AurélieLagoutteLIP,ENSLyonTravailcommunavecNicolasBousquet,StéphanThomasséetThéophileTrunckJeudi13février2014SéminaireAlGCo-LIRMM skew partition Clique-Stableséparation:tourd’horizonetfocussurlesgraphesparfaitssans

(1)

Clique-Stable séparation Lien avec la propriété d’Erdős-Hajnal Graphes parfaits sans partition antisymétrique paire Perspectives

Clique-Stable séparation : tour d’horizon et focus sur les graphes parfaits sans skew partition

Aurélie Lagoutte

LIP, ENS Lyon Travail commun avec

Nicolas Bousquet, Stéphan Thomassé et Théophile Trunck

Jeudi 13 février 2014 Séminaire AlGCo - LIRMM

(2)

1 Clique-Stable séparation Définition

Premiers résultats

2 Lien avec la propriété d’Erdős-Hajnal

3 Graphes parfaits sans partition antisymétrique paire Décomposition de graphes parfaits

Résultats

4 Perspectives

(3)

Problème Clique contre Stable (non-det)

G

Alice Bob

P rover

(4)

Problème Clique contre Stable (non-det)

G

Alice Bob

P rover

(5)

Problème Clique contre Stable (non-det)

G

Alice Bob

P rover

(6)

Problème Clique contre Stable (non-det)

G

Alice Bob

P rover Do the clique and the stable set intersect?

(7)

Problème Clique contre Stable (non-det)

G

Alice Bob

Yes certificate: x x

log(n) bits

(8)

Problème Clique contre Stable (non-det)

G

Alice Bob

Yes certificate: x x

log(n) bits I agree

I agree

(9)

Problème Clique contre Stable (non-det)

G

Alice Bob

(10)

Problème Clique contre Stable (non-det)

G

Alice Bob

No certificate: ?

(11)

Problème Clique contre Stable (non-det)

G

Alice Bob

certificate: C No

log(k) bits

(12)

Problème Clique contre Stable (non-det)

G

Alice Bob

certificate: C No

log(k) bits I agree

I agree

(13)

Problème Clique contre Stable

But

Trouver unClique-Stable séparateur: une famille de coupes qui peut séparer toutes les paires Clique-Stable.

Théoreme [Yannakakis 1991]

Complexité de communication non-déterministe = logk oùk est la taille minimale d’un CS-séparateur.

Sik =n^c, alors la complexité est de O(logn).

Borne Sup [Yannakakis 1991] : Il existe un CS-separateur de taille O(n^logⁿ).

Borne Inf [Amano, Shigeta 2013] : Il existe une famille de graphes dans laquelle la taille d’un CS-separateur estΩ(n^2−ε)

Est-ce qu’il existe pour tout grapheG àn sommets un

CS-separateur de taille poly(n)? Pour quelles classes de graphes est-ce vrai ?

(14)

Problème Clique contre Stable

But

Sik =n^c, alors la complexité est deO(logn).

(15)

Problème Clique contre Stable

But

(16)

Problème Clique contre Stable

But

(17)

Dans quelles classes a-t-on un CS-séparateur polynomial ?

Un exemple facile : si la taille de la clique maximaleω est bornée, disons par 3 :

Pour tout ensembleT de taille ≤3, on prend (T,V \T)

⇒CS-séparateur de tailleO(n³).

(18)

Pour tout ensembleT de taille ≤3, on prend (T,V \T)

(19)

Pour tout ensembleT de taille ≤3, on prend(T,V \T)

(20)

(21)

(22)

Graphes aléatoires [Bousquet, L., Thomassé 2012]

Pour toutn∈N,p∈[0,1], il existe une famille F de coupes de tailleO(n⁷) telle que

∀G ∈G(n,p) Pr(F est un CS-sep pour G) −→

n→+∞1

Sketch of proof 1/2

Modèle d’Erdős-Rényi G(n,p). Une borne sup pour la taille des cliquesr_ω et des stables r_α :

Pr(∃une clique K,|K|=rω) −→

n→+∞0 Pr(∃ un stableS,|S|=rα) −→

n→+∞0

(1−p)·n p·n

nvertices p

rω = 3 logn

−logp rα= 3 logn

−log(1−p)

(23)

n→+∞1

Sketch of proof 1/2

Modèle d’Erdős-RényiG(n,p).

Une borne sup pour la taille des cliquesr_ω et des stables r_α :

Pr(∃une clique K,|K|=r_ω) −→

n→+∞0 Pr(∃ un stableS,|S|=rα) −→

n→+∞0

(1−p)·n p·n

nvertices p

rω = 3 logn

−logp rα= 3 logn

−log(1−p)

(24)

n→+∞1

Sketch of proof 1/2

Modèle d’Erdős-RényiG(n,p).

Une borne sup pour la taille des cliquesr_ω et des stables r_α :

Pr(∃une clique K,|K|=r_ω) −→

n→+∞0 Pr(∃un stableS,|S|=rα) −→

n→+∞0

(1−p)·n p·n

nvertices p

rω = 3 logn

−logp rα= 3 logn

−log(1−p)

(25)

Sketch of proof 2/2

On sépare tous les sous-ensemblesK,S tels queK ≤rω et S≤rα : Coupes aléatoires (p,1−p)

Etant donnée une paire(K,S)et une coupe C : Pr((K,S) est séparée par C)≥1/n⁶

∃ une coupe qui sépare 1/n⁶ de toutes les paires.

En itérant→ CS-séparateur de tailleO(n⁷).

n vertices p p·n (1−p)·n

(26)

Sans Split

Graphes de comparabilité [Yannakakis 1991]

Les graphes de comparabilité admettent un CS-séparateur de taille O(n²).

Sans Split [Bousquet, L., Thomassé 2012]

SoitH un graphe split. Alors il existe un CS-séparateur de taille O(n^c^H)pour les graphes sans H induit.

(27)

Sans Split

(28)

Sans Split

(29)

Sans Split

(30)

Sans Split

(31)

Premiers résultats

Résultats

4 Perspectives

(32)

Propriété d’Erdős-Hajnal pour la classeC

Il existeε >0 tel que tout grapheG∈ C admet une clique ou un stable de taillen^ε.

Y-a-t-il des propriétés qui impliquent à la fois la Clique-Stable séparation et la propriété d’Erdős-Hajnal ? Ouidans les classes héréditaires!

Propriété~pour la classe C

Il existe une constantec >0 telle que tout grapheG ∈ C admet deux ensembles de sommetsAet B de taille au moins c.n, avecA complet àB ou anticomplet àB.

A B

G

|A| ≥c.n |B| ≥c.n

(33)

Y-a-t-il des propriétés qui impliquent à la fois la Clique-Stable séparation et la propriété d’Erdős-Hajnal ?

Oui dans les classes héréditaires!

Propriété~pour la classe C

A B

G

|A| ≥c.n |B| ≥c.n

(34)

Y-a-t-il des propriétés qui impliquent à la fois la Clique-Stable séparation et la propriété d’Erdős-Hajnal ? Ouidans les classes héréditaires!

Propriété~pour la classeC

A B

G

|A| ≥c.n |B| ≥c.n

A B

G

|A| ≥c.n |B| ≥c.n

(35)

Propriété~- Pk,Pk-free [Bousquet, L., Thomassé]

Pour toutk, il existe une constant t_k >0 telle que tout graphe sansP_k niP_k admet deux ensembles de sommets Aet B de taille au moinst_k.n, avecAcomplètement antiadjacent à B ou

complètement adjacent àB.

CS-séparation -P_k,P_k-free [Bousquet, L., Thomassé 2013] Il existe un CS-séparateur de tailleO(n^c^k) pour tout graphe sans P_k ni P_k.

Erdős-Hajnal -P_k,P_k-free [Bousquet, L., Thomassé 2013]

Il existeε >0 tel que tout grapheG sans P_k niP_k induits admet une clique ou un stable de taillen^ε.

(36)

Propriété~- Pk,Pk-free [Bousquet, L., Thomassé]

Pour toutk, il existe une constant t_k >0 telle que tout graphe sansP_k niP_k admet deux ensembles de sommets Aet B de taille au moinst_k.n, avecAcomplètement antiadjacent à B ou

complètement adjacent àB.

CS-séparation -P_k,P_k-free [Bousquet, L., Thomassé 2013]

Il existe un CS-séparateur de tailleO(n^c^k) pour tout graphe sans P_k ni P_k.

Erdős-Hajnal -P_k,P_k-free [Bousquet, L., Thomassé 2013]

Il existeε >0 tel que tout grapheG sans P_k ni P_k induits admet une clique ou un stable de taillen^ε.

(37)

Exclure seulementP_k et pas P_k?

Oui pourk =5 pour la CS-séparation.

Graphes sansP₅ induit [Bousquet, L., Thomassé 2013], conséquence de [Loksthanov, Vatshelle, Villanger 2013]

Tout graphe sansP₅ admet un CS-séparateur de tailleO(n⁸) .

(38)

Exclure seulementP_k et pas P_k? Oui pourk =5 pour la CS-séparation.

Graphes sansP₅ induit [Bousquet, L., Thomassé 2013], conséquence de [Loksthanov, Vatshelle, Villanger 2013]

Tout graphe sansP₅ admet un CS-séparateur de tailleO(n⁸) .

(39)

Propriété de "voisinage facile"- version CS-sep.

SoitC une classe de graphes héréditaire telle que :∃k >0

∀G ∈ C ∃v ∈V(G) N(v) a un CS-sép. de tailleO(|N(v)|^k) Alors∀G ∈ C,G admet un CS-séparateur de taille O(n^k+1).

v

N(v)

CS-sep O(|N(v)|^k) V₂

(40)

v

N(v)

CS-sep O(|N(v)|^k) V2

(41)

v

N(v)

ind. hyp

v cˆot´e stable

Coupe tous les (K, S) avecv ∈S

(42)

v

N(v)

CS-sep O(|N(v)|^k)

v côté clique V2 côté stable

Coupe tous les (K, S) avecv ∈K

(43)

Propriété de "voisinage facile"- version Erdős-Hajnal SoitC une classe de graphes héréditaire telle que :∃ε >0

∀G ∈ C ∃v ∈V(G) N(v) satisfaitε-Erdős-Hajnal

Alors il existeε⁰ tel que ∀G ∈ C,G une clique ou un stable de taille n^ε⁰.

EH EH EH

vois. petit vois. petit vois. gros

(44)

Propriété de "voisinage facile"- version Erdős-Hajnal SoitC une classe de graphes héréditaire telle que :∃ε >0

∀G ∈ C ∃v ∈V(G) N(v) satisfaitε-Erdős-Hajnal

Alors il existeε⁰ tel que ∀G ∈ C,G une clique ou un stable de taille n^ε⁰.

EH EH EH

vois. petit vois. petit vois. gros

(45)

Premiers résultats

Résultats

4 Perspectives

(46)

Graphe parfait

On noteω(G) la taille maximale d’une clique etχ(G) le nombre chromatique deG. Un graphe est appeléparfait si pour tout sous-graphe induitH, on a :

χ(H) =ω(H)

Graphe de Berge

Untrouest un cycle induit (sans corde) de longueur au moins 4.

Un grapheG est de Berge si niG ni G n’ ont de trou de longueur impaire.

Théorème fort des graphes parfaits, [Chudnovsky, Roberston, Seymour, Thomas 2006]

Un graphe est parfait si et seulement si il est de Berge.

(47)

Décomposition [Chudnovsky, Roberston, Seymour, Thomas 2006]

Si un graphe de Berge, alors pourG ouG :

Soit c’est un graphe basique : biparti, line graphe de biparti, ou double split.

Soit il admet un 2-joint

Soit il admet une partition antisymétrique paire (balanced skew partition)

+ toutes les non-arˆetes + toutes les arˆetes Figure:

(48)

+ toutes les non-arˆetes + toutes les arˆetes Figure:Double split

(49)

(50)

(51)

(52)

A1

B₁ C₁

A₂

B2 C₂

Figure: 2-joint

(53)

A B

longueur paire

Figure : Partition paire

(54)

A1

B1

A2

B2

A B

longueur paire

Figure: Partition antisymétrique paire

(55)

Théorème [L., Trunck 2013]

SoitG un graphe parfait sans partition antisymétrique paire, alors il existe un Clique-Stable séparateur pourG de tailleO(n²).

Preuve par récurrence : Pour les graphes basiques

Pour un grapheG avec un 2-joint : à partir de G, on construit deux graphes G₁ et G₂, chacun provenant d’un côté du 2-joint + un gadget. Il faut vérifier queG₁ etG₂ sont des graphes parfaits sans partition antisymétrique paire.

[Chudnovsky, Trotignon, Trunck, Vušković 2012]

⇒ CS-séparateurs pourG₁ et G₂ par hypothèse de récurrence

⇒ on les transforme en un Clique-Stable séparateur pour G.

(56)

? ?

A₁

B₁ C1

A₂

B2 C₂

C1 A1

B1

a2

b2

C1 A1

B1 b2

c₂ a2

(57)

? ?

A₁

B₁ C1

A₂

B2 C₂

C1 A1

B₁

a₂

b2

C1 A1

B₁ b2

c₂ a2

(58)

? ?

A₁

B₁ C1

A₂

B2 C₂

C1 A1

B₁

a₂

b2

A₂

B₂ C₂ a₁

b1

(59)

? ?

A₁

B₁ C1

A₂

B2 C₂

C1 A1

B₁

a₂

b2

A₂

B₂ C₂ a₁

b1

(60)

? ?

A₁

B₁ C1

A₂

B2 C₂

C1 A1

B₁

a₂

b2

A₂

B₂ C₂ a₁

b1

(61)

? ?

A₁

B₁ C1

A₂

B2 C₂

A1

B₁ C1

a₂

b2

A₂

B₂ C₂ a₁

b1

(62)

Trigraphes [Chudnovsky 2006]

Un trigraphe est constitué d’un ensemble de sommetsV, et entre chaque paire de sommetsu et v, il y a soit :

Une arête forte : u v

Une non-arête forte : u v ou u v

Une arête non-determinée (qui peut servir à la fois d’arête ou de non-arête) :u v

Un trigraphe a un trou si l’on peut choisir les arêtes

non-déterminées de façon à créer un trou. Un trigrapheT est de Berge si niT ni T n’ont de trous impairs.

(63)

Clique-Stable séparation dans les trigraphes :

Une clique (resp. un stable) peut contenir des arêtes non-déterminées.

(64)

Décomposition [Chudnovsky 2006]

Si un trigrapheT est de Berge, alors pour T ou T :

Soit c’est un trigraphe basique : biparti, line trigraphe, ou doublé.

(65)

Rouge= Ce qui est mis à gauche (côté clique) Vert=

Ce qui est mis à droite (côté stable)

A₁

B₁ C1

A₂

B2 C₂

A₁

B₁ C1

a₂

b2

A₂

B₂ C₂ a₁

b1

(66)

Rouge=

Ce qui est mis à gauche (côté clique) Vert=

A₁

B₁ C1

A₂

B2 C₂

A₁

B₁ C1

a₂

b2

A₂

B₂ C₂ a₁

b1

(67)

Rouge=

A₁

B₁ C1

A₂

B2 C₂

A₁

B₁ C1

a₂

b2

A₂

B₂ C₂ a₁

b1

(68)

Rouge=

A₂

B2 C₂ C1

A₁

B₁

A₁

B₁ C1

a₂

b2

A₂

B₂ C₂ a₁

b1

(69)

Rouge=

A₂

B2 C₂ C1

A₁

B₁

a₂

b2 C1

A₁

B₁

A₂

B₂ C₂ a₁

b1

(70)

Rouge=

A₂

B2 C₂ C1

A₁

B₁

a₂

b2 A₁

B₁ C1 C1

A₁

B₁

A₂

B₂ C₂ a₁

b1

(71)

Rouge=

A₂

B2 C₂ B2

C₂ A₁

B₁ C1 C1

A₁

B₁

A₂

a₂

b2 A₁

B₁ C1 C1

A₁

B₁

A₂

B₂ C₂ a₁

b1

(72)

Rouge=

A₂

B2 C₂ C1

A₁

B₁

A₁

B₁ C1

a₂

b2

A₂

B₂ C₂ a₁

b1

(73)

Rouge=

A₂

B2 C₂ C1

A₁

B₁

a₂

b2 C1

A₁

B₁

A₂

B₂ C₂ a₁

b1

(74)

Rouge=

A₂

B2 C₂ C1

A₁

B₁

a₂

b2 C1

A₁

B₁

A₂

B₂ C₂ a₁

b1

(75)

Rouge=

A₂

B2 C₂ B2

C₂ C1

A₁

B₁

A₂

a₂

b2 C1

A₁

B₁

A₂

B₂ C₂ a₁

b1

(76)

Dans les graphes basiques :

Dans un trigraphe biparti, ω est borné par 2.

⇒ CS-séparateur de tailleO(n²).

Un line trigaphe est obtenu à partir d’un line graphe de biparti G dont on a changé certaines arêtes en arêtes indéterminées. Une clique est une clique du graphe original donc il y a un nombre linéaire de cliques maximales.

(77)

Un line trigaphe est obtenu à partir d’un line graphe de biparti G dont on a changé certaines arêtes en arêtes indéterminées.

Une clique est une clique du graphe original donc il y a un nombre linéaire de cliques maximales.

(78)

Un line trigaphe est obtenu à partir d’un line graphe de biparti G dont on a changé certaines arêtes en arêtes indéterminées.

Une clique est une clique du graphe original donc il y a un nombre linéaire de cliques maximales.

(79)

Dans un trigraphe doublé : on peut couper toutes les cliques de taille 2 et tous les stables de taille 2 en O(n²). Pour les autres :

+ toutes les non-arˆetes + toutes les arˆetes

(80)

(81)

(82)

(83)

(84)

(85)

(86)

Généraliser l’opération de 2-joint ?

⇒Si la CS-séparation est polynomiale dans une classe de graphes, alors on peut la transformer en trigraphes puis la clore park-joint tout en conservant la CS-séparation polynomiale.

(87)

B₂ C₂ C₁

B₁

A₂ A₁

(88)

B₂ C₂ C₁

B₁

A₂ A₁

(89)

B₂ C₂ C₁

B₁

A₂ A₁

(90)

Propriété~[L., Trunck 2013]

Tout trigraphe de Berge sans partition antisymétrique paire admet deux ensembles de sommetsAet B de taille au moins n/148, avec Acomplètement antiadjacent à B ou complètement adjacent à B.

A B

G

|A| ≥₁₄₈ⁿ |B| ≥148ⁿ

Malheureusement, la classe n’est pas héréditaire, donc la propriété

~n’implique pas la Clique Stable séparation (ni EH, mais EH est triviale sur les graphes parfaits)...

Mais il existe des graphes parfaits qui ne vérifie pas la propriété~ [Fox 2006]⇒ les graphes parfaits sans partition antisymétrique paire sont vraiment "plus structurés".

(91)

A B

G

|A| ≥₁₄₈ⁿ |B| ≥148ⁿ

(92)

A B

G

|A| ≥₁₄₈ⁿ |B| ≥148ⁿ