Td corrigé Solide sur un plan incliné - L'UTES pdf

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Methodo math-physique 1^er semestre 2009-2010 Corrigé partiel de l’exercice d’entraînement « Vecteurs »

Document de travail : « Solide sur un plan incliné ».

1. Diagramme des forces à l’équilibre :

a. Repositionner sur la construction les droites parallèles et perpendiculaires au plan incliné pour qu’elles dessinent le diagramme des forces.

b. Amener le vecteur N bout à bout avec P , perpendiculairement au plan incliné, puis le vecteur f

bout à bout avec N , suivant le plan incliné : la figure doit se refermer, ce qui correspond bien à l’équilibre du solide. Reporter la solution sur le schéma ci-dessus.

c. Les forces N et f

s’appliquent au niveau de la surface de contact entre le plan incliné et le solide. Chacune est en fait répartie sur toute la surface de contact, mais on admet pour chacune qu’elle est équivalente à une force unique appliquée en un point de cette surface.

Equation d’équilibre : P ₊ N + f

= 0

Si le solide est en équilibre, cette équation est vérifiée. Attention : la réciproque n’est pas vraie.

2. Trièdre direct (u_x_,

uy,u_z_{) :} uz ₌

ux_^

uy : u_z est perpendiculaire au plan formé par u_x_et

uy ; son sens est donné par la règle du tire-bouchon (ou celle des 3 doigts de la main droite), soit ici vers l’avant de la figure ; sa norme est de une unité.

3. Expression des forces dans le repère orthonormé (O u_x uy

uz) en fonction de leur norme.

D’après l’énoncé les forces sont dans le plan de figure (O u_x

uy), les composantes suivant Oz sont donc nulles.

Px=P _*

ux_{= P*u}

x*cos(P _,

ux_)=P*cos(



/2 +



) = - P*sin



Py= P _*

uy= P*uy*cos(P _,

uy)=P*cos(



+



) = - P*cos



D’où : P ₌ Px₊

Py

= Px *u_x_{+ P}

y*uy= - M*g*sin



^*u_x_{- M*g*cos}



^*uy

CC-HV 1/10/09 1

E

O

=27.44°

O1 D

C A

B

G

P G'

P'

x

y

Y1

ux uy

uy1

ux 1 N

f

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Methodo math-physique 1^er semestre 2009-2010 Corrigé partiel de l’exercice d’entraînement « Vecteurs »

N est perpendiculaire au plan incliné, ses composantes suivant u_x_et

uzsont donc nulles : Nx= N *u_x_{= 0} _{d’où :} _N =^Ny*uy

=+N*uy

f

est dirigé suivant le plan incliné, sa composante suivant uy

est donc nulle :

fy= f

*uy

= 0 d’où : f

=fx*u_x_{= +f *}

ux

Compléter le tableau :

sur Ox sur Oy sur Oz

Poids P _=M*

g

Vecteur projection Mesure algébrique de la projection Action normale

du support N

Vecteur projection Mesure algébrique de la projection Frottement f Vecteur projection

Mesure algébrique de la projection

4. Calcul des forces de contact en fonction des données M, g ,



Equation d’équilibre : P ₊_N + f

= 0

d’où : - M*g*sin



*u_x_{- M*g*cos}



^*uy+ N*uy+ f*u_x _{= 0} Projection sur Ox : - M*g*sin



*u_x_{+ f*}

ux₌

0 d’où f = M*g*sin



Projection sur Oy : - M*g*cos



*uy+ N*uy= 0 d’où N = M*g*cos



Géométriquement : le diagramme des forces est un triangle rectangle. Son hypoténuse (P) et ses angles aigus (



,



/2 -



) sont connus. f

et N forment les côtés de l’angle droit. On en déduit les normes puis les vecteurs f

et N :

N = M*g*cos



et f = M*g*sin



d’où

N = + M*g* cos



*uy et f

= + M*g*sin



*u_x

5. Choix du repère.

C’est pour une raison pratique que l’on préfère le repère (O u_x uy

uz). Les forces de contact étant dirigées perpendiculairement et parallèlement au plan incliné, suivant u_x_et

uy

, les calculs sont plus rapides dans le repère (O u_x

uy

uz_). C’est aussi le cas pour l’étude du mouvement, puisque l’accélération est dirigée suivant le plan incliné.

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