mathsbdp.fr Devoir de mathématiques n°1 Tspé NOM : ___________
Ex1. Dans chaque cas, déterminer la limite de la suite (𝑢𝑛) en détaillant.
a) 𝑢𝑛 = (1 − 2𝑛)(𝑛2+ 3)
𝑛→+∞
𝑙𝑖𝑚 1 − 2𝑛 = −∞ 𝑒𝑡 𝑙𝑖𝑚
𝑛→+∞
(𝑛
2+ 3) = +∞
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑡 𝑙𝑖𝑚
𝑛→+∞
(1 − 2𝑛)(𝑛
2+ 3) = −∞
(du type −∞ × (+∞) → −∞ )
b) 𝑢𝑛 = 5
3+𝑛 ;
𝑛→+∞
lim (3 + 𝑛) = +∞ donc lim
𝑛→+∞
(
13+𝑛
) = 0 ( 𝑑𝑢 𝑡𝑦𝑝𝑒
1∞
→ 0) donc lim
𝑛→+∞
(
53+𝑛
) = 0
c) 𝑢𝑛 = (2 +1
𝑛)2 ;
𝑛→+∞ lim (2 + 1
√𝑛 ) = 2 car lim
𝑛→+∞ ( 1
√𝑛 ) = 0 ( du type 2 + 0 → 2)
donc lim
𝑛→+∞ (2 + 1
√𝑛 ) 2 = 4
d) 𝑢𝑛 = 0,0001 × (4
3)𝑛 ; 𝑛→+∞
lim (
43
)
𝑛= +∞ car du type 𝑞
𝑛avec 𝑞 =
43
> 1 donc lim
𝑛→+∞
0,0001 × 1,2
𝑛= +∞
( 𝑑𝑢 𝑡𝑦𝑝𝑒 0,001 × (+∞) → +∞ )
e)
𝑢 𝑛 = 3𝑛−1
𝑛
2+5 = 𝑛×(3−
1 𝑛
) 𝑛
2(1+
5𝑛
) = 1
𝑛 × 3−
1 𝑛
1+
5𝑛
et
lim
𝑛→+∞
(3 −
1𝑛
) = 3 du type 3 − 0 → 3
etlim
𝑛→+∞
1 +
5𝑛
= 1 ( 𝑑𝑢 𝑡𝑦𝑝𝑒 1 + 0 → 1)
donc par quotientlim
𝑛→+∞
3−1
𝑛
1+5
𝑛
=
31
= 3 et lim
𝑛→+∞
( 1
𝑛 × 3−
𝑛11+
𝑛5) = 0
( du type 0 × 3 → 0 )
OU
lim
𝑛→+∞
(
3𝑛−1𝑛2+5
) = lim
𝑛→+∞
3𝑛
𝑛2
= lim
𝑛→+∞
(
3𝑛
) = 0
( 𝑑𝑢 𝑡𝑦𝑝𝑒
3+∞
→ 0)
Ex2. VRAI/FAUX à justifier 1. Si 𝑢𝑛 ≤ 1
𝑛2 pour tout 𝑛 ≥ 1, alors la suite (𝑢𝑛) tend vers 0.
FAUX la suite 𝑢
𝑛= −1 ≤
1𝑛2
et lim
𝑛→+∞
𝑢
𝑛= −1
2. Si 𝑢𝑛 ≤ 2 − 3𝑛, alors lim
𝑛→+∞𝑢𝑛 = −∞
VRAI lim
𝑛→+∞
(2 − 3𝑛) = −∞ et 𝑢
𝑛≤ 2 − 3𝑛 donc par comparaison lim
𝑛→+∞
𝑢
𝑛= −∞
3. Si 𝑢𝑛 = −1+𝑛+3𝑛2
𝑛+1 , alors (𝑢𝑛) diverge vers −∞
FAUX
𝑢
𝑛=
−1+𝑛+3𝑛2𝑛+1
=
𝑛2(− 1
𝑛2+1
𝑛+3) 𝑛(1+1
𝑛)
=
𝑛(−1 𝑛2+1
𝑛+3) (1+1
𝑛)
avec
𝑛→+∞
lim 𝑛 (−
1𝑛2
+
1𝑛
+ 3) = +∞
et lim
𝑛→+∞
(1 +
1𝑛
) = 1 donc lim
𝑛→+∞
𝑢
𝑛= +∞ ( 𝑑𝑢 𝑡𝑦𝑝𝑒
+∞1
→ +∞ )
4. Si 4 − 0,9𝑛 ≤ 𝑢𝑛 ≤ 4 + 0,1𝑛, alors la suite (𝑢𝑛) est convergente.
VRAI
𝑛→+∞ lim 0,9 𝑛 = 0 car du type 𝑞 𝑛 avec −1 < 𝑞 = 0,9 < 1
𝑛→+∞ lim 0,1 𝑛 = 0 car du type 𝑞 𝑛 avec −1 < 𝑞 = 0,1 < 1 donc lim
𝑛→+∞ 4 − 0,9 𝑛 = 0 et lim
𝑛→+∞ 4 + 0,1 𝑛 = 0 donc d’après le théorème des gendarmes lim
𝑛→+∞ 𝑢 𝑛 = 4
5. Une suite arithmétique de raison non nul est toujours divergente.
VRAI si 𝑟 > 0 alors lim
𝑛→+∞ 𝑢 0 + 𝑛𝑟 = +∞
si 𝑟 < 0 alors lim
𝑛→+∞ 𝑢 0 + 𝑛𝑟 = −∞
6. Toute suite géométrique de raison 𝑞 > 1 est strictement croissante.
FAUX La suite géométrique (𝑢 𝑛 ) définie par la
formule 𝑢 𝑛 = −2 × 3 𝑛 de raison 𝑞 = 3 et de premier terme −2 est strictement décroissante.
L’affirmation est vraie lorsque le premier terme de la suite est positif.
7. Si (𝑢𝑛) est la suite géométrique définie par 𝑢1 = 4 et 𝑞 = 2, alors 𝑢𝑛 = 2𝑛+1
VRAI 𝑢 𝑛 = 𝑢 1 × 𝑞 𝑛−1 = 4 × 2 𝑛−1 = 4 × 2 𝑛 × 2 −1
= 4 × 2 𝑛 × 1
2 = 2 × 2 𝑛 = 2 𝑛+1
Ex3.
Soit (𝑢𝑛) la suite définie par 𝑢0 = 15 et 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 2𝑛 − 6.
1. Calculer 𝑢1, 𝑢2 et 𝑢3.
𝑢
1= 𝑢
0+ 2 × 0 − 6 = 9 𝑢
2= 𝑢
1+ 2 × 1 − 6 = 5 𝑢
3= 𝑢
2+ 2 × 2 − 6 = 3
2. Déterminer la formule à écrire en B3, qui, après étirement vers le bas permet de générer les termes de la suite (𝑢𝑛). en B3 :
=B2+2*A2-6
3. Montrer que la suite (𝑢𝑛) est croissante pour 𝑛 ≥ 3
Pour 𝑛 ≥ 3, 𝑢 𝑛+1 − 𝑢 𝑛 = 2𝑛 − 6
or pour 𝑛 ≥ 3, on a 2𝑛 ≥ 6 donc 2𝑛 − 6 ≥ 0 donc 𝑢 𝑛+1 − 𝑢 𝑛 ≥ 0
donc la suite (𝑢 𝑛 ) est croissante pour 𝑛 ≥ 3
4. En déduire que pour tout 𝑛 ∈ ℕ, on a 𝑢𝑛 ≥ 0 et donc 𝑢𝑛+1 ≥ 2𝑛 − 6
D’après la question 1., on a 𝑢
0, 𝑢
1, 𝑢
2𝑒𝑡 𝑢
3positifs et pour 𝑛 ≥ 3, (𝑢
𝑛) croissante
donc 0 < 𝑢
3≤ 𝑢
4≤ 𝑢
5≤ ⋯ ≤ 𝑢
𝑛≤ 𝑢
𝑛+1donc pour tout entier naturel 𝑛, on a 𝑢
𝑛≥ 0
En additionnant 2𝑛 − 6 aux deux membres de l’inégalité,
on obtient
𝑢
𝑛+ 2𝑛 − 6 ≥ 2𝑛 − 6 donc 𝑢 𝑛+1 ≥ 2𝑛 − 6
5. En déduire la limite de la suite (𝑢𝑛)
On a lim
𝑛→+∞
(2𝑛 − 6) = +∞ et 𝑢
𝑛+1≥ 2𝑛 − 6 donc par comparaison, lim
𝑛→+∞
𝑢
𝑛+1= +∞
On en déduit lim
𝑛→+∞
𝑢
𝑛= +∞ ( car lim
𝑛→+∞
𝑢
𝑛+1= lim
𝑛→+∞
𝑢
𝑛)
Ex4. Une observation faite sur la fréquentation d'un stade de football a permis de
constater pour chaque année un taux de réabonnement de 80 %, ainsi que l'apparition de 4 000 nouveaux abonnés.
On note 𝑎𝑛 le nombre d'abonnés à la fin de la 𝑛-ième année et on précise que 𝑎0 = 7 000.
1. Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel 𝑛, on a : 𝑎𝑛+1 = 0,8𝑎𝑛 + 4 000.
Pour passer de l’année 𝑛 à l’année 𝑛 + 1, donc de 𝑎
𝑛à 𝑎
𝑛+1, on prend 80 % de 𝑎
𝑛et on ajoute 4000 abonnés donc on a la relation 𝑎
𝑛+1= 80 % 𝑑𝑒 𝑎
𝑛+ 4000 = 0,8𝑎
𝑛+ 4000
2. Démontrer par récurrence, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 ≤ 20 000 On montre par récurrence la question 2) et 3)
Soit 𝑃
𝑛la propriété : 20 000 ≥ 𝑎
𝑛+1≥ 𝑎
𝑛Initialisation
𝑎
1= 0,8𝑎
0+ 4000 = 0,8 × 7000 + 4000 = 9600 20000 ≥ 9600 ≥ 7000
On a bien 20 000 ≥ 𝑎
1≥ 𝑎
0donc 𝑃
0est vraie.
hérédité :
on suppose 𝑃
𝑛vraie ; montrons que 𝑃
𝑛+1est vraie, c'est à dire que 20 000 ≥ 𝑎
𝑛+2≥ 𝑎
𝑛+1𝑃
𝑛vraie ⟺ 20 000 ≥ 𝑎
𝑛+1≥ 𝑎
𝑛On multiplie membre à membre par 0,8
L’encadrement devient : 16 000 ≥ 0,8𝑎
𝑛+1≥ 0,8𝑎
𝑛On ajoute 4 000 à chaque membre ; on obtient 20 000 ≥ 0,8𝑎
𝑛+1+ 4000 ≥ 0,8𝑎
𝑛+ 4000
donc 20 000 ≥ 𝑎
𝑛+2≥ 𝑎
𝑛+1donc 𝑃
𝑛+1est vraie
conclusion : 𝑃
0vraie et 𝑃
𝑛héréditaire
donc par récurrence, pour tout entier naturel 𝑛 20 000 ≥ 𝑎
𝑛+1≥ 𝑎
𝑛Cette propriété prouve à la fois que (𝑎
𝑛) est croissante et majorée par 20 000.
3. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (𝑎𝑛) ? Justifier.
La suite (𝑎 𝑛 ) est croissante et majorée par 20 000.
donc d’après le théorème de convergence, la suite (𝑎
𝑛) est convergente.
4. Soit (𝑢𝑛) la suite définie pour tout nombre entier naturel 𝑛 par 𝑢𝑛 = 20 000 – 𝑎𝑛. a. Montrer que la suite (𝑢𝑛) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
𝑢
𝑛= 20 000 − 𝑎
𝑛⟺ 𝑎
𝑛= 20 000 − 𝑢
𝑛𝑢
𝑛+1= 20 000 − 𝑎
𝑛+1= 20 000 − (0,8𝑎
𝑛+ 4000)
= 16 000 − 0,8𝑎
𝑛= 16 000 − 0,8(20 000 − 𝑢
𝑛)
= 16 000 − 16 000 + 0,8𝑢
𝑛= 0,8𝑢
𝑛donc (𝑢
𝑛) est géométrique de raison 𝑞 = 0,8 et de premier terme
𝑢
0= 20 000 − 𝑎
0= 13 000
b. Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛, puis 𝑎𝑛 en fonction de 𝑛.
b.
𝑢 𝑛 = 𝑢 0 × 𝑞 𝑛 = 13 000 × 0,8 𝑛
𝑎 𝑛 = 20 000 − 𝑢 𝑛 = 20 000 − 13 000 × 0,8 𝑛
5. a. Compléter l’algorithme ci-dessous afin de déterminer après combien d'années le nombre d'abonnés dépassera 16 000.
b. Déterminer la valeur affichée en sortie après exécution de cet algorithme.
N=6 ; Au bout de 6 ans le nombre d'abonnés dépassera 16 000.
𝑎 ←7000 𝑛 ←0
Tant que 𝑎 ≤16000 𝑛 ← 𝑛 + 1
𝑎 ← 0.8 ∗ 𝑎 + 4000 FinTant
Afficher 𝑛
𝑢 ←400 saisir 𝑛
Pour k allant de 1 à 𝑛 𝑢 ← 𝑢 × 0,2
FinPour Afficher 𝑢 Ex5. On considère l’algorithme ci-contre.
a) Déterminer la définition de la suite (𝑢𝑛) définie à partir de cet algorithme ( formule ou relation de récurrence )
{ 𝑢 0 = 400
𝑢 𝑛+1 = 𝑢 𝑛 × 0.2
b) Déterminer la valeur obtenue en sortie lorsqu’on saisit 𝑛 = 8.
sortie
0,001024 = 1,024 × 10 −3
BONUS. Déterminer l’entier naturel 𝑛 tel que :
89 + 90 + 91+. . . +𝑛 = 99 824 1 + ⋯ + 88 = 88 × 89
2 = 3916
1 + 2 + ⋯ + 88 + 89 + 90 + ⋯ + 𝑛 = 3916 + 99824 = 103 740
𝑛(𝑛+1)
2
