SOLUTION – 54.
Démontrer que 4444444444444444444488888888888888888889 est un carré parfait.
Le nombre N ci-dessus est composé de vingt “ 4 ” suivis de dix-neuf “ 8 ” et d’un 9.
On utilise la propriété : 10n - 1 = 9999…….99 (n fois le chiffre 9) qui entraîne :
A = 1111...11 ( 1)
9 1
10 n foislechiffre
n − =
Donc N = 10 9
9 1 810 9 10
1 4 10
19 20
20 − × + − × +
× =
9
81 80 10 8 10 4 10
4× 40 − × 20+ × 20− +
N =
19 2 19 2
20 2 20
40
9
63 ) 1 10 ( 60 3
21 ) 1 10 ( 20 3
1 10 2 9
1 10 4 10
4
− +
=
− +
=
× +
+ =
× +
×
N = 19 10 7 2
(
66666...667)
29 1
6 10 =
− × +
× où 6 est présent 19 fois.
On généralise facilement :
49 = 72
4489 = 672
444889 = 6672
44448889 = 66672 etc.
Robert Ferachoglou a trouvé une démonstration plus courte : On a 10n = 9A + 1 donc :
N = 4 × 10n A + 8A + 1 = 4 (9A + 1)A + 8A + 1 = 36A2 + 12A + 1 = (6A + 1)2.
