Table numérique du nombre de classes et des unités des extensions cycliques réelles de degré 4 de $\protect \mathbb{Q}$

(1)

T A B L E NUMERIQUE DU NOMBRE D E C L A S S E S ET D E S U N I T E S

D E S E X T E N S I O N S CYCLIQUES R E E L L E S D E DEGRE 4 D E Q .

M a r i e - N i c o l e GRAS

(2)

T A B L E D E S MATIERES

INTRODUCTION

I - G E N E R A L I T E S S U R L E S E X T E N S I O N S CYCLIQUES R E E L L E S DE DEGRE 4 D E Q ; NOMBRE D E C L A S S E S ET U N I T E S

1 ) D e s c r i p t i o n d e s éléments de K 2) S t r u c t u r e du groupe d e s unités de K

a) Détermination de l'indice Q^, b) P r o p r i é t é s de Q^,

3) Nombre de c l a s s e s et unités de K

a) Rappel des r é s u l t a t s de H. W. Leopoldt b) Majoration de h = ( I E I : I F

X

v

X X

c) Détermination de h et

e

X X d) Calcul de Q.. rs

e) Calcul du nombre de c l a s s e s h de K 4) P r é s e n t a t i o n des tables

5) Corps c y c l i q u e s r é e l s de d e g r é 4 admettant une une unité

^ - r e l a t i v e t e l l e que s = -1 et r = - 6

Il - C L A S S E S D E k QUI DEVIENNENT P R I N C I P A L E S DANS K III - T A B L E NUMERIQUE

BIBLIOGRAPHIE

(3)

INTRODUCTION

S o i e n t K une extension cyclique r é e l l e de d e g r é 4 de Q et k son

s o u s - c o r p s quadratique. Dans [ 4 ] , nous avons déterminé le nombre

de c l a s s e s et les unités de K et étudié le problème de la "capitula-

tion" des c l a s s e s de k dans K . Dans c e travail nous donnons l e s d é -

monstrations de quelques p r o p r i é t é s , seulement é n o n c é e s dans [ 4 ] ,

et nous publions dans la partie III la table numérique des r é s u l t a t s

obtenus pour l e s 1 536 c o r p s K de conducteur inférieur à 4000 (nombre

de c l a s s e s , unités, capitulation) ; nous n'avions publié dans [ 4 ] qu'un

court extrait de cette table.

(4)

l - G E N E R A L I T E S S U R L E S E X T E N S I O N S CYCLIQUES R E E L L E S D E DEGRE 4 D E Q ; NOMBRE D E C L A S S E S ET UNITES .

1 ) D e s c r i p t i o n des éléments de K .

S o i t K une extension c y c l i q u e de d e g r é 4 de Q de groupe de Galoîs G = <a) et de s o u s - c o r p s quadratique k . S o i e n t f le conducteur de K ,

2

m celui de k ; a l o r s f = mg et le discriminant de K est égal à mf . P u i s - que K a pour conducteur f , on a K c Q ^ et il e x i s t e un c a r a c t è r e de Gai

( Q ^ /Q ^ )

(z/fz)* » dont le noyau est Gai > qu'on appellera c a r a c t è r e de K (il est unique à inversion p r è s et est d ' o r d r e 4). L e c o r p s K s e r a réel si et seulement si ) = +1 .

Commençons par é n o n c e r s a n s démonstration l e s r é s u l t a t s suivants démontrés dans [ 5 ] :

(i) Décomposition en f a c t e u r s p r e m i e r s de f et m.

P o u r tout i = 0 , 1 , . . . , n , p. d é s i g n e un nombre premier congru à 1 modulo 4 , et g un entier s a n s facteur c a r r é impair ; on d é s i g n e par v

2

( g ) l'exposant de la plus grande p u i s s a n c e de 2 qui d i v i s e g ; a l o r s on a :

a) si m est impair, f = p

Q

p

1

. . . p

n

g et m = p

(

_

>

p

1

. . . p

n

, a v e c v (g) = 0 , 2 ou 3 et (m, g) = 1 ;

p) si m est pair, f = 2 p 4 3

1

. . . P

n

( g / 2 ) et m = 2 p

1

. . . p

p

, a v e c v

2

(g) = 1 et (m, g) = 2 .

(ii) Dénombrement des c o r p s r é e l s de conducteur donné.

S u p p o s o n s que f et m soient donnés ; on c o n s i d è r e l'ensemble d e s c o r p s c y c l i q u e s r é e l s de d e g r é 4 de conducteur f et dont le s o u s - c o r p s quadratique a pour conducteur m. S i f = 0(8) , le nombre de c e s c o r p s est égal à 2

n

(et il y a autant de c o r p s imaginaires). S i f ^ 0(8) , le nom- bre de c e s c o r p s est égal à 2

n

ou 0 (le nombre de c o r p s imaginaires est a l o r s r e s p e c t i v e m e n t égal à 0 ou 2

n

). En exprimant convenablement la condition v'(-1 ) = +1 , on montre que l e s c o r p s sont r é e l s si et seulement

( 1 )/

si 1 f s = +1 . où s „ = -I et s = (-1 ) ' P s i p est impair, en désignant

p | f

P 2 P

par e l'indice de ramification de p dans K . Dans tous les c a s , c e s d i f—

P ^ ' f é r e n t s c o r p s sont c a r a c t é r i s é s par les d i f f é r e n t e s décompositions de m

s o u s la forme m = a + b , a et b de s i g n e s f i x é s , b paîr : on a K = k(\|;) ,

2 2

(5)

a v e c ty = -\Jg\frn

3

(tout choix de s i g n e s donnant le même corps).

(iii) B a s e de KQ(i)/Q(i).

S o i e n t ç une r a c i n e primitive f

l è m e

de l'unité, 9 = T r (ç) et O

1

''/K

—1 —1 x

T

=

T

(

x

' ~ ) = £) x ' M Ç > x ' c a r a c t è r e de K ; a l o r s x mod f

2 3

T = 0 — ig

p

- 9 ° + i9

ff

. L e s éléments 1 , \fm ,

T

et T forment une b a s e de KQ(i)/o(ï) , a v e c le formulaire de multiplication suivant :

T T = f ,

T 2

= g(a + bl)Vm , ?

2

= g(a - bi)\/Tn ,

\fmr = (a + bi)? et ^rn f = (a - bi)

T

.

C e s formules permettent de déterminer les s i g n e s de a et b (ils dépendent du choix de la conjugaison G). Dans la table, nous ne donnerons que les v a l e u r s a b s o l u e s de a et b .

Tout élément a de K s ' é c r i t a l o r s de manière unique :

4a = t +

zfrrï

+ (x+yi)T + ( x - y î ) f , t, z, x, y ç Q , et

a

est un entier de K si et seulement si t , z , x , y ç j et v é r i f i e n t les conditions supplémentaires :

t+z /„, . t - z

a ) si m est impair : t = z(2) , - y = gx(2) et = gy(2) , p) si m est pair : t = 0(4) et z = 0(2).

On p o s e

a

= (t, z , x , y) ; on a p p e l l e t , z , x et y l e s c o o r d o n n é e s de

a

, Dans le c a d r e de cette r e p r é s e n t a t i o n d e s éléments de K , on obtient l e s p r o p r i é t é s s u i v a n t e s :

(ïv) B a s e de K/Q .

On a

T

= ^9 - 0

e

* ^ - i^9 2 3

e

- 0

P

j ; on déduit des é g a l i t é s

T

T = f et 2 2 — „ a

2

\ 2 f + agVTn ,,— Vm"+a _

t

,

T

+ f = 2agyiïï que f 0 - 9 J jT g ) [ m — ^ — • En fixant le s i g n e** 2

de a , on a donc ^ = 9 - 0 ° ; on en déduit que : 4» = t + zVrrT + 2x ty + 2y , a v e c 2 \);

2

= f + agy~m , 2 f

2

* = f - ag^m",

2 ^

f f

= -bg\frn ,

= et

= -b ^ - a .

(6)

(v) P o l y n o m e i r r é d u c t i b l e de g s u r Q . S o i t o/ un élément g é n é r a t e u r de K . On a

2( a + aS ) = t + z\fm e t

1 6»

1 + p

= t

2 2

+ m z

2

_ 2 f ( x

2

+ y

2

) + 2\/7ïï [ z t - g ( a ( x

2

- y

2

) - 2bxy)] . 4 _

w

3 . _ . .2

On en déduit que l r r (

a

,Q) = X^ - S

1

X

J

+ - S g X + S

4

, a v e c

S

1

= t

'

8 S

2

= t

2

+ m z

2

- 2 ( x

2

+ y

2

) f + 2 ( t

2

- m z

2

) ,

1 6 S = [ t 3

2

+ m z

2

- 2 ( x

2

+ y

2

) f ] t - 2 m z [ t z - g(a(x

2

-y

2

) - 2 b x y ) ] , 2 5 6 S

4

= [ t

2

+ m z

2

- 2 ( x

2

+ y

2

) f ]

2

- 4 m [ t z - g ( a ( x

2

- y

2

) - 2 b x y ) ]

2

.

(vi) U n i t é s g de K t e l l e s que = i 1 . 1

2

S o i t a un e n t i e r de K ; on a

a +a

= s = - 1 s i et seulement sî : t

2

+ m z

2

= 1 6 s + 2 f f x 2 2

2

+ y

2

)

et tz = g [ a ( x - y ) - 2 b x y ] . On a a l o r s

l r r ( a , Q ) = X

4

- t X

3

+ r X

2

- stX + 1 , .2 2

t - mz , „

ou r

T

+ 2s .

2) S t r u c t u r e du g r o u p e d e s unités de K .

a) Détermination de l ' i n d i c e Q^ .

S o i t x

=

x '

+

x ' ~

1

»

a , o r s

x

e s t u n c a r a c t è r e

rationnel d e Q ^ et K

est f i x e par le noyau commun de

x

' et '•> "

e s t

donc de la forme K = K , au s e n s de H. W. Leopoldt [ 7 ] . S o i t E ^ le g r o u p e d e s u n i t é s de K ; a l o r s

J (groupe d e s v a l e u r s a b s o l u e s de E ^ ) e s t un j - m o d u l e libre de rang 3 que l'on munit canoniquement d'une s t r u c t u r e de z [ G ] - m o d u l e , en posant

) u|

0

= | u

a

| pour tout u Ç E ^ .

S i on applique la définition de H. W. Leopoldt pour l e s unités

x

- r e l a t i v e s , on obtient qu'une unité w de K est ^ - r e l a t i v e sî et seulement

1 + 2 +

si w

0

= - 1 . S o i t E le g r o u p e d e s unités v - r e l a t i v e s ; puisque

X

(7)

Z

f G ] / ( 1

+

a ) est isomorphe à , on c o n s i d è r e | E | comme un X

Z [ i ] - m o d u l e ; il est Iibre de dimension 1 , donc | E |

a

* Z [ i ] , et il e x i s t e

X 2

une unité ^ - r e l a t i v e g g é n é r a t r i c e (dans l ' i s o m o r p h i s m e Z [ G ] / 0 +a J ^ Z j j ] >

X

i c o r r e s p o n d à a ; ainsi tout élément u de E s ' é c r i t de manière unique X X

u = - G , LL , v € Z). S o i t E. le g r o u p e d e s u n i t é s de k . S o i t E le

X X

k

s o u s - G - m o d u l e de E ^ e n g e n d r é par E^ et E ; a l o r s j E | = | © j E |

X X et si e

Q

e s t un g é n é r a t e u r de E ^ , toute unité w de E s ' é c r i t de façon

unique w = t X , fi , v 6 Z . On p o s e Q^. = ( | E

k

| : | E

K

| A l o r s on a :

E, I © E P r o p o s i t i o n 1 . - S o i t Q ^ = y j E ^ j : | E ^

a) On a Q ^ = 1 ou 2 et Q ^ = 2 si et seulement s ' i l e x i s t e une "unité de ' «

2 s ' X

Minkowski" e pour E (i. e. t e l l e que toute unité de K s ' é c r i v e r\

- e ^ , X , , v €

b) S o i e n t e un g é n é r a t e u r de E. et e un g é n é r a t e u r de E . L e s c o n - o k

x x

ditions s u i v a n t e s sont é q u i v a l e n t e s : (i) S < = 2 ,

1 + 2 +

(ii) il e x i s t e u ç E ^ t e l l e que u ° = - e

Q

, (iii) il e x i s t e v c E. t e l l e que v

1 + a

= - e ,

K

X

2

+

j (iv) il e x i s t e w ç E,. t e l l e que w = - e e 5

K

° X

l o r s q u e c e s conditions sont r é a l i s é e s , w e s t une unité de Minkowski de E.. et on peut c h o i s i r u et v de t e l l e s o r t e que u = v = w .

K

C e t t e p r o p r i é t é e s t démontrée par H. H a s s e [ 5 ] et a u s s i par

L. B o u v i e r et J. J. P a y a n [ 1 ] . Nous a v o n s r e t r o u v é directement c e r é s u l - tat en déterminant toutes l e s s t r u c t u r e s p o s s i b l e s de G - m o d u l e s / - l i b r e s

2 3

de dimension 3 annulés par la "norme" 1 + c + c +g ; le r é s u l t a t e s t le suivant :

P r o p o s i t i o n 2 . - S o i t G = <(CJ) un groupe c y c l i q u e d ' o r d r e 4 ; soit M un j [ G ] - m o d u l e Z - l i b r e de dimension 3 tel que pour tout u ç M ,

2 3 2 2

u

**1 +a+e? = ! . s o i t M* = j u ç M, u**

1 + c ï

= 1 } et s o i t M° = {u ç M , u° = uj

(8)

g _]

A l o r s en écartant le c a s trivial où G o p è r e sur M par u = u pour tout u , **on a M* z [ G ] / ( 1 +ff**

2

) =• Zf i] et M

2

**c M* © M° c M ; soit Q**

M

**= (M : M* © M°) , a l o r s n é c e s s a i r e m e n t Q. . = 1 ou 2 et :**

M 2

(i) si Q ^ = 1 , a l o r s M (

a

- 1 ) z f G ] xZ , G opérant sur Z par aO ) = ;

(ii) si Q

M

= 2 , a l o r s Z f G ] / ( l + a + o

2

+ e

3

) .

Démonstration : 2 **(i) M* a. 7 [ i ] : On a M* = {u ç M, U**

1 + a

= 1 } ; donc

**M* est u n z [ G ] / ( 1 + 0**

2

) - m o d u l e , donc un Z [ i ] - m o d u l e ; on v é r i f i e que M*

est s a n s z [ i ] - t o r s i o n ; donc M e s t isomorphe à un idéal de Z|~i] » comme **M* est de ^ - r a n g compris entre 0 et 3 , on a M* = (1 ) ou M* =* z j j ] .**

S i

**M* = (1 ) , comme M**

1 + a

**c M* , on a m '**

+ j

= (I) ; donc pour tout u ç M,

1 H~ 1 3

u

a

= 1 , c ' e s t - à - d i r e que u° = u~ (alors M = Z , G opérant s u r 1 par ) = -1 ) ; c e t t e situation n'est pas p o s s i b l e pour un groupe d'unités. On **s u p p o s e donc M* ^ [ i ] ; soit u un g é n é r a t e u r de M* ; une**

j-base

de M*

est ( u , u

a

V * ' *

2 **(ii) Etude de M° et MM° : S o i t M° = fuÇ M, u° = u} ; a l o r s M n M° = (1 ) et MM° = M © M° ; comme 2 = (1 - a**

2

) + (1 +cJ

2

) , on a M

2

**c M* © M° c M. Comme M et M**

2

sont deux Z - m o d u l e s l i b r e s de rang 3 , **on a dim^ M* + dim^ M° = 3 ; donc dim^ M° = 1 ; soit u**

q

une j - b a s e de M° ; comme u° f M° , on a \jF = u^ qui conduit à u

a

= u^ = u , et x

2

= 1 .

o

c

' o o

M

o o 2 3

L'opération u

9

= u est impossible s u r u ^ 1 car u

a

= u et u^

+ a + s

= 1 entraînent u = 1 , soit u = 1 . On a donc \ = -1 . 4

**(iii) Etude de Q . , : S o i t Q. . = (M : M* © M°) ; comme _ M M**

**M c M* © M° c M, on a Q**

M

= 1 , 2 , 4 ou 8 .

**a) Si Q = 1 , on a M = M* © M° ; a l o r s** 2

M =- (

a

- 1 ) Z [ G ] x Z , G opérant sur J par <y(1 ) = - 1 ; on v é r i f i e en effet que l'on définit un isomorphisme de G - m o d u l e s g r â c e à l'application :

( a

2

**- 1 ) Z [ G ] xZ > M* © M°**

( c t

2

- 1 )oj , n ) i > u £ .

(9)

p) S i Q

^m

**= 2 , soit u ç. M, u i M* © M°. Il est impossible que u**

1 + a

= u

2

**^ , X € Z> sinon on aurait € M*, c ' e s t - à - d i r e**

2 °

**u Ç M* © M° , c e qui est absurde ; donc u**

¹

= u

²

^

^{+ 1}

, x € Z et en modi-

o 1+

²

°

fiant u modulo M , on peut s u p p o s e r que u = u . Il est impossible 1 1 +a 1 ^ 1 M-

que u £ M , sinon on pourrait é c r i r e u = v , v ç M , soit

* # 2 *

~

⁼

'

^{e n}

a p p l i q u a i à nouveau a , (— )

^a

= f— ) , c ' e s t - à - **dire — ç M° , c e qui est absurde. En modifiant u modulo M* (ce qui ne**

\ 2

1

c h a n g e p a s la relation u

^{+ c}

= u ) on peut supposer que u

^{+ a}

= u . Il

° 2 *

**e x i s t e donc u £ M , u ^ M* © M° , tel que u**

^{1 + a}

= u et u

¹

= u . 11 e x i s t e 2 o "Jf **donc u ç M , u d M* ffi M° , tel que u^ = u et u^**

^{+ c}

= u . 11 en r é s u l t e

**o 2 * 3 que u est un générateur de**

M

et que

M = Z[ G ] / ( 1 + A +ET ) .

Y

) S i Q

M

**= 4 , on a (M* © M° : M ) = 2 ; on a donc deux c l a s s e s dans M* © M°/M**

²

: M

²

et

^a

M

²

**, a £ M* © M°. Soient u et u**

2 2 * ° 2

**les g é n é r a t e u r s de M et M ; a l o r s u ÇcyM e t u f t*M : donc u u f M**

* o ' ~ o

^c

**' •* o**

^c

2 , A - O 2(1-O

2

) 2 . e t u u = v , v ç M ; donc (u u ) = v = u ; donc * o

²

'

^c

' # o * '

1 - a / 1 +0\(1-c) 1 +0 . . 1 - c -

u

= v = ( v ) ; or w = v f M ; donc u = w , c e qui est

* ' * ' * * '

impossible.

ô) S i Q = 8 , on a M IVl « 9

2

**= M* © M° ; soit u le g é n é -** j j 2 . . . 2(1+a ) , 1+o i

rateur de M ; donc u = v , v ç M ; mais v = 1 , donc v = 1 , donc v ç M , c e qui est impossible.

* *

C o r o l l a i r e . - L e s s e u l e s s t r u c t u r e s de z [ G ] - m o d u l e s a priori p o s s i b l e s pour le groupe des unités d'un corps K cyclique réel de degré 4 sont les deux s t r u c t u r e s é n o n c é e s dans la proposition 1 et c a r a c t é r i s é e s par la valeur

d e Q

K -

b) P r o p r i é t é s de Q^ .

S i Q. = 1 , toute unité w de E „ s ' é c r i t w = t

^{S X}

e^+ve?

^x

„

^v

ç z ; rS rS O ^

d o n c n

K / Q

( w ) = + 1

•

(10)

2 + 1 — o

S i Q = 2 , il e x i s t e une unité e de E . . v é r i f i a n t g = - e e ; on a

1 1

2

+ °

X

a l o r s e

+ C T =

- e = - e et e e s t un g é n é r a t e u r de E . . . T o u t e unité X

w de E

K

s ' é c r i t w = 1 °

2

,

X

, n , v e Z et

NK / Q( W ) =

( N

K

/

Q

( e ) )

X +

^

+ v

on a a u s s i c

1

= -

e 1

.

X °

S o i t p le rang de l'homomorphisme de E^ dans {11 } :

2

K

3 Si » ( s i g n e (

s

) , s i g n e ( e

a

) , s i g n e ( e

a

), s i g n e ( e

0

) J . On sait d ' a p r è s [ 2 ] que p = 4 si et seulement s ' i l e x i s t e une unité de E^, de norme a b s o l u e - 1

On a donc la p r o p o s i t i o n s u i v a n t e (qui s e t r o u v e a u s s i dans [ 5 ] j : P r o p o s i t i o n 3 . - S o i t Q^. = f | E^. | : | E

k

| © | E |

X

(ï) S

!

ï l e x i s t e une unité u de E ^ t e l l e que N ^ Q ( U ) = -1 , a l o r s < ^ = 2 , N ^ ^ ) - N ^ ^ ) = N

k / q

(

£

) - -1 et

p

= 4 .

(ii) S i toute p < 3 et :

(ii) S i toute unité de E ^ est de norme a b s o l u e +1 , a l o r s ou bien Q ^ = 1 ,

o u b i e n ^ = 2 e t N ^ F E J = N ^ F E ^ = NK / Q(8) = +1 .

On établît simplement d e s conditions n é c e s s a i r e s pour que Q^ soit égal à 2 ; on a en effet la p r o p o s i t i o n s u i v a n t e :

P r o p o s i t i o n 4 . - S o i t e = ( t , z , x , y) l'unité ^ - r e l a t i v e g é n é r a t r i c e

X

de E ; s o i t e

Q

un g é n é r a t e u r de E^ et soient s = N ^ y ^ e )

e t S Q =

^ k / Q ^ o ^ On a Q ^ = 1 l o r s q u e l'une d e s conditions s u i v a n t e s est v é r i f i é e :

(i) s ^ S

Q

,

(ii) t

2

^ 1 6 s mod. f ,

(iii) il e x i s t e p = 3 (4) qui d i v i s e f et, s ou S

q

e s t égal à - 1 , (iv) g = 4 g ' , g' impair et, s ou S

q

e s t égal à -1 .

D é m o n s t r a t i o n :

(i) Il r é s u l t e de la p r o p o s i t i o n 3 .

(ii) S u p p o s o n s que Q « = 2 ; s o i e n t e = (T , Z , X , Y) et e = ( t , z , x , y) ; de l ' é g a l i t é e = - €

1 +CT

, on déduit que

X X

4 z = t 2 g [ b ( X

2

- Y

2

) + 2a X Y ] ; o r b est pair, donc b = 2b' ; a l o r s

(11)

Z = i g [ b ' ( X

2

- y

2

) + a X V ] ; donc z = 0 ( g ) . Or d'après le §1 , (vi) , on a t

²

+ m z

²

= 1 6 s + 2 f(x

²

+ y

²

) ; donc s i C ^ = 2 , on a t

²

= 1 6 s mod f (on a

t

2

- m z

2

a l o r s r = — + 2 s E 6 s mod f ) .

(iii) et (iv) D ' a p r è s [ 2 ] , s'il e x i s t e p = 3 (4) qui divise f , ou si 4 d i v i s e exactement f , a l o r s (u) = +1 pour toute unité u de K ; en appliquant la proposition 3 , on en déduit le résultat.

3) Nombre de c l a s s e s et u n i t é s .

a) Rappel des r é s u l t a t s de H. W. Leopoldt [ 7 ] .

Soit «rç l'unité cyclotomique ^ - r e l a t i v e g é n é r a t r i c e ; on rappelle que

X

« s e détermine de la manière suivante : soît U un s y s t è m e de représentants modulo f correspondant à Gai (QQ / K ) ; soît § = exp ( ^ j et soît

© = |7 D ' a p r è s [ 7 ] , l'extension K(©)/Q est abélienne et si aÇU , -

c désigne un prolongement de p à K(@) , a l o r s ^ = ® est une unité de K et « = V

^{+ a}

est une unité y - r e l a t i v e de K. Soît F le sous-module de E

' X X X

**engendré par * ; a l o r s F est d'indice fini dans E et | F | est un s o u s -**

X X X X

2 [ ï ] - m o d u l e libre de dimension 1 de j E j ; on a donc ^ = - e'

^{1 v a}

et

0

^{E x}

l

^:

l

^{F x}

l ) V

⁺

v

^a

-

D ' a p r è s [ 7 ] , le nombre de c l a s s e s h de K est donné par la formule :

Q

K

h = -s—

h h

, où h désigne l'indice de I F I dans I E I , h le nombre de

2 X ° X X X¹ °

c l a s s e s de k et Q^, l'indice de | E | dans . Ces r é s u l t a t s sont aussi démontrés dans [ 5 ] s o u s une forme voisine.

b) Majoration de h = f I E I : I F I

X^V X¹ X

Proposition 5 . - S o î t E le groupe des unités y - r e l a t i v e s de K : soit

x

F le s o u s - m o d u l e de E engendré par l'unité cyclotomique ^ ; soît

X X X

h = ( E : F ; a l o r s :

X^V X X¹

_ L o g l ^ l f ^ L c l ^ n '

(12)

Lemme : Quel le que soit l'unité

x

- r e l a t i v e non t r i v i a l e u de K , on a ( 2 2 a 2 a

2

C 3

\ ^ f - 6

Max u , u , u , u > —rr— .

v

X X X X

J

*

Démonstration : S o i t § le polynome r é s o l v a n t e de L a g r a n g e ; pour tout

a

**£ K* , on a**

2 3

x

2 3

n

2 3

*° G ** \ - a.-, Q <= :*

0

\ \

a

f , ; ' a,a ,oi ,a )-ya

+

ia -a -'or M a - ' a -or + 'o?

o \ 2 . ( 0 o \ 2 2 3 a- a + \ o/ - ce

On sait que si <y e s t un entier de K n'appartenant pas à k , a l o r s 2 3

$ ( a , o>° , a° , a° ) est un entier rationnel non nul multiple de f . S o i t u une unité y - r e l a t i v e de K autre que - 1 ; a l o r s :

+

X 2 3 2 3

( a \2 / a g \ 2 2 2© 2ç 2a + . f < u — u ) + (u - u " ) = u + u + u + u - 4

V

X X

/ V

X . X

y

X X X X

sr 6 + 2 Max

(U2

,

U2a , u2a , u

2 3

2a ) ,

V

X X X X '

2

2 3

1 + a + , » • ,

t

' 2 2a 2g . 2a puisque u = - 1 et que parmi les quatre elements u , u , u et u ,

X X X X X deux sont i n f é r i e u r s à 1 . Donc quelle que soit l'unité ^ - r e l a t i v e non t r i v i a l e u de K , on a

X ? Max u , u , u , u ( 2 2a 2a 2 j \ f - 6

w

> — — .

v

X X X X '

z

L e plus petit conducteur p o s s i b l e de K étant f = 1 5 , on a toujours ~ > 1 . Nous a l l o n s donner deux démonstrations de la proposition 5 , l'une étant l'application d i r e c t e d e s r é s u l t a t s de [ 3 ] , l'autre utilisant des arguments g é o m é t r i q u e s plus é l é m e n t a i r e s .

P r e m i è r e démonstration : On applique le théorème 11 1 de [ 3 ] , p. 1 0 6 . On c o n s i d è r e la fonction r é s o l v a n t e de L a g r a n g e f de d e g r é d , = 2 ; on

+ $

obtient, d ' a p r è s le lemme, que pour tout u £ E , u 4. - 1 , X X X n ( 2 2a 2a

2

2p

3

^ f - 6 , Max ( u , u , u , u

D

> —— > 1 ;

v

X X X X

J z

% ( F

X

) !

f

_

6 2

n (F )

on a donc h <" ( TTT" L o g y m

2-

^ ' m

-

>

o u

— est une constante

X

$

X

géométrique e x p l i c i t e :

(13)

D ' a p r è s le corol laire 1 1 1 , p. 1 1 0 , on a ffl (F ) = R (F ) / 2 , où , » „ , X X X X

R (F ) désigné le y - r e g u l a t e u r de F :

X X X

2 . „ _3 R X X .(F

^x

) = ( L o g U

^x

| - L o g | ^ | )

²

+ (l_og| - L o g | ^ | )

²

= 4 ( ( L o g h | )

^{2 +}

( L o g | X

D'après les définitions de la p. 1 03 , on a

S = jx = (x

¹

, x

²

, x

³

, x

⁴

) , | x . | ^ 1 , i = 2 , 3 , 4 } , V = {x = (x

^t

, x

²

, x

³

, x

⁴

) , x

¹

+ x

³

= 0 , x

²

+ x

⁴

= 0} ; a l o r s rn est la mesure de D =3) f| V . On a donc

X X X X

D = jx = (x, , x

²

, - X j , - x

²

) > | x , | <M , J x

²

| <- 1 } Â

= {x

1

(1 , 0 , - 1 , 0 ) + x

2

( 0 , 1 , 0 , - 1 ) , I x J ^ I , | x

2

| < - 1 | . Or les v e c t e u r s (1 , 0 , - 1 , 0 ) et ( 0 , 1 , 0 , - 1 ) sont orthogonaux et de longueur p " ; donc

m

= (2\[~2)

2

= 8 .

On a donc h < - 2—:— 7- Log —z X 2 x 8 V4 2

( L o g h

^x

| )

^{2 +}

( L o g | ^ | )

²

c ' e s t - à - d i r e h < 4 - *

^y

_

^Vgx

.

X ( L o g ^

²

Deuxième démonstration : S o i t l'unité cyclotomique ^ - r e l a t i v e g é n é - r a t r i c e : on c h e r c h e s'il e x i s t e u et

^v

G Z et une unité e f E tels que

X X I Ty I = I S I ; sî c e c i a lieu, on a

u - va u.a +

^\>

| e | - h | ^

+ v 2

, | e

a

| = U r

2 + v 2

, U ^ l = | e "

1

| et |

e a

| = |

e

"

G

|

' x x ' X x x

1

' x ' ' x X On doit avoir, d'après le lemme :

n U - VP ^ v + UP o -U + NJP n -V - U.P

2 2 2 2 2 2 2 2 , -

Max ( | n I ^ , 1 ^ 1 ^

^{+ V}

, ^

^{+ V}

, | r j ^

^{+ V}

) >

¹

f

¹

.

Or pour tout u , v > 0 et tout x , y ç Z , l'inégal ité 2x 2y

2 2 2 2

u

^{x + y}

v

^{X + y}

> est équivalente à l'inégalité

(14)

2x , , 2y . ^ . f - 6 . . s 2 2 Log u + 2 2

^{9 V 9}

~ 2 ~ '

^{c e s t}

-

^a

~

^{d i r e}

x + y x + y

2 , 2 „ Log u „ Log v ^

⁰

. f - 6 ,

x + y - 2x g - 2 y 0 p u i s q u e — — > 1 . Log

_{2 —}

Log

3 2

Ceci est équivalent à c e que le point (x, y) soit intérieur au c e r c l e d'équa- tion X

²

+ Y

²

- 2

^L

° 9 ^

⁶

X - 2

^L

°

^{g f}

^

⁶

Y = 0 .

Log Log

L - o g U J L o g k °

Soient ^—g et f ~ 6 *

p o

'

n t d e

coordonnées (|j, ,

v

)

Log Log

2 ' —3 2

est donc intérieur à l'un au moins des quatre c e r c l e s :

X

2

+ Y

2

- 2£

q

X + 2£ j Y = 0 ,

X

²

+ Y

²

- 2 ^ X - 2 £

^Q

Y = 0 ,

X

²

+ Y

²

+ 2 £

^Q

X - 2 «

¹

Y = 0 ,

X

2

+ Y

2

+ 2£

1

X + 2£

q

Y = 0 ,

On a donc y,

²

+

^v2

<" 4(^

²

+ £

²

) ,

soit ^ + v 5 4

2 2

Log TlX L o g h y l

^{C i \ 2}

Log f - 6 \ 2

c) Détermination de h et g .

X X

On détermine ^ numériquement (voir paragraphe 4) ; on applique

X

a l o r s la méthode de d é v i s s a g e d e s unités cyclotomiques d é c r i t e dans £3] ,

IV, 1 . L e principe a été décrit en détail dans [ 4 ] , Rappelons que :

(15)

(i) on effectue d'abord le d é v i s s a g e en 2 (on sait d'après r5l que h est pair si et seulement si f est composé) : soit 2 L J

x ^d

la plus grande p u i s s a n c e de 2 qui divise h et soit cp l'unité d é v i s s é e au maximum en 2 ,

X X

o n a . = cp

1

" ,

w

f z T ' l

d e

norme 2 ;

X X J

(ii) on t e s t e ensuite la divisibilité de h pour les nom-

/ 2

X

b r e s impairs £ ( £ = p , P premier si p = 1 (4) , g = q , q premier si q = 3(4) c l a s s é s par o r d r e c r o i s s a n t et inférieurs à

4

( L o g h j )

²

+ ( L o g | ,

^g

l )

²

—t 7—-—-— •— . On obtient ainsi la valeur de h et de l'unité

( L o g i ^ )

²

X

^ - r e l a t i v e g é n é r a t r i c e e . On remarque que s « /, (e ) = N

^K

/, (cp ).

X * X ' X

d) Calcul de Q^ .

Le calcul de Q ^ s e fait de la manière suivante : soient e

o

un g é n é r a - teur de E. et e un générateur de E déterminé en c) (en r é a l i t é l'unité

K X X

cp^ suffit) ; soient S

q

= N^/Q^SQ) et s = D'après la proposition 4 , (i) , s ^ s

q

entrafhe Q^ = 1 et lorsque s = s

o

, on a Q^ = 2 si et s e u l e - ment s'il e x i s t e e € E,. t e l l e que e

2

= - e Deux méthodes sont alors

K o

x

p o s s i b l e s : \ i

(i) Soient w = V l e

⁰

e ^ , w = V| < | ,

_{X X}

\

² ³

\

³

1 w „ = V i s I et w _ = Vl e ° e

_et

2 ' X e A.

¹

O v »J *

¹

O v

^P

~ | ; il est f a c i l e de v é r i f i e r (cf [ 3 ] , lemme IV, 1 ) que w ç K si et seulement s'il e x i s t e des nombres ô , 6 o et g _ Ç | -1 , +1 } t e l s que le polynome

a c?

P = (X - w) (X - ô w ) (X - 6 „ w _ ) ( X - ô _ w , ) soit à c o e f f i c i e n t s entiers J 9 ^ Z J O c e g a rationnels. On calcule en réel les quantités w , w , w

^{2 e t w}

3

^e

-

^{o n}

d é t e r -

0 a e

mine les polynomes P pour les d i f f é r e n t e s v a l e u r s de 5 , 5

²

et 5 ^ t e l l e s

a 0 a

que Ô 0 „ § _ = s . On a Q = 2 si et seulement si l'un de c e s polynomes est (T Z O r\

O 0

à c o e f f i c i e n t s entiers.

(16)

1 2 1

(ii) S o i t 5 le s i g n e de e^ s ; a l o r s e = e , 2 ° ° X ° ° X

e l + f f = 6

o

^e

o

e t e 1 + 0 = ô e x

' { + 1 , - 1 } . S o i e n t t = T n

^{K / Q}

( c

^x

) et

t

o

^{= T r}

k / Q

^{( e}

o

^K

°

n a a l o r s :

2 2 3 3 , . 2 3

1

^{+ a}

i „e+<? , 5 +c , e +1 , i +er , a+a _

^{e t}

, .

^t

. e + e + e + e + e + e = 6 t + 5 t ; on en déduit que :

- <,(' + 2 ) + ô e o ov

x x

/ o o v

a o

U

x xa

- °

2

+ e /

f f 3

~

1

+ 2 ) + 2

ô

t et

T

²

= (e~

¹

+ €

^{_ a}

+ + e ~ °

³

)

²

-

s

+ e*

3

"

1

+ 2 ) + s fi

0

e®(e

1

"

ff

"+ + 2) + 2 s

ô

t .

o o V

^{x x}

J o oV

^{x x}

j

S o i t s = (t, z , x , y) ; a l o r s

X 2 2

2_ 3 2(sr+2) + sg\/7n [b(x - y ) + 2axy] 4 1 - a , e - p , o -

e + e + 2 = X X

.2 2 t + z \/m

t - m z , „ _ .. o o

^v

.

ou r 2J

⁺

2 s . S o i t e

^Q

=

²

>

a l o r s

2(sr+2)t + sgmz [b(x - y ) + 2axy] O p

T

¹

= 6

^{c 2}

% + 2

⁶

t et

2(sr+2)t - s g m z [b(x - y ) + 2 a x y ]

2 2

T

²

= s ô

^o

2ç

^{+ 2 s 6}

t .

On a donc Q^ = 2 si et seulement s'il e x i s t e § ç {-1 , +1 } tel que Tj et T ^ € J

²

. On v é r i f i e que T j T ^ = ( s r + 2 + s ô ô ^ t ^

²

. S i

s r + 2 + sfiô tt = 0 , a l o r s T, = 0 et T„ = i t m z

2

, ou le contraire ; si

0 0

2 ° 2

m ^ 8 , la congruence t = 1 6 s mod. m entraîhe que tm £ Z ; si m = 8 , 2

on v é r i f i e que v

²

(t) = 2 ; donc tm ^ z . Il suffit donc de v é r i f i e r que T, ou T

²^Ç^Z²

- {0} .

e) Calcul du nombre de c l a s s e s h de K .

Q

On a h = h h :

2

X

⁰

(i) la quantité h a été déterminée en c) X

(ii) la quantité h

^Q

est s u p p o s é e connue,

(iii) la quantité Q^ a été déterminée en d).

(17)

4) P r é s e n t a t i o n de la table.

La table numérique a été établie sur l'ordinateur IRIS 50 du Centre de Calcul de l ' U n i v e r s i t é de B e s a n ç o n . L e s quantités r é e l l e s ont été c a l - c u l é e s a v e c la double p r é c i s i o n (environ 1 5 c h i f f r e s ) . Pour c e r t a i n s corps, nous avons dû u t i l i s e r l'ordinateur du CIRCE muni de la quadruple p r é c i - sion. L e s p r i n c i p a l e s é t a p e s sont les suivantes :

P o u r chaque entier f s a n s facteur c a r r é impair et tel que

v^(f) = 0 , 2 , 3 ou 4 , on détermine le groupe de G a l o i s de Q ^ / O > ainsi que s e s c a r a c t è r e s d ' o r d r e 4 . A p r è s avoir éliminé l e s c o r p s imaginaires pour

l e s q u e l s )

==

>

o n

trouve N c o r p s r é e l s K de conducteur f . P o u r chacun de c e s c o r p s K :

(i) on détermine le conducteur m du s o u s - c o r p s quadratique k , (ii) on détermine un g é n é r a t e u r e de E. , o k

(iii) on détermine le groupe de G a l o i s de Q / K g r â c e au c a r a c t è r e ,

(iv) on détermine 0 et ^ (formules des §1 , (iii) et §3 , a) ) , X (v) on détermine a et b (formules du §1 , (iv) ) ,

(vi) on c a l c u l e la constante qui majore h

y

(§3 , b) ) , (vii ) on détermine l'unité cp d é v i s s é e en 2 (§3 , c) ) , X (viii) on c a l c u l e Q^ (§3 , d) ) ,

(ix) on e f f e c t u e le d é v i s s a g e de l'unité cp pour l e s nombres impairs (§3 , c) ) . X

Nous avons ainsi établi la table du nombre de c l a s s e s et des unités d e s c o r p s K c y c l i q u e s r é e l s de d e g r é 4 de conducteur f inférieur à

4 0 0 0 ( l l l ) . P o u r quelques c o r p s , l e s e n t i e r s t et r sont trop grands et la p r é c i s i o n des o r d i n a t e u r s employés ne nous a pas permis de les donner.

5) Corps c y c l i q u e s r é e l s de d e g r é 4 admettant une unité x - r e l a t i v e t e l l e que s = - 1 et r = - 6 .

Il e x i s t e une famille de c o r p s c y c l i q u e s r é e l s de d e g r é 4 qui possèdent une unité x - ^ e l a t i v e ( t , z , x , y ) dont les c o o r d o n n é e s sont "petites" ; c e s c o r p s sont i n t é r e s s a n t s car ils peuvent fournir des exemples de grands nombres de c l a s s e s . Ils constituent, pour le c a s c y c l i q u e de d e g r é 4 , l'ana-

logue d e s "sîmplest cubïc f i e l d s " é t u d i é s notamment par D. S h a n k s dans

[ 8 ] . On a les p r o p r i é t é s s u i v a n t e s :

(18)

P r o p o s i t i o n 6 . - S o i t t £ j , t ^ O , - 3 ; a l o r s le polynome 4 3 2

P = X - tX - 6X + tX + 1 est irréductible sur Q et définit une extension K cycl ique réel le de d e g r é 4 de Q .

Démonstration : e l l e r é s u l t e e s s e n t i e l l e m e n t du fait que si l'on d é s i g n e par w une r a c i n e de P dans (D, les a u t r e s r a c i n e s sont - — , et ' ^w ' w+1 w-1 ' un élément d ' o r d r e 4 de Gal(K/Q) étant défini par wi-> ^pj- . On peut r e m a r - quer que si l'on change w en - w , t e s t changé de s i g n e ; on supposera donc t > 0 (et t jé 3 ) .

On voit donc que w est une unité y - r e l a t i v e de norme -1 sur k .

Lemme : S o i t K une extension c y c l i q u e r é e l l e de d e g r é 4 de Q de c o n - ducteur f et de s o u s - c o r p s quadratique k de conducteur m (f = mg). S o i t (t, z , x , y) une unité y - r e l a t i v e de K que l'on s u p p o s e de

norme

-1 sur k . On a r = - 6 si et seulement s i , de plus, l'une d e s conditions équivalentes s u i v a n t e s est v é r i f i é e :

(i) t

2

+ 16 = m z

2

, (ii) z

2

= g ( x

2

+ y

2

) .

Démonstration : P u i s q u e (t , z , x , y) est une unité y - r e l a t i v e de norme

— — 2 2 2 2

-1 , on a d ' a p r è s le §1 , (vî) : t + mz = - 1 6 + 2f(x + y ) , 2 2

tz = g [ a ( x - y ) - 2bxy] et a l o r s r = — - 2 . L e lemme en r é s u l t e im- médiatement.

Remarque 1 . - P a r construction, le c o r p s K est entièrement déterminé par la donnée de t > 0 , t ^ 3 . P o u r déterminer m, f et les coordonnées d'une r a c i n e w de P , on p r o c è d e de la manière suivante :

(i) On a t + 16 = mz , c e qui détermine m (avec la condition 2 2 v_(m) = 0 ou 3) et z . Il e x i s t e un nombre fini de décompositions de m s o u s

la forme m = a H-b . 2 2

(ii) L e s e n t i e r s g , x et y sont a l o r s solutions du s y s t è m e d'équations :

2

/ 2 ^ 2, z = g(x + y ) ,

tz = g [ a ( x

2

- y

2

) - 2bxy] ; on v é r i f i e que c e s y s t è m e est équivalent à :

z ( m z + a t + 4 b ) = 2mgx , 2

z ( m z - a t - 4 b ) = 2 m g y . 2

(19)

Il e x i s t e donc des e n t i e r s a et b t e l s que m = a + b et tels que c e s y s t è m e admette une solution g , x et y (on rappelle que l'on doit avoir (g, m) = 1 si m est impair et (g , m) = 2 sinon).

La solution trouvée est unique aux s i g n e s de t , z , x et y près.

Proposition 7 . - S o i t t > 5 et soit K = Q(w) ,

où Irr (w ,Q) = X

⁴

- tX

³

- 6 X

²

+ tX + 1 . S o i t f le conducteur de K . Soit E le sous-module de E engendré par w ;

W y

2 . /. t-1 \ 2 L o g ( t + l ) )

²

+ ( L o g ^ } )

* l

^{L o g}

— )

Démonstration : D ' a p r è s le § 3 , b) , on sait que

(E : E ) ^

⁴

( L o g l w l )

^{2 +}

( L o g | w

^g

l )

^{2 >}

^ p

⁼

_

^{t x}

3 _

6 > <

2

^{+ t x}

X^W 7 F I Ë T 2

( ^Log —)

a l o r s P(t) = - 5 t

²

+1 et P(t +1 ) = t

³

- 2 t

²

- 8t - 4 ; si t > 5 , on a P(t) < 0 et P(t +1 ) > 0 . 11 e x i s t e donc une racine w de P t e l l e que t < w < t +1 ;

comme w

^p

=

^w

w +1 ' ~ ] est une fonction c r o i s s a n t e de w , on en déduit que tTT < < t + 2

; d o n c

(

^{L o g}

I

^w

l )

²

- 0

L o g ( t + 1

O

^{2 e t}

Log | w° | < , et la proposition en résulte.

C o r o l l a i r e 1 . - A v e c les notations de la proposition 7 , si t < , a l o r s l'unité w est g é n é r a t r i c e dans E .

X

En effet puisque s = -1 , l'indice (E : E ) est impair ; la plus petite

X

valeur p o s s i b l e de (E : E ) est donc é g a l e à 5 . S i t < 4 , on v é r i f i e d i r e c - X

tement que les unités sont g é n é r a t r i c e s . Si t > 5 montrons que (E : E ) < 5 .

X^W

/ , T - 1 \ 2 2 \ 2 I . / (L O GR + R ) I .

°

^{n a}

(

^{L o g}

T T T j ^ \

^g

3 / < 4 ;

^{d o n c 4}

T ? T 6 N 2 < T f T 6 N 2 ' L o g — Log-

^{< 1}

f f — 6

puisque f > 1 5 ; donc si t - 4 , a l o r s t + 1 < ~ et

X^W ^ L O G - — -

(20)

Exemple où w n'est pas g é n é r a t r i c e : S o i t K = Q ( w ) , où

lrr(w , 0 ) = X

4

- 2 2 X

3

- 6 X

2

+ 22X + 1 ; a l o r s t

2

+ 1 6 = 500 = 5. (1 O)

2

; on a

2 2

m = 5(a = -1 , b = 2) et z = 1 0 . L e s équations 1 0 gx = 360 et 1 0 gy = 640

admettent la solution g = 4 , x = 3 e t y = 4 ; o n a w = (22 , 1 0 , 3 , 4 ) , m = 5 et f = 2 0 . Mais c = ( 2 , 2 , 1 , 0 ) ; donc w n'est pas g é n é r a t r i c e (on a w =

_X

e ) mais on remarque qu'alors e est de la forme p r é c é d e n t e (elle c o r -

2+o

X X

respond à t = 2 ) . Nous c o n j e c t u r o n s que cette p r o p r i é t é est toujours vraie.

Corol laire 2 . - A v e c les notations de la proposition 7 , soit 2 2 II 2

w = (t , z , x , y) et x = x + y ; l'unité w est g é n é r a t r i c e sî t> x + VX + 8\ -1 6 .

t ^ 16 f p

En effet, puisque f = — , l'inégalité t f T - 4 est équivalente à t - 2xt + 1 6 - 8x > 0 , d'où le résultat.

2

On obtient quatre f a m i l l e s infinies de tels c o r p s de la manière suivante : P r o p o s i t i o n 8 . - L e s c o r p s c y c l i q u e s r é e l s de d e g r é 4 , de conducteur f et de s o u s - c o r p s quadratique k de conducteur m admettent pour générateur e de E une unité t e l l e que s = -1 et r = - 6 dans chacun des 4 c a s suivants :

X X 2

(i) m = a + 1 6 , a impair et fi = m , (ii) m = a + 4 , a impair et f = 4m , 2

( i i i ) m = 4 + b , b p a i r , b / 2 impair et f = 2m , 2 (iv) m = 1 + b , b pair et f = 8m. 2

Démonstration : on v é r i f i e que les éléments c i - d e s s o u s sont des unités y - r e l a t i v e s qui v é r i f i e n t s = -1 et r = - 6 :

dans le c a s (i) : s = (

a

,

1

,

1

, 0) ,

X

dans le c a s (ii) : e = (2a , 2 , 1 0) , X

dans le c a s (iii) : G = (2b , 2 , 1 , 1 ) ,

X

dans le c a s (iv) : e = (4b , 4 , 1 , 1 ).

X

Ce s unités sont g é n é r a t r i c e s ; en effet, dans les c a s (i) et ( i i ) , on a

2 2 2 2

X = x + y = 1 ; dans l e s c a s (iii) et (iv) , o n a x = x + y = 2 ; en appli- quant le c o r o l l a i r e 2 de la proposition 7 , on voit que c e s unités sont g é n é - r a t r i c e s .

Remarque 2 . - On v é r i f i e que l e s nombres p r e m i e r s impairs qui divisent

m sont congrus à 1 modulo 4 et que les conditions de parité sur a et b e n t r a f -

(21)

nent que v^fm) = 0 ou 3 . Il en r é s u l t e que pour tout a ou b tel que m soit s a n s f a c t e u r c a r r é impair, il e x i s t e un tel c o r p s . Il e x i s t e une infinité de c o r p s de c h a c u n e d e s f o r m e s (i) à (iv) ; en e f f e t , pour tout nombre p ,

2 2 2

p = 1 (4) et tout (j, ^ 0 (p) , l'équation c + y, = 0(p ) admet deux s o l u t i o n s + 2 - c mod p . S o i t N un e n t i e r donné ; parmi l e s N p r e m i e r s e n t i e r s d'une

° 2S d e s f o r m e s (i) à (iv) , il y en a un nombre i n f é r i e u r ou égal à -g ; + 2 qui

2 P

sont d i v i s i b l e s par p ; le nombre de c e s e n t i e r s , s a n s f a c t e u r s c a r r é s , e s t

> n ( 1 - f Z P - 2 . z > . î ) ; o r 2 r . - W

2

^ 7 ^ 2

x

p premier p p r e m i e r p p p r e m i e r p n = 1 (4n+1 ) p<4N p s 1 (4) p = 1 (4)

oo . . 2 2

1

+

' i r - f e - ' < ° .

2 5

•

8 t

T " I P. — n = 1 (4n +1 ) (4n - 1 ) p premier

p

l o r s q u e N-^+oo. I l en r é s u l t e que chacune des f a m i l l e s ( i ) à ( i v ) e s t i n - f i n i e .

R e m a r q u e 3 . - S i on applique la majoration de la p r o p o s i t i o n 7 , en posant w = (t , z , x , y) et \ = x + y , on obtient 2 2

Log ( t + 1 ) )

2

+ 1 / 4

ï : E 1 ^ 4 x

!

- r . Or x = 1 ou 2 ; il en r é s u l t e X (^Log (t +1 6-&x) - L o g ( 2 \ )

que pour c e s quatre f a m i l l e s i n f i n i e s , ( E : 1

+

l o r s q u e t +oo. La majoration obtenue au § 3 , b e s t donc, en un s e n s , la " m e i l l e u r e p o s s i b l e "

( l e s c o n s t a n t e s g é o m é t r i q u e s d e la p r o p o s i t i o n 5 du § 3 , b ne peuvent pas ê t r e a m é l i o r é e s pour l ' e n s e m b l e d e s c o r p s c y c l i q u e s r é e l s d e d e g r é 4 ) .

L ' u n i t é y - r e l a t i v e d e s c o r p s K dont l e s c o n d u c t e u r s f et m sont de

l'une d e s f o r m e s é n o n c é e s d a n s la p r o p o s i t i o n 8 e s t connue ; le nombre de

c l a s s e s de c e s c o r p s s e c a l c u l e simplement. N o u s en donnons la table l o r s -

que 4 0 0 0 ^ f < 1 0 0 0 0 . L e s r é s u l t a t s c o r r e s p o n d a n t s à f f 4 0 0 0 s e trouvent

dans la table ( l l l ) .

(22)

»

c a s (i) :

c a s (ii) :

20 -

f m t

4241 4241 65

4505 4 5 0 5 67

4777 4777 69

5057 5057 71

5345 5345 73

5641 5641 75

5945 5945 77

6257 6257 79

6577 6577 81

6905 6905 83

7241 7241 85

7585 7585 87

7937 7937 89

8297 8297 91

8665 8665 93

9041 9041 95

981 7 981 7 99

f m t

4372 1 093 66 491 6 1 229 70 5492 1 373 74 6740 1 685 82 741 2 1853 86 81 1 6 2029 90 8852 221 3 94

9620 2405 98

s < h

X h

o h

2 9 1 9

1 20 4 40

1 1 6 4 32

1 20 2 20

2 9 1 9

1 40 4 80

2 29 1 29

2 17 1 17

1 36 2 36

1 26 2 26

1 16 8 64

2 41 1 41

2 45 1 45

1 26 2 26

2 1 7 1 17

2 17 1 17

h X h

o h

1 26 5 65

1 50 3 75

1 58 3 87

1 68 2 68

1 50 7 175

1 50 3 75

1 200 4 400

(23)

f m t h

X h

o h

4 2 4 0 21 20 92 1 68 4 1 36

5008 2504 1 0 0 1 4 0 4 8 0

5840 2 9 2 0 1 08 1 20 1 2 1 20

6736 3368 1 16 1 50 6 1 50

7 6 9 6 3848 1 24 1 1 00 4 200

8 7 2 0 4 3 6 0 1 32 1 52 1 2 31 2 9808 4 9 0 4 1 40 1 1 06 1 0 530

h h h

X °

32 7 112 50 1 25 8 0 6 240 32 4 64 68 2 68 C L A S S E S D E k QUI D E V I E N N E N T P R I N C I P A L E S D A N S K .

S o i e n t k un c o r p s d e n o m b r e s , K une e x t e n s i o n c y c l i q u e totalement r é e l l e d e d e g r é p r e m i e r de k . S o i t j l'homomorphisme " e x t e n s i o n d e s c l a s s e s " du g r o u p e d e s c l a s s e s de k dans le g r o u p e d e s c l a s s e s de K . On s a i t , d ' a p r è s le t h é o r è m e 94 d e H i l b e r t , que s i l ' e x t e n s i o n K / k e s t non r a - m i f i é e pour toute valuation, a l o r s ker j e s t non trivial ( [ 6 ] ) , mais s a n s l ' h y p o t h è s e de non r a m i f i c a t i o n , la nature de k e r j e s t mal connue. D a n s n o t r e c a s , nous a v o n s montré dans [ 4 ] que k e r j e s t d ' o r d r e 1 ou 2 et que la c o n n a i s s a n c e de l'unité y - r e l a t i v e g é n é r a t r i c e e d e E (ou plus s i m p l e -

X X

ment de l'unité cp d é v i s s é e au maximum en 2) permet de le d é t e r m i n e r . N o u s

X

a v o n s démontré dans [ 4 ] le t h é o r è m e et la p r o p o s i t i o n dont l e s é n o n c é s sont l e s s u i v a n t s :

T h é o r è m e . - S o i t K une e x t e n s i o n c y c l i q u e r é e l l e de d e g r é 4 de Q , de s o u s - c o r p s quadratique k . S o i t g l'unité y - r e l a t i v e g é n é r a t r i c e de E et

X X soit Q

k

= ( | E

k

| : | E

k

4 3 2

Irr (e ,Q) = X - tX + rX - stX + 1 ; pour tout nombre p r e m i e r p , on p o s e

X