (les spins) dont le comportement statistique est régi par une certaine mesure de probabilité. Concrètement, nous nous réfèrerons souvent au modèle de Sherrington-Kirkpatrick. Les spins sont alors des v.a. à valeurs dans{−1,1}et l’énergie du système est donnée par l’Hamiltonien :

H(σ) =HN(σ) =− β

√ N−1

X

i<j

gijσiσj, (0.1.1) où σ = (σ1, . . . , σN) ∈ ΣN ={−1,1}^N désignent N variables aléatoires indépendantes et les (g_ij) sont des v.a. gaussiennes centrées réduites indépendantes.

Les variables gaussiennes traduisent l’intéraction entre les particules. Elles sont généralement appelées variables quenched. Nous appellerons espérance quenched, que nous noterons E, la moyenne prise par rapport à ces variables. La constante β est com- munément interprétée comme étant l’inverse de la température.

Remarque. On omettra `a l’avenir le signe ”−” qui n’a pas grande importance en ce qui concerne notre ´etude.

Nous voulons comprendre le comportement de ce système lorsque N → ∞, c’est ce que nous appellerons la limite thermodynamique du système. Cette étude a été largement développée dans le cas des hautes températures (i.e. lorsque β est petit). Talagrand propose de généraliser aux basses températures un des résultats obtenus (cf. [1]).

Etant donné un paramètreβ, nous considérons lamesure de Gibbs, notée : hfi= 1

Z_N X

σ∈Σ_N

f(σ) exp −βH_N(σ) , o`u Z_N =P

σexp −βH_N(σ)

est appel´eefonction de partition.

Nous ´etudierons ici la moyennequencheddu log de la fonction de partition. Nous noterons ainsi :

α_N(β) = 1

NE(logZ_N).

(4)

En physique, la quantitéFN(β) =−1/βlogZN est appeléeénergie libre.

Nous allons ´etudier la limite thermodynamique deα_N. Nous verrons ainsi que la conjecture de Parisi propose une expression de cette limite.

Bien que le modèle SK soit utile pour effectuer des calculs explicites, nous constaterons cependant par la suite que les résultats obtenus peuvent être étendus à des hamiltoniens plus généraux.

0.1.2 L’´equation antiparabolique

Dans cette partie, nous suivons la d´emarche propos´ee dans [2].

Pour mener notre ´etude, nous allons utiliser une fonction auxilliaire. Introduisons la quantit´e :

ψ_N(t) = 1 NE

"

log

*

cosh t

√ N

X

i

g_iσ_i

!+#

. (0.1.2)

On rappelle queh.idésigne la mesure de Gibbs. On relieψ_N(t) à α_N par la relation : Théorème 0.1.1. Pout toutβ,

(N + 1)α_N+1(β) = log 2 +N α_N β

rN −1 N

!

+N ψ_N(β) (0.1.3)

Nous allons utiliser ici une technique, qui sera développée dans les sections suivantes, qui permettant d’interpoler la valeur de α_N. Introduisons pour cela la quantité :

α_N(β, t) = 1 NE



logX

σ

exp





√ β N−1

X

i,j

g_ijσ_iσ_j+ t

√ N

X

i

g_iσ_i







.

Remarque. i. On v´erifie que : αN(β,0) =αN(β)

ii. Le résultat du théorème permet de transférer l’étude de la limite thermodyamique deα_N à celle de ψ_N.

Lemme 0.1.2. αN vérifie l’égalité suivante :

(N+ 1)α_N+1(β) = log 2 +N α_N β

rN −1 N , β

!

(0.1.4)

Démonstration. Pour démontrer ce lemme, on va utiliser l’indépendance des spins et des variables guenched. Certaines des égalités sont à comprendre en tant qu’égalités en loi.

(5)

0.1. PR ´ESENTATION DE LA CONJECTURE DE PARISI 5

X

σ1...σN

exp





√ β N−1

1...N

X

i,j

gijσiσj+ β

√ N

N

X

i=1

giσi





= 1 2

X

σ1...σNσN+1

exp





√ β N −1

1...N

X

i,j

gijσiσj+ β

√ N

N

X

i=1

giσi





= 1 2

X

σ1...σ_N

exp





√β N

1..N

X

i,j

gijσiσj+ β

√ N

N

X

i=1

giσiσN+1





= 1 2

X

σ1...σN+1

exp





√β N

1..N+1

X

i,j

g_ijσ_iσ_j





A la troisième égalité, nous avons utilisé l’égalité en loi de σi et σiσN+1 pour i 6=

N + 1.

Le théorème est alors obtenu en intégrant partiellement la formule (0.1.4) par rapport au spin σ_N+1.

Nous allons à présent étudier le comportement de ψ = ψ_N. Pour cela, établissons le théorème suivant :

Théorème 0.1.3. Etant donnée la fonctionnelle ψ(β) = 1

NElog

cosh( β

√ N

X

i

giσi)

, il existe pour tout β un param`etre

x: [0,1]3q →x(q)∈[0,1], tel que :

ψ(β) =f(0,0), o`uf(q, y) est solution de l’´equation antiparabolique :

∂qf +1

2(f⁰⁰+x(q)f⁰²) = 0.

avec la condition au bord :

f(1, y) = log cosh(βy).

Nous avons noté f⁰ (resp. f⁰⁰) la dérivée première (resp. seconde) de f par rapport au paramètrey.

Démonstration. Cette preuve permet de voir comment l’équation antiparabolique est obtenue à partir de la formule d’intégration par parties.

Soit une fonction f(q, y). Introduisons la fonctionφd´efinie sur [0,1] par : φ(q) = 1

NElog

expf(q, r q

N X

i

giσi)

= 1

NElog

e^f^e

(6)

La condition au bordf(1, y) = log cosh(βy) donne : φ(1) =ψ(β) φ(0) =f(0,0)

Nous allons montrer que sif est solution de l’équation antiparabolique,φest constante sur [0,1], ce qui nous donnera l’égalité désirée :ψ(β) =f(0,0).

Nous allons pour cela exhiber une équation différentielle vérifiée parφ.

d

dqexpfe= (∂_qfe)e^f^e+ 1 2√

N q X

i

g_iσ_ife⁰e^f^e. Soit

φ⁰(q) =E µ(∂e _qf) +e 1 2√

N q X

i

Eh

g_iµ(σe _ife⁰)i , o`uµ(g) =e ^hge^f^eⁱ

he^f^ei.

Nous allons maintenant utiliser la formule d’intégration par parties relative aux variables gaussiennes g_i (pour plus de détail, se reporter à la remarque (0.4.1)). En effet, nous avons :

∂

∂g_i expfe = r q

Nσife⁰expfe

∂

∂g_ife⁰ = r q

Nσife⁰⁰ Nous obtenons ainsi :

φ⁰(q) =E eµ

∂_qfe+1 2fe⁰⁰+ 1

2fe⁰²

− 1 2N

X

i

Eµe²(σ_ife⁰).

Donc, sif v´erifie l’´equation antiparabolique, avecx tel que (1−x(q))E µ(e fe⁰²)) = 1

N X

i

E eµ²(σ_ife⁰), on remarque queφ⁰(q) = 0. φne d´epend plus de q et alors

ψ(β) =φ(0) =φ(1) =f(0,0).

De plus, nous v´erifions que :

0≤eµ²(σife⁰)≤µ(e fe⁰²), ce qui assure :

0≤x(q)≤1.

(7)

0.1. PR ÉSENTATION DE LA CONJECTURE DE PARISI 7 La propriété intéressante de l’équation antiparabolique est que f est continue en x.

De la connaissance de f pour une fonction x en escalier, nous pourrons donc déduire la solution fede l’équation lorsque ex est continue. C’est cette propriété qui motive la démarche utilisée dans le reste du rapport.

Formalisons ce raisonnement :

Théorème 0.1.4. On note f(q, y;x, β) une solution de l’équation antiparabolique : (E)

(∂_qf+¹₂(f⁰⁰+x(q)(f⁰)²) = 0 f(1, y;x, β) = log cosh(βy) , o`uf⁰ =∂_yf. Alors

|f(q, y;x, β)−f(q, y;x, β)| ≤e β² 2

Z 1 q

|x(s)−ex(s)|ds.

On rappelle quex est une fonction croissante sur [0,1] telle quex(0) = 0, x(1) = 1.

Démonstration. ∗ A une fonction x donnée etf solution de (E), on associe l’opérateur Dφ=∂qφ+1

2φ⁰⁰+vφ, o`u l’on a not´e v(q, y) =x(q)f⁰(y)

On remarque queDf = ¹₂xf⁰². De plus, en notantf⁰ =βh, on a d

dy(E) =∂_qf⁰+ 1

2f⁰⁰⁰+xf⁰f⁰⁰= 0, i.e.Dh= 0.

NotonsX la solution de l’´equation diff´erentielle stochastique dXq=v(q, Xq)dq+dBq,

oùB désigne un mouvement brownien. On remarque que hX_ti=t D’après la formule d’Itô :

dh(t, X_t) = ∂h

∂y(t, X_t)B_t+Dhdt.

CommeDh= 0, h(q, Xq) est une martingale.

De plus,h est born´ee, car

|h(1, y)|=|1

βf⁰(1;y) = tanh(βy)| ≤1.

soit|h(t, y)|=|E_y[h(1, X_t)]| ≤1.

(8)

∗ Nous allons maintenant considérer deux fonctionsx,exet les opérateursD,De associés.

On remarque que

Dfe −Df = (ve−v)f⁰. En posant ˇD= ¹₂(D+D), on ae

D(fˇ −fe) = 1

2(Df−Defe+Dfe −Dfe)

= Df−Defe+1

2(ev−v)(f⁰−fe⁰)

= 1

2xf⁰²−1

2exfe⁰²+1

2(exfe⁰−xf⁰)(f⁰+fe⁰)

= 1

2(ex−x)fe⁰f⁰

Donc, comme |f⁰| ≤β d’après le point précédent, nous avons : D(fˇ −fe)≤ β²

2 |xe−x|.

Soit ˇX la solution de l’´equation diff´erentielle stochastique : dXˇ_q = ˇv(q,Xˇ_q)dq+dB_q. On poseMq = (f −fe)(q,Xˇq). On remarque que :

dM_q = martingale + ˇD(f−f)(q,e Xˇ_q)dq.

M est donc une vraie martingale. En effet, elle est born´ee car fe⁰ et f le sont par β.

Son crochet est alors majoré par 2βq. On peut alors lui appliquer le théorème d’arrêt ; 0 =E_y[M₁] =E_y[M_q] +E_y

Z 1 q

D(fˇ −fe)(q,Xˇ_q)dq.

On conclut en utilisant l’in´egalit´e obtenue dans le premier point.

Remarque. On sait résoudre l’équation (E) lorsque x = m01[q,1] est constante, ce qui motive notre démarche. En effet, il suffit de poserg= expm0f.gsatisfait alors l’équation de la chaleur ∂_qg+¹₂g⁰⁰= 0. Ce cas sera étudié plus en détail dans la partie suivante.

0.2 Propri´ et´ es des solutions de l’´ equation antiparabolique

0.2.1 notations

Soit un entierket des r´eels :

0 =m₀≤m₁ ≤. . .≤m_k= 1,

(9)

0.2. PROPRI ÉT ÉS DES SOLUTIONS DE L’ ÉQUATION ANTIPARABOLIQUE 9 0 =q0 ≤q1 ≤. . .≤qk ≤qk+1 = 1.

On notera par la suite m= (m₀, . . . , m_k) et q= (q₀, . . . , q_k+1).

On note x: [0,1]→Rla fonction de r´epartition constante par morceaux suivante : x(q) =ml sur [ql, ql+1[.

ξ désignera une fonction à valeurs réelles possédant les propriétés suivantes :

ξ(0) = 0, ξ⁰⁰(x)>0. (0.2.1) On consid`ere le changement de temps :

v(q) =ξ⁰(q).

On noteravl =ξ⁰(ql).

On note f(v, y;x, β) la solution de l’´equation : (E)

(∂_vf+¹₂(f⁰⁰+x(ξ⁰⁻¹)(f⁰)²) = 0 f(1, y;x, β) =f⁰(βy) , o`u nous avons not´e : f⁰⁰ =∂²_yf.

On remarque que la fonctiong_l: (v, y)→e^m^l^f satisfait l’´equation de la chaleur backward sur l’intervalle [v_l, v_l+1[ :

(H_l)

(∂vg_l+¹₂g_l⁰⁰= 0

gl(v⁻_l , y;x, β) =gl+1(v_l⁺, y;x, β)

ml

ml+1 .

La deuxième équation est une conséquence de la continuité def. La présence de ce saut conduit aux définitions par récurrence qui suivent.

Dans un souci de lisibilit´e, on n’´ecrira pas toujours par la suite toutes les variables qui entrent en compte.

Bv d´esigne un mouvement brownien et F_v^B =σ{B_s; 0≤s≤v}.

La fonction d´efinie ci-dessous est solution de (H_l) : (gk+1(1, y) = expf⁰(y)

g_l(v, y) =E[g_l(v_l+1, B_v_l+1)|B_v =y] v_l≤v≤v_l+1 (0.2.2) Remarque. Il pourra être intéressant de s’intéresser à d’autres formes de g :

∗ en utilisant l’esp´erance conditionnelle :

g_l(v, B_v) =E[g_l+1(v_l+1, B_v_l+1)|F_v^B].

∗ en utilisant le semi-groupe de la chaleurP_v :

g_l(v, y) =P_v_l+1−v_l[g_l(v_l+1, .)](y).

(10)

On peut ainsi d´efinir Fl =f(vl, Bl) par r´ecurrence :







F_k+1 =f⁰(y) F_l = _m¹

llogE[expm_lF_l+1|F_v^B

l], F₀ =E[F₁]

(0.2.3)

relation que l’on peut ´egalement ´ecrire : Fl= 1

m_llogPvl+1−vl[expmlf(vl+1, .)](Bvl). (0.2.4) On d´efinit les v.a. d’accroissement suivantes :

W_l= expm_l(F_l+1−F_l), T_l= exp−(m_l−m_l₁)F_l,

S_l=W₁. . . W_l, T =T₁. . . T_k=S_kexp−F_k+1. Remarque. i. W_l est F_v^B

l+1-mesurable.

ii. E[Wl|F_v^B

l] = 1, soit

E[W_l. . . W_k|F_v^B

l] = E

W_l. . . Wk−1E[W_k|F_v^B

k] F_v^B

l

= · · ·

= 1.

Remarque. Dans le cas oùy∈Rⁿ, ces résultats sont généralisables. L’équation (E) s’écrit alors :

∂vf +1

2(∆f+x(ξ⁰⁻¹)|∇f|²) = 0.

Bd´esignera alors un mouvement brownien n-dimensionnel et les r´esultats que nous allons

établir dans le cadre de la dimension 1 sont généralisables.

0.2.2 Pr´esentation de la conjecture de Parisi

Nous allons maintenant nous int´eresser `a la conjecture de Parisi, que Nous allons formuler dans cette partie.

On consid`erera en particulier le mod`ele de Sherrington-Kirkpatrick pour les verres de spin. On note ainsi l’Hamiltonien :

H(σ) =HN(σ) = β

√ N

X

i<j

gijσiσj, (0.2.5)

où σ = (σ1, . . . , σN) ∈ ΣN = {−1,1}^N et les (gij) sont des v.a. gaussiennes centrées réduites indépendantes.

(11)

0.3. ETUDE DE PROPRI ÉT ÉS ANALYTIQUES 11 On définit sur{−1,1}^N la mesure de Gibbs :

hfi=X

σ

f(σ)e^H^(σ).

On note l’overlap quantifiant la diff´erence entre 2 spins de mˆeme loi : R1,2=R1,2(σ¹, σ²) = 1

N X

i≤N

σ¹_iσ²_i, σ¹, σ² ´etant deux copies ind´ependantes deσ.

On suppose qu’il existe une fonctionξsatisfaisant (0.2.1) et une suitec(N) avecc(N)→0 telles que :

∀σ¹, σ² ∈ {−1,1}^N,

1

NE[H_N(σ¹)H_N(σ²)]−ξ(R_1,2)

≤c(N). (0.2.6) Posons f⁰(y) = log cosh(h+y).

On remarque, en effet, que : X

1=±1

exp(a1) = 4 cosh(a).

On d´efinit lesF_l comme en (0.2.3).

Soit

P_k(m,q) = log 2 +F₀−1 2

k

X

l=1

m_l(θ(q_l+1)−θ(q_l)), (0.2.7) o`u

θ(q) =qξ⁰(q)−ξ(q).

On note :

P(ξ, h) = inf

k,m,qP_k(m,q).

Th´eor`eme 0.2.1. On a

N→∞lim 1

NElogX

σ

exp

HN(σ) +hX

i≤N

σi

=P(ξ, h).

Remarque. Si l’Hamiltonnien est celui du mod`ele SK d´efinit en 0.1.1, on aξ(q) =β²q² etθ(q) =ξ(q).

Nous nous proposons de démontrer ce théorème pour β petit, i.e. pour de hautes températures.

0.3 Etude de propri´ et´ es analytiques

Avant de nous intéresser à la démonstration proposée par M. Talagrand, étudions quelques propriétés relatives auxF_l.

(12)

0.3.1 Formules de d´erivation

Lemme 0.3.1. Soit α une variable telle queml, vl et vl+1 ne d´ependent pas de α.

∂αF_l=E[W_l∂αF_l+1|F_v^B

l]. (0.3.1)

D´emonstration.

Fl = 1

m_l logE[e^m^l^F^l+1|F_v^B

l]

∂_αF_l(y) = 1

m_lexpm_lF_lE[m_l ∂_αF_l+1 e^m^l^F^l+1|F_v^B

l]

= E[e^m^l^(F^l+1^−F^l⁾ ∂_αF_l+1|F_v^B

l]

= E[W_l ∂_αF_l+1|F_v^B

l]

On peut ainsi établir la propriété suivante : Proposition 0.3.2.

∂_αF₀ =E[Sl−1 ∂_αF_l]. (0.3.2) Démonstration. Récurrence immédiate compte tenu de la mesurabilité desW_i par rapport àF_v^B

i+1.

Cette équation de dérivation nous incite à introduire une nouvelle mesure qui paraˆıtra plus adaptée dans l’étude de notre problème.

Rappelons que :

E[Wl. . . Wk|F_v^B

l] = 1.

On va ainsi introduire la mesure sur{−1,1}^N :

γ_l(f) =E[W_l. . . W_khfi|F_v^B

l].

En notantγ_l^⊗2 la mesure produit sur {−1,1}^2N issue deγ_l, nous poserons :

µ_l(f) =E[Sl−1γ_l^⊗2(f)]. (0.3.3)

Nous nous int´eressons maintenant aux d´erivations d’ordre 2.

Proposition 0.3.3. Pour α, β tels que (m₀, . . . , m_l) et (v₀, . . . , v_l+1) ne d´ependent pas deα et β, on a :

∂_α∂_βF₀=E[W₀. . . Wl−1 ∂_α∂_βF_l]

−

l

X

i=r

(mi−mi−1)E

Wi. . . Wl−1E[Sl−1 ∂αF_l|F_v^B

i]∂_βF_l

. (0.3.4)

(13)

0.3. ETUDE DE PROPRI ÉT ÉS ANALYTIQUES 13 Démonstration. On part de (0.3.1) :

∂_α∂_βF₀ = E[W₀. . . Wl−1 ∂_α∂_βF_l] +

l

X

i=0

E[W₀. . . Wl−1 ∂_αW_i ∂_βF_l]

= I+II Or,

∂_αW_i =m_i (∂_αF_i+1−∂_αF_i)W_i. Soit,

II =

l

X

i=1

(mi−1−m_i) E[∂_αF_i W₀. . . W_l−1 ∂_βF_l]

=

l

X

i=1

(mi−1−m_i) E[W₀. . . Wl−1 E[W_i. . . Wl−1 ∂_αF_l|F_v^B

i]∂_βF_l]

où, dans la première égalité, on a noté pour des raisons de lisibilitém−1 = 0. La deuxième

´

egalité découle de (0.3.1). La proposition est obtenue en utilisant la mesurabilité desW_i par rapport à F_i+1^B

Remarque. La propriété précédente peut être généralisée au calcul de∂_α∂_βF_r, mais nous n’aurons pas besoin de cette formule par la suite.

0.3.2 Une d´erivation particuli`ere

Nous aurons besoin plus précisément de la dérivée :∂vrF0. Nous allons la calculer dans cette partie.

Proposition 0.3.4. Nous avons la propri´et´e suivante :

∂vrF0=−mr−mr−1

2 E[Sr−1F_r⁰²]. (0.3.5)

D´emonstration. D’apr`es (0.3.1),

∂_v_rF₀ =E[Sr−2∂_v_rFr−1].

Pour ´evaluer∂_v_rFr−1, nous allons utiliser la d´efinition de F_l via les semi-groupes :

(14)

∂vrFr−1 = ∂vr

1 mr−1

logPvr−vr−1[expmr−1fr(vr, .)](Bvr−1)

= 1

mr−1expmr−1Fr−1

∂_v_rP_v_r−vr−1[expmr−1f_r(v_r, .)](B_v_r−1)

= e^−m^r−1^F^r−1 1

2Pvr−vr−1[(expmr−1fr(vr, .))⁰⁰](Bvr−1) +P_v_r−vr−1[∂_v_rexpmr−1f_r(v_r, .)](B_v_r−1)

= 1

2e^−m^r−1^F^r−1P_v_r−vr−1[(mr−1−m_r)f_r⁰²expmr−1f_r(v_r, .)](B_v_r−1)

= 1

2(mr−1−mr)E[Wr−1F_r⁰²|F_v^B_r−1]

l’avant dernière égalité est obtenue en remarquant quef est solution de (E).

0.3.3 Bref rappel `a propos de convexit´e

Lemme 0.3.5. Pour toute fonctionf de classeC²,λ7→ _m¹ logE[expmf(λ)]est convexe.

En outre, la compos´ee de fonctions convexes est une fonction convexe.

D´emonstration. Imm´ediat

0.4 Bornes de Guerra et couplage

0.4.1 Borne de Guerra

Dans toute la suite, (Bv,i)v d´esigne une copie ind´ependante de (Bv)v. On se place dans le cadre de la partie 0.2.1, avec :

H_t(σ) =√

tH_N(σ) +X

i≤N

σ_i h+√

1−t B_v_k+1_,i , F0 = logX

σ

expHt(σ), ϕ(t) = 1

NF₀. Th´eor`eme 0.4.1. Pour 0< t <1, on a :

ϕ⁰(t) = −1 2

k

X

l=1

m_l(θ(q_l+1)−θ(q_l))

−1 2

k

X

l=1

(m_l−ml−1)µ_l(ξ(R1,2)−R1,2ξ⁰(q_l) +θ(q_l)) +R, o`u |R| ≤c(N).

(15)

0.4. BORNES DE GUERRA ET COUPLAGE 15 Cette démonstration repose essentiellement sur la formule d’intégration par parties pour des v.a. gaussiennes. Ainsi, si on considère une famille h = (hj)j∈J de v.a. gaussiennes (|J|<∞) et F :R^J →Rune fonction de croissance sous exponentielle, on a :

E[h_iF(h)] =X

j∈J

E[h_ih_j]E[∂_x_jF(h)]. (0.4.1)

Démonstration. Nous reprenons ici la démonstration de M. Talagrand. Il est utile de bien comprendre celle-ci. En effet, nous généraliserons cette méthode pour démontrer le prochain théorème.

D’apr`es la relation (0.3.1), on a :

ϕ⁰(t) =E[Sr−1∂_tF_k+1].

En utilisant les d´efinitions de Tl vues en 0.2.1, on remarque que l’on peut ´ecrire : ϕ⁰(t) = 1

NE[T ∂_yexpF_k+1] =I+ X

0≤p≤k

II(p),

o`u l’on a not´e :

I = 1 2N√

tE TX

σ

H(σ) expH_t(σ) II(p) =− 1

2N√

1−tE TX

σ,i

σ_iY_p,iexpH_t(σ)

On a d´efinit la v.a. gaussienne : Yp,i =Bvp+1,i−Bvp,i.

Pour calculer le premier terme, nous utilisons la formule d’intégration par parties rap- pelées précédemment, la famille de v.a. gaussiennes considérée étant : (H(σ))σ∈Σ_N. Par un abus de notation, nous noterons _∂H(σ)^∂ la dérivation par rapport à ces v.a.

Nous rappelons que

ζ(σ¹,σ²) = 1

NE(H(σ¹)H(σ²)).

On remarque que :

∂T_l

∂H(ρ) = (ml−1−m_l) ∂F_l

∂H(ρ)T_l. On peut ainsi ´ecrire : I =III+P

1≤l≤kI(l), o`u : III = 1

2√ tE

TX

σ,ρ

ζ(σ,ρ) ∂

∂H(ρ)expH_t(σ) I(l) = ml−1−ml

2√ t E

TX

σ,ρ

ζ(σ,ρ) expHt(σ) ∂F_l,t

∂H(ρ)

(16)

Nous nous int´eressons maintenant `a III :

∂

∂H(ρ) = √ tX

σ

ζ(σ,σ)h1{σ}i_texpF_k+1

= √

thζ(σ,σ)i_texpF_k+1 Soit, comme|ζ(σ¹,σ²)−ξ(R_1,2)| ≤c(N) et ζ(R_1,1) =ζ(1) :

III = 1

2ξ(1) +R, avec |R| ≤c(N).

De même, nous montrons que (en utilisant (0.3.1) pour la deuxième égalité) :

∂

∂H(ρ)F_k+1 = √

th1{ρ}i_t

∂

∂H(ρ)F_l = √ tE_l

W_l. . . W_kh1{ρ}i_t

= √

tγl(1{ρ})

Finalement, utilisant le fait que expH_t(σ) =h1{σ}i_texpF_k+1, nous obtenons : I(l) = ml−1−m_l

2

X

σ,ρ

ζ(σ,ρ)E

W₁. . . W_kh1{ρ}i_tγ_l(1{σ}) . On utilise alors la propriété de dédoublement pour conclure :

I(l) = ml−1−ml

2

X

σ,ρ

µl(ζ(σ,ρ))

= ml−1−m_l

2 µ_l(ξ(R_1,2)) +R On peut montrer de mani`ere analogue, que :

II(p) =−1

2 ξ⁰(qp+1−ξ⁰(qp)

1 + X

p≤l≤k

(ml−1−m_l)µ_l(R1,2)

. Soit, en utilisant l’hypoth`ese ξ⁰(q0) =ξ⁰(0) = 0 :

X

0≤p≤k

II(p) =−1 2

ξ⁰(1) + X

1≤l≤k

(ml−1−ml)ξ⁰(ql)µl(R1,2)

. On obtient finalement le r´esultat annonc´e :

2ϕ⁰(t) = ξ(1)−ξ⁰(1) + X

1≤l≤k

(ml−1−m_l)µ_l(ξ(R_1,2)−R_1,2ξ⁰(q_l)) + 2R

= −θ(1)− X

1≤l≤k

(ml−1−m_l)θ(q_l) X

1≤l≤k

(ml−1−ml)µl(ξ(R1,2)−R1,2ξ⁰(ql) +θ(ql)) + 2R

(17)

0.4. BORNES DE GUERRA ET COUPLAGE 17

0.4.2 Le couplage

Comme le fait Talagrand, on sera amené à utiliser le cas oùyest un vecteur de dimension 2. On supposera et notera alors :

f⁰(y) =f⁰(y₁) +f⁰(y₂), (0.4.2) B_v = (B¹_v, B_v²).

La technique développée par Talagrand est la suivante. Soit r ∈ {1, . . . , k}. On définit un mouvement brownien de dimension 2 Bv tel que :

(B_v¹=B_v², v < vr

(B_v¹−B¹_v_r) soit indépendant de (B_v²−B_v²_r), v≥v_r. (0.4.3) On notera F_l^?, W_l^?, . . . les v.a. construites sur le même schéma que dans la section 0.2.1 mais avec les vecteurs :

n= (m0

2 , . . . ,mr−1

2 , m_r, . . . , m_k), q= (q0, . . . , q_k+1).

On peut ´etablir le lemme suivant :

Lemme 0.4.2. On note F_l¹, F_l² deux copies ind´ependantes deF_l (construit `a partir de f⁰(y)). On a alors :

F_l^? =F_l¹+F_l², l < r, W_l^?=W_l¹ =W_l²,

l≥r, W_l^?=W_l¹W_l².

Démonstration. On va démontrer ce résultat par récurrence descendante. Lorsque k=r+ 1, il s’agit de l’hypothèse (0.4.2).

Pour l≥r, comme (B_v¹_l+1−B¹_v_l) et (B²_v_l+1−B_v²_l) sont ind´ependants, E[expm_l(F_l+1¹ +F_l+1² )|F_v^B

l] = E[expm_lF_l+1¹ |F_v^B

l]E[expm_lF_l+1² |F_v^B

l]

= expm_l(F_l¹+F_l²).

Pour l < r, comme (B_v¹_l+1−B¹_v_l) = (B_v²_l+1−B_v²_l) E[expm_l

2 (F_l+1¹ +F_l+1² )|F_v^B

l] = E[expm_l

2 2F_l+1¹ |F_v^B

l]

= expm_lF_l¹

= expm_l

2 (F_l¹+F_l²).

(18)

0.4.3 Int´egration par parties et couplage

On va, dans cette section, combiner les deux idées développées précédemment. Soient B, Be deux browniens indépendants. B¹, B² (resp. Be¹, Be² désigneront des copies de B (resp. B) satisfaisant (0.4.3). Poure i = 1. . . N, B_v,i^j (resp. Be_v,i^j ) est une copie indépendante deBv^j (resp.Bev^j). On définit les quantités suivantes :

Ht,v(σ¹,σ²) = X

j=1,2

√

vtH(σ^j) +X

i≤N

σ^j_i

h+√

1−tBe_v^j

k,i+√ t√

1−vB_v^j

k,i

, F_k+1,v= log X

R1,2=u

expH_t,v(σ¹,σ²), η(v) = 1

NF_0,v.

La définition par récurrence des Fl,v se fera par rapport à la filtration F =F^B∨ F^Bê. On noteraE_l l’espérance conditionnelle par rapport àF_v_l.

Th´eor`eme 0.4.3. Pour 0< v <1, on a : η⁰(v)≤ −t

k

X

l=1

m_l

θ(q_l+1)−θ(q_l)

+tM(u−qr)²+c(N), o`u M = ^θ(q^r^{)+ξ(u)−uξ}_(u−q ⁰^(q^r⁾

r)² .

Soit,

η(1)≤η(0)−t

k

X

l=1

m_l

θ(q_l+1)−θ(q_l)

+tM(u−qr)²+c(N).

Avant de démontrer ce théorème, fixons quelques notations : S_u ={(σ¹,σ²);R_1,2=u}, hfi_vexpF_k+1,v=X

Su

f(σ¹,σ²) expHt,v(σ¹,σ²), γ_l,v(f) =E_l[W_l,v. . . W_k,vhfi_v],

µ_l,v(f) =E_l[W_1,v. . . Wl−1,vγ_l,v^⊗2(f)].

Démonstration. Pour des raisons de commodité, comme dans la partie 0.4.1, on décomposera Bv_k+1 =

k

X

p=0

Bvp+1 − Bvp pour faire apparaˆıtre des v.a. gaussiennes.

Conform´ement `a la formule (0.3.1), nous avons : η⁰(v) = 1

NE[T_v∂_texpF_k+1,v]

= I+

k

X

p=0

II(p).

(19)

0.4. BORNES DE GUERRA ET COUPLAGE 19 Avec, en utilisant la propriété d’intégration par rapport à la famille H(σ)

σ : I =

√t 2N√

v E

T_v X

(σ¹,σ²)∈S_u

H(σ¹) +H(σ²)

expH_t,v(σ¹,σ²)

=

√t 2√

v E

X

(σ¹,σ²)∈Su

X

σ

ζ(σ¹,σ) +ζ(σ²,σ)∂T_vexpH_t,v(σ¹,σ²)

∂H(σ)

= III+

k

X

l=1

I(l).

Or, nous avons :











∂

∂H(σ)expHt,v(σ¹,σ²) =√

vt(1{σ¹=σ}) +1{σ²=σ}) expHt,v(σ¹,σ²)

∂

∂H(σ)Fk+1,v=√

vt X

(τ¹,τ²)∈Su

(1{τ¹=σ}+1{τ²=σ})h1(τ¹,τ²)i_v .

Remarquons ´egalement que :

T_vexpH_t,v(σ¹,σ²) =W_1,v. . . W_k,vh1(σ¹,σ²)i_v. On peut ainsi ´evaluer III :

III = t

2Eh X

(σ¹,σ²)∈Su

X

σ

ζ(σ¹,σ) +ζ(σ²,σ)

W_1,v. . . W_k,vh1(σ¹,σ²)i_v 1{σ¹=σ}+1{σ²=σ}

i

= t

2Eh

W_1,v. . . W_k,v X

(σ¹,σ²)∈S_u

ζ(σ¹,σ¹) +ζ(σ²,σ²) + 2ζ(σ¹,σ²)

h1(σ¹,σ²)i_vi

= t

2

2ξ(1) + 2ξ(u)

+R.

Pour calculer I(l), nous avons besoin de connaˆıtre :

∂Fl,v

∂H(σ) = E_lh

W_l,v. . . W_k,v∂Fk+1,v

∂H(σ) i

= √

vtE_lh

W_l,v. . . W_k,v X

(τ¹,τ²)∈S_u

(1{τ¹=σ}+1{τ²=σ})h1(τ¹,τ²)i_vi

= √

vt X

(τ¹,τ²)∈Su

(1{τ¹=σ}+1{τ²=σ})γ_l,v(1(τ¹,τ²))

(20)

On peut maintenant ´evaluer : I(l) = t

2(nl−1−nl)E

W1,v. . . Wk,v

X

(σ¹,σ²)∈Su

X

(τ¹,τ²)∈Su

X

σ

ζ(σ¹,τ¹) +ζ(σ²,τ²) + +ζ(σ¹,τ²) +ζ(σ²,τ¹)

γ_l,v(1(τ¹,τ²))h1(τ¹,τ²)i_v

= t

2(nl−1−nl)µl,v

ζ(σ¹,τ¹) +ζ(σ²,τ²) +ζ(σ¹,τ²) +ζ(σ²,τ¹)

= t

2(nl−1−n_l)µ_l,v

ξ(R(σ¹,τ¹)) +ξ(R(σ²,τ²)) +ξ(R(σ¹,τ²)) +ξ(R(σ²,τ¹)) +R.

Il nous reste à présent à calculerII(p). On note Y_p,i^j =B_v^j

p+1,i−B_v^j_p_,i, des v.a. gaussiennes centr´ees de variance (vp+1−vp).

On a ainsi, en utilisant la formule d’int´egration par parties : II(p) = −

√t 2N√

1−vEh

T X

R1,2=u

X

i,j

σ_i^jY_p,i^j expH_t,v(σ¹,σ²)i

= −

√ t 2N√

1−v X

i⁰,j⁰,p⁰

E

X

R1,2=u

X

i,j

σ_i^jE[Y_p,i^j Y_p^j0⁰,i⁰]∂(TexpHt,v(σ¹,σ²))

∂Y_p^j0⁰,i⁰

= −

√t 2N√

1−vE

X

R1,2=u

X

i,j

σ_i^jX

j⁰

E[Y_p,i^j Y_p,i^j⁰]∂(TexpH_t,v(σ¹,σ²))

∂Y_p,i^j⁰

,

la dernière égalité étant due au fait que, pour i6=i⁰ ou p6= p⁰ Y_p,i^j est indépendant de Y_p^j0⁰,i⁰, les Y_p,i^j étant centrées.

D’après les propriétés de couplage, on est maintenant contraint de distinguer selon les valeurs de p. En effet,

(1≤p < r, Y_p,i¹ =Y_p,i²

r≤p≤k, Y_p,i¹ est ind´ependant deY_p,i² . Sir≤p≤k,

II(p) = −

√t 2N√

1−vE

X

R1,2=u

X

i,j

σ_i^j(v_p+1−v_p)∂(TexpH_t,v(σ¹,σ²))

∂Y_p,i^j

= IV(p) +

k

X

l=p+1

IV(l),

où la dernière égalité provient du fait que pourl≤p,F_l,v ne dépend pas deY_p.

(21)

0.4. BORNES DE GUERRA ET COUPLAGE 21 Or, on remarque que,











∂

∂Y_p,i^j expHt,v(σ¹,σ²) =p

t(1−v)σ_i^jexpHt,v(σ¹,σ²)

∂

∂Y_p,i^j F_k+1,v=p

t(1−v) X

(τ¹,τ²)∈Su

τ_i^jh1(τ¹,τ²)i_v .

D’o`u

IV = − t

2N(v_p+1−v_p)X

i,j

Eh X

(σ¹,σ²)∈Su

σ^j_iσ_i^jh1(σ¹,σ²)i_vW_1,v. . . W_k,vi

= −t

2N(vp+1−vp) X

j=1,2

E

h X

(σ¹,σ²)∈Su

h1(σ¹,σ²)i_vW1,v. . . W_k,v i

= −t(v_p+1−vp).

On obtient par une m´ethode analogue, IV(l) =−t

2(vp+1−vp)(nl−1−n_l)µ_l,v(R(σ¹,τ¹) +R(σ²,τ²)).

Si 0≤p≤r, II(p) = −

√t 2√

1−vE

X

R1,2=u

X

i,j

σ^j_i(vp+1−vp)

∂(TexpHt,v(σ¹,σ²))

∂Y_p,i¹ +∂(TexpHt,v(σ¹,σ²))

∂Y_p,i²

#

= IVf(p) +

k

X

l=p

IVf(l).

Avec,

IVf(p) =−t(v_p+1−vp)(1 +u), IVf(l) =−t

2(vp+1−vp)(nl−1−n_l)µ_l,v

R(σ¹,τ¹) +R(σ²,τ²) +R(σ¹,τ²) +R(σ²,τ¹)

. Finalement, on obtient d’une part :

r−1

X

p=0

IVf(p) +

k

X

p=r

IV(p)

=

r−1

X

p=0

−t(v_p+1−v_p)(1 +u) +

k

X

p=r

−t(v_p+1−v_p)

=−t(1 +u)vr−t(vk+1−vk)

=−t

ξ⁰(1) +uξ⁰(qr)

, et d’autre part :

(22)

r−1

X

p=0 k

X

l=p+1

IVf(l) +

k

X

p=r k

X

l=p+1

IV(p) =

k

X

l=1

vpl(nl−1−nl)µl,v

R(σ¹,τ¹) +R(σ²,τ²)

+

k

X

l=1

vl∧r(nl−1−n_l)µ_l,v

R(σ¹,τ²) +R(σ²,τ¹) . On remarque finalement que

ξ(x)−xξ⁰(q)≥ −θ(q).

En mettant maintenant bout `a bout l’expression deI et celle desII(p), on obtient : η⁰(v) ≤ t

ξ(1)−ξ⁰(1) +ξ(u)−uξ⁰(qr)

−t

k

X

l=1

(nl−1−nl)θ(ql)−t

k

X

l=1

(nl−1−nl)θ(ql∧r) +c(N)

≤ −t

r−1

X

l=1

2(nl−1−nl)θ(ql)−t

k

X

l=r

(nl−1−nl)θ(ql) + +t

(1−nr−1)θ(q_r)−θ(q₁) +ξ(u)−uξ⁰(q_r)

+c(N)

≤ −t

r−1

X

l=1

2n_l θ(q_l+1)−θ(q_l)

−t

k

X

l=r

n_l θ(q_l+1)−θ(q_l) + +t

θ(q_r) +ξ(u)−uξ⁰(q_r)

+c(N).

D’où le théorème attendu, d’après la définition den.

Remarque. Dans le cas du modèle (0.1.1),M = 2β². On remarque également que, dans le cas général, d’après la formule de Taylor, on peut prendreM = max

[0,1] ξ⁰⁰.

0.5 R´ esultat pr´ eliminaire

0.5.1 Rappels et notations

Rappelons que,

P_k(m,q) = log 2 +F₀− 1 2

k

X

l=1

m_l(θ(q_l+1)−θ(q_l)), (0.5.1) o`u

θ(q) =qξ⁰(q)−ξ(q).

Remarque. Compte tenu de la d´efinition de v, on a :

∂θ

∂v =q.

(23)

0.5. R ´ESULTAT PR ´ELIMINAIRE 23 On note :

P(ξ) = inf

k,m,qP_k(m,q).

Soit m⁰ = (m⁰₀, . . . , m⁰_k) et q⁰ = (q₀⁰, . . . , q_k+1⁰ ) deux vecteurs tels que :

`

a k fix´e,P_k(m⁰,q⁰) est minimal (0.5.2) Soit 1≤r≤k

On note

Φ(q_r) =P_k(m⁰,q^0,r), o`u q^0,r= (q₀⁰, . . . , q_r−1⁰ , qr, q_r+1⁰ , . . . , q_k+1⁰ ).

0.5.2 Utilisation de l’optimalit´e

Dans cette partie, nous allons exploiter l’optimalité de Φ enq⁰_r. D’après les définitions,

∂_v_rΦ =∂_v_rF₀−1

2q_r(m⁰_r−1−m⁰_r).

On utilise alors le calcul effectu´e en (0.3.5) pour obtenir :

∂_v_rΦ(q_r) = m⁰_r−m⁰_r−1 2

q_r−E[Sr−1F_r⁰²]

. Or,∂vrΦ(q⁰_r) = 0, soit :

E[Sr−1F_r⁰²]

qr=q⁰_r =q_r⁰ (0.5.3)

0.5.3 Théorème préliminaire On introduit les quantités suivantes :

H_t,1(σ¹,σ²) =H_t(σ¹,σ²) = X

j=1,2

√

tH(σ^j) +X

i≤N

σ_i^j(h+√

1−tB^j_v

k+1,i), F0,u=F0,1= log X

R1,2=u

expHt(σ¹,σ²), F_l,u la suite de v.a. ainsi construite,

Ψ(t, u) = 1

NE[F1,u], ψ(t) =ϕ(0)− t

2

k

X

l=1

m⁰_l

θ(q⁰_l+1)−θ(q⁰_l) .