Calcul numérique dans les extensions de $\protect \mathbb{Q}$, cycliques, de degré 5

(1)

THEORIE D E S NOMBRES Années 1981-1982 BESANCON et 1982-1983

C A L C U L S NUMERIQUES D A N S L E S E X T E N S I O N S DE 0, CYCLIQUES, DE DEGRE 5

Colette P A R I S

(2)

C a l c u l s n u m é r i q u e s d a n s l e s e x t e n s i o n s d e Q, c y c l i q u e s , de d e g r é 5

P a r C o l e t t e P A R I S

I n t r o d u c t i o n :

D a n s un p r é c é d e n t t r a v a i l ( [ 3 ] ) , j ' a i é t u d i é la r e p r é s e n t a t i o n p a r d e s b a s e s s u r Z d e s i d é a u x p r i m a i r e s c a n o n i q u e s d ' u n e e x t e n s i o n K de Q, c y - c l i q u e , de d e g r é p r e m i e r i m p a i r q u e l c o n q u e g . C e t t e r e p r é s e n t a t i o n e s t o b t e n u e , t h é o r i q u e m e n t , p a r la c o n s t r u c t i o n d e s a p p r o x i m a t i o n s p - a d i q u e s d e s r a c i n e s d a n s Q d'un p o l y n ô m e f o n d a m e n t a l f de K . E t j e m e s u i s i n - t é r e s s é e , p l u s p a r t i c u l i è r e m e n t , au c a s £ = 5, qui s e p r ê t e à u n e e x p l o i t a - tion n u m é r i q u e ( l e c a s € = 3 a v a i t é t é é t u d i é a u p a r a v a n t ([ 1 ] et [ 2 ] ) ) .

S o i t K un c o r p s c y c l i q u e , d e d e g r é 5, de d i s c r i m i n a n t D^. =^S^m ( s = 1 ou 0 s u i v a n t q u e K e s t u n i t a i r e o u n e l ' e s t p a s ; m = p ^ x . . . ><Pn> l e s p^ é t a n t d e s n o m b r e s p r e m i e r s d e u x à d e u x d i s t i n c t s et p. = l ( m o d 5), 1 < i < n ) J e n o t e :

9 : un e n t i e r de t r a c e s ,

f : le p o l y n ô m e minimal d e Q s u r 0 ( p o l y n ô m e f o n d a m e n t a l d e K), D ( 0 ) : le d i s c r i m i n a n t du p o l y n ô m e f ,

1(9) : l ' i n d i c e d e 6 d o n n é p a r I(Q) = V D O ) : D ^

S o i e n t 0^, 1 < i < 5 , l e s r a c i n e s du p o l y n ô m e f ( n u m é r o t é e s de f a ç o n c o n - v e n a b l e ) ; p o u r tout e n t i e r h , 1 < h < 4 , il e x i s t e un e n t i e r n a t u r e l d^ , d i v i - s a n t 1(0) et un p o l y n ô m e g^h» g^h€ Z [ X ] , tel q u e :

d. 0 . .. = g, (0. ) ( i + h , m o d u l o 5).

n î + n n i

P o u r c o n s t r u i r e e f f e c t i v e m e n t l e s a p p r o x i m a t i o n s p - a d i q u e s d e s r a c i n e s d e f d a n s Q , n o u s d e v o n s , e n p a r t i c u l i e r , c o n n a i t r e e x p l i c i t e m e n t l e p o l y - n ô m e f, l ' i n d i c e 1(0), l e s e n t i e r s d. et l e s p o l y n ô m e s g , . N o u s a v o n s c a l c u l

(5)

t o u s c e s é l é m e n t s , à p a r t i r d'un e n t i e r a d e Q , d e n o r m e N ( a ) = m p o u r l e s v a l e u r s s u i v a n t e s d e m :

m < 1 0 0 0 0 et m = 1 1 x 31 x 4 j , p o u r l e s c o r p s u n i t a i r e s m < 2 0 0 0 , p o u r l e s c o r p s non u n i t a i r e s .

(3)

I - G E N E R A L I T E S : 1. N o t a t i o n s :

L e s n o t a t i o n s , q u i s o n t l e s m ê m e s q u e c e l l e u t i l i s é e s d a n s [ 3 ] , s o n t l e s s u i v a n t e s :

e : r a c i n e p r i m i t i v e 5^{e m e} d e l ' u n i t é Q ^ : c o r p s c y c l o t o m i q u e e n g e n d r é p a r e .

E n c h o i s i s s a n t 2 c o m m e g é n é r a t e u r du g r o u p e m u l t i p l i c a t i f ( Z / 5 Z ) * , on a : Gai ( Q ^ / Q ) = ( T ) a v e c T^le^) = e2 k , 1 < i < 4 , 2^k m o d u l o 5 . P o u r tout a , a Ç Q ^ l on p o s e T * ( a ) = a - , 1< j < 4 , j = 2i(mod 5). Il en r é s u l t e , pour tout

2 J 3 4

j , 1 < j < 4 , T(a^;) = a^{o ;}, T (a^;) = a^{A ;}, T (a^:) = a , . , T (a.) = a- U j mod 5, et

J ^J J ^J J J J

i j € { 1, 2 , 3, 4 } ) .

K : e x t e n s i o n c y c l i q u e d e 0 , d e d e g r é 5

G : Gai ( K / Q ) = ( a ) . P o u r t o u t \ , \ Ç K , o n n o t e , 1 < i < 5 , le c o n j u g u é aX( \ ) d e L e s c o n j u g u é s 8. d ' u n é l é m e n t Q d e K s o n t a l o r s n u m é r o t é s d e f a ç o n q u e a (9. ) = 9 . . . , 1 < i < 5 et i+h m o d u l o 5 .

2. R a p p e l s ([ 3 ] et [ 4 ] ) :

a) P o l y n ô m e f o n d a m e n t a l d e K et b a s e d e s e n t i e r s

L e c o r p s K e s t c o n s t r u i t à p a r t i r d ' u n e n t i e r a d e Q ^ d e n o r m e m = N ( a ) n

tel q u e m = n p . , l e s p. é t a n t d e s n o m b r e s p r e m i e r s d e u x à d e u x d i s t i n c t s

i = 1^{1 1}

et p^ = 1 (mod 5 ) , 1 < i < n .

/ 2 3 4 \ (5) D a n s la b a s e l e , e , e , e J d e s e n t i e r s d e Q , on a :

1 '

A² = T (a) = C e + 3

a³ = x (a) = b e + 2

A . 4 = T (a) = d E +

L ' e n t i e r m = N ( a ) s e c a l c u l e a l o r s e n f o n c t i o n d e s e n t i e r s a , b , c , d. O n o b t i e n t :

m = ( a² + b² + c² + d²) - ( a b + b c + c d )²- ( a c + bd + da^

- ( a² + b² + c² + d^{2 >}) ( ab + b c + c d + a c + bd + d a 2 , 3 , . 4

+ c e + d e ( = c c , T⁴ = i d )

2 + d e3 + b e4

2 , 3 , 4 + a e + c e 2 , , 3 . 4

+ b e + a e

+ 3 ab + b c + c d a c + bd + da ) f a c + b d + d a ) .

(4)

On c h o i s i t p o u r pol ynôme f o n d a m e n t a l de K l e p o l y n ô m e f de Z [ X ] d é f i n i p a r :

55f ( X ) = ( 5 X - s )5- l 0 m x 52 ( 1"s )( 5 X - s )3 - 5 m x 53 ( 1 ~s ) ^ a0. a „ . ( 5 X - s )2

i = , 2 1 4 1

+ 5 m x 54 ( 1"s )[ m -1Z c^ c t ^ c c ^ ] (5 X - s ) - 55 n~s ) m * ^ a ^ o ^ a *

i = 1 1 i = 1 1 1 1

3 2 4

On a : s = 1 ( r e s p . s = 0 ) s i a^ a j a3 j. a ^ . = 1 (mod 5), 1 < j < 4 , ( i j ( m o d 5 ) ) ( r e s p . e , (mod 5), h ^ 0 , (mod 5)).

D a n s le p r e m i e r c a s , l e c o r p s K e s t u n i t a i r e et l e s cinq r a c i n e s de f f o r m e n t u n e b a s e d e s e n t i e r s de K .

D a n s le s e c o n d c a s , K n ' e s t p a s u n i t a i r e et q u a t r e d e s r a c i n e s de f f o r m e n t a v e c 1 une b a s e d e s e n t i e r s . D a n s l e s d e u x c a s on c h o i s i t u n e b a s e d e la f o r - m e { 1 , 0 . , e . + 1 , e i + 2 , ei + 3 > ( 1 < i < 5 , i + j m o d 5 ) .

i = 4 i = 4 _ i = 4

o 2 3 L e s e n t i e r s r a t i o n n e l s u = X a2 ia4 i ' v = ^ ai a2 i a4 i e t W = ^ a2 ia3 ia4 i

i = 1 1 i = 1 1 i = 1 1 1 1

s e cal cul ent en f o n c t i o n d e s c o m p o s a n t e s ( a , b , c , d ) de a d a n s l a b a s e 2 3 4 \ (5)

e , e , e , e ) d e Q et le p o l y n ô m e f s e met s o u s la f o r m e :

f ( X ) = X 5 - S X 4 + A X 3 + B X 2 + C X + D , A , B , C , D € Z

,^A 2( 1-m) _ - 2 + m ( 6 - u) a v e c , s i s = 1, A = g — , B = ^ »

1+2(u-3)m + m ( m - v ) _ - 1 - 5 m ( m + u - v ) +m( 1 0 - w) (_ _ _ , u g

5 5

s i s = 0, A = - 1 0m , B = - 5 m u , C = 5m(m-v), D = - m w

R e m a r q u e : S i on r e m p l a c e a , s o i t p a r - a , s o i t p a r un de s e s c o n j u g u é s , on o b t i e n t l e même c o r p s K et le p o l y n ô m e f r e s t e i n c h a n g é , m a i s le r e m p l a c e - ment de a p a r un c o n j u g u é c h a n g e l ' o r d r e d e s r a c i n e s de f.

b) C a l c u l de I(fl)

4 * 2( 1 - s) L e d i s c r i m i n a n t D., du c o r p s e s t : D., = M , où M = 5 m . K rs

L e d i s c r i m i n a n t du p o l y n ô m e f e s t D ( 0 ) = D2 s ^eo o , où D^c e s t l e d é t e r m i n a n t de

(5)

V a n d e r mon d e d ' o r d r e 5 : D_ = n ( 9 . - 9. ). En e x p l i c i t a n t D , , on

3 1 < K j < 5 .^{N =}^⁵

o b t i e n t : D5 = - M x M2, a v e c : A/^ = n ( ei + 1 " 0 = N( a ( 9 ) - 9 ) ,

i = 5^{1 =} 1

M2^{= 11}1 = 1 O w O - N ( a²( e ) - e ) .

D e p l u s , M = 0 = M (mod M), d ' o ù , e n p o s a n t | M. | = M m . , j = 1 , 2 , on

1 2 J J

o b t i e n t : I C e ) = V D ( 0 ) : DK = m x ^m.

Il n ' e s t p a s i n d i s p e n s a b l e de c o n n a i t r e D( e ) p o u r c a l c u l e r 1(9). E n e f f e t , m et m0 s o n t d o n n é s p a r l e s e x p r e s s i o n s s u i v a n t e s :

A

_ 1 + 3 s \ ( 4 3 2 \ ( 2 3 3 2 \ , 4 , 3 2 _ \ ( 3 2 5 mi = IVe ~2 e 2 e "e A a 2 a3 4- a 1 a2a3 / V _ Ê " e / \ ai a 3 a4 "

a ^ a2a4) + 5 m [ (e 3-e 2) ( a2a4- a ^ 3 ) + ( e4- e ) ( a ^ - c ^ ) ] |

, 1 + 3 s 1 f 4 3 . 2 V 2 3 3 2 \ , ( 4 3 2 „ \ / 2 3 5 m2 = I \e ~2 e 2 e ~e A a l a2a4 ~ai a3 a4 / \ e _ £ "2 e / \a2a3 a4 ~

a^â2â3 )^{+ 5 m C} (^{e 3 _ e 2}) (â iâ2~â3^{0 C}4)⁺ (^{e 4 _ e}) (â iâ3 "â2â4 )^] I ' C e s d e u x e n t i e r s r a t i o n n e l s s e c a l c u l e n t e n f o n c t i o n d e s c o m p o s a n t e s

( 2 3 4 \ 5 (a , b , c , d) de a d a n s la b a s e ( e , e , e , e J d e Q .

R e m a r q u e : P o u r 1 < i < 3 , e n c a l c u l a n t T ^ a ^ a ^ - a ^ a ^ a ^ ) , ^ ( a , jO^a^ - a ^ a ^ a ^ T^X(a -CC3CX4) et T¹( a¹a³- a²a⁴) , on c o n s t a t e q u e rr^ et s o n t i n v a r i a n t s , s i p o u r e n g e n d r e r l e c o r p s K , on r e m p l a c e a p a r s o n c o n j u g u é ot4 = T ( a ) , 2 t a n d i s q u e m et m s ' é c h a n g e n t s i on r e m p l a c e a , s o i t a „ = T(a)> s o i t p a r CC3⁼ T3 (a).

c) L e s p o l y n ô m e s g^

En u t i l i s a n t l e s f o r m u l e s donnant l e s c a r r é s et l e s p r o d u i t s d e u x à d e u x d e s 2 3 4

é l é m e n t s d ' u n e b a s e d ' e n t i e r s ( [ 4 ] ) , on e x p r i m e 9 ^ , 9 ^ , 9 ^ ( i f i x é , 1 < i < 5 ) d a n s la b a s e Ç1 , 9i , 9i + 1 , 9i + 2, ^ + 3 ) » (1 < i < 5 , i + h m o d u l o 5).

On e n d é d u i t un s y s t è m e de t r o i s é q u a t i o n s à t r o i s i n c o n n u e s 0i + , 9i + 2> 0i + 3 ' dont l e d é t e r m i n a n t e s t 1(9). En r é s o l v a n t c e s y s t è m e p a r l e s f o r m u l e s de C r a m e r , on o b t i e n t :

I (9) 9^{i + h} = G^h (9.) 1 < h < 3

(6)

a v e c G^ € Z [ X ] et G^ de d e g r é i n f é r i e u r o u é g a l à 4 . 3

C o m p t e tenu de : = s - - E Q^+h» o n a a u s s i :

1 h = 1

ne) e

^{i + 4}

= G

⁴

(e.).

E n f i n , p a r s i m p l i f i c a t i o n é v e n t u e l l e p a r le p. g. c . d. d e 1 ( 0 ) et d e s c o e f f i c i e n t s d e s p o l y n ô m e s G ^ , i l e n r é s u l t e l e s f o r m u l e s :

dh⁹i + h⁼ 9 h^{t 0}i⁾ ( 1 < h < 4 , 1 < i < 5 , i + h , m o d u l o 5).

R e m a r q u e : L e s p o l y n ô m e s g^ s o n t p e r m u t é s l o r s q u ' o n r e m p l a c e a p a r un d e s c o n j u g u é s T^L(a) ( 1 < i < 3 ) .

II - T A B L E S N U M E R I Q U E S :

L e s c a l c u l s ont é t é e f f e c t u é s s u r l ' o r d i n a t e u r I R I S 5 0 du C e n t r e d e C a l c u l d e l ' U n i v e r s i t é d e F r a n c h e - C o m t é .

D a n s c e m é m o i r e , n o u s n o u s l i m i t o n s aux v a l e u r s d e m s u i v a n t e s : - d a n s l e c a s d e s c o r p s u n i t a i r e s

* m < 5 0 0 0 ( a v e c m p r e m i e r ou m p r o d u i t de d e u x n o m b r e s p r e m i e r s )

* m = 1 1 x 31 x 41

- d a n s l e c a s d e s c o r p s non u n i t a i r e s m < 1000.

a) T a b l e s I et I'

C e s t a b l e s c o n c e r n e n t l e s c o r p s u n i t a i r e s d e d i s c r i m i n a n t m . 4

N o u s t r o u v o n s d a n s la p r e m i è r e p a r t i e d e la t a b l e I, t o u s l e s c o r p s p r i m a i r e s 4

u n i t a i r e s , d e d i s c r i m i n a n t p , o ù p e s t un n o m b r e p r e m i e r , ( < 5 0 0 0 ) et p = 1 (mod 5 ) .

N o u s s a v o n s q u e s i p e s t un n o m b r e p r e m i e r d o n n é , il y a un s e u l c o r p s p r i - 4

m a i r e u n i t a i r e d e d i s c r i m i n a n t p ( [ 4 ] ) ; (il y a 163 c o r p s u n i t a i r e s p r i m a i r e s a v e c p < 5 0 0 0 ) .

P o u r c h a q u e v a l e u r d e m = p , i n d i q u é e e n p r e m i è r e c o l o n n e , n o u s d o n n o n s e n s e c o n d e c o l o n n e l ' e n t i e r a de Q ^ , de n o r m e p, c h o i s i p o u r e n g e n d r e r K .

(7)

2 3 4 3 2 4

Cet e n t i e r a = a e + b e + c e + d e , qui e s t tel q u e otj a ^ a ^ a ^ = 1 (mod 5) p o u r l e s c o r p s u n i t a i r e s , e s t n o t é ( a , b , c , d ) . D a n s l e s c o l o n n e s s u i v a n t e s ,

4 3 2

n o u s d o n n o n s l e s c o e f f i c i e n t s d e s t e r m e s e n X , X , X , X et l e t e r m e c o n s - tant ( c o e f f i c i e n t d e 1) r e s p e c t i v e m e n t , e n p r e m i è r e l i g n e , du p o l y n ô m e f o n d a - mental f ( p o l y n ô m e u n i t a i r e d e d e g r é 5 , i n d i q u é p. 3) et, e n l i g n e s s u i v a n t e s , d e s p o l y n ô m e s g j , > 9-j > ( d a n s c e t o r d r e ) . E n f i n , en d e r n i è r e c o l o n n e , l e s t r o i s l i g n e s i n d i q u e n t r e s p e c t i v e m e n t l e s v a l e u r s de 1(8) et de c h a c u n d e s f a c t e u r s m et m„ a v e c l e u r d é c o m p o s i t i o n e n n o m b r e s p r e m i e r s , l o r s q u e

1 &

c e s d e u x e n t i e r s n e s o n t p a s p r e m i e r s .

L a s e c o n d e p a r t i e d e la t a b l e e s t c o n s a c r é e aux c o r p s u n i t a i r e s non p r i m a i - r e s , d e d i s c r i m i n a n t m , a v e c m = p x p (m < 5 0 0 0 , p et p étant d e s 4

I 2t I A

n o m b r e s p r e m i e r s d i f f é r e n t s , c o n g r u s , c h a c u n , à 1 m o d u l o 5). S i p et p s o n t d o n n é s , il y a 4 c o r p s u n i t a i r e s d e d i s c r i m i n a n t (p x p ) ( [ 4 ] ) ; il y 1 « 4 a t 16 c o r p s u n i t a i r e s non p r i m a i r e s t e l s q u e m = p p < 5 0 0 0 , .

N o u s a v o n s n u m é r o t é c e s q u a t r e c o r p s de la f a ç o n s u i v a n t e : s i a ^ ( r e s p . a ^ ) d é s i g n e l ' e n t i e r de Q ^ , c h o i s i p o u r e n g e n d r e r le c o r p s p r i m a i r e d e d i s c r i - minant p ( r e s p . p ) et i n d i q u é d a n s la p r e m i è r e p a r t i e d e la t a b l e I, a l o r s 4 4

le c o r p s de d i s c r i m i n a n t (p p_) , n o t é (i), 1 < i < 4 , e s t c o n s t r u i t a v e c 1 2 4 a = ( a , b , c , d ) = ^ a /1^ , l e s i g n e étant c h o i s i d e f a ç o n q u e :

- s i a 0, on ait a > 0

- s i a = 0, b ^ 0, on a i t b > 0 - s i a = b = 0, on ait c > 0 .

N o u s t e r m i n o n s l a t a b l e I e n i n d i q u a n t l e s 16 c o r p s u n i t a i r e s de d i s c r i m i n a n t m , a v e c m = 13981 = 1 1 x 31 x 4 1 . 4

P o u r c e s c o r p s , n o u s a v o n s a = ( a , b , c , d) = t c c ^ a |2\ 1 < j < 4 , 1 < i < 4 , a v e c : c t ^ = ( 0 , 1 , 2 , 3), e n t i e r de Q ^ , de n o r m e 41

a , e n t i e r d e Q , d e n o r m e 341 = 1 1 x 31, et c o r r e s p o n d a n t au 4

c o r p s d e d i s c r i m i n a n t 341 , n u m é r o t é (j) , ( l e c h o i x du s i g n e r é s u l t e du m ê m e p r i n c i p e q u e p o u r m = p1 XP2) «

On c o n s t a t e q u e l o r s q u e m et m s o n t p r e m i e r s e n t r e e u x , on a : d = I ( 6 ) , 1 a* n 1 < h < 4 . D a n s l e c a s c o n t r a i r e , l e s dh s o n t d e s d i v i s e u r s d e I ( e ) . D a n s la

t a b l e I , l e s i g n e * , d a n s la p r e m i è r e c o l o n n e , i n d i q u e l e s c o r p s p o u r l e s - q u e l s il e n e s t a i n s i et la v a l e u r d e s dh, 1 < h < 4 e s t a l o r s d o n n é e d a n s la t a b l e a n n e x e I1.

(8)

C o m m e , de p l u s ([ 3 ] ) , s i p p r e m i e r (p ^ 2 et p ^ 5) e s t tel q u e m s 0 = m (mod p), la c o n g r u e n c e f o n d a m e n t a l e f(x) = 0 (mod p) admet d e u x r a c i n e s d o u b l e s et u n e r a c i n e s i m p l e ou u n e r a c i n e d ' o r d r e 4 et u n e r a c i n e s i m p l e ,

4 2 3

s e l o n q u e w = £ a2 i cc3 i a ^ e s t d i v i s i b l e p a r p ou n e l ' e s t p a s , n o u s i n d i - i = 1

q u o n s , p o u r c h a q u e d i v i s e u r p r e m i e r p, c o m m u n à m et m , p a r un s i g n e * 1 2 d a n s la c o l o n n e c o r r e s p o n d a n t e , la n a t u r e d e s r a c i n e s m u l t i p l e s , m o d u l o p, de c e t t e c o n g r u e n c e .

( R e m a r q u e : l o r s q u e 2 d i v i s e 1 ( 8 ) , la c o n g r u e n c e f(x) s 0 (mod 2) admet t o u j o u r s u n e r a c i n e d ' o r d r e 4 et u n e r a c i n e s i m p l e ) .

b) T a b l e s II et II'

C e s t a b l e s c o n c e r n e n t l e s c o r p s n o n u n i t a i r e s d e d i s c r i m i n a n t (5 m) . On 2 4 a c h o i s i s y s t é m a t i q u e m e n t p o u r e n g e n d r e r c e s c o r p s un e n t i e r a d e Q ^ , de

3 2 4

n o r m e m, et tel q u e a . a⁰ a , Ci^A = e (mod 5). C e c h o i x e s t l é g i t i m e ; e n e f f e t ,

3 2 4 ( i ) i s o i t p un e n t i e r de Q<5) tel q u e ^ 0 2 ^ 3 ^ 4 ^ 1 ^m o d a l o r s a 1 = e1^ ,

1 < i < 4, e s t tel q u e :

a f ( 41 1)3 ( 4 U)2 ( a ^ )4 - t8"1 <"°d 5) e . N <p) = N( aU )) .

C o m m e , d e p l u s , s i o n r e m p l a c e a ^ p a r un d e s e s c o n j u g u é s , on o b t i e n t le même c o r p s , m a i s a v e c un o r d r e d i f f é r e n t p o u r l e s r a c i n e s 9^u du p o l y n ô m e f o n d a m e n t a l f, on p e u t t o u j o u r s c h o i s i r p o u r e n g e n d r e r un c o r p s non u n i t a i r e

3 2 4

un a tel q u e otj a² a³ a⁴ = e (mod 5).

L a p r e m i è r e p a r t i e de la t a b l e II e s t c o n s a c r é e aux c o r p s non u n i t a i r e s p o u r l e s q u e l s m e s t un n o m b r e p r e m i e r p, p s ] (mod 5) et p < 1000. P o u r c h a q u e

8 4

v a l e u r d e p, il y a q u a t r e c o r p s non u n i t a i r e s , d e d i s c r i m i n a n t 5 p (il y a 161 c o r p s non u n i t a i r e s a v e c p < 1000). L e c o r p s , n u m é r o t é (j), e s t c o n s t r u i t a v e c l ' e n t i e r a = ( a , b , c , d) = 1 3 . £⁴ (|3 . = T¹ (0 ) , j = 2¹ (mod 5 ) ) , où S , de

J^x J 4^/

n o r m e p, e n g e n d r e l e c o r p s u n i t a i r e d e d i s c r i m i n a n t p [ l e s i g n e é t a n t c h o i - s i d e f a ç o n q u e le p r e m i e r d e s n o m b r e s a , b , c ( p r i s d a n s c e t o r d r e ) , qui e s t n o n nul, s o i t p o s i t i f ] .

D a n s la d e u x i è m e p a r t i e d e la t a b l e II, n o u s d o n n o n s l e s c o r p s non u n i t a i r e s , c o n s t r u i t s a v e c un e n t i e r a de de n o r m e m = p p , a v e c p et p

1 £â 1 A p r e m i e r s , c o n g r u c h a c u n à 1 m o d u l o 5 et m < 1 0 0 0 . P o u r c h a q u e v a l e u r d e m, il y a 16 c o r p s , non u n i t a i r e s , d e d i s c r i m i n a n t 5 m ; (il y a 64 c o r p s 8 4 non u n i t a i r e s p o u r m = p1 x p2 < 1 0 0 0 ) .

(9)

N o u s a v o n s c h o i s i a = ( a , b , c , d) = j; e⁴, 1 < k < 4 , 1 < j < 4 , g j ^ T ¹ ^ ¹ ^ j = 2^ (mod 5 ) ) et ( 3 ^ , c o r r e s p o n d a n t au c o r p s u n i t a i r e , d e d i s c r i m i n a n t m noté (k).

E n f i n la t a b l e II' e s t l ' a n a l o g u e de la t a b l e I1.

C e s t a b l e s c o n c e r n e n t 5 2 0 c o r p s , a v e c 3 0 8 c o r p s p o u r l e s q u e l s on a I(0) = m¹ x m² a v e c (m ^ , m ^ ) = 1 ((m ^ , m²) d é s i g n e I e p. g. c . d. d e m ^ et m^) et 2 1 2 c o r p s d a n s l e c a s c o n t r a i r e .

L e s c o r p s p o u r l e s q u e l s (^m ^ , ti^J⁼ 1 s e r é p a r t i s s e n t de la f a ç o n s u i v a n t e : - 104 c o r p s p o u r l e s q u e l s c h a c u n d e s n o m b r e s m et m e s t p r e m i e r .

P a r m i c e s c o r p s , il y a :

- 69 c o r p s u n i t a i r e s a v e c 4 2 c o r p s p r i m a i r e s et 27 c o r p s non p r i m a i - r e s p o u r m = p1 x p2

- 35 c o r p s non u n i t a i r e s a v e c 2 5 c o r p s p o u r l e s q u e l s m e s t p r e m i e r et 10 p o u r l e s q u e l s m = p^ x p2.

- 154 c o r p s p o u r l e s q u e l s un s e u l d e s n o m b r e s m et m e s t p r e m i e r . Il £à P a r m i c e s c o r p s , il y a :

- 8 2 c o r p s u n i t a i r e s a v e c 41 c o r p s p r i m a i r e s , 3 4 c o r p s non p r i m a i r e s p o u r m = p x p et 7 c o r p s non p r i m a i r e s p o u r m = 1 1 x 31 x 41

z

- 7 2 c o r p s non u n i t a i r e s a v e c 4 9 c o r p s p o u r m p r e m i e r et 2 3 c o r p s p o u r m = P j x p2.

- 5 0 c o r p s p o u r l e s q u e l s a u c u n d e s n o m b r e s m et m n ' e s t p r e m i e r . i « P a r m i c e s c o r p s , il y a :

- 2 3 c o r p s u n i t a i r e s a v e c 13 c o r p s p r i m a i r e s , 9 c o r p s non p r i m a i r e s p o u r m = p x p et 1 c o r p s non p r i m a i r e p o u r m = 1 1 x 31 x 4 1 . 1 ^ - 27 c o r p s non u n i t a i r e s a v e c 2 0 c o r p s p o u r m p r e m i e r et 7 c o r p s

p o u r m = p1 x p2 .

P o u r l e s 2 1 2 c o r p s r e s t a n t , n o u s a v o n s o b t e n u p o u r d i v i s e u r s p r e m i e r s de (^mi ' ^m2 ) '^{6 S n o m}' -^{) r e s} P^r©^mi e n s s u i v a n t s :

2 (101 f o i s ) ; 3 ( 1 0 7 f o i s ) ; 5 (1 f o i s ) ; 7 ( 1 5 f o i s ) ; 11 ( 4 f o i s ) ; 13 (2 f o i s ) ; 1 7 ( 1 f o i s ) ; 1 9 ( 1 f o i s ) .

(10)

C e s c o r p s s e r é p a r t i s s e n t d e la f a ç o n s u i v a n t e :

- 8 4 c o r p s p o u r l e s q u e l s (m^ , m ^ ) = (k Ç N*) P a r m i c e s c o r p s , il y a :

- 51 c o r p s u n i t a i r e s a v e c 2 9 c o r p s p r i m a i r e s , 2 0 c o r p s non p r i m a i r e s p o u r m = p x p et 2 c o r p s non p r i m a i r e s p o u r m = 1 1 x 31 x 41 i ^ - 3 3 c o r p s non u n i t a i r e s a v e c 2 5 c o r p s p o u r m p r e m i e r et 8 p o u r

m = P1^{X P}2 '

( \ k

- 87 c o r p s p o u r l e s q u e l s (^m^ , m^J = 3 (k Ç N ) P a r m i c e s c o r p s , il y a :

- 4 9 c o r p s u n i t a i r e s a v e c 2 8 c o r p s p r i m a i r e s , 19 c o r p s non p r i m a i r e s p o u r m = p x p et 2 c o r p s n o n p r i m a i r e s p o u r m = 1 1 x 31 x 41 1 z - 38 c o r p s non u n i t a i r e s a v e c 3 0 c o r p s p o u r m p r e m i e r et 8 c o r p s

p o u r m = p1 x p2.

- J_ c o r p s p o u r lequel ( m , m ^ I Z ^{= 5}³

C ' e s t l e c o r p s u n i t a i r e , non p r i m a i r e , p o u r m = 11 x 31 x 4 l , qui e s t n u m é r o t é ( 10).

/ \ k *, - J_3 c o r p s p o u r l e s q u e l s l^m , m ^ j1 ⁼ 7 (k Ç N )

P a r m i c e s c o r p s , il y a :

- 4 c o r p s u n i t a i r e s a v e c 2 c o r p s p r i m a i r e s et 2 c o r p s non p r i m a i r e s p o u r m = p1 x p2

- 9 c o r p s n o n u n i t a i r e s a v e c 6 c o r p s p o u r m p r e m i e r et 3 p o u r m = p1 x p2.

! \ k * 3 c o r p s p o u r l e s q u e l s (^m^ , m²J = 1 1 ( k Ç N )

C e s c o r p s s o n t : 2 c o r p s u n i t a i r e s p r i m a i r e s p o u r m = 1301 et m = 3001 et l'un d e s 4 c o r p s non u n i t a i r e s p o u r m = 9 9 1 ( c o r p s qui e s t n u m é r o t é (2)).

/ \ k *>

2 c o r p s p o u r l e s q u e l s \mj >m2 / = ( k g N )

C e s c o r p s s o n t : l e c o r p s u n i t a i r e p r i m a i r e p o u r m = 4 6 2 1 et l ' u n d e s 4 c o r p s u n i t a i r e s non p r i m a i r e s p o u r m = 2 3 2 1 = 1 1 x 211 ( c o r p s n u m é r o t é (1)).

(11)

1 c o r p s p o u r lequel (^m^ , rn^y = 19

C ' e s t l'un d e s 16 c o r p s u n i t a i r e s non p r i m a i r e s p o u r m = 11 x 31 x 41 ( c o r p s n u m é r o t é (5)).

k k

17 c o r p s p o u r l e s q u e l s (rrij , m ^ j = 2 1 x 3 2 (k^ , k^ £ M*) P a r m i c e s c o r p s , il y a :

- 8 c o r p s u n i t a i r e s a v e c 3 c o r p s p r i m a i r e s , 4 c o r p s non p r i m a i r e s p o u r m = P j x p^ et 1 c o r p s non p r i m a i r e p o u r m = 1 1 x 31 x 41 - 9 c o r p s non u n i t a i r e s a v e c 5 c o r p s p o u r m p r e m i e r e t 4 p o u r

m = P j x p².

k.

- 2 c o r p s p o u r l e s q u e l s (m^ , m ^ j = 3¹ x 7² (^ki '^k2 ^

C e s c o r p s s o n t : l e c o r p s u n i t a i r e p r i m a i r e p o u r m = 2 1 6 1 et l'un d e s 16 c o r p s non u n i t a i r e s p o u r m = 451 = 11 x 41 ( c o r p s n u m é r o t é ( 1 0 ) ) .

- J_ c o r p s p o u r lequel (m^ , m ^ ) = 33 x 11

C ' e s t l e c o r p s u n i t a i r e p r i m a i r e p o u r m = 4 9 5 1 .

- J_ c o r p s p o u r lequel (m^ , m j = 3³ x 17

C ' e s t l'un d e s 16 c o r p s u n i t a i r e s n o n p r i m a i r e s p o u r m = 11 x 31 x 41 ( c o r p s n u m é r o t é (1)).

(12)

B I B L I O G R A P H I E

[ 1] A. C H A T E L E T :

A r i t h m é t i q u e d e s c o r p s a b é l i e n s du t r o i s i è m e d e g r é .

A n n a l e s s c i e n t i f i q u e s de l ' E c o l e N o r m a l e S u p é r i e u r e , 6 3 , 1946, p. 1 0 9 - 1 6 0 .

[ 2 ] C. P A R I S :

A p p r o x i m a t i o n s p - a d i q u e s de c e r t a i n s e n t i e r s de d e g r é 3.

F a s c i c u l e 6 d e s A n n a l e s S c i e n t i f i q u e s de l ' U n i v e r s i t é de B e s a n ç o n , 3 è m e s é r i e , M a t h é m a t i q u e s 1973.

[ 3 ] C. P A R I S :

B a s e s s u r Z d e s i d é a u x p r i m a i r e s c a n o n i q u e s d'un c o r p s K , e x t e n s i o n de Q, c y c l i q u e , de d e g r é p r e m i e r i m p a i r et a p p r o x i m a t i o n s p - a d i q u e s d e s r a c i n e s d'un p o l y n ô m e f o n d a m e n t a l f de K.

P u b l i c a t i o n s m a t h é m a t i q u e s d e la F a c u l t é d e s S c i e n c e s de B e s a n ç o n , A n n é e 1 9 7 8 - 1 9 7 9 .

[ 4 ] J. J . P A Y A N :

C o n t r i b u t i o n à l ' é t u d e d e s c o r p s a b é l i e n s de d e g r é p r e m i e r i m p a i r . A n n a l e s de l'Institut F o u r i e r , G r e n o b l e , 15, 2, ( 1 9 6 5 ) , p. 1 3 3 - 1 9 9 .

(13)

T A B L E I

C O R P S U N I T A I R E S D E D I S C R I M I N A N T D ^ = m4

m < 5 0 0 0

m = 1 1 x 3 1 x 4 1 P O L Y N O M E F O N D A M E N T A L

P O L Y N O M E S gh ( « ^ 6 . ^ - 9 ^ ) ) I ( 0 ) = V D(0) : Dk = m x m2

(14)

C O R P S P R I M A I R E S U N I T A I R E S D E D I S C R I M I N A N T n = m4

K

m = p ; p r e m i e r p = 1 (mod 5)

p < 5000

(15)

m a

x

⁴

x

³ ^X² ^X 1

1 1 ( 1, 1 , - 1 , 0 ) - 1 - 4 3 3 - 1

1 - 1 - 3 2 1

0 1 0 - 3 0

- 1 0 4 0 - 2

0 0 - 1 0 2

31 ( 1 , 0 , - 2 , 0) - 1 - 1 2 21 1 - 5

2 - 1 - 2 2 31 0

2 4 - 1 7 - 1 4 10

- 3 - 1 3 3 - 2 4 - 1 5

- 1 - 2 6 2 10

41 (0, 1, 2, 3) - 1 - 1 6 - 5 21 9

# - 2 2 2 9 10 - 1 2

- 1 4 10 - 3 4 - 6

4

-7

^{- 5 8} ¹⁹ ^{6 0}

- 1 1 19 - 4 - 3 3

61 (1, 0, 3, 0) (1, 0, 3, 0) - 1 - 2 4 17 41 13

2 5 - 3 9 - 5 7 7 7 4 0 5 9 9

- 8 9 1 8 0 - 1 7 3 - 1 3 6

- 1 1 16 2 6 2 - 3 1 4 - 3 3 2

- 6 14 135 - 2 8 2 - 1 0 2

71 (1, 3, 2, 3) - 1 - 2 8 - 3 7 2 5 - 1

- 9 6 2 5 4 4 1 0 - 9 6

5 - 1 1 - 1 1 3 - 1 0 0 15

6 - 4 - 1 7 7 - 2 5 8 156

- 2 9 36 - 7 5 - 5 2

101 (2, 3, 2, 4) - 1 - 4 0 - 9 3 - 2 1 17

- 3 5 1 1 1 2 2 2 51

- 6 2 7 1 5 4 - 1 5 - 6 8

5 - 1 4 - 1 6 8 - 2 0 0 68

4 - 1 8 - 9 7 - 2 4 - 3 4

131 (1, - 1 , 3, - 2 ) . - 1 - 5 2 8 9 109 - 1 9 3

- 3 3 - 1 5 1687 - 4 7 6 - 3 8 0 1

- 2 6 - 1 9 1 3 1 0 - 7 1 - 2 8 0 8

- 1 5 - 1 4 7 7 4 114 - 2 0 9 4

7 4 4 8 - 3 7 7 1 3 5 4 8 7 8 2

27 3

29 29 1

2 3 2 3 1 17 17 1

79 7 9 1

(16)

m a

x

⁴

x

³ ^X² ^X ¹

151 (0, 1, - 3 , - 2 ) - 1 - 6 0 12 7 8 4 - 1 2 8

* - 1 7 18 - 184 2 5 6

0 - 1 3 3 0 - 4 8

- 1 7 34 - 2 0 0 - 1 2 8

1 - 5 - 3 2 116 4 8

181 (1, 1, 4, 0) - 1 - 7 2 123 2 2 3 49

- 1 0 9 170 7 7 7 2 - 1 7 9 0 0 - 1 4 2 8 0

1 1 - 6 5 - 9 4 7 4 3 9 0 4 4 1 7

4 8 - 9 4 - 3 2 7 9 8 9 1 6 1638

5 0 - 1 1 - 3 5 4 6 3551 9 2 6 8

191 (2, 1 , - 2 , 3) (2, 1 , - 2 , 3) - 1 - 7 6 3 5 9 - 4 3 7 155

16 - 4 - 1 2 1 9 4 8 1 6 - 3 2 7 0

-7

- 1 2 4 6 8 - 1 3 9 2 9 7 0

- 1 2 3 9 2 8 - 3 5 5 7 2 0 4 0

3 13 - 1 7 7 7 8 3 1 5

21 1 (0, 3,

-2,

0) - 1 - 8 4 59 1661 - 2 6 9

1 1 171 - 9 2 7 - 8 0 8 0 141 13

18 91 - 3 8 4 - 4 7 2 5 - 1 4 2 9 2

- 4 3 - 1 0 2 2 3 0 2 4 0 1 8 - 1 1 5 5 2

14 - 1 6 0 - 9 9 1 6 7 1 0 1 3 8 0 8

241 ( 1 , 3 , - 3 , 3) - 1 - 9 6 2 1 2 1 2 3 2 - 5 1 2

* ( 1 , 3 , - 3 , 3)

1 - 9 - 1 1 2 6 6 8 9 9 2

- 5 - 2 1 3 1 8 4 0 0 - 7 3 6

1 13

-2

^{- 6 0 8} ^{- 1 4 7 2}

3 17 - 2 0 4 - 6 3 6 1 3 9 2

251 ( 1 , - 3 , - 1 , - 3 ) - 1 - 1 0 0 2 0 1504 - 1 0 2 4

* ( 1 , - 3 , - 1 , - 3 )

- 9 - 1 5 8 6 0 1 5 8 0 - 8 2 5 6

2 - 5 - 1 5 5 110 7 6 8

3 5 - 4 2 0 - 6 6 0 8 3 5 2

- 1 15 9 0 - 1 0 8 0 - 1 184

271 (3, - 3 , 1, 0) (3, - 3 , 1, 0) . - 1 - 108 401 - 1 3 - 8 4 5

163 2 7 9 - 1 6 8 6 3 1 9 4 8 6 5 3 1 0 5

- 2 4 - 6 7 2 5 1 4 - 3 0 3 - 1 4 0 4 0

- 4 7 - 9 6 4 7 1 2 - 4 9 2 4 - 1 1 4 4 0

- 9 2 - 1 1 6 9 6 3 7 - 1 5 1 0 4 - 2 6 7 8 0

f

g.

1(0) = m1 x m 5 1 2

1 0 4 3 149 7 5 5

5 5 = 5 x 11 1

2 0 7 7 67 31

2 8 1 6

176 = 2⁴x 1 1

1 2 8 0 0

2 0 0 = 23x 52

6 4 = 26

8 4 5

169 = 1 32

5

1 ( 0 )

m 1 m,

en l

(17)

m a

x

⁴

x

³ ^X² ^X 1

281 ( 1, - 3 , 2, 1) - 1 - 1 1 2 191 2 2 5 7 - 9 6 7

- 4 9 - 3 1 2 3 1 5 0 1 3 9 8 6 - 4 9 3 4

- 5 7 - 3 5 9 3 7 4 7 1 6 1 0 4 - 9 2 4 9

8 2 5 3 0 - 5 2 9 9 - 2 4 1 2 2 101 16

2 4 141 - 1 5 9 8 - 6 1 6 1 4 2 6 0

31 1 (3, 5, 2, 4) (3, 5, 2, 4) - 1 - 1 2 4 - 5 3 5 - 4 1 3 5 3 9

- 9 4 0 9 8 4 1 4 0 4 - 2 0 1 6

- 3 9 3 6 7 7 5 4 - 9 4 5

- 4 12 4 5 9 1 2 4 8 1 9 6

16 - 6 1 - 1 8 1 0 - 3 4 9 7 2 8 5 6

331 (1, - 1 , - 2 , 3) (1, - 1 , - 2 , 3) - 1 - 1 3 2 8 8 7 - 1 8 4 3 1027

2 3 110 - 2 4 7 0 5 7 5 0 - 6 7 6

- 7 - 5 1 5 5 9 - 9 4 4 2 4 3 1

18 16 - 2 3 0 1 1 1 7 5 4 - 1 4 1 9 6

- 3 4 - 7 5 4 2 1 2 - 1 6 9 6 3 1 2 8 4 4

401 (4, 1, 5, 1) (4, 1, 5, 1) - 1 - 1 60 - 3 6 9 8 7 9 2 9

- 1 6 8 5 0 6 2 5 5 6 3 1 2 8 0 4 - 1 2 8 5 8 6

- 1 2 3 - 7 8 1 8 9 4 0 7 6 6 4 4 21 112

2 - 3 0 5 1 9 3 8 3 2 1 3 7 - 5 1 3 8 8

2 8 9 - 1 2 3 - 4 6 4 4 1 - 1 3 4 1 4 2 1 7 1 4 1 9

421 (5,(5,

2, 2, 2, 2,

0) 0) - 1 - 1 6 8 - 2 1 9 3 8 5 3 3 5 1 7

- 2 8 - 1 9 9 1 2 6 0 8 - 5 8 6 1 - 5 5 3 2 2 4

3 2 6 - 1 4 9 0 - 4 7 8 1 3 5 6 8 1 8 7 9 1 6 2 6

- 5 1 1541 123 - 1 6 4 8 5 6 1 1 1 5 7 9

- 2 4 7 148 3 5 0 8 2 6 0 6 0 2 - 2 9 6 6 8 4

4 3 1 (2, 3, - 3 , 4) - 1 - 1 7 2 7 2 4 1 8 2 4 - 1 7 2 8

* 1 - 5 - 1 8 4 1 172 9 1 2

- 3 - 1 7 3 6 0 - 2 8 - 6 2 4

0 1 9 - 1 0 6 - 2 6 4

1 7 - 124 - 2 4 4 1 0 0 8

4 6 1 ( 1 , - 4 , - 4 , - 4 ) - 1 - 1 8 4 129 4 5 5 1 - 5 4 1 9

- 4 4 2 - 1 0 1 3 7 7 0 8 8 1 5 1 4 7 7 - 1 2 7 3 7 0 8

3 2 4 - 7 0 6 - 4 8 9 0 3 4 7 5 8 0 4 1 6 5 3 2

151 1 65 - 3 5 3 8 9 - 5 1 9 3 0 1 1 3 0 8 0 7

- 3 3 1 5 5 4 7 2 0 4 - 2 2 7 1 6 0 - 1 9 3 5 9 8

f

g.

¹⁹³_{1 9 3}

6 3 7

91 = 7 x 13 7

4 0 3 13 31

1 2 5 5 7 4 3 3 2 9

5 3 2 9 7 2 3 9 2 2 3 9 2 1 6

3 8 4 = 2?x 3 2 4 = 23X 3 8 0 0 3 3 491

163

1 ( 9 )

m 1 m,

i Oi i

(18)

m a x 4 x 3 X² X 1

491 (5, 3, 0, 1) - 1 - 1 9 6 - 5 9 2 0 1 9 - 1 3 7 7

# 3 - 188 6 2 4 2 7 5 2 4 - 6 5 2 8 0

- 1 0 7 2 1 7 2 0 5 6 7 - 1 3 6 3 0 - 1 5 1 5 2 1

1 6 4 104 - 3 2 0 6 9 - 6 2 9 3 6 2 3 0 9 2 8

- 6 0 - 1 3 3 1 0 8 7 8 3 7 3 6 3 - 2 4 4 8

521 ( 1 , - 4 , 1, 1) - 1 - 2 0 8 771 4 1 4 3 - 2 0 8 3

146 1 2 1 5 - 2 2 6 5 8 - 8 9 0 0 7 3 4 7 7 1 6

- 3 2 6 9 8 1 4 1 2 7 - 1 0 9 7 0 8 - 4 8 0 2 5 4

- 2 4 3 - 1 2 9 9 3 5 7 8 3 - 1 5 6 6 - 1 2 5 0 2 9

129 - 6 1 4 - 2 7 2 5 2 1 6 5 0 8 4 2 9 2 7 6 4

5 4 1 (6, 4, 3, 3) - 1 - 2 1 6 - 1 147 - 8 0 5 2 6 2 9

7 4 - 3 9 7 - 1 4 0 2 0 - 2 6 1 7 9 3 5 4 2 0

- 3 0 4 1 4 4 6 6 0 2 7 7 1 2 1 6 0 0 - 2 2 5 7 6 4

195 - 8 1 5 - 3 9 4 4 1 - 9 8 5 2 6 1 2 5 2 3 5

3 5 - 2 3 4 - 6 8 1 6 - 3 1 6 6 8 5 3 0

571 (6, 5, 3, 0) - 1 - 2 2 8 - 8 6 8 3 0 5 6 7 5 5 2

# - 1 - 1 3 5 4 2 1 0 1 6 - 2 1 5 6 8

7 - 3 3 - 1 4 3 8 - 1 4 0 8 1 9 0 4 0

- 9 131 1 158 - 1 3 1 7 6 - 1 5 5 5 2

- 1 7 2 7 3 5 1 0 1 2 8 0 8 - 1 3 5 0 4

6 0 1 (6, 5, 3, 5) - 1 - 2 4 0 - 1 7 5 5 - 3 7 3 1 - 2 3 9 9

- 2 - 7 0 1 2 7 5 1 4 0 5 0 1 3 8 0 2

- 2 7 1 6 0 5 6 1 0 2 0 6 1 0 1 0 6 3 2

8 8 - 2 3 5 - 2 0 7 4 0 - 1 1 9 8 4 5 - 1 2 9 9 2 8

- 5 9 145 1 3 8 5 5 8 4 0 8 0 1 0 6 5 9 9

6 3 1 (6, 4, 5, 4) - 1 - 2 5 2 - 2 0 9 5 - 5 7 8 5 - 5 0 6 9

16 - 1 3 2 - 3 0 7 5 - 1 1 2 0 4 - 1 1 7 7 6

9 - 5 2 - 1 9 8 0 - 9 8 4 0 - 1 1 9 6 4

- 2 0 165 3 8 6 6 1 3 6 4 9 1 2 5 8 4

- 5 19 1 189 7 3 0 6 1 1 2 4 5

641 (5, 1 , - 1 , - 1 ) . - 1 - 2 5 6 5 6 4 5 3 2 8 5 1 2 0

* - 2 3 5 7 6 1 2 2 - 2 2 1 2 8 - 1 1 2 9 6 0

4 7 - 143 - 1 1 6 8 8 4 8 7 7 2 1 4 3 8 4 0

- 3 8 7 7 7 2 - 2 0 8 6 8 7 1 2 0

- 2 1 - 1 4 7 9 4 - 1 0 6 5 6 - 3 3 1 2 0

f g .

1(6) = m x m 3 5 0 3 7

51 = 3 x 17 6 8 7 = 3 x 2 2 9

3 5 1 9 7 5 7 7 6 1

3 4 2 1 1 1 31 1

6 3 4 8 8 2 5 6 = 2® 2 4 8 = 23X 31

1 105 5

221 = 1 3 x 1 7

8 9 8 9 1

7 8 0 8 0 8 0 = 24X 5 9 7 6 = 2⁴x 61

1 ( 9 )

m 1

m.

i -a i

(19)

4 3 v, 2 X

m a X X X X 1

661 (1, 3, - 3 , - 2 ) - 1 - 2 6 4 185 1 6 8 3 7 - 4 8 5 1

* - 1 3 6 9 - 5 1 2 7 2 4 5

- 4 - 5 1 7 8 0 6 5 8 3 - 2 3 1 8 4

1 6 0 - 6 - 8 6 8 6 - 1 4 6 1 6

2 - 6 - 3 2 7 6 4 6 5 9 2 2

691 (2, - 4 , - 4 , - 3 ) - 1 - 2 7 6 1299 5 3 2 9 - 1 5 5 8 1

- 6 5 3 - 2 3 4 2 1 6 4 8 7 8 - 1 9 2 2 6 2 - 3 0 2 4 9 9 6

421 - 103 - 1 0 3 7 6 5 4 4 8 8 4 4 6 6 4 7 6 3

5 4 - 7 2 8 - 3 3 6 8 1 7 2 5 8 2 1 9 2 2 9 8 8

178 3 1 7 3 - 2 7 4 3 2 - 4 7 9 6 2 7 5 8 7 7 0 8

701 (4, 6, 2, 7) (4, 6, 2, 7) - 1 - 2 8 0 - 2 0 4 7 - 3 7 9 1 - 1 6 9 9

197 - 5 0 4 - 5 4 4 5 0 - 3 1 8 5 9 4 - 2 6 3 8 7 6

9 - 2 8 7 5 6 7 3 0 9 2 4 6 1 5 9

- 1 1 0 2 0 6 3 0 2 1 5 2 0 1 5 0 2 2 7 1 4 1 0

- 9 6 5 8 5 2 3 668 7 8 7 3 9 - 6 2 6 4

751 (5, 0 , - 1 , 2) - 1 - 3 0 0 2 3 1 3 - 3 7 6 1 571

1 7 3 - 1 3 1 - 5 0 8 8 5 3 9 1 5 3 4 - 5 8 4 9 0 9

- 3 6 4 - 173 1 0 9 1 5 8 - 6 8 1 8 8 9 4 2 4 9 3 6

2 1 5 8 8 4 - 5 9 5 0 0 1 9 8 5 6 8 1 4 4 1 8 0

- 2 4 - 5 8 0 1227 6 5 9 1 6 4 1 6 6 4

761 (4, 5, 7, 5) - 1 - 3 0 4 - 2 8 3 1 - 8 9 2 5 - 8 7 7 5

* (4, 5, 7, 5)

16 - 8 6 - 4 4 5 9 - 2 6 1 7 6 - 3 5 6 4 0

- 9 3 4 2 6 1 6 1 8 4 0 4 3 3 3 3 0

6 - 6 1 - 1 2 8 4 - 4 8 7 1 - 7 5 0 0

- 1 3 113 3 1 2 7 1 2 2 9 8 1 0 1 5 5

811 (2, - 3 , - 1 , 3) (2, - 3 , - 1 , 3) - 1 - 3 2 4 3 4 7 1 - 1 2 4 3 1 136 0 3

- 1 0 - 1 3 6 1 7 1 5 - 2 7 6 2 1 5 8 1 6

- 9 7 - 3 9 8 2 9 3 0 2 - 1 8 8 4 6 2 2 7 6 8 5 6

66 4 3 7 - 1 8 2 2 8 8 8 7 0 1 - 8 7 8 0 4

41 97 - 1 2 7 8 9 1 0 0 2 2 0 - 2 0 2 5 6 5

821 (5, 1 , - 3 , - 2 ) - 1 - 3 2 8 1215 3 5 7 3 - 2 1 7 9

3 3 5 - 1 3 5 9 - 1 0 1 7 1 7 7 0 7 7 0 0 - 6 9 0 1 13

- 9 2 0 1 5 0 5 3 0 1 6 1 4 - 1 3 1 7 6 9 7 - 2 2 2 9 5 0 0

651 1 3 6 8 - 2 0 7 9 1 0 1 5 9 2 2 2 2 3 5 2 9 1 4

- 6 6 - 1 5 1 4 8 0 1 3 3 0 1 5 5 4 7 1 5 9 2 0

f

g.

1(6) = rrij x m 4 5 9 2 7

2 4 3 = 35

189 = 33x 7

1 5 0 4 6 3 3 7 9 3 9 7

7 4 2 9

391 = 17 x 2 3 19

2 5 8 7 1 41 631

1 0 3 5 1 5 = 3 x 5 69 = 3 x 2 3

2 3 0 3 4 9 = 7² 4 7

1 4 9 2 2 1 109

1 3 6 9 = 3 72

1 ( 9 )

m 1

m,

CD i

(20)

m a

x

⁴

x

³ ^X² ^X 1

881 (2, - 4 , 1, 2) (2, - 4 , 1, 2) - 1 - 3 5 2 2 3 6 1 4 2 5 7 - 9 9 6 7

2 3 4 2 3 6 2 - 5 7 3 4 5 - 7 6 6 2 6 5 2 8 7 1 4

5 7 1 2 8 4 - 4 4 0 2 - 1 6 5 3 5 4 - 3 3 2 5 3 6

- 3 3 2 - 3 1 1 5 7 9 9 4 4 4 5 4 7 - 2 3 1 4 1 6

41 - 5 3 1 - 1 8 1 9 7 2 0 9 7 9 6 6 2 8 7 5

9 1 1 (5, - 2 , 0, 1) - 1 - 3 6 4 2 9 8 8 - 1 3 9 2 - 9 8 5 6

* - 4 - 2 1 1267 - 4 9 3 8 - 8 6 2 4

5 7 - 1 6 8 0 1 1 5 2 4 - 6 1 6 0

- 9 - 105 1946 - 6 0 0 1 9 7 1 2

15 175 - 3 6 5 4 - 5 1 6 0 2 9 5 6 8

9 4 1 (4, 6, 5, 6) (4, 6, 5, 6) - 1 - 3 7 6 - 3 8 7 7 - 1 3 4 4 5 - 1 5 2 7 1

- 3 6 138 1 3 1 4 5 1 0 2 2 9 6 1 9 3 2 9 0

1 1 - 7 4 - 3 6 0 8 - 2 3 3 2 0 - 4 0 8 8 4

3 0 - 1 1 5 - 1 0 9 8 6 - 8 4 8 0 1 - 1 5 6 3 0 0

- 5 51 1 4 4 9 5 6 3 4 4 0 8 5

9 7 1 (6, 5, 1, 4) - 1 - 3 8 8 - 1 4 7 6 8 3 0 4 - 7 1 6 8

* (6, 5, 1, 4)

3 - 6 - 1 0 6 7 - 4 3 6 2 8 3 4 4

5 81 - 2 2 9 4 - 3 6 9 3 6 - 8 9 6

- 3 3 - 2 5 1 2 7 3 8 7 0 3 6 8 - 1 4 7 8 4 0

37 17 - 1 4 6 4 6 - 7 4 7 2 8 2 3 5 6 4 8

9 9 1 (2, 6, 1, 7) (2, 6, 1, 7) - 1 - 3 9 6 - 2 1 0 1 8 0 3 9 1819

- 4 8 8 - 5 0 7 1 9 3 7 4 8 1 3 4 0 5 7 3 - 1 7 5 9 9 3 6

4 3 6 - 3 2 2 8 - 1 3 1 3 8 5 - 3 0 8 1 5 6 3 5 0 3 1 8

2 8 9 6 0 7 - 1 3 0 6 9 1 - 8 1 8 1 3 8 3 1 6 4 9 5 3

- 2 3 7 3 1 2 8 6 8 3 2 8 - 3 6 3 9 7 2 - 1 6 0 5 6 4 2

1021 (4, 5 , - 1 , 1) (4, 5 , - 1 , 1) - 1 - 4 0 8 - 5 3 1 2 8 5 3 9 - 9 9 6 3

3 2 - 2 5 4 - 8 7 9 3 2 2 7 5 2 1 5 5 1 9 6

- 5 8 6 1 5 3 6 - 1 9 1 1 6 - 7 1 7 6 6

- 2 - 1 5 8 1 2 5 2 4 7 - 3 5 8 2 0

1 T31 - 3 1 2 3 - 3 2 6 3 4 4 0 2 4 8 9

1031 (5, 3, - 2 , 0) (5, 3, - 2 , 0) - 1 - 4 1 2 701 1 4 4 6 7 - 3 8 4 3 7

7 7 1 - 3 1 2 - 2 8 7 1 2 0 1 4 6 8 3 6 4 1 2 2 6 3 6

3 1 3 4 4 8 1 - 1 1 7 0 7 3 - 1 5 6 7 4 0 6 2 9 2 8 4 7 1

- 1 7 8 8 - 5 4 2 0 7 1 0 3 9 1 1 4 7 7 9 6 8 - 1 8 0 7 5 6 2 4

7 0 4 1251 - 3 0 6 1 9 8 - 4 5 2 1 2 1 1 1 4 1 9 2 4 0

f 9.

1(0) = m x m 27 6 3 7

9 5 3 2 9

3 9 4 2 4 6 4 = 26

6 1 6 = 23x 7 x 1 1

191 191 1

9 3 1 8 4 5 6 = 2 3x 7

1 6 6 4 = 2?X 13

1 4 9 6 9 3 1 3 9 9 107

5 4 0 1 8 9

351 = 33X 13 1 5 3 9 = 3⁴x 19

3 9 4 7 2 3 2 1 7 = 7 x 3 1

1 8 1 9 = I 7 x 107

1 ( 0 )

m 1

m,

<o i

(21)

m a

x

⁴

x

³ ^X² ^X ¹

1051 (6, 1, 4, 0) - 1 - 4 2 0 - 9 6 7 2 8 7 8 9 1 4 1 5 1

-K-

(6, 1, 4, 0)

13 - 1 8 9 - 2 5 7 1 2 4 5 4 8 - 4 6 5 8 7

2 - 2 5 - 5 2 6 3 2 6 7 1 1 4 4 8

- 7 1 14 1 4 7 0 - 1 8 0 8 6 2 2 2 6

- 1 0 7 2 2 8 9 5 - 3 9 8 6 - 5 8 8 3 0

1061 ( 1 , - 3 , 4, 2) - 1 - 4 2 4 2 9 7 4 1 0 3 1 - 1 8 7 8 7

- 1 5 9 1 5 2 6 - 1 0 0 2 0 - 4 4 3 4 4 8 7 9 9 7 2 6 2

- 3 9 9 - 4 9 4 1 1 4 1 4 9 3 ! 0 4 4 7 1 4 - 8 1 2 8 2 2 3

- 5 2 6 3 4 6 4 0 5 7 5 - 1 5 8 3 3 7 2 - 4 9 2 7 0 8 4

6 1 0 - 2 9 3 1 - 1 7 2 0 4 8 5 1 7 2 7 5 5 5 2 2 8 7 6

1091 (5, 1, 2, - 2 ) - 1 - 4 3 6 - 1 3 1 4 2 4 5 3 3 0 1 5

* (5, 1, 2, - 2 )

81 - 9 7 4 - 1 2 1 1 4 1 5 0 9 8 6 - 1 0 1 4 6 9 0

151 - 2 0 9 9 - 4 0 4 2 9 3 9 6 4 7 6 1 2 8 5 8 7 5

- 1 1 8 2 5 5 2 2 0 1 9 7 - 5 4 2 3 1 8 7 4 5 6 5 0

- 1 1 4 5 2 1 3 2 3 4 6 - 7 3 9 7 9 - 9 4 8 0 0 0

1 151 (5, 3, - 2 , 5) - 1 - 4 6 0 3 5 4 5 4 8 2 5 - 4 1 6 2 9

6 5 9 4 3 8 - 2 7 9 3 0 6 1 8 6 8 3 2 2 3 5 3 5 4 2

4 1 7 6 6 3 1 - 1 2 9 9 5 1 - 1 0 8 7 8 2 4 3 8 4 7 1 3 7

- 1 1 4 2 - 5 3 8 0 4 8 4 5 9 5 - 1 5 1 7 5 1 0 - 9 4 0 7 5 3 8

66 - 1 6 8 9 - 7 5 3 3 8 3 5 6 3 5 9 5 5 8 7 5 1 2

1 171 (3, 2, - 4 , 0) - 1 - 4 6 8 1 7 3 3 3 1 7 9 5 - 5 4 2 0 1

* 4 - 3 - 1 5 4 2 5 8 8 5 4 1 6 6 4

4 144 - 5 1 3 - 3 9 8 3 2 - 2 8 8 9 6

- 5 - 3 3 2 0 0 1 2 7 5 0 - 9 3 9 7 5

- 1 - 3 6 - 8 6 4 2 0 2 0 1 9 7 7 3 6

1 181 ( 3 , 7, 1, 5) - 1 - 4 7 2 - 2 7 4 0 7 3 6 0 4 5 0 5 6

•H- ( 3 , 7, 1, 5)

- 9 1 0 3 3 5 1 0 - 1 3 8 2 4 - 8 6 0 1 6

- 3 9 1 5 5 0 2 8 4 0 - 5 2 9 9 2

- 5 15 2 1 7 8 9 1 9 2 - 1 2 9 2 8

2 5 - 1 5 1 - 1 0 9 6 6 - 15 1 0 4 2 2 2 7 2 0

1201 (3, 0, - 3 , 4) (3, 0, - 3 , 4) - 1 - 4 8 0 6 1 0 1 - 2 5 7 1 1 3 5 3 2 9

- 1 1 7 - 3 1 7 5 5 0 0 5 - 5 0 9 8 4 4 1 1 2 4 6 1 3

- 4 - 1 5 7 - 1 2 4 2 9 2 3 7 - 7 8 0 6 4

8 3 2 0 4 - 3 8 9 5 8 3 7 3 5 8 6 - 8 8 1 8 0 4

3 8 2 7 0 - 1 5 9 2 3 1 0 4 5 7 8 - 1 6 2 3 0 2

f

g.

I(e)

^{= m x m}

1 1 5 9 1 1

1431 = 33X 5 3

4 6 4 8 3 1

6 2 9 = 1 7 x 3 7 7 3 9

2 0 6 5 0 5

1 0 5 9 = 3 x 3 5 3 1 9 5 = 3 x 5 x 1 3

3 8 0 6 5 3 6 2 3 = 7 x 8 9 6 1 1 = 1 3 x 4 7

9 6 4 4 6 7

1 3 2 3 = 33X 72

7 2 9 = 36

3 1 1 2 9 6

121 6 = 26X 19 2 5 6 = 2®

2 4 4 3 3 4 9 7

1 ( 8 )

m 1

m.

to o

(22)

m a

x

⁴

x

³ ^X² ^X 1

1231 (5, 0, - 1, - 3 ) (5, 0, - 1, - 3 ) - 1 - 4 9 2 8 3 7 4 8 7 8 7 - 1 8 5 3

152 5 1 9 5 4 7 2 1 0 - 1 4 9 2 7 4 5 - 1 6 5 0 2 6 6 4

4 5 2 - 6 6 4 4 - 2 1 3 0 8 9 1 9 8 9 9 0 4 1 4 3 7 5 3 4 4

4 1 7 8 7 2 9 - 1 6 8 7 2 9 - 2 4 8 8 0 1 4 1 1 7 2 4 3 5 1

- 1 0 2 1 - 7 2 8 0 3 3 4 6 0 8 1 1 5 1 3 4 8 - 8 7 5 7 5 2 4

1291 (2, 2, 6, - 1 ) - 1 - 5 1 6 2 4 2 7 8 4 0 7 - 3 1 2 1 7

- 1 4 3 1 124 7 3 5 5 5 2 - 2 7 8 4 5 8 8 - 1 0 5 6 7 0 0 2

- 5 4 5 - 4 0 1 9 2 3 6 8 8 7 5 4 7 4 9 0 - 6 6 6 9

124 - 2 9 6 8 - 4 7 1 0 3 1 6 0 3 1 0 8 - 6 0 6 8 6 3 8

1 8 5 2 6 8 6 3 - 9 2 5 3 3 6 1 0 5 0 1 1 1 7 1 7 1 2 8 8

1301 (6, 1 , - 1 , 5) - 1 - 5 2 0 6 6 0 9 - 2 6 8 1 1 2 7 8 2 1

# 6 3 0 - 2 9 0 9 2 2 3 8 6 - 3 7 5 8 6

2 5 156 - 1 1 8 7 8 7 9 1 7 0 - 9 1 3 1 2

- 3 6 - 2 1 1 1 7 2 6 8 - 1 1 9 5 2 9 1 4 8 5 1 2

5 2 5 - 2 4 8 1 1 7 6 3 2 - 1 9 2 7 3

1321 (6, 4, 3, - 2 ) - 1 - 5 2 8 - 6 8 7 5 3 3 0 5 - 5 8 3 1

- 5 4 2 1 0 0 3 4 1 9 1 9 9 1 - 2 6 0 9 4 5 0 - 9 3 9 3 6 2 2

- 2 7 9 7 6 3 6 - 1 2 4 2 - 1 9 1 4 0 1 8 1 4 6 9 6 9 7 6

1 0 6 0 - 1 2 2 1 1 - 3 4 0 8 8 8 2 0 5 1 7 9 5 6 6 5 9 2 4 0

- 2 3 9 - 5 4 5 9 1 5 0 1 3 9 1 8 0 2 0 6 0 - 1 1 2 9 2 9 8 1

1361 ( 1 , 0 , - 4 , 4) ( 1 , 0 , - 4 , 4) - 1 - 5 4 4 5 8 2 5 - 1 4 8 7 3 - 8 5 5 1

- 7 0 6 - 2 8 4 7 3 6 8 9 6 4 - 2 2 5 8 0 3 7 7 6 4 2 0

- 2 2 8 - 1 8 0 2 1 0 5 2 5 5 - 4 3 4 0 0 4 2 0 7 3 7 2

- 2 3 - 8 6 5 9 5 9 3 3 2 1 0 5 8 - 1 9 7 9 5 4 7

9 5 7 5 5 1 4 - 4 8 3 8 1 2 2 2 9 3 0 9 6 1 7 7 3 6 4 2

1381 (3, 3, 6, 7) (3, 3, 6, 7) - 1 - 5 5 2 - 4 5 8 5 - 4 3 7 5 8 4 6 1

- 4 3 5 - 1 0 0 2 3 4 3 0 6 2 3 0 8 2 5 4 4 4 4 3 2 3 4

1081 - 2 5 9 7 - 5 9 4 2 1 5 - 4 1 2 7 8 6 4 2 2 1 3 8 9

- 7 7 0 5 5 1 4 3 8 9 1 3 9 1 1 6 6 3 8 6 - 3 4 7 1 4 6 0

124 - 2 8 1 7 - 2 9 2 3 0 4 0 5 6 6 5 - 9 4 5 6 0 4

1451 ( 5 , - 1 , - 2 , 2) ( 5 , - 1 , - 2 , 2) - 1 - 5 8 0 7 3 7 1 - 2 8 1 6 1 3 0 9 5 9

231 2 6 8 - 1 3 1 7 8 4 1 4 3 1 9 7 2 - 3 6 1 7 4 5 4

- 4 4 7 - 1 125 2 5 5 6 1 7 - 2 3 9 6 2 0 2 4 3 4 0 9 3 3

2 6 8 1 9 2 8 - 1 3 8 9 4 5 8 4 8 7 5 6 - 6 8 5 8 0 2

- 5 2 - 1 0 7 1 151 12 6 8 7 8 1 9 0 1 6

f

g.

a3

g4

1 ( 9 ) = m x m 8 3 9 5 0 7

5 0 3 1 669

5 2 8 9 7 9 2 5 3 1

2 0 9 = 1 1 x 1 9

3 7 5 1 1 1

341 = 1 1 x 3 l

6 6 9 6 1 3

2 0 2 3 = 7 x 1 72

331

7 7 8 8 7 1097 71

2 4 7 5 5 9 139

1781 = 13 x 137 4 6 6 9 3

5 3 881

1 ( 9 )

m 1 m.

M i I