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Etudes semi-analytiques des conditions de

déclenchement et de saturation des auto-oscillations dans des moteurs thermoacoustiques de géométries

diverses

Matthieu Guédra

To cite this version:

Matthieu Guédra. Etudes semi-analytiques des conditions de déclenchement et de saturation des auto-oscillations dans des moteurs thermoacoustiques de géométries diverses. Autre [cond-mat.other].

Université du Maine, 2012. Français. �NNT : 2012LEMA1025�. �tel-00821108�

É TUDES S EMI -A NALYTIQUES DES C ONDITIONS DE D ÉCLENCHEMENT ET DE

S ATURATION DES A UTO -O SCILLATIONS DANS DES M OTEURS

T HERMOACOUSTIQUES DE G ÉOMÉTRIES D IVERSES

Matthieu G UÉDRA

sous la direction de P. L OTTON , Directeur de Recherche CNRS, et G. P ENELET , Maître de Conférences

Thèse de Doctorat en Acoustique

Laboratoire d’Acoustique de l’Université du Maine

Le Mans, France, 2012

Éole Dotorale Sienes pour l'Ingénieur, Géosienes, Arhiteture

Université du Maine, Le Mans, FRANCE

Thèse de Dotorat

Spéialité: Aoustique

présentée par

Matthieu Guédra

pour obtenir letitre deDoteur d'Université

Études Semi-Analytiques des Conditions de Délenhement et de

Saturation des Auto-Osillations dans des Moteurs

Thermoaoustiques de Géométries Diverses

Thèsepréparée au Laboratoired'Aoustique del'Université duMaine

soutenuele 19Otobre 2012

devant lejury omposéde :

M.Bruneau ProfesseurÉmérite,LAUM,UniversitéduMaine PrésidentduJury

Ph.Blan-Benon DireteurdeReherhe,LMFA,ÉoleCentraledeLyon Rapporteur

H.Bailliet MaîtredeConférenes,InstitutPPRIME,UniversitédePoitiers Rapporteur

J.Gilbert DireteurdeReherhe,LAUM,UniversitéduMaine Examinateur

A.Kusiak MaîtredeConférenes,TREFLE,UniversitédeBordeaux Examinateur

A.Athley Professeur,CollegeofEngineering,UniversityofPennsylvania Examinateur

P.Lotton DireteurdeReherhe,LAUM,UniversitéduMaine DireteurdeThèse

G.Penelet MaîtredeConférenes,LAUM,UniversitéduMaine Co-direteurdeThèse

Remeriements

Cettethèse aétéeetuéeauLaboratoired'Aoustiquedel'UniversitéduMaine(UMR-CNRS6613),et a

bénéiéd'unebourseallouéeparleMinistèredel'EnseignementSupérieuretdelaReherhe.Je remerieM.

YvesAurégan,DireteurdeReherheCNRSetdireteur duLAUM,dem'avoiroertette opportunité etde

m'avoiraueilliauseindulaboratoire.

Enpremierlieu,j'aimeraisremeriertrèshaleureusementmesdireteursdethèse,PierrikLotton,Direteur

deReherheCNRS,etGuillaumePenelet,MaîtredeConférenes,dem'avoiraordéunetotaleonanetout

au longde estrois ans,pourleurimpliation quotidienneet pourtoutesleurs idéesoriginalesqui ontnourri

etravail.Cesquelqueslignestémoignentdemareonnaissane,queesoitpourlesonnaissanessientiques

qu'ilsm'ontfaitpartager,oupourleuraideetleursoutiendansl'exeriediilequ'estlarédationdumémoire.

J'aimeraisdireombienilm'aétépréieuxdepouvoiromptersureuxentoutesironstanesetombienilm'a

étéagréabledelestoyer;puissent-ilstrouveriil'expressiondetoutemagratitudeetdetoutemonamitié.

J'adresseégalementungrandmeriàM.MihelBruneau,professeurémérite auLaboratoired'Aoustique

de l'Université du Maine, pour l'attentionbienveillante qu'ilaportéeà mon travailtout au longde es trois

annéesdedotorat,poursesnombreuxonseilsetpourtouteslesdisussionsagréablesquenousavonspuavoir

ensemble.

Je remerieM. Philippe Blan-Benon,Direteur de ReherheCNRS àl'Éole Centralede Lyon,et M me

Hélène Bailliet, Maître de Conférenes àl'institut PPRIME de Poitiers, d'avoirtous deux aepté le rle de

rapporteurdee mémoiredethèse, ainsiqueMM.lesmembresdujuryquiontaeptédejugeretravail.

Jeremerie M.Jean-PierreDalmont,Professeur auLAUM,dontlesqualités d'expérimentateurm'ontété

d'une grandeaidepourledéveloppementduban demesure, et qui m'afait proter detoute sonexpériene

onernantlesméthodesmulti-mirophoniques.

JeremerieM.Denis Bruneau,Maîtrede ConférenesaulaboratoireTREFLEdeBordeaux,ainsiqueM.

KosaiRaoofetM.LaurentSimon,Professeursàl'UniversitéduMaine,pourleregardritiquequ'ilsontporté

sur le problèmeinverse. Cetteproblématiquem'était, il faut l'avouer,totalement étrangèreau début de mon

dotorat; il a été très important pour moi de pouvoir les onsulter sur e point et de m'appuyer sur leurs

onseils.

JeremerieenoregrandementM me

HélèneBaillietavequij'aiététrèsheureuxdepouvoirdisuterdevive

voixouparourriel, et qui m'a étéd'uneaide préieuseonernantlealul duvent aoustiquedeRayleigh.

J'adresse aussi toute ma reonnaissane à M. Vitalyi Gusev, Professeur à l'IMMM, pour ses onseils avisés

onernantlemodèlederégimetransitoire.

Je salue bien évidemment les membres atifs de l'équipe Thermoaoustique du LAUM que sont Gaëlle

Poignand,Ingénieur de Reherhe, et FlavioBannwart, dotorant.L'ensemble de nostravaux, dissoiés mais

omplémentaires, se sont auto-alimentés et ont joué un rle moteur dans nos reherhes respetives. J'ai eu

plaisiràtravailleretdisuteraveeuxlorsdenosréunions(quasi-) hebdomadaires, mais'est surtoutl'amitié

quejeleurportequijustiepleinementes quelqueslignes.

Je remerie M. Emmanuel Brasseur, Ingénieur, de m'avoir aidé au début de ma thèse àmettre en plae

le pilotageinformatique dubandemesure, ainsiqueM. ThibautDevauxqui aréalisélesmesuresen régime

transitoiresurlemoteurquartd'onde lorsdesonstagede1 ère

année deMaster.

Auoursdeedotorat,j'aiégalementbénéiéd'unemissionenseignementàl'UFRSienesdel'Université

duMaine. Je remerie touslesmembresdeséquipesenseignantes avequi j'ai eu lahane de travailler: M.

ChristopheAyrault,M. BertrandLihoreau,M me

Catherine Potel, M.Jean-PierreDalmont,M. OlivierDazel.

J'aimerais remerier tout partiulièrement Guillaume Penelet qui m'a témoigné de laplus grande marquede

onaneenme laissantassurerleoursdeThermoaoustique de1 ère

annéedeMasterlorsdema3 ème

année

dedotorat.

Un grand meri à tous eux que j'ai pu toyer avant et pendant ma thèse, tous mes amis, dotorants

évidemment...

Enn, j'aimerais surtout adresser un grand meri à ma famille pour leur soutien permanent. D'abord à

Valeria,mapetiteamieaudébutdeettethèse, quim'aditouietestdevenuemafemmedeuxmoisavantma

soutenane!Ensuite àLuileet Léoet monadorablenièe Manon.Ennàmesparents,Céileet Mihel,qui

n'ontjamaisesséd'être ersdemoi,'est ertainementleplusbeauadeauqu'ilspuissentme faire.

Jedédieette thèseàmonpère.

Table des matières

Table desmatières . . . iii

Introdution 1 1 Conditionsde stabilité et taux d'ampliation 5 1.1 Équations fondamentalesde lathermoaoustique . . . 5

1.1.1 Équations fondamentales del'aoustiqueen uidedissipatif . . . 6

1.1.2 Hypothèsessimpliatries . . . 7

1.1.3 Équationde propagation pour lapression aoustique . . . 8

1.2 Équationaratéristique d'unsystème thermoaoustique . . . 10

1.2.1 Générateur d'ondes stationnaires . . . 10

1.2.2 Générateur d'ondes progressives. . . 13

1.3 Desription del'ampliation/atténuation de l'onde aoustique . . . 16

1.4 Résultats etdisussion . . . 18

1.4.1 Système àondes stationnaires . . . 18

1.4.2 Système àondes progressives . . . 20

1.5 Conlusion. . . 27

2 Matrie de transfert expérimentale du noyau 29 2.1 Présentation dunoyau thermoaoustique étudié . . . 31

2.2 Présentation duban de mesure . . . 32

2.3 Méthode àdeux harges . . . 33

2.4 Mesure desoeientsde transfert . . . 38

2.4.1 En l'absenede hauage . . . 38

2.4.2 Pour diérentes onditionsde hauage . . . 41

2.5 Prédition duseuil dedélenhement . . . 41

2.5.1 Calul desonditions dedélenhement àpartir desdonnéesexpérimentales . . 42

2.5.2 Système àondes stationnaires . . . 43

2.5.3 Système annulaireouplé . . . 43

2.6 Conlusion. . . 46

3 Modélisation du noyau thermoaoustique méthode inverse 47 3.1 Propagation aoustiquedanslenoyau . . . 48

iv

TABLE DES MATIÈRES

3.1.2 Diusionde lahaleur danslenoyau . . . 49

3.2 Formulation duproblème inverse . . . 52

3.2.1 Critèredesmoindres arrés . . . 52

3.2.2 Méthode deminimisation . . . 53

3.3 Estimationde paramètres aoustiques . . . 55

3.3.1 Staken éramique . . . 55

3.3.2 Autresmatériaux . . . 61

3.4 Estimationde paramètres thermiques. . . 65

3.4.1 Analysedessensibilités . . . 65

3.4.2 Estimations àpartirdesdonnées expérimentales . . . 67

3.5 Conlusion. . . 71

4 Régime transitoire dans un moteur thermoaoustique quart d'onde 73 4.1 Modélisation analytiquedu régimetransitoire . . . 75

4.1.1 Équationaratéristique du système . . . 75

4.1.2 Seuil dedélenhement . . . 75

4.1.3 Ampliation thermoaoustiquedesauto-osillations . . . 77

4.2 Desriptiondes eetsnon-linéaires saturants. . . 77

4.2.1 Fluxde haleur thermoaoustique danslestak . . . 77

4.2.2 Modèle simpliéde vitessedu vent aoustique . . . 78

4.2.3 Transferts de haleur instationnaires . . . 87

4.3 Simulation numérique du régimetransitoire . . . 89

4.3.1 Shéma de résolution numérique . . . 89

4.3.2 Résultats desimulation . . . 90

4.4 Conlusion. . . 94

Conlusion 97 A Matries de transfert de biportes aoustiques 101 A.1 Conventions utilisées . . . 101

A.2 Guide d'ondedroit . . . 102

A.3 Elément poreux . . . 103

A.4 Guide d'ondeonique . . . 104

A.5 Biporte soumisà une distributioninhomogène de température . . . 104

B Desription analytique simpliée du délenhement et du taux d'ampliation 107 B.1 Determination de

Ω

^et

ǫ _g

^{en hypothèse}quasi-statique. . . 107

B.1.1 Solutiongénéralede l'équationaratéristique . . . 107

B.1.2 Expressions analytiquesdes fontions

f ₀

^et

f ₁

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108}

B.2 Système àondes stationnaires . . . 111

B.3 Système annulaire . . . 117

B.3.1 Interation quasi-adiabatiquedansle résonateur. . . 117

TABLE DES MATIÈRES

^v

C Caratéristiques du transduteur thermo-aousto-életrique 121

D Méthode à deux harges Résultats et inuene des soures d'erreurs 123

D.1 Résultats de mesure . . . 123

D.2 Estimation desinertitudes . . . 127

D.2.1 Inertitudes surle nombre d'ondeomplexe

k

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127}

D.2.2 Inertitudes surles oeientsde lamatrie de transfert . . . 130

E Expressionanalytique du oeient d'éhange

h s

¹³³ F Méthode inverse Erreurs dues aux paramètres onnus 137 G Calul analytique de l'éoulement de Rayleigh 141 G.1 Composanteaxiale de lavitessede l'éoulement . . . 141

G.2 Composanteradiale delavitesse partiulaire . . . 143

G.3 Éoulement en l'absene de gradient de température . . . 144

Bibliographie 147

Introduction

Cetravail dedotorat traitedelamodélisationgénéraliséedesproessusdedélenhement etd'am-

pliation des auto-osillations dans les moteurs thermoaoustiques. Outre la volonté d'apporter sa

ontribution àlaompréhension desphénomènesphysiques quientrent en jeu danslessystèmes ther-

moaoustiques, le but de e travail estde fournir de nouveaux outils pour ledimensionnement de es

mahines,basés sur desmodèles analytiques etsurla aratérisationexpérimentale des propriétés de

transfert dunoyau thermoaoustique.

Lesmahinesthermoaoustiques font partiedelafamilledesmahines thermodynamiquesyliques

ayant pour voation d'éhanger de la haleur et du travail ave leur environnement. Comme toute

mahinethermodynamique,ellespossèdentdeuxmodesdefontionnementsuivantlesensdeséhanges

énergétiques : le mode moteur pour lequel le système exploite le transfert de haleur d'une soure

haude vers une soure froide pour produire du travail aoustique, et le mode pompe-à-haleur pour

lequellesystèmeutilisel'énergieaoustiqued'unesoureexternepourproduireuntransfertdehaleur

d'une soure de haleur versune autre. L'eet thermoaoustique à l'originedu fontionnement de es

moteursnaîtdel'interationentrelesosillationsaoustiquesd'unuideetungradientdetempérature

imposélelongdesparois d'unmatériauporeux(généralement appeléstak ourégénérateur, selonque

leontat thermiqueest denature quasi-adiabatique ou quasi-isotherme).

Si le phénomène de transdution thermo-aoustique peut être onsidéré au premier abord omme

une uriosité sientique [86℄, sonappliation dansle domaine industrieln'en demeure pasmoins un

réel enjeu.En eet,leursimpliité demiseen oeuvre,leurrobustesseou enorel'utilisation de uides

respetueux de l'environnement sont autant d'avantages qui rendent les mahines thermoaoustiques

potentiellement intéressantes pour la génération d'énergie méanique. Le fateur limitant prinipal

pour la prodution industrielle est le rendement de es systèmes qui, malgré le fait qu'il puisse at-

teindre un ordrede grandeurraisonnable, reste enoretropfaible relativement aurendement d'autres

mahines thermiques. L'amélioration du rendement de es systèmes onstitue don naturellement le

prinipalenjeuenthermoaoustique. Depuismaintenantunetrentaine d'années,unnombreimportant

demoteursthermoaoustiquesdegéométriesdiversesontvulejour.D'abord en1979 lorsqueCeperley

disutepour lapremière foisdelafaisabilitéd'unmoteurthermoaoustique deStirling[22 ℄.Ilimagine

alors un système annulaire dans lequel peut se développer une onde aoustique progressive, dont le

yleaoustiquepeutêtreassimiléàunyledeStirling.Cesystèmeatteintthéoriquementuntrèsbon

rendement (prohe de elui de Carnot); malheureusement, Ceperley éhoue à faire fontionner ette

2

Introduction

dimensionner la première mahine thermoaoustique à ondes progressives [105 ℄. Dès lors, on voit ap-

paraîtrelespremiersmoteursthermoaoustiqueoptimisés etréellement eaes:itonsparexemple

lemoteur deStirling développé en1999 par S.Bakhaus etG. Swift[9,10℄,ou enoreleprototype de

transduteurthermo-aousto-életriquedéveloppéen2004parBakhausetal.envued'uneutilisation

en aéro-spatial[11℄.

Le développement de moteurs thermoaoustiques de plus en plus performantsest en grande partie

attribuable aux travaux menés au Laboratoire National de Los Alamos(USA), etnotamment au dé-

veloppement et à lamise à disposition en aès libre du logiiel Delta-E [100℄ (puis Delta-EC [101 ℄),

unoutil robuste dédiéau dimensionnement dessystèmes thermoaoustiques etquireste l'outil leplus

utilisé àejour. Cependant,bienqu'ilsoitadapté aualuldu rendement desmahines thermoaous-

tiques,Delta-E n'en possède pas moinsquelquesdéfauts impliitement liésà lathéorie surlaquelle il

repose.Enpremierlieu,Delta-E estbasésuruneapproheuni-dimensionnelledeseetsthermoaous-

tiquesetne permetdon pasdeprendre enompte deséventuelles variations transversesdeshamps,

qui peuvent jouerun rle non-négligeable dansleproessusd'ampliation del'onde. Ensuite, lamo-

délisation de l'instabilité thermoaoustique est dérite en régime stationnaire et ne tient pasompte

du régimetransitoire de l'onde qui peutependant ontenir desinformations importantes onernant

les proessus non-linéaires responsables de la saturation [89 , 111 , 69 ℄. Remarquons également que e

logiiel n'est, de fait, pasadapté au aluldes onditions marginales de stabilité desmoteurs. Enn,

la modélisation sous Delta-E est basée sur la théorie linéaire de la thermoaoustique [83 , 88℄ et les

seuls proessus saturants pris en ompte de façon relativement able sont le ux de haleur aousti-

quement induitetlespertesde hargesingulièresen bord destak.Cesquelqueslimitations soulevées

iiamènent àsequestionnersurledéveloppement d'outils apablesdedériree queDelta-E ne peut

prédire:quelleformulationpeutêtreadoptéepour ladesriptiondel'ampliationthermoaoustique,

depuis le délenhement jusqu'à la saturation en amplitude; quelles méthodes peuvent être envisa-

gées pour s'aranhir des onsidérations uni-dimensionelles et hypothèses simpliatries onernant

la distribution de température, la présene des éhangeurs de haleur ou enore les propriétés ther-

mophysiques des régénérateurs; enn, omment prendre en ompte ertains proessus de saturation

qui interviennent dans l'établissement des transferts de haleur et dans la déformation du hamp de

température (laprésened'unéoulement redressé,par exemple [72℄).

L'un des objetifs de e travail de thèse est don de proposer une modélisation de l'ampliation

thermoaoustique, généralisable à plusieurs ongurations de moteur et reposant sur un formalisme

dédié aussi bien au alul des onditions de stabilité qu'à la desription de l'évolution temporelle de

l'amplitudedesauto-osillations.Leseondobjetifonernelaaratérisationexpérimentaleetlamo-

délisationnedunoyauthermoaoustiquequionstituel'élément-lédusystème.Eneet,lesmoteurs

thermoaoustiques les plus réents intégrent de plus en plus d'éléments omplexes dont la modélisa-

tion préisereste enore àdévelopper. Ceifaitréféreneen partiulier auxmatériauxporeux utilisés

omme régénérateur et dont les propriétés thermoaoustiques sont enore diilement quantiables.

A l'heure atuelle, la prise en ompte de es matériaux dans lamodélisation desmoteurs ne peut se

faire qu'au moyen de lois empiriques permettant d'ajuster les fontions thermovisqueuses sur elles

desgéométries standardsde type empilements de plaquesou poresylindriques [80℄.La onnaissane

Introduction

³

notamment été démontré lors d'études préédentes que la forme du hamp de température peut in-

uenersigniativement leproessusd'ampliation thermoaoustique[73 ℄.Lamesuredespropriétés

detransfertdunoyauonstituedonuneapproheoriginalequiprésenteundoubleintérêt:ellepermet

d'une part d'emprisonner les propriétés d'ampliation du noyau dansune boîte noire, et d'autre

partde pouvoirremonter àertaines informations onernant ses propriétés internes.

Lepremierhapitredeemémoireabordeladesriptiondutauxd'ampliationetdesonditionsde

stabilitédesauto-osillationspourdiérentesgéométriesdemoteursthermoaoustiques.Leformalisme

adopté est basé sur l'ériture des matries de transfert des éléments onstituant le système. L'ajout

de onditions aux limites permet de fermer le problème et d'en déduire une équation aratéristique

dont lasolution représente unpoint de fontionnement du moteur.L'ampliation de l'instabilité est

alors modéliséepar l'introdutiond'unoeientd'ampliation déniommelapartie imaginairede

la pulsationaoustique :pour unprol de température donné dansl'ensemble du dispositif thermoa-

oustique,larésolution del'équationaratéristique enpartiesréelleetimaginairepermetainside

aluler lapulsation desosillationsetletaux d'ampliation de l'onde.

Le formalisme utilisé au hapitre 1 implique laonnaissane des matriesde transfert du stak ou

régénérateur etdelapartiepassive dunoyauthermoaoustique,élémentslelongdesquelsestmaintenu

legradientdetempérature.Desexpressionsanalytiquesdeesmatriespeuvent êtreobtenuesàpartir

de l'équation de propagation de la thermoaoustique linéaire [39 , 48℄, qui néessitent néanmoins de

formulerdeshypothèsessur lagéométrie desporesdustakmaissurtout sur leprolde température

(etdonafortiorideshypothèsesonernantlaprésened'éhangeursdehaleur,l'eetdeondution

danslesparoisdumoteur,et...).Lehapitre 2présenteunprotooleexpérimentalpourlamesuredes

propriétés de transfert du noyau thermoaoustique omplet 1

sous diérentes onditions de hauage.

Dans e hapitre, il est notamment démontré queles matries de transfert mesurées introduites dans

le modèle dérit au hapitre 1 permettent de retrouver les onditions de délenhement de moteurs

thermoaoustiques intégrantlenoyauaratérisé expérimentalement. Cetteapprohepourdéterminer

leseuildefontionnement dessystèmesthermoaoustiques exploiteainsilespropriétés detransfertdu

noyau (boîte noire)sansavoir àdérire leséléments quile onstituent.

Si l'on souhaite aller au-delà de e que les données expérimentales obtenues grâe à la méthode

exposée au hapitre 2 peuvent nous fournir (à savoir, les onditions marginales de stabilité), il de-

vient néessaire d'aborder la desription des transferts de haleur qui s'établissent au sein du noyau

thermoaoustique. Le hapitre 3proposedon unemodélisationomplètedu noyau thermoaoustique

étudié au hapitre 2 et traite de l'exploitation des données expérimentales pour l'ajustement de pa-

ramètres aoustiques etthermiques dustak. L'estimationdes paramètres est réalisée en usant d'une

méthode inverse qui onsiste à minimiser l'éart quadratique entreles points de mesureetla théorie.

Cette méthode est utilisée pour estimer la porosité, le rayon des pores et la tortuosité, ainsi qu'une

longueur aratéristiquede diusiondelahaleurdanslestakpour l'éhantillon enéramiqueétudié

au hapitre 2ainsique pour diversmatériauxqui tiennent lerlede régénérateur.

4

Introduction

Enn, ledernierhapitre dumémoiretraitedelamodélisationanalytiquedel'ampliationetdela

saturationpareetsnon-linéairesauoursdurégimetransitoiredel'instabilité.Cettemodélisationest

appliquée à une géométrie standard de moteur thermoaoustique, qui onsiste en un résonateurdroit

ouvert à l'une de ses extrémités et fermé à l'autre (type quart d'onde). Outre l'eet du pompage de

haleurthermoaoustique danslestak,e modèleproposelaprise enompte deseetsdeonvetion

dusàlaprésened'unéoulement redressé(vent aoustiquedeRayleigh)quis'établitdansesystème

àondesstationnaires. Ils'agitd'untravailpréliminaire quionstitue,ànotreonnaissane, lepremier

modèle tentant de prendre en ompte l'eet duvent aoustiquede Rayleigh dansle aluldu régime

transitoire des auto-osillations thermoaoustiques. Ce modèle est basé sur le formalisme développé

au hapitre 1 et sur le alul à haque instant

t

^{du oeient} d'ampliation de l'onde à partir de l'évolution temporelle du hamp de température. Celui-i est alulé en usant d'une résolution par

diérenesniesdeséquationsde lahaleur enrégimeinstationnaire quiintégrent lesdeuxeetsnon-

linéairesitéspréédemment.Lessimulationsnumériques(Runge-Kuttad'ordre 4)sont omparésaux

mesures depression aoustiqueréalisées suredispositif.

Diverses annexes sont disponibles en n de mémoire, qui ne sont pas indispensables à la ompré-

hensiondesquatrehapitresmaisquipeuvents'avérerutilespouruneanalyseplusapprofondie dees

travauxde thèse.

Chapitre 1

Conditions de stabilité et taux d’amplication

Ce premier hapitre est dédié à la desription analytique des onditions de délenhement et du

taux d'ampliation de l'instabilité thermoaoustique. Parmi les systèmes thermoaoustiques étudiés,

ondistingueralessystèmesditsàondesstationnaires aratérisésparunrésonateurdroit deeux

dits à ondesprogressives,pour lesquelsilexiste uneboule derétroation (anneau, systèmeoaxial...)

favorable àl'ampliation d'uneonde à aratèreprogressif.

Le paragraphe 1.1 introduit les notations et onventions utilisées au travers des équations de la

thermoaoustiquelinéaire.Dansleparagraphe1.2,leformalisme généralutilisépourladesriptiondes

systèmesthermoaoustiques estexposéetleséquations aratéristiquesdesmoteurssont développées.

Le paragraphe1.3introduit leoeient d'ampliation thermoaoustiquetraduisant l'étatinstation-

naire du système et des résultats pour le alul du oeient d'ampliation et des onditions de

délenhement sontexposésdansleparagraphe1.4 pour diérentsasde moteursthermoaoustiques.

1.1 Équations fondamentales de la thermoaoustique

Danse premier paragraphe, les équations fondamentales de lathermoaoustique sont posées. Un

ertain nombre d'hypothèses sont retenues, qui permettent de développerdes expressions analytiques

pour lesvariables aoustiquesainsique l'équationde propagationpour lapression.

Ladéouverteduphénomène d'ampliation par eetthermoaoustique estgénéralement attribuée

auxsoueursdeverredu

XVIII

^esièlequientendaientunsonémisàl'extrémitéouvertedutubelorsque l'autre extrémité était portée à très hautes températures. Leur instrument de travail rassemblait en

eetlesaratéristiquesprinipalesdesosillateursthermoaoustiquesetonstituaitlesupportidéalà

l'observationduphénomène.Ainsi,sanslesavoir,lessoueursdeverrefurent lespremiers àmettreen

évidenel'entréeenrésonaned'uneolonned'airpar eetthermoaoustique. Verslandu

XVIII

^e,les

travaux de Byron Higgins susitèrent l'intérêt de la ommunauté sientique lorsqu'il réussit à réer

6

1 Conditions de stabilité et taux d’amplication

observaégalementunphénomèned'ampliationthermoaoustiquedansuntubemuniàsonextrémité

d'uneavitéportée àhautes températures [86 ℄.

En 1868, Kirhho introduit la ondution de la haleur et la prise en ompte des eets visqueux

dansles équationsdel'aoustique.Quelquesannéesplustard,LordRayleighdonne uneinterprétation

qualitativedufontionnementdutubedeSondhausssurlabasedestravauxdeKirhho[50 ℄etsouligne

partiulièrement l'importane du déphasage entre les osillations de température et le déplaement

de la partiule de uide. Entre les années 1970 et 1990, Nikolaus Rott établit nalement les bases

de la thermoaoustique linéaire et faiblement non-linéaire et propose une desription analytique de

l'instabilité thermoaoustique dansles tubes de Sondhauss et de Taonis [83℄. La théorie de Rott est

égalementonfortéeen1980parlestravauxexpérimentauxdeYazakietoll.portantsurlesinstabilités

de Taonis au seinde systèmes ryogéniques [107 , 108 ℄.

Dans leadre du présent manusrit, le développement des équations fondamentales de la thermoa-

oustique a prinipalement pour but d'introduire lesnotations, onventions ethypothèsesréurrentes

toutau longdeshapitressuivants.

1.1.1 Équations fondamentales de l'aoustique en uide dissipatif

Le mouvement d'une partiule de uide (en l'absene de soures) est dérit par l'équation de

onservation delamasse

∂ρ

∂t + − →

▽ · (ρ~v ) = 0,

^(1.1)

où

ρ

^{est lamassevolumique duuide et}

~v

^{est lavitesse} partiulaire, l'équation vetorielle de Navier- Stokestraduisant laonservation delaquantité demouvement

ρ d~v

dt = − − →

▽ p + µ

△ ~v + 1

3 + µ _v µ

− →

▽ ( − →

▽ · ~v)

,

^(1.2)

où

p

^{estlapressionetoù}

µ

^et

µ _v

représentent respetivement lesvisositésdynamiquesdeisaillement et de volume,etenn l'équationde onservation del'énergie

ρT dS dt = − →

▽ · (λ − →

▽ T ) + σ · ▽ (~v)

^(1.3)

où

T

^estlatempérature duuide,

S

^estl'entropie,etoù

λ

^et

σ

représentent respetivementlaondu- tivité thermiquedu uideetletenseur desontraintes.

Aux équations de onservation (1.1) -(1.3) s'ajoutent les relations d'état suivantes, pour un uide

onsidéré ommeparfait :

dρ = − ρ

T dT + γ

c ² ₀ dp,

^(1.4)

dS = C _p

T dT − 1

ρT dp,

^(1.5)

où

γ = ^C _C ^p

v

est le oeient polytropique du uide,

c ₀ = q

γR g T M mol

est la élérité adiabatique du son

(

M _mol

^{estlamasse molairedu uideet}

R _g = 8.31J.mol ^{− 1} .K ^{− 1}

^{pour ungaz parfait)et}

C _p

^et

C _v

^sont

1.1 Équations fondamentales de la thermoacoustique

⁷

x

0 0(L)

(a)

(b)

()

(d)

-0.15

-0.1

-0.05

0.1

0.05

1

2

3

4

5

6

10

20

-0.04

-0.02

0.02

0.9

1.1

0.5

1.5

2.5

0.2

0.4

0.6

0.8

mode 1

mode 2

mode 3

-0.08

0.04

0.08

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

0.5

1.5

2.5

1.2

1.4

1.6

1.8

2.2

2.4

2.6

2.8

3.2

0.98

0.99

0.988

0.992

0.996

1.004

r

R

solide

Figure 1.1 Systèmedeoordonnéesutilisépourleproblèmeonsidéré.

1.1.2 Hypothèses simpliatries

Leshémadonnéengure1.1présentelagéométrieduproblèmeonsidéré.Ladiretion

x

^représente

la diretion de propagation de l'onde aoustique dans un volume de uide situé à l'intérieur d'un

ylindrederayon

R

^{.Pourlasuitedesaluls,onintroduitalorslaoordonnéetransverse}adimensionnée

η

^{dénie selon :}

η = r

R (0 ≤ η ≤ +1).

^(1.6)

An d'obtenir des expressions analytiques pour les variables aoustiques,un ertain nombre d'hy-

pothèses doivent êtreformulées. Dans le adre de l'aoustique linéaire ou faiblement non-linéaire, les

variablesthermodynamiquessontexpriméessurlabased'uneméthodepar approximationssuessives

sous laforme:

ξ = ξ ₀ + ǫξ ₁ + ǫ ² ξ ₂ + O(ǫ ³ ),

^(1.7)

où

ξ

^représente indiéremment lapression

p

^{,lamassevolumique}

ρ

^,latempérature

T

^,l'entropie

S

^ou

les3omposantesdelavitessepartiulaire

~v

^,etoù

ǫ

^{estunpetitparamètre(}

ǫ ≪ 1

^{)traduisant l'ordre}

de grandeur dehaun destermes.

Dansl'équation(1.7) ,lestermesàl'ordre0(indiés

0

⁾orrespondentauxomposantesstatiquesdes variables thermodynamiques. Parmi es omposantes, la pression statique

p ₀

^{est supposée onstante}

et la température

T 0 (x)

^{est supposée inhomogène dans la diretion de} propagation de l'onde

x

^{. La}

distribution spatiale delatempérature implique également laprise en ompte desvariations spatiales

de lamasse volumique

ρ ₀ (x)

^{et de l'entropie}

S ₀ (x)

^{.Enn le uide est supposé}initialement au repos en l'absene deperturbationsaoustiques de sorteque

v ~ ₀ = ~ 0

^.

Lestermesà l'ordre 1dans l'equation(1.7) orrespondent aux utuationsaoustiques,très faibles

devantlesomposantesstatiques.Sousl'hypothèsed'uneondeplaneharmoniquesepropageantdansla

diretion

x

^{etenadoptantlaonventiontemporelle}

− iωt

^{,ilestpossibled'érirelesvariablesaoustiques}

sous laforme

p ₁ (x, t) = ℜ

˜

p ₁ (x)e ^{− iωt} ,

^(1.8)

8

1 Conditions de stabilité et taux d’amplication

pourlapression aoustique, et

ξ ₁ (x, η, t) = ℜ n

ξ ˜ ₁ (x, η)e ^{− iωt} o

,

^(1.9)

où

ξ 1

^{représentelapartieaoustiquedelamassevolumique}

ρ 1

^,latempérature

τ 1

^,l'entropie

s 1

^oules3

omposantesdelavitessepartiulaire

v ~ ₁

^{.Dansleséquations(1.8) et(1.9) ,}

ω

^{orrespondàlapulsation}

aoustiqueetles amplitudesomplexesdesvariables aoustiquessont indiquéespar lesymbole

∼

^.

Les termes à l'ordre 2 ne sont pas traités ii, maisdoivent être onsidérés pour la prise en ompte

d'eets d'ordres supérieurs omme la présene d'un éoulement redressé par exemple [12 ℄. Ce point

sera disutédansledernierhapitre de e manusrit.

Enn,sousl'approximationdesouheslimites,laomposantetransversedelavitessepartiulaireest

supposéetrèspetitedevantsaomposantelongitudinale(

| v _1,η | ≪ | v _1,x |

^{)etlesvariations}longitudinales desvariables

ξ ₁ (x, η)

^{sont supposées faiblesdevant lesvariations} transverses(

∂ _x ≪ ∂ _r

^).

1.1.3 Équation de propagation pour la pression aoustique

Sous réserve deshypothèses formulées préédemment, il estpossibled'exprimer les équations fon-

damentales (1.1)-(1.5)à l'ordrede grandeur desvariablesaoustiques.

L'équation de Navier-Stokes (1.2) appliquée à la omposante suivant

x

^{de la vitesse} partiulaire,

˜

v 1,x

^{,sesimplieainsisousla forme}

− iωρ ₀ ˜ v _1,x = − ∂ p ˜ ₁

∂x + µ η

∂

∂η

η ∂˜ v _1,x

∂η

.

^(1.10)

L'intégration de l'équation (1.10) suivant la variable transverse, en tenant ompte de la ondition

de non-glissement aux parois (

˜ v _1,x (η = 1) = 0

^{), onduit à la solution suivante pour la omposante}

longitudinale delavitesse aoustique

˜

v 1,x (x, η) = 1 iωρ ₀

∂ p ˜ 1

∂x (1 − F ν (η)) ,

^(1.11)

expriméeen fontion du gradient depression aoustique. La fontion

F _ν

^{quiapparaît dansl'équation}

(1.11) , et dont l'expression analytique dépend de la géométrie onsidérée, traduit le ouplage entre

uideetparoidûauxeetsvisqueux[83,88,5℄.L'expression de

F ν

^{dansleasd'unguideylindrique}

de rayon

R

^{est notamment préisée ii :}

F _ν (η) =

J ₀

(1 + i) ^ηR _δ

ν

J ₀

(1 + i) _δ ^R

ν

^pour

0 ≤ η ≤ 1,

^(1.12)

où

J 0

^{représente la fontion de Bessel de première espèe d'ordre 0. Cette géométrie est davantage}

onsidéréedanslerestedumanusrit,maisdesexpressionséquivalentespour

F _ν

^{peuventêtreobtenues}

pourdesguidesàsetionretangulaireoutriangulaire oudesempilements deplaques[5℄,notamment.

L'expression (1.12)permetd'introduire unparamètreruialen thermoaoustique, àsavoirlerapport

entreladimensiontransverseduanal

R

^etl'épaisseurdeouhelimitevisqueuse

δ _ν = q

2ν

ω

^,dépendant

de lafréqueneetde lavisosité inématique duuide

ν = _ρ ^µ

0

.

1.1 Équations fondamentales de la thermoacoustique

⁹

Delamême façon que pour lavitesse partiulaire

v ˜ _1,x

^{[éq.(1.11) ℄, la}linéarisation de l'équation de lahaleur(1.3) etdesrelations d'état (1.4) et(1.5) permet d'exprimerles variablesaoustiques

τ ˜ ₁

^,

ρ ˜ ₁

et

s ˜ 1

^{en fontion de lapressionaoustiqueetde sadérivée spatiale sousles formessuivantes :}

˜

τ ₁ (x, η) = p ˜ ₁

ρ ₀ C _p [1 − F _κ (η)] − 1 ω ² ρ ₀

∂ p ˜ ₁

∂x

∂T ₀

∂x

1 − σF _ν (η) − F _κ (η) σ − 1

,

^(1.13)

˜

ρ ₁ (x, η) = p ˜ ₁

c ² ₀ [1 + (γ − 1)F _κ (η)] + 1 ω ²

∂ p ˜ ₁

∂x T ₀ ^{− 1} ∂T ₀

∂x

1 − σF _ν (η) − F _κ (η) σ − 1

,

^(1.14)

˜

s ₁ (x, η) = − p ˜ 1

ρ ₀ T ₀ F _κ (η) − C p

ω ² ρ ₀

∂ p ˜ 1

∂x T ₀ ^{− 1} ∂T 0

∂x

1 − σF ν (η) − F κ (η) σ − 1

.

^(1.15)

Dans les expressions (1.13) , (1.14) et (1.15) ,

σ = ^ν _κ

^{est le nombre de Prandtl et la fontion}

F _κ

traduisant leouplage entreuide etparoi dûaux eetsthermiques estdénie de lamême façon que

F _ν

^{[f. éq. (1.12) pour un guide} ylindrique℄, à ei près que

δ _ν

^{doit être remplaé par} l'épaisseur de ouhe limite thermique

δ _κ = q

2κ

ω

^,où

κ

^{estladiusivitéthermique duuide.}

Finalement, à partir des relations (1.11) , (1.13) , (1.14) et (1.15) , et en introduisant les fontions

thermovisqueusesmoyennéessur laoordonnée transverse duguide

f _ν,κ = 2 Z 1

0

F _ν,κ ηdη,

^(1.16)

les variablesaoustiques moyennées s'obtiennent aisément sous lesformessuivantes :

h ˜ v _1,x i (x) = 1 iωρ ₀

∂ p ˜ ₁

∂x (1 − f _ν ) ,

^(1.17)

h τ ˜ ₁ i (x) = p ˜ ₁

ρ ₀ C _p [1 − f _κ ] − 1 ω ² ρ ₀

∂ p ˜ ₁

∂x

∂T ₀

∂x

1 − σf _ν − f _κ σ − 1

,

^(1.18)

h ρ ˜ ₁ i (x) = p ˜ ₁

c ² ₀ [1 + (γ − 1)f _κ ] + 1 ω ²

∂ p ˜ ₁

∂x T ₀ ^{− 1} ∂T ₀

∂x

1 − σf _ν − f _κ σ − 1

,

^(1.19)

h ˜ s ₁ i (x) = − p ˜ ₁

ρ ₀ T ₀ f _κ − C _p ω ² ρ ₀

∂ p ˜ ₁

∂x T ₀ ^{− 1} ∂T ₀

∂x

1 − σf _ν − f _κ σ − 1

.

^(1.20)

Dansleas d'unguideylindrique, lereport del'expression (1.12) dansl'équation (1.16) onduit à

l'expression analytiquepour lesfontions thermovisqueuses

f ν

^et

f κ

^:

f _ν,κ = 2δ _ν,κ (1 + i)R

J ₁

(1 + i) _δ ^R

ν,κ

J ₀

(1 + i) _δ ^R

ν,κ

,

^(1.21)

où

J ₁

^{représente lafontion deBessel de première espèed'ordre 1.}

Lesexpressions (1.17) et(1.19) introduites dansl'équation deonservation delamasselinéarisée et

moyennée sur laoordonnée

η

^{onduisent à l'équation de} propagation pour lapression aoustique en milieu dissipatifeten présened'ungradient de température :

∂ ² p ˜ 1

∂x ² + ∂ x T 0

T ₀

1 + f κ − f ν

(σ − 1)(1 − f _ν )

− ∂ x f ν

1 − f _ν ∂ p ˜ 1

∂x + k ² ₀

1 + (γ − 1)f κ

1 − f _ν

˜

p ₁ = 0,

^(1.22)

10

1 Conditions de stabilité et taux d’amplication

000 000 000 000 000 000 000

111 111 111 111 111 111 111

x

0

x _s x _h x _w L

0(L)

T 0 (x) T _h

T c

(a)

(b) ()

(d)

Z _rad Z = ∞

Z _alt

-0.15

-0.1

-0.05

0.1

0.05

1

2

3

4

5

6

10

20

-0.04

-0.02

0.02

0.9

1.1

0.5

1.5

2.5

0.2

0.4

0.6

0.8

mode 1

mode 2

mode 3

-0.08

0.04

0.08

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

0.5

1.5

2.5

1.2

1.4

1.6

1.8

2.2

2.4

2.6

2.8

3.2

0.98

0.99

0.988

0.992

0.996

1.004

Figure 1.2(a)Représentationshématiqued'unmoteurthermoaoustiqueàondesstationnaires.

(b)Extrémitéouverte.() Extrémitéfermée.(d)Couplageaveunalternateuréletrodynamique.

où

k ₀ = _c ^ω

0

représentelenombred'ondesanspertes.Cetteéquationdiérentielleestéquivalenteàelle

donnée par Rott [82℄ et par Swift [88 , 90℄ pour un gaz parfait et en onsidérant que l'eusivité du

uide estnégligeable devant elledu solide. Lorsquela distributionde température

T ₀ (x)

^{est onnue,}

la solution de ette équation diérentielle peut s'obtenir soit de manière numérique [100 , 101 ℄, soit

de manière analytique sous une forme impliite en transformant l'équation (1.22) en une équation

intégralede Volterrade seonde espèe[39, 48 ℄.

1.2 Équation aratéristique d'un système thermoaoustique

1.2.1 Générateur d'ondes stationnaires

Lessystèmesthermoaoustiquesditsàondesstationnaires sontgénéralement onstituésd'unguide

d'onde droit permettant la résonane d'uneolonne de uide(f. g.1.2). Bien qu'ils ne portent que

peud'intérêtpourdesappliationsindustriellesdufaitdeleurfaiblerendement,l'étudedeessystèmes

reste essentielle d'unpoint de vue aadémique, an de mieux omprendre les phénomènes omplexes

qui prennent partdanslefontionnement desmahinesthermoaoustiques.

Le rendement peuélevédesmoteursàondesstationnaires estimpliitement liéaumouvement dela

partiuledeuidesoumiseàuneondestationnaireàproximitédelaparoisolide.Eneet,auoursd'un

1.2 Équation caractéristique d’un système thermoacoustique

¹¹

à elles d'un yle de Brayton (ompression adiabatique - expansion isobare - détente adiabatique -

ontrationisobare), yledont lerendement estpar natureinférieur àelui deCarnot. Ilonvient de

noter que les ompressions/détentes adiabatiques néessitent unontat thermique imparfait entrele

uide et les parois solides, d'où l'emploi d'un stak danses mahines, dont le rayon des pores reste

de l'ordre degrandeur d'uneépaisseur de ouhe limite thermique(

r _s ∼ δ _κ

^{).Cetype de moteur aété}

largement étudiédanslalittérature[90 , 88,89 ,6,7,8,24 , 43℄etbienqu'il soitpotentiellement moins

attratif que lesystèmeà ondesprogressives, il reste unobjetd'étude intéressant, mettant en jeudes

phénomènes aoustiquesomplexes etenore diilement préditibles par lathéorie.

An de dérire lapropagation d'une onde aoustique dans l'ensemble du moteur représenté surla

gure1.2-(a),haquerégion distinteestvueommeunbiporteaoustique,aratériséparsamatrie

detransfert[37 ,99 ,98℄.Enusantdeeformalisme,ilestpossibled'érirel'équationreliantlespression

etdébit aoustiquesen

x = 0

^eten

x = L

^{sous laforme:}

˜ p ₁ (L)

˜ u _1,x (L)

!

= M _d × M _NT × M _g × p ˜ ₁ (0)

˜ u _1,x (0)

!

,

^(1.23)

où

M _g

et

M _d

sontlesmatriesdetransfertdesportionsdetubeàtempératureambiante

T _c

^,respetive-

ment àgauheetàdroitedunoyauthermoaoustique,etoù

M _NT

estlamatriedetransfertdunoyau thermoaoustique (i.e. lapartie du système soumise à une distribution inhomogène de température),

que l'ondénit dela manièresuivante :

M _NT ≡ T pp (ω, T ₀ (x)) T pu (ω, T ₀ (x)) T up (ω, T ₀ (x)) T uu (ω, T ₀ (x))

!

.

^(1.24)

La matrie de transfert du noyau thermoaoustique,

M _NT

, dépend des propriétés géométriques et thermophysiques deséléments quile onstituent (stak, partie passiveet éhangeurs dehaleur). Elle

dépend également de la distribution de température

T ₀ (x)

^{le long du stak (}

x ∈ [x _s , x _h ]

^{) et de la}

partie passive (

x ∈ [x _h , x _w ]

^{), et de lapulsation aoustique}

ω

^{.Lorsque la}distribution de température est onnue et imposée le long du noyau, la matrie de transfert

M _NT

peut être obtenue de façon théorique([48 ,73 ,68 ℄,f.annexeA),maisellepeutégalementêtremesuréesousdiérentesonditions

de hauage,ommeil leseraprésentéau hapitre 2.

Apartirde lasolution del'équation de propagation(1.22) en l'absene degradient de température

(

d _x T ₀ = 0

^et

d _x f _ν = 0

^{) et de la relation (1.17) , la matrie de transfert d'un guide ylindrique de}

longueur

d

^{s'obtient souslaforme lassique:}

M = cos(kd) iZ _c sin(kd) iZ _c ^{− 1} sin(kd) cos(kd)

!

,

^(1.25)

expression faisant intervenir lenombre d'onde omplexe

k = k ₀ s

1 + (γ − 1)f _κ

1 − f _ν

^(1.26)

12

1 Conditions de stabilité et taux d’amplication

quitient omptedespertes visothermiquespariétales, ainsiquel'impédane aratéristique duguide

de setion

S

Z _c = ρ ₀ c ₀ S p

(1 − f _ν )(1 + (γ − 1)f _κ ) .

^(1.27)

L'expression (1.25) delamatrie detransfertd'untubeestdétailléeen annexeA,demême quedes

expressionsanalytiquesdelamatriedunoyauthermoaoustiqueetdediérentsélémentspouvantêtre

intégrésausystèmethermoaoustique. Néanmoins,quellequesoitl'expressionretenuepourlamatrie

de transfert du noyau thermoaoustique, l'équation matriielle (1.23) est réérite de façon ompate

sousla formesuivante :

˜ p ₁ (L)

˜ u _1,x (L)

!

= M pp (ω, T ₀ (x)) M pu (ω, T ₀ (x)) M up (ω, T ₀ (x)) M uu (ω, T ₀ (x))

!

× p ˜ ₁ (0)

˜ u _1,x (0)

!

,

^(1.28)

ave

M pp M pu

M ^up M ^uu

!

= M _d × M _NT × M _g .

^(1.29)

Enintroduisantlesimpédanesaoustiques

Z ₀ = _{u ˜} ^{p ˜ 1 (0)}

1,x (0)

^et

Z _L = _{u ˜} ^{p ˜ 1 (L)}

1,x (L)

^auxextrémités,larésolution dusystèmed'équations(1.28) onduità l'expressiongénéraledel'équationaratéristique dusystème

thermoaoustique :

Z ₀ M pp − Z _L M uu + M pu − Z ₀ Z _L M up = 0.

^(1.30)

Remarque 1Defaçongénérale,l'équation(1.30)aeid'intéressantqu'ellepermet

deprendreenompte tout typedehargeaoustique(paroifermée, alternateuréletrody-

namique...)dèslorsquel'onsaitexprimerl'impédaneramenéeassoiéeàetteharge.Par

exempledans leas d'untubeouvertsur unespae inni[f. g. 1.2-(b)℄, lerayonnement

aoustiquepeutêtreprisenompteparl'impédanedénie selon[27℄

Z rad

Z c

= i0.6133kδ 0 − i(kR) ³

0.036 − 0.034 ln(kR) + 0.0187(kR) ² +

kR 2

2

+ (kR) ⁴

0.0127 + 0.082 ln(kR) − 0.023(kR) ²

,

^(1.31)

ave

δ 0 = 0.6133R

1 + 0.044(kR) ²

1 + 0.19(kR) ² − 0.02 sin ² (2kR)

.

^(1.32)

Ilonvientde noter que l'expressionapprohée (1.31) de l'impédane de rayonnement est

validepour

kR < 1, 5

^{, e quiest} généralementvériédanslesmoteursthermoaoustiques.

A l'instar durayonnementen tube ouvert, l'équation aratéristique(1.30) permet égale-

mentde prendreen ompte le ouplagedusystème thermoaoustique aveun alternateur

életrodynamiquearatériséparsonimpédaneaoustique[81℄:

Z alt = R ma + i

ωC ma − iωM ma + R ae

1 − iωC ae R ae

,

^(1.33)

où

R ma = R m S _d ⁻²

^{estlarésistaneaoustique}équivalenteauxpertesméaniques

R m

^,

1.2 Équation caractéristique d’un système thermoacoustique

¹³

C ma = C m S _d ²

^{estlaomplianeaoustique}équivalenteàlaomplianedessuspensions

C m

^,

M ma = M m S _d ⁻²

^{est lamasseaoustique}équivalente àlamassede l'équipagemobile

M m

^,

R ae = (Bl) ² S _d ⁻² (R e + R ch ) ⁻¹

^{estlarésistaneaoustique}équivalente àlasommede larésistaneéletriquedelabobine

R e

^{etdelarésistanedeharge}

R ch

^,

C ae = L e S _d ² (Bl) ⁻²

^{est laompliane aoustique}équivalente àl'indutanedelabo- bine

L e

^,

S d

^et

Bl

représentant respetivement la surfae émissive de l'alternateur et le fateur de foredelabobine.

Remarque 2 Si l'on onsidère les as simpliés pour lesquels les extrémités

x = 0

et

x = L

^sontaratérisées soit par une impédane de rayonnement nulle [f. g. 1.2-(b),

Z rad = 0

^,

p ˜ 1 = 0

^{℄,soitparuneimpédanedeparoiinnimentrigide1[f.g.1.2-(),}

u ˜ 1 = 0

^℄,

l'appliationdesonditionsauxlimitesréintroduitesdansl'équation(1.28)permetd'obtenir

l'équationaratéristiquedusystèmepourlesquatresongurationspossibles:

M pp (ω, T 0 (x)) = 0

^{pourunsystème}fermé-ouvert

,

^(1.34)

M pu (ω, T 0 (x)) = 0

^{pourunsystème}ouvert-ouvert

,

^(1.35)

M up (ω, T 0 (x)) = 0

^{pourunsystème}fermé-fermé

,

^(1.36)

M ^uu (ω, T 0 (x)) = 0

^{pourunsystème}ouvert-fermé

.

^(1.37)

1.2.2 Générateur d'ondes progressives

Les systèmes thermoaoustiques dits à ondes progressives sont aratérisés par la présene d'une

boulede rétroation favorisant l'ampliation d'uneonde progressive. L'intérêt portéà esmahines

par la ommunauté des thermoaoustiiens est prinipalement motivé par leur rendement, souvent

bien supérieur à elui que pourrait atteindre une mahine à ondes stationnaires. Ce rendement po-

tentiellement élevé est une onséquene du mouvement de la partiule de uide soumise à une onde

progressiveàproximitédelaparoisolide,mouvementdontleylethermodynamiques'apparenteàun

yledeStirling(ompression isotherme-réhauement isohore -détenteisotherme-refroidissement

isohore). Depart la nature même des transformationsthermodynamiques subies par la partiule au

oursd'unyleaoustique,lerendementobtenupareetthermoaoustiquepeutdonatteindrethéo-

riquement lerendement deCarnot. Contrairement auxsystèmes àondes stationnaires,les systèmes à

ondes progressivesnéessitent l'utilisation d'unrégénérateur dont lerayon despores estfaible devant

l'épaisseur deouhe limite thermique(

r _s ≪ δ _κ

^{),an d'assurer leontat isothermeentrelapartiule}

de uideetlaparoi.

Il existe plusieurs ongurations de moteurs favorisant le délenhement d'une onde à aratère

progressif, lapluslassiqueétant l'utilisation d'unrésonateur annulaire [f.g.1.3-(a,b)℄. En1979, P.

Ceperleyfutlepremieràproposeretteidéeandedémontrerlapossibilitédedévelopperdesmoteurs

thermoaoustiquesdeStirling[22 ℄.Depuis,etypedemoteuraétélargementétudié[23,105 ℄.En1999,

Bakhauset al. ont notamment développé unprototype demoteur thermoaoustique de Stirlingdans

lequel laboulede rétroation estoupléeà unrésonateurdroit [9,10℄.Un prototypede transduteur

14

1 Conditions de stabilité et taux d’amplication

x x

x

0

x _s x _s x _s

x _h x _h x _h

x _w x _w x _w

L

0(L) 0(L)

T 0 (x) T 0 (x)

(a) (b)

() (d)

-0.15

-0.1

-0.05

0.1

0.05

1

2

3

4

5

6

10

20

-0.04

-0.02

0.02

0.9

1.1

0.5

1.5

2.5

0.2

0.4

0.6

0.8

mode 1

mode 2

mode 3

-0.08

0.04

0.08

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

0.5

1.5

2.5

1.2

1.4

1.6

1.8

2.2

2.4

2.6

2.8

3.2

0.98

0.99

0.988

0.992

0.996

1.004

T h

T h

T c

T c

hargeaoustique seondaire

− L _g L _d

2R 2R ^′

Figure1.3Représentationsshématiquesdemoteursthermoaoustiquesàondesprogressives.(a)

Résonateurannulaire.(b)Résonateurannulaireoupléàunehargeaoustiqueseondaire(résonateur

seondaire,alternateuréletrodynamique,et...).() Résonateuro-axial.

thermo-aousto-életrique a également été développé par Bakhaus et al. en 2004 [11℄, dans lequel

la onversion aousto-életrique est assurée par un alternateur életrodynamique linéaire ouplé au

résonateur annulaire. Enn, la gure 1.3-() présente une version shématique d'un système o-axial

[14℄ dans lequel la boule de rétroation est réalisée en plaçant le noyau thermoaoustique dans un

tubede plus grandesetion.

La desription des systèmesà ondes progressivesest eetuée en usant d'une approhe équivalente

à elleutilisée pour les systèmesà ondes stationnaires. Sil'on négligel'eet durayon de ourbure de

l'anneau sur lapropagationdes ondes,le systèmethermoaoustique annulaire représentésur lagure

1.3-(a)est également déritpar l'équation (1.28) ,où lamatrie detransfert totale

M pp M pu

M up M uu

!

= M _d × M _NT × M _g .

^(1.38)

s'exprimedelamêmefaçon quedansleasd'unrésonateurdroit.Dansleasdurésonateurenboule,

les pointsd'absisses

x = 0

^et

x = L

orrespondent ependant àlamême positionau sein dusystème [f. g.1.3-(a)℄.Le reportdes relations deontinuité despressionsetdébits aoustiques

˜

p 1 (0) = ˜ p 1 (L),

^(1.39)

˜

u _1,x (0) = ˜ u _1,x (L),

^(1.40)

1.2 Équation caractéristique d’un système thermoacoustique

¹⁵

dansl'équation (1.28) onduit ainsiàl'équation :

˜ p ₁ (L)

˜ u _1,x (L)

!

= M _d × M _NT × M _g × p ˜ ₁ (L)

˜ u _1,x (L)

!

.

^(1.41)

Lorsque qu'unélément seondaire estouplé àlaboule[f. g.1.3-(b)℄,laonservation despressions

etdébits aoustiques entre

x = 0

^et

x = L

^{implique d'érire danse as:}

˜

p ₁ (0) = ˜ p ₁ (L),

^(1.42)

˜

u 1,x (0) = ˜ u 1,x (L) − Y _ch p ˜ 1 (L),

^(1.43)

où

Y _ch

^estl'admittane aoustiqueprésentéepar lahargeseondaire.Cetteadmittane peutêtreelle d'untubefermé,d'unalternateur életrodynamique,oud'uneombinaisonde toutélémentaoustique

aratériséparsonadmittaneramenée.Lesrelations(1.42)et(1.43)introduitesdansl'équation(1.28)

onduisent alors à :

˜ p ₁ (L)

˜ u _1,x (L)

!

= M _d × M _NT × M _g × 1 0

− Y _ch 1

!

× p ˜ ₁ (L)

˜ u _1,x (L)

!

.

^(1.44)

Enn,dansleasd'unsystèmeo-axial[f.g.1.3-()℄,l'équationmatriielle(1.28)traduitlesrelations

pression-débit aux extrémitésdutube depetite setion

S

^{.Lesrelations de ontinuitéérites en}

x = 0

d'une part,

˜

p ₁ (0) = ˜ p _a (0),

^(1.45)

˜

u _1,x (0) = Y _g p ˜ _a (0) − u ˜ _a,x (0),

^(1.46)

eten

x = L

^{d'autre part,}

˜

p 1 (L) = ˜ p a (L),

^(1.47)

˜

u _1,x (L) = Y _d p ˜ _a (L) − u ˜ _a,x (L),

^(1.48)

fontintervenir lespression

p ˜ _a

^etdébit

u ˜ _a,x

^dansl'anneaupériphériquedesetion

S _A = π(R ^{′ 2} − R ² )

^et

les admittanes

Y _g

^et

Y _d

^{destubesdelarge setion}

S _L = S _A + S

^{etde longueursrespetives}

l _g

^et

l _d

^:

Y _g,l = − iZ _c ^(L) cot(k ^(L) l _g,d ).

^(1.49)

A partir desrelations (1.45) -(1.48) et de la matrie de transfert de l'anneau périphérique notée

M _A

, une seonde équation matriielle reliant les pression et débit aoustiques en

x = 0

^et

x = L

^{est alors}

obtenue sous laforme :

˜ p ₁ (0)

˜ u _1,x (0)

!

= 1 0

Y _g − 1

!

× M _A ^{− 1} × 1 0 Y _d − 1

!

× p ˜ ₁ (L)

˜ u _1,x (L)

!

,

^(1.50)

où la matrie inverse de

M _A

est introduite ii pour respeter l'axe des absisses et les onventions dénies en annexe A. Il onvient de préiser que la matrie

M _A

d'un tel élément étant symétrique et réiproque, soninverse est bien dénie et aisément alulable. Le report de l'équation (1.50) dans

(1.28) onduit don à l'équation:

˜ p ₁ (L)

˜ u _1,x (L)

!

= M _d × M _NT × M _g × 1 0 Y _g − 1

!

× M _A ^{− 1} × 1 0 Y _d − 1

!

× p ˜ ₁ (L)

˜ u _1,x (L)

!

,

^(1.51)

16

1 Conditions de stabilité et taux d’amplication

Finalement, quelle que soit l'expression de la matrie de transfert du système impliquée dans l'ex-

pressiondeséquations(1.41) ,(1.44)ou(1.51) ,ettematrierelielesamplitudesomplexesdepression

et débit aoustiques par l'intermédiaire de larelation (1.28) au même point (

x = L

^{), après avoir fait}

untourompletdelaboulede rétroation.Leséquations(1.41) ,(1.44) et(1.51) peuvent notamment

s'ériresous laformegénérale suivante:

˜ p ₁ (L)

˜ u 1,x (L)

!

= M pp (ω, T ₀ (x)) M pu (ω, T ₀ (x)) M ^up (ω, T 0 (x)) M ^uu (ω, T 0 (x))

!

× p ˜ ₁ (L)

˜ u 1,x (L)

!

,

^(1.52)

équationadmettantunesolutionnon-triviale(non-nulle)sietseulementsiledéterminantdelamatrie

M pp M pu

M up M uu

!

− I ₂

(1.53)

estnul, où

I ₂

est lamatrie identité

2 × 2

^.L'annulation dudéterminant onstitue l'équation araté- ristiquedu système, quipeutsedévelopper souslaforme :

1 + M ^pp M ^uu − M ^pu M ^up − ( M ^pp + M ^uu ) = 0,

^(1.54)

et qui reste valide pour lestroissystèmes déritspréédemment.

1.3 Desription de l'ampliation/atténuation de l'onde aoustique

Comme il l'est démontré dans le paragraphe 1.2, le point de fontionnement d'un système ther-

moaoustique estdéritpar sonéquation aratéristique

f (ω, T ₀ (x)) = 0,

^(1.55)

où la fontion

f

^{représente ii les termes de gauhe des équations (1.30) ou (1.54) , en fontion de la}

onguration onsidérée. Il est important de noter que toutes les équations préédentes sont érites

dansledomainedeFourier,equisupposeimpliitementquelapulsation

ω

^{estpurement réelleetque}

lesystèmeestdériten régimestationnaire.Rigoureusement,une solution

(ω, T ₀ )

^{del'équation(1.55)}

dans ledomaine de Fourier déritsoit leseuil de délenhement (frontière entre les régimes stableet

instable de laposition d'équilibre), soit lerégime établide l'onde, etorrespondant dansles deuxas

à uneonde niampliée,niatténuée.

Il est néanmoins possible, à partir de l'équation (1.55) , de dérire l'ampliation ou l'atténuation

de l'instabilité thermoaoustique, sous réserve de l'hypothèsede quasi-stationnarité. Pour ela,lafré-

quene estsupposée omplexe [37,99,98 , 67℄

ω = Ω + iǫ _g ,

^(1.56)

de sorte quelapression aoustique

p ₁ (x, t) = ℜ

˜

p ₁ (x)e ^{− iωt} = e ^{ǫ g t} ℜ

˜

p ₁ (x)e ^{− iΩt}

^(1.57)