PA P AR RT TI IE ES S C CO OM MP PA AC C TE T ES S D DE E R R E ET T F FO ON NC CT TI I ON O N S S C CO ON NT TI I NU N UE ES S

(1)

PA P AR RT TI IE ES S C CO OM MP PA AC C TE T ES S D DE E R R E ET T F FO ON NC CT TI I ON O N S S C CO ON NT TI I NU N UE ES S

1 Parties compactes de R

1.1 Théorème

Soit E une partie compacte de . Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) De tout recouvrement ouvert de , on peut extraire un sous recouvrement fini.

(ii) De toute suite de points de E, on peut extraire une suite qui converge vers un point de E.

(iii) E est une partie fermée et bornée.

Démonstration ( )i ⇒( )iii

E est une partie bornée :

Soit (A_{i i I})_∈ un recouvrement ouvert de E, par des intervalles de la forme ]x−ε;x+ε[, où ε >0 est fixé. Il existe alors un sous recouvrement fini (A_{i i J})_∈ de E d'après (i).

Donc : ∀ ∈x E x, ≤2ε×card J( ). E est donc une partie bornée de . E est une partie fermée de : Soit a∈ \E (∀ ∈x E x, ≠a).

Pour tout x appartenant à E, il existe un intervalle ouvert A_x de contenant x et un intervalle ouvert V_x de contenant a tels que A_x∩V_x = ∅.

(A_{x x E})_∈ est une famille d'ouverts recouvrant E. Il existe donc, d'après (i), un sous recouvrement fini de E, noté (A_{x x J})_∈ . Notons _x

x J

A A

∈

=

∪

^et ^x

x J

V V

∈

=

∪

^.

U∩V = ∅ donc E∩V = ∅ et donc V ⊂ \E. On en déduit que \E est un ouvert (puisque tout élément de E est contenu dans un ouvert de \E). E est donc une partie fermée de (complément d'un ouvert).

( )ii ⇒( )i

Pour effectuer cette démonstration, montrons auparavant les deux lemmes suivants :

1.2 Lemme

Soit E une partie de telle que toute suite de E admet une sous suite convergente dans E. Alors pour tout ε >0, il existe un recouvrement fini de E par des intervalles de la forme ]x−ε;x+ε[. Démonstration

Soit ε >0. Supposons qu'un tel recouvrement n'existe pas. Soit (x_{n n})_∈ une suite définie par :

(2)

0

1

0

, \ ] ; [

n

n x k

k

x E

n x E ⁻ x ε x ε

=

⎧ ∈

⎪⎨∀ ∈ ∈ − +

⎪⎩

∪

(Notons que x_n existe car on a supposé que le recouvrement n'existe pas).

Alors : ∀n p, ∈ et p≠n x, _n−x_p ≥ε. Il est alors impossible d'extraire une suite convergente.

1.3 Lemme

Soit E une partie de telle que toute suite de E admet une sous suite convergente dans E. Soit (A_{i i I})_∈ un recouvrement ouvert de E. Alors il existe ε >0 tel que pour tout x∈E, ]x−ε;x+ε[ soit inclus dans un des A_i.

Démonstration

Supposons le contraire, c'est-à-dire : 0, x_n E, i I, ]x ;x [ A_i

ε ε ε

∀ > ∃ ∈ ∀ ∈ − + ⊄ .

Donc ∀ ∈n ^*,∃ ∈ ∀ ∈x_n E, i I, ]x_n−ε;x_n+ ⊄ε[ A_i (1.1).

(x_{n n})_∈ * admet une sous suite convergente. Notons l sa limite. l∈E donc il existe i∈I tel que l∈Ai. Il existe donc α >0 tel que ]l−α;l+α[⊂A_i. On peut donc trouver m∈ ^* tel que 2

m^>α et l₋x^m _<α2

.

Alors 1 1

; ] ; [

m m i

x x l l A

m m α α

⎤ − + ⎡⊂ − + ⊂

⎥ ⎢

⎦ ⎣ , ce qui contredit la relation (1.1).

Retour à la démonstration du ( )ii ⇒( )i du théorème :

On suppose que de toute suite de E, on peut extraire une suite qui converge dans E. Soit (A_{i i I})_∈ un recouvrement ouvert de E. D'après le lemme 1.3, il existe ε >0 tel que pour tout x∈E, ]x−ε;x+ε[ soit inclus dans un A_i. D'après le lemme 1.2, il existe un recouvrement fini de E par des intervalles de la forme ]x−ε;x+ε[. Chacun de ces intervalles étant inclus dans un A_i, il en résulte qu'il existe un sous recouvrement fini de E par des A_i.

( )iii ⇒( )ii

Soit (x_{n n})_∈ une suite de points de E, où E désigne une partie fermée bornée de . Notons

{

n^,

}

X = x n∈ . Si X est fini, on peut extraire une suite constante donc convergente de E.

Considérons maintenant le cas où X est infini : Alors l'une des deux propositions suivantes est vraie : (1.2)∀ ∈ ∃ >n , p n x, _p >x_n

(1.3)∀ ∈ ∃ >n , p n x, _p <x_n sinon on aurait :

1 , , _p _n

n p n x x

∃ ∈ ∀ > ≤

2 , , _p _n

n p n x x

∃ ∈ ∀ > ≥ . Dans ce cas, ∀ >p max( ,n n₁ ₂),

1 2

max( , )

p n n

x =x . X est alors fini, ce qui est exclu.

Plaçons-nous dans le cas (1.2) :

(3)

Soit φ l'application de dans définie par :

{

^{( )}

}

(0) 0

, ( 1) inf , _p _n

n n p x x_φ

φ

⎧⎪ =

⎨∀ ∈ + = ∈ >

( )

⎪⎩^x^φ^{( )}ⁿ _n_∈ est alors une suite extraite de (x_{n n})_∈ , croissante et majorée (car E est bornée) donc

( )

^x^φ^{( )}ⁿ _n_∈ converge.

1.4 Définition

Si E est une partie de vérifiant l'une des propriétés du théorème 1.1, on dit qu'elle est compacte.

1.5 Proposition

Soit E une partie compacte de . Alors E est complète.

Démonstration

Soit (u_{n n})_∈ une suite de Cauchy de E. E étant une partie compacte de , E admet une sous suite

( )

^u^φ^{( )}ⁿ _n_∈ qui converge vers un point de E (notons a cette limite).

Soit ε >0.

( )

0 , , , 0 0

p q 2

n p q p n et q n u u ε

∃ ∈ ∀ ∈ ≥ ≥ ⇒ − < (car (u_{n n})_∈ est une suite de Cauchy).

1 , , 1 ( )

p 2

n p p n u_φ a ε

∃ ∈ ∀ ∈ ≥ ⇒ − < (car

( )

^u^φ^{( )}ⁿ _n_∈ converge vers a).

Pour n=max( , )n n₀ ₁ , on a :

( ) ( )

, _p _p _n _n

p n u a u u_φ u_φ a

∀ ≥ − ≤ − + −

2 2

up a ε ε

− < + u_p− <a ε.

Donc (u_{n n})_∈ converge vers a.

1.6 Premier exemple de partie compacte de

L'ensemble E=

{

x nn^, ∈

} { }

∪ x , où (x_{n n})_∈ est une suite réelle convergeant vers x, est une partie compacte de :

Soit (A_{i i I})_∈ une famille d'ouverts recouvrant E. Il existe j∈I tel que x U∈ _j. Comme (x_{n n})_∈ converge vers x, il existe n₀∈ tel que pour tout entier n≥n₀, x_n∈A_j.

De plus :

, ,

k k ik

k i I x A

∀ ∈ ∃ ∈ ∈ . Alors

0 1 0

k

n

i j

k

E A A

−

=

⎛ ⎞

⊂ ⎜ ⎟

⎝

∪ ∪

⎠. On a extrait un sous recouvrement fini de E, donc e est une partie compacte de .

(4)

1.7 Deuxième exemple de partie compacte de Tout segment [ ; ]a b , avec a≤b de , est compact.

En effet, toute suite (x_{n n})_∈ d'éléments de [ ; ]a b admet une sous suite qui converge dans [ ; ]a b (même démonstration que le ( )iii ⇒( )ii du théorème 1.1).

1.8 Théorème du point fixe

Soit f une application d'un segment [ ; ]a b dans lui-même, k-contractante. L'équation f x( )=x admet une unique solution l et la suite définie par : ⁰

1

[ ; ]

, _n ( _n) u a b

n u ₊ f u

⎧ ∈

⎨∀ ∈ =

⎩ converge vers l.

Démonstration Unicité :

Supposons que l'équation ( )f x =x admette deux solutions, notées l₁ et l₂.

1 2 1 2

( ) ( )

f l − f l ≤k l −l (car f est k-contractante).

Or f l( )₁ =l₁ et f l( )₂ =l₂ donc :

1 2 1 2

l −l ≤k l −l

1 2

(1−k l) −l ≤0

Comme 1− >k 0, on en déduit l₁−l₂ ≤0 donc l₁−l₂ =0 et donc l₁ =l₂. Existence :

Soit (u_{n n})_∈ la suite définie par :

0

1

[ ; ]

, _n ( _n) u a b

n u ₊ f u

⎧ ∈

⎨∀ ∈ =

⎩

Pour n∈ ^* :

1 ( ) ( 1)

n n n n

u ₊ −u = f u − f u ₋

1 1

n n n n

u ₊ −u ≤k u −u ₋

Par une récurrence immédiate, on montre que pour tout entier n, u_n₊₁−u_n ≤kⁿ u₁−u₀ . Soient ,n p∈ , avec n> p :

1

1 0

n p

n p p q p q

q

u u u u

− −

+ + +

=

− ≤

∑

−

1

1 0

0

n p

p q

n p

q

u u k u u

− − +

=

− ≤

∑

−

1 0

1

n p p

n p

u u k u u k

k

− ≤ × − × −

− Or k<1 donc k^{n p}⁻ <1.

Donc ₁ ₀

1

p

n p

u u k u u

− ≤ k −

− .

p 0

k ⎯⎯⎯→p_→+∞ . Soit ε >0.

0 , , 0 ^p

p p p p k ε

∃ ∈ ∀ ∈ ≥ ⇒ < .

(5)

Alors :

(

0 0

)

¹ ⁰

, ,

n p 1

u u

n p n p et p p u u

ε ⁻k

∀ ∈ ≥ ≥ ⇒ − <

− .

(u_{n n})_∈ est donc une suite de Cauchy de [ ; ]a b . [ ; ]a b étant une partie compacte de (donc complète), donc (u_{n n})_∈ converge.

1.9 Généralisation

Dans ⁿ, les propriétés du théorème 1.1 sont encore équivalentes, ce qui permet de définir les parties compactes de la même façon que dans .

2 Fonctions numériques continues sur un support compact

2.1 Théorème de Weierstrass

Soit E une partie compacte de ⁿ et f une application continue de E dans . Alors ( )f E est une partie compacte de . En particulier, f est bornée sur E et atteint sa borne supérieure et sa borne inférieure.

Démonstration

Soit (y_{n n})_∈ une suite d'éléments de ( )f E . pour tout entier n, il existe x_n∈E tel que y_n = f x( _n). E étant une partie compacte de ⁿ, (x_{n n})_∈ admet une sous suite

( )

^x^φ^{( )}ⁿ _n_∈ convergeant vers un point a de E. f étant continue en a, f x

( )

_φ^{( )}ⁿ ⎯⎯⎯→n_→+∞ f a^{( )}. Donc

( )

^y^φ^{( )}ⁿ _n_∈ est une sous suite de (y_{n n})_∈ convergeant vers f a( )∈f E( ). Donc f E( ) est une partie compacte de .

Par conséquent, f E( ) est une partie bornée de donc admet une borné inférieure, notée m et une borne supérieure, notée M.

* 1

, _n ( ), _n

n y f E M y M

∀ ∈ ∃ ∈ − <n ≤ (caractérisation de la borne supérieure) 1

, ( )

n n

x E M f x M

∃ ∈ − <n ≤ . Donc (f x_n)⎯⎯⎯→_n_→+∞ M .

E étant une partie compacte de ⁿ, il existe une sous suite

( )

x_φ( )n n

∈ de (x_{n n})_∈ qui converge vers un point x∈E.

Donc f x

( )

_φ^{( )}ⁿ ⎯⎯⎯→n_→+∞ M .

Par unicité de la limite, on obtient ( )f x =M.

La démonstration est analogue pour prouver que f atteint sa borne inférieure.

2.2 Une première application : normes équivalentes Soit n∈ ^*. Sur ⁿ, toutes les normes sont équivalentes.

(6)

Démonstration

Notons N₁ la norme définie sur ⁿ par :

1 1

1

( ,..., ) , ( )

n n

n k

k

x x x N x x

=

∀ = ∈ =

∑

^.

Soit . une autre norme sur ⁿ. Montrons qu'elle est équivalente à N₁. Soit ( ,...,e₁ e_n) la base canonique de ⁿ.

1 1

n n

k k k k

k k

x x e x e

= =

=

∑

≤

∑

^.

Soit

1

sup _k

k n

β e

≤ ≤

= . On a alors : x ≤β N x₁( ) (2.1)

On en déduit que l'application . est continue de ⁿ (muni de la norme N₁) dans .

Notons S la sphère unité : ^S ⁼

{

^x^∈ ⁿ^/^{N x}¹^{( ) 1}⁼

}

. S est non vide. c'est une partie fermée et bornée de ⁿ donc compacte. Donc l'application . est bornée et atteint ses bornes sur S. Notons

inf

x S x α = ∈ . Soit ^x^∈ ⁿ ^{\ 0}

{ }

^.

1( )

x S

N x ∈ donc

1( ) x

N x ≥α, c'est-à-dire N x₁( )≤α x . Cette inégalité reste vraie pour x=0 donc :

, 1( ) x n N x α x

∀ ∈ ≤ (2.2)

L'équivalence des normes N₁ et . résulte des relations (2.1) et (2.2). Par transitivité de l'équivalence, deux normes quelconques sur ⁿ sont équivalentes.

2.3 Une deuxième application : le théorème de d'Alembert

Tout polynôme non constant de [ ]X admet au moins une racine dans . Démonstration

Soit n∈ ^* et P un polynôme de [ ]X de degré n.

0

, ( )

n k k k

z P z a z

=

∀ ∈ =

∑

^,^a⁰^,...,^aⁿ étant les coefficient complexe de P.

*

0

1 1

,

n k k k

z P a

z = z

∀ ∈ ⎛ ⎞⎜ ⎟=

⎝ ⎠

∑

0

1 _n ⁿ _k _{n k}

n

k n

P a z a z

z a

−

=

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

1

0

1 1

n

n k n k

n

k n

P a z a z

z a

− −

=

⎛ ⎞

⎛ ⎞ = ⎜ + ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝

∑

⎠

lim0 _n ⁿ

z a z

→ = +∞ et pour tout entier k vérifiant 0≤ ≤ −k n 1,

lim0 ^k ^{n k} 0

z n

a z a

−

→ = donc

0

lim 1

z P

→ ⎛ ⎞ = +∞⎜ ⎟⎝ ⎠z . Donc :

0, , ( ) (0)

R z z R P z P

∃ > ∀ ∈ > ⇒ > donc inf ( ) (0)

z P z P

∈ ≥ .

L'application z P z( ) est continue de dans .

(7)

Soit DR =

{

z∈ ^/ z ≤R

}

. D_R est une partie fermée et bornée de donc compacte. L'application ( )

z P z est donc bornée et atteint ses bornes sur D_R. Il existe alors z₀∈D_R tel que ( )₀ inf ( )

z DR

P z P z

= ∈ . Comme 0∈D_R, on en déduit que P z( )₀ ≤ P(0) . Comme (0) inf ( )

z

P P z

≤ ∈ , on en déduit que ( )₀ inf ( )

z

P z P z

= ∈ . Montrons que P z( )₀ =0 :

Par translation z z−z₀, on peut supposer que z₀ =0.

0

( )

n k k k

P z a z

=

∑

^{, 0,}^aⁿ ^≠ ⁿ^≥¹^.

Comme on a supposé z₀ =0, on a ₀ inf ( )

z

a P z

= ∈ .

• si a₀ =0, alors (0)P =0 et le théorème est démontré ;

• si a₀ ≠0, on a :

0 0

0

,

n k k k

z a a a z

=

∀ ∈ ≤ +

∑

1 0

1 1

n k k k

a z

= a

≤ +

∑

Soit ^k⁰ ⁼^min

{

^k^∈ ^*^/^a^k ^≠⁰

}

^.

Alors ⁰ ⁰

0 1

0 0

1 1

n

k k k k

k k

a a

z z

a _{= +} a

≤ + +

∑

Soit ω∈ tel que ⁰ ⁰

0

k ak

ω = − a . ω≠0. En utilisant z

z ω , on obtient, en posant

0 k

k k

a c

aω ⁼ ^:

0 0

0 1 0 1

, 1 1 1

n n

k k k k

k k

k k k k

z z c z z c z

= + = +

∀ ∈ ≤ − +

∑

≤ − +

∑

^.

En particulier, pour x∈]0;1[ :

0

0 1

1 1

n

k k

k k k

x c z

= +

≤ − +

∑

0

0 1

1 1

n

k k

k k k

x c z

= +

≤ − +

∑

^car¹⁻^x^k⁰ ^>⁰

0

0 1

1

n

k k k k k

c z ⁻

= +

≤

∑

Ce qui contredit le fait que ⁰

0

0 1

]0;1[

lim 0

n

k k x k

x k k

c x ⁻

→ = +

∈

∑

= ^.

(8)

2.4 Une troisième application : le théorème de Rolle

Soit f une fonction continue sur [ ; ]a b , dérivable sur ] ; [a b , telle que ( )f a = f b( ). Alors il existe ] ; [

c∈ a b tel que f c'( )=0. Démonstration

Si f est constante, le résultat est évident.

Si f n'est pas constante, on peut supposer qu'il existe x₀∈] ; [a b tel que ( )f b > f a( ) (sinon, on travaille avec −f ).

f étant continue sur [ ; ]a b qui est une partie compacte de , f est bornée et atteint ses bornes sur [ ; ]a b donc il existe c∈[ ; ]a b tel que ( )f c =M (où

[ ; ]

sup ( )

x a b

M f x

∈

= ).

On a alors f a( )< f x( ₀)≤M donc c∈] ; [a b donc f est dérivable en c.

'( ) lim ( ) 0

x c x c

f x M f c ^→_< x c

= − ≥

− et ( )

'( ) lim 0

x c x c

f x M f c ^→_> x c

= − ≤

− , d'où f c'( )=0.

2.5 Théorème de Heine

Une fonction numérique continue sur une partie compacte E de est uniformément continue.

Démonstration Soit ε >0.

, 0, , ( ) ( )

x x 2

x E α y E x y α f x f y ε

∀ ∈ ∃ > ∀ ∈ − < ⇒ − < .

( ) ;

2 2

x x

x x E

x E

I x α x α

∈

⎛⎤ ⎡⎞

=⎜⎝⎥⎦ − + ⎢⎣⎟⎠ est une famille d'ouverts recouvrant E. E étant une partie compacte de , on peut extraire un sous recouvrement fini

1,...

x xn

I I .

1

k

n x k

E I

=

∪

^.

Soit min ¹ ,...,

2 2

xn

x α

α = ^⎧⎨α ^⎫⎬

⎩ ⎭.

Soient ,x y∈E tels que x− <y α. Il existe un entier k tel que 1≤ ≤k n et

xk

x∈I .

k k

x − ≤y x − + −x x y 2

k

xk − <y α +α

k xk

x − <y α On alors :

( ) ( ) ( ) ( _k) ( _k) ( ) f x − f y ≤ f x − f x + f x − f y

( ) ( )

2 2

f x ₋ f y _{< +}ε ε .

2.6 Une application du théorème de Heine : approximation par des fonctions en escalier Si f est une fonction continue sur un segment [ ; ]a b , à valeurs dans , alors il existe une suite de fonctions en escalier convergeant uniformément vers f sur [ ; ]a b .

(9)

Démonstration

[ ; ]a b est une partie compacte de et f est continue sur [ ; ]a b donc f est uniformément continue sur [ ; ]a b . Donc :

, 0, , [ ; ], ( ) ( ) 1

n n 1

n x y a b x y f x f y

α α n

∀ ∈ ∃ > ∀ ∈ − ≤ ⇒ − ≤

+ . A α_n, on associe p∈ ^* tel que b a _n

p α

− ≤ .

( )0

n cj j p

σ = _{≤ ≤} , où _j b a

c a j p

= + − est une subdivision régulière de [ ; ]a b . Soit φ_n la fonction définie par :

, 0 1, [ _j; _j 1[, _n( ) ( ),_j _n( ) ( )

j j p x c c ₊ φ x f c φ b f b

∀ ∈ ≤ ≤ − ∀ ∈ = = .

( )φ_{n n}_∈ est une suite de fonctions en escalier définie sur [ ; ]a b . Par construction :

[ ; ] x a b

∀ ∈ , 1

( ) ( )

n 1

f x x

φ n

− ≤

+ donc

[ ; ]

sup ( ) ( ) 1

n 1

x a b

f x x

φ n

∈ − ≤

+ , d'où f x( )−φ_n( )x _∞ ⎯⎯⎯→_n_→+∞ 0.

( )φ_{n n}_∈ est donc une suite de fonctions en escalier convergeant uniformément vers f.