TS6 Interrogation 16A 10 mai 2019 Exercice 1 :
Une entreprise conditionne du sucre blanc provenant de deux exploitations U et V en paquets de 1 kg et de diff´erentes qualit´es.
Le sucre extra fin est conditionn´e s´epar´ement dans des paquets portant le label extra fin. Les parties A, B et C peuvent ˆetre trait´ees de fa¸con ind´ependante.
Dans tout l’exercice, les r´esultats seront arrondis, si n´ecessaire, au milli`eme.
1. L’entreprise annonce que 30 % des paquets de sucre portant le label extra fin qu’elle conditionne contiennent du sucre provenant de l’exploitation U.
Avant de valider une commande, un acheteur veut v´erifier cette proportion annonc´ee. Il pr´el`eve 150 paquets pris au hasard dans la production de paquets labellis´es extra fin de l’entreprise. Parmi ces paquets, 30 contiennent du sucre provenant de l’exploitation U.
A-t-il des raisons de remettre en question l’annonce de l’entreprise ?
2. L’ann´ee suivante, l’entreprise d´eclare avoir modifi´e sa production. L’acheteur souhaite estimer la nouvelle proportion de paquets de sucre provenant de l’exploitation U parmi les paquets portant le label extra fin.
Il pr´el`eve 150 paquets pris au hasard dans la production de paquets labellis´esextra fin de l’en- treprise. Parmi ces paquets 42 % contiennent du sucre provenant de l’exploitation U.
Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 %, de la nouvelle proportion de paquets labellis´esextra fin contenant du sucre provenant de l’exploitation U.
Solution:
1. Ici on r´ep`eten= 150 fois de mani`ere ind´ependante le pr´el`evement d’un paquet La proportion annonc´ee de paquets provenant de l’exploitation U est p= 0,3.
On a n>30 , np= 45>5 et n(1−p) = 105>5.
On peut donc bˆatir l’intervalle de fluctuation asymptotique.
On peut affirmer au seuil de 95% que la fr´equence observ´ee de paquets de sucre provenant de l’exploitation U devrait appartenir `a l’intervalle
In=
"
p−1,96
pp(1−p)
√n ;p+ 1,96
pp(1−p)
√n
# .
p−1,96
pp(1−p)
√n ≈0,227 etp+ 1,96
pp(1−p)
√n ≈0,373 La fr´equence observ´ee estf = 30
150 = 0,2∈/In. On peut donc rejeter l’affirmation au seuil de 95%.
2. L’´echantillon est de taille n= 150, la fr´equence observ´ee de paquets provenant de l’exploitation U estf = 0,42
On a n>30 , nf = 63>5 et n(1−f) = 87>5.
On peut donc bˆatir l’intervalle de confiance.
On peut affirmer avec une confiance `a 95 % que la proportion p de paquets de sucre provenant de l’exploitation U devrait appartenir `a l’intervalle
I =
f− 1
√n;f+ 1
√n
.f− 1
√n ≈0,3384 etf+ 1
√n ≈0,5016
Un intervalle de confiance, au niveau de confiance 95 % est donc environ I = [0,338 ; 0,502].
